Ejercicios de Simulación

Transcripción

1 Ejercicios de Simulación Investigación Operativa Ingeniería Informática, UC3M Curso 07/08 1. Escribe un código (por ejemplo en Matlab, Fortran, C,... ) que genere m secuencias de n números Bernoulli con probabilidad p. Usa este código para escribir otro que genere una secuencia de m números binomiales de parámetros n y p. Solución. Código Matlab para la distribución Bernoulli: function X = B(p,n,k) % X = B(p,n,k) % genera una muestra de tama\ {n}o nxk % de una Bernoulli de par\ {a}metro p if nargin==2, k = 1; % solamente una muestra X = rand(n,k); I = find(x <= p); X = zeros(n,k); X(I) = ones(size(i)); Por definición, una variable aleatoria X sigue una distribución Binomial de parámetros n y p, X B(n, p), si X es suma de n variables Bernoulli de parámetro p e indepientes. Por tanto la función en Matlab que genera números B(n, p) es function X = Bin(n,p,m) % X = Bin(n,p,m) % genera una muestra de tama\ {n}o m de una Binomial % de parametros n y p Y = B(p,n,m); X = (sum(y)) ; 1

2 2. Escribe un código que genere una secuencia de n números Poisson con parámetro λ. Una distribución de Poisson de parámetro λ se define como X P(λ) si λ λk P (X = k) = e k! para k = 0, 1,... function X = poisson(lambda,n) % Generacion de una muestra de tama\ {n}o n de % una distribucion de Poisson de media lambda c = exp( - lambda); X = []; for i = 1:n, p = 1; N = 0; while (p >= c), unif = rand(1); p = p * unif; N = N + 1; X = [X ; N-1]; Otro código utilizando comandos vectoriales de Matlab que aceleran la generación: function X = poisson(lambda,n) % Generacion de una muestra de tama\ {n}o n de % una distribucion de Poisson de media lambda X = rand(n,1); i = 0; p = exp(-lambda); F = p; bool = (zeros(n,1)) ; while ( (all(bool))), if (any((x<f) & (X>=(F - p)))) m = find((x<f) & (X>=(F - p))); X(m) = ones(length(m),1)*i; bool(m) = ones(length(m),1); 2

3 p = lambda*p/(i + 1); F = F + p; i = i + 1; 3. Escribe un código que genere una secuencia de n números γ con parámetros α y β. Una variable X se define como γ de parámetros α y β, X G(α, β), si f(x) = 1 (α 1)! βα x α 1 e βx para x > 0. function X = gamma(a,b,n) % X = gamma(a,b,n) % genera una muestra de tama\ {n}o n de una gamma % de parametros a y b, con a entero positivo if a==1 X = expon(1/b,n,1);return; U = rand(n,a); X = -(1/b)*log(prod(U )); X = X ; 4. Escribe un código que genere una secuencia de n números Weibull con parámetros α y β. La variable X se define Weibull de parámetros (α, β), X W(α, β), si f(x) = β α ( x ) (β 1) exp( ( x α )β ) α para x > 0. La generación de una muestra Weibull se realiza a través de una distribución de Valores Extremos. Esta distribución tiene la propiedad de que es invertible analíticamente. function X = weibull(alpha,beta,n) % X = weibull(alpha,beta,n) % genera una muestra de tama\ {n}o n de una distribucion Weibull % de parametros (alpha,beta). La funcion de densidad es: % f(t;a,b) = (b/a)*(t/a)ˆ(b-1)*exp(-(t/a)ˆb) % Generacion de los numeros aleatorios X = rand(n,1); 3

4 % Generacion de una Extreme Value Standard X = log(-log(x)); % Generacion de una Extreme Value de parametros (u,b) b = 1/beta; u = log(alpha); X = b*x + u; % Generacion de la Weibull X = exp(x); 5. Comprobar con simulaciones el Teorema Central del Límite: Si X 1, X 2,..., X n es una muestra aleatoria simple de una distribución N (µ, σ 2 ), entonces la distribución de X n es N (µ, σ2 n ). sigma = 0.5; X = randn(100)*sigma; medias = mean(x); hist(medias) % Normal(0,sigmaˆ2) En este programa se generan 100 medias de una N (0, ). A continuación se muestra el histograma de la muestra. Se puede comprobar como el histograma tiene la forma de campana de una densidad normal Figura 1: TCL 6. Se sabe que el tiempo medio entre fallos en un disco duro de un ordenador es de 3000 horas y que los fallos se distribuyen exponencialmente. Escribe un código que genere estos sucesos de fallo hasta que ocurran 25 de ellos. Escribe el número de horas que transcurren entre los sucesivos fallos del experimento. Solución. 4

5 7. Escribe un código que genere números aleatorios con distribución β(2, 2) (f(x) = 6x(1 x), 0 x 1) mediante el método de aceptación-rechazo simple. Solución. c = máx{f(x) = 6x(1 x) : 0 x 1} = 1.5. function b = beta22(n) c = 1.5; b = []; for i = 1:n, x = rand; while (c*rand > 6*x*(1-x)), x = rand; b = [b;x]; 8. Escribe un código que genere números aleatorios con distribución N(µ, σ 2 ) mediante el método de aceptación-rechazo generalizado a partir de números exponenciales. Solución. Nos basamos en la normal estándar. Hay que notar que el soporte de la normal no está incluido dentro del soporte de la exponencial, por tanto, es conveniente tomar el valor absoluto de la distribución. Es decir, se puede usar la distribución exponencial para generar el valor absoluto de la normal y una distribución Bernoulli para determinar el signo. Para el valor absoluto de la normal estándar y para la exponencial de parámetro 1, se tiene a = sup x 0 { f(x) } = 2 g(x) 2π. 5