AUTOCALIBRACIÓN Y SINCRONIZACIÓN DE MÚLTIPLES CÁMARAS PTZ

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1 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR AUTOCALIBRACIÓN Y SINCRONIZACIÓN DE MÚLTIPLES CÁMARAS PTZ -PROYECTO FIN DE CARRERA- Jave Gacía Ocón Mayo de 27

2 AUTOCALIBRACIÓN Y SINCRONIZACIÓN DE MÚLTIPLES CÁMARAS PTZ AUTOR: Jave Gacía Ocón TUTOR: Jesús Bescós Cano Gupo de Tatamento de Imágenes Dpto. de Ingeneía Infomátca Escuela Poltécnca Supeo Unvesdad Autónoma de Madd - -

3 PROYECTO FIN DE CARRERA Título: Autocalbacón y snconzacón de múltples cámaas PTZ. Auto: D. Jave Gacía Ocón Tuto: D. Jesús Bescós Cano Tbunal: Pesdente: D. José Maía Matínez Sánchez Vocal: D. Mguel Ángel Gacía Vocal secetao: D. Jesús Bescós Cano Fecha de lectua: Calfcacón:

4 Palabas clave Calbacón, Autocalbacón, Matz de Poyeccón, Zhang, paámetos ntínsecos, paámetos extínsecos. Resumen El contexto de este poyecto es el conjunto de técncas oentadas a extae cuados o nfomacón clave de secuencas de vídeo obtendas de cámaas fjas. En este caso se analzaá la poblemátca asocada a tes cámaas PTZ (Pan-Tlt-Zoom) stuadas en el vestíbulo de entada del edfco A de la EPS, y vsbles las tes ente sí. Paa pode gua la seleccón de foma efcente es necesao conoce ealmente el sgnfcado de la nfomacón que muestan las mágenes y, en patcula, pode ealza medcones pecsas de la geometía de la escena captada. Esto exge el desaollo de técncas de calbacón o autocalbacón. Así msmo, la obtencón de nfomacón complementaa de vaas cámaas pemte aumenta la pecsón y obustez de esta taea. Este segundo aspecto exge la snconzacón total o pacal de las cámaas. El objetvo de este poyecto es analza y aplca dstntas técncas de calbacón de cámaas fjas y autocalbacón de cámaas PTZ paa así pode ealza medcones pecsas del tamaño de los objetos pesentes en la escena y de sus tayectoas, con aplcacón en entonos de segudad. Abstact The context of ths poject s the set of technques oented to extact fames o key nfomaton of vdeo sequences obtaned by means of fxed cameas. In ths case, we wll analyse the poblem elated wth thee PTZ (Pan-Tlt-Zoom) cameas placed n the hall of the EPS buldng A, all vsble among them. We wll need to know eally the meanng of the nfomaton povded by the mages fo beng able to gude the selecton n an effcent way and, specally, fo beng able to do accuate measues of the captued scene geomety. That needs the development of calbaton o autocalbaton technques. Also, the acquston of complementay nfomaton fom seveal cameas nceases the accuacy and stength of ths task. It also needs the total o patal synchonzaton of the cameas. The objectve of ths poject s to analyse and apply seveal calbaton technques fo fxed cameas and autocalbaton fo PTZ cameas. Ths way, we wll obtan accuate measues of the scene objects sze and tajectoes, specally appled to secuty envonments

5 A m tuto, Jesús Bescós, po su dedcacón y ayuda en este poyecto. Tambén en agadecmento po la ayuda que, junto al pofeso José Maía Matínez, nos han pestado duante toda la caea a los alumnos. A los compañeos del laboatoo, que me han pestado su ayuda. En especal a Álvao (el hombe que sostenía tableos de ajedez) y a Juan Calos (el que lo gababa todo). A Jav y a Kke, que dedcaon pate de sus hoas felces a gaba tableos de ajedez. A José Ignaco Ronda, po su nestmable ayuda en estos teenos de la calbacón. Po supuesto a m tableo de ajedez, compañeo nfatgable de calbacones. A m made, que me ha apoyado duante la caea y, duante el últmo año, me ha peguntado todos los días, con nfatgable constanca la msma pegunta:... Y cuando lees el poyecto? Obtenendo sempe la msma espuesta: Esta tade made. A m pade, que me ha ayudado y enseñado muchas cosas de este mundo de los teleñecos desde el pme día de la caea. En espea de cea el negoco con el que evoluconaemos el secto. A Mata, que ha escuchado cada día con pacenca y sopendente nteés ms hstoas sobe esas cosas aas de las cámaas, y me ha mostado sempe su confanza en que llegaé a se un gan teleñeco

6 Índce de contendos INTRODUCCIÓN.... MOTIVACIÓN DEL PROYECTO..... Aplcacones del poceso de calbacón Sensbldad del poceso de calbacón....2 OBJETIVOS DEL PROYECTO....3 ESTRUCTURA DE LA MEMORIA...2 REVISIÓN DE CONCEPTOS BÁSICOS...3. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA PROYECTIVA COORDENADAS HOMOGÉNEAS EN EL PLANO Ecuacón afín de una ecta y coodenadas homogéneas de la ecta Coodenadas homogéneas del punto El punto mpopo Dualdad punto ecta EL ESPACIO PROYECTIVO P N LA RECTA PROYECTIVA P EL PLANO PROYECTIVO P TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS 2D: HOMOGRAFÍAS TRANSFORMACIONES PROYECTIVAS 3D CALIBRACIÓN DE CÁMARAS FIJAS ESTUDIO DEL PROCESO DE CALIBRACIÓN DE UNA CÁMARA Modelo pn-hole La matz de poyeccón Coeccón de la dstosón MÉTODOS DE CALIBRACIÓN DE CÁMARA Método de Faugeas [Faugeas, 986] Método de Zhang [Zhang, 998][Zhang, 2] Conclusones sobe el estudo de los métodos de calbacón IMPLEMENTACIÓN DE DISTINTOS MÉTODOS DE CALIBRACIÓN DE CÁMARAS Implementacón del método de Faugeas Implementacón del método de Zhang Pogamas de ejecucón del método Pogamas de ntefaz de usuao PRUEBAS SOBRE CÁMARAS FIJAS Cámaas fjas Patón utlzado

7 2.4.3 Requstos de las mágenes Desaollo de las puebas Resultados obtendos de las puebas AUTOCALIBRACIÓN DE CÁMARAS PTZ ESTUDIO DE DISTINTOS MÉTODOS DE AUTOCALIBRACIÓN DE CÁMARA Intoduccón Clasfcacón de los métodos de autocalbacón Método de Hatley [Hatley, 994a] Métodos de autocalbacón de cámaas con movmento de otacón y con zoom Método lneal de Agapto ESTUDIO DEL ESTADO DEL ARTE DEL PROCESO DE AUTOCALIBRACIÓN DE CÁMARAS PTZ Autocalbacón de un sstema am-eye Calbacón de una ed de cámaas PTZ DISEÑO Y DESARROLLO DE UNA APLICACIÓN SOBRE TRES CÁMARAS PTZ QUE GRABAN UNA MISMA ESCENA INTRODUCCIÓN CÁMARAS PTZ Especfcacones de la cámaa: Facto de escala de las cámaas PTZ Punto pncpal de las cámaas PTZ Movmento pan de la cámaa Movmento tlt de la cámaa Poscón de las tes cámaas CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS INTRÍNSECOS DE LAS CÁMARAS MEDIANTE EL MÉTODO DE CALIBRACIÓN DE ZHANG Calbacón con el nvel más bajo de zoom Calbacón con dstntos nveles de zoom CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS EXTRÍNSECOS DE LAS CÁMARAS, [R T], CONOCIDA LA MATRIZ DE PARÁMETROS INTRÍNSECOS Intoduccón Desaollo del método Implementacón del método Puebas sobe el método y conclusones Secuenca de mágenes gabadas con un bado pan Secuenca de mágenes gabadas con un bado tlt Análss del eo de cuantfcacón DESARROLLO DE LA APLICACIÓN Imágenes captuadas po las cámaas

8 4.5.2 Conclusones sobe la aplcacón CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE LOS MÉTODOS DE CALIBRACIÓN Conclusones sobe la autonomía del método de Zhang Conclusones sobe la efcenca del método de Zhang Conclusones sobe la vesatldad del método de Zhang Conclusones sobe la pecsón del método de Zhang CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE LOS MÉTODOS DE AUTOCALIBRACIÓN Conclusones sobe el estudo de método de Hatley Conclusones sobe el estudo de método de Agapto Conclusones sobe el estudo de método que calcula los paámetos ntínsecos de una ed de cámaas PTZ CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE LA CALIBRACIÓN DE VARIAS CÁMARAS PTZ QUE GRABAN UNA MISMA ESCENA Conclusones sobe la autonomía del método popuesto Conclusones sobe la efcenca del método popuesto Conclusones sobe la vesatldad del método popuesto Conclusones sobe la pecsón del método popuesto...58 Índce de fguas Fgua -: Incdenca de líneas en un punto... Fgua -2: Cada punto de la ecta poyectva es una deccón de R 2... Fgua -3: Poyeccón (X, Y, Z) (x, y)...3 Fgua -4: Tansfomacón poyectva euclídea...4 Fgua -5: Tansfomacón 3D Euclídea...6 Fgua -6: Rotacón de los ejes Z, Y y X...7 Fgua 2-: Modelo de cámaa pn-hole...9 Fgua 2-2: Relacón ente el punto deal y el punto eal...24 Fgua 2-3: Dstosón adal...25 Fgua 2-4: Dstosón tangencal...25 Fgua 2-5: Plantlla plana

9 Fgua 2-6: Puntos que hay que maca y oden en el que se maquen en el caso de consdea 9 puntos...4 Fgua 2-7: Cámaa fja SONY-DFW-X7...4 Fgua 2-8: Fgua 2-9: Fgua 2-: Relacón ente píxeles totales y píxeles actvos de la cámaa...4 Ejemplo de una magen del patón...42 Imágenes del patón...43 Fgua 2-: Puntos que se deben maca cuando se consdean 9 puntos...44 Fgua 2-2: Puntos que se deben maca cuando se consdean 25 puntos...45 Fgua 3-: Poyeccón del msmo punto M en dos planos magen dfeentes...5 Fgua 3-2: Cámaa PTZ...56 Fgua 3-3: Fgua 3-4: Fgua 3-5: Coespondenca ente puntos de dstntas mágenes cuando hay un movmento de otacón y de zoom...6 Imágenes captuadas po la cámaa cuando se efectúa un movmento de otacón...6 Fgua extaída de [Towads Calbatng a PTZ Camea Netwok (Snha y Pollefeys)]...62 Fgua 4-: Cámaa SONY SNC RZ Fgua 4-2: Plano magen. Valoes del paámeto AeaZoom Fgua 4-3: Fgua 4-4: Vsta supeo de la cámaa. Rango de los ángulos hozontales que puede toma la cámaa...68 Vsta lateal de la cámaa. Rango de los ángulos hozontales que puede toma la cámaa...69 Fgua 4-5: Imágenes utlzadas paa la calbacón con zoom x...7 Fgua 4-6: Puntos consdeados de la DINA Fgua 4-7: Secuenca de mágenes gabadas medante un bado pan...79 Fgua 4-8: Valo obtendo del vecto de tanslacón T (m)....8 Fgua 4-9: Secuenca de mágenes gabadas medante un bado tlt...8 Fgua 4-: Valo obtendo del vecto de tanslacón T (m) Fgua 4-: Esquema de la poscón de las tes cámaas especto al sstema de efeenca...84 Fgua 4-2: Imágenes de la escena gabadas po PTZ (bado pan) Fgua 4-3: Imágenes de la escena gabadas po PTZ (bado pan) Fgua 4-4: Imágenes de la escena gabadas po PTZ 2 (bado tlt)

10 Índce de tablas Tabla -: Matces de otacón de los ejes Z, Y, X...7 Tabla 2-: Paámetos de la cámaa calculados según el método de Faugeas...3 Tabla 2-2: Paámetos ntínsecos calculados medante el método de Zhang...35 Tabla 4-: Valoes de la dstanca focal y el facto de escala paa cada nvel de zoom...66 Tabla 4-2: Valoes obtendos con nvel de zoom x (f = 3,5 mm.)...72 Tabla 4-3: Códgo asocado a cada zoom...73 Tabla 4-3: Valoes obtendos con nvel de zoom x2 (f = 7 mm.)...73 Tabla 4-3: Valoes obtendos con nvel de zoom x3 (f =,5 mm.)...74 Tabla 4-3: Valoes obtendos con nvel de zoom x4 (f = 4 mm.)

11 Intoduccón. Intoduccón... Motvacón del poyecto.... Aplcacones del poceso de calbacón. La calbacón de una cámaa es el poceso que pemte la obtencón de los paámetos que defnen las condcones de fomacón de la magen dento del campo de la vsón atfcal. Estos paámetos defnen la geometía ntena y la óptca de la cámaa (paámetos ntínsecos), así como su poscón y oentacón (paámetos extínsecos especto a un objeto de efeenca o patón de calbacón. La calbacón es, po tanto, un pocedmento que tata de conoce cómo una cámaa poyecta un objeto 3D en el plano magen paa así pode extae nfomacón métca a pat de las mágenes. El uso de cámaas calbadas pemte esolve aplcacones elaconadas con la obtencón de la poscón 3D de los objetos en el espaco a pat de sus mágenes o paa la econstuccón tdmensonal del entono captado po las cámaas. Esto pemte ealza taeas como la obtencón de mapas del entono de la cámaa, el segumento de un objeto específco paa aplcacones de segudad o la obtencón de la poscón de la cámaa especto a objetos que la odeen. Tambén puede faclta la navegacón po su entono de un obot móvl, pemtendo evta obstáculos, dgse a objetos detemnados o faclta la defncón de la tayectoa más adecuada paa alcanza su destno...2. Sensbldad del poceso de calbacón. Exsten múltples factoes que nfluyen sobe los esultados en el poceso de calbacón de una cámaa. Esto povoca que los paámetos que se obtenen tengan una alta sensbldad a las condcones en las que se obtenen las mágenes que se utlzan paa calba las cámaas. Así msmo el poceso de calbacón esulta muy complejo debdo al elevado númeo de paámetos que es necesao obtene. Los métodos de calbacón acotan en pate esta complejdad empleando modelos de cámaa que son, en ealdad, modelos deales o smplfcados de sus equvalentes físcos. Con estas smplfcacones se consguen esultados bastante aceptables (aunque no exactos), peo no se paametzan muchos factoes. El modelo de cámaa smplfcado que utlzan la mayoía de los métodos de calbacón es el modelo de agujeo o pnhole. Esta smplfcacón no modela aspectos óptcos como - -

12 Intoduccón la dstanca de enfoque, la pofunddad de campo, la apetua o la posble desalneacón ente el plano magen y la lente. Incluso un efecto tan mpotante como la dstosón de las mágenes se modela, en la mayoía de los casos, de foma muy smplfcada, y no en todos los casos se paametza. Otos factoes mpotantes que afectan a la sensbldad de los esultados son las posbles fuentes de udo que nfluyen en el poceso de fomacón de la magen como los eoes de cuantfcacón que ntoduce la cámaa, o la pecsón en la ubcacón eal de los elementos (puntos del patón) utlzados paa ealza la calbacón..2. Objetvos del poyecto. El objetvo pncpal de este poyecto es desaolla un método que pemta conoce la poscón de las cámaas que gaban una escena con especto a un sstema de efeenca común. A pat del conocmento de esta poscón se podá ealza la opeacón nvesa. Es dec, la obtencón de la poscón 3D de los objetos en el espaco a pat de sus mágenes. Este método se aplcaá sobe tes cámaas PTZ (Pan-Tlt-Zoom) stuadas en el vestíbulo de entada del edfco A de la Escuela Poltécnca Supeo, y vsbles las tes ente sí. Debdo a la especal complejdad fomal de este poyecto, a lo lago del msmo exsten una see de objetvos pacales que se centan en el estudo de dfeentes pocesos de calbacón y autocalbacón, y en el análss de las posbldades eales en el caso conceto de las cámaas PTZ. Desde un pncpo se ha planteado el poyecto como la apetua de una línea de nvestgacón popa y se ha tatado po tanto de consegu que esta línea sea auto contenda. En conceto se van a contempla los sguentes objetvos pacales: El desaollo e mplementacón en softwae popo del método de calbacón de Zhang. Con esto se busca ndependza nuesto estudo de otos estudos exstentes que tatan con sus ccunstancas especales. El análss de la fabldad y sensbldad del método de calbacón de Zhang mplementado. El desaollo del método que pemta conoce la poscón de las cámaas que gaban una escena con especto a un sstema de efeenca común se va a ealza suponendo conocdos los paámetos ntínsecos de las cámaas. Paa ello es necesao calbalas una vez y esto se va a ealza medante el método de Zhang. Po tanto es muy mpotante conoce qué gado de fabldad tenen los esultados obtendos. El análss de las posbldades eales de autocalbacón en el contexto de las cámaas PTZ. - -

13 Intoduccón.3 Estuctua de la memoa. La estuctua de este PFC se oganza como sgue: En el capítulo se ealza una evsón de los conceptos báscos de la geometía poyectva elaconados con el poceso de captacón de mágenes. En este capítulo se ntoduce la notacón que se va a segu en el esto de la memoa. En el capítulo 2 se pesenta el modelo de cámaa pnhole del que paten los métodos que se van a estuda paa ealza la calbacón. A contnuacón se descben los algotmos de los métodos de Faugeas y Zhang. El método de Faugeas se plantea como un método lneal y muy smple cuyo esultado es utlzado como punto de patda paa la ealzacón de otos métodos teatvos más complejos y completos como el de Zhang. Po su pate, el método de Zhang se pesenta como un método útl de calbacón de los paámetos ntínsecos de una cámaa debdo a su flexbldad. Este método seá utlzado paa calba los paámetos ntínsecos de las cámaas PTZ, pemtendo utlza los paámetos obtendos en el desaollo de la aplcacón que tata de conoce la poscón de las cámaas que gaban una escena con especto a un sstema de efeenca común. Po ello es necesao mplementa y analza la fabldad del método de Zhang. El captulo contnúa con una descpcón de la mplementacón en softwae popo del método de Zhang y con la pesentacón de los esultados obtendos en unas puebas ealzadas sobe cámaas fjas. Con estos esultados se analzaá la sensbldad e nestabldad del poceso de calbacón. En el capítulo 3 se ealza un estudo de dstntos métodos de autocalbacón de cámaa y del estado del ate del poceso de autocalbacón de cámaas PTZ. En este capítulo se analzaán los poblemas que pesentan las cámaas PTZ a la hoa de autocalba y como se van a lmta las posbldades eales de autocalbacón. En el capítulo 4 se ealza la aplcacón que pemte conoce la poscón de las cámaas que gaban una escena con especto a un sstema de efeenca común. Paa el desaollo de esta aplcacón es necesao conoce los paámetos ntínsecos de las cámaas. La pmea pate del capítulo descbe el contexto de las cámaas PTZ y los esultados obtendos en la calbacón de los paámetos ntínsecos medante el método de Zhang. La segunda pate del capítulo descbe el método desaollado paa avegua la poscón de las cámaas y los esultados de las puebas ealzadas del método. En el capítulo 5 se pesentan las conclusones del poyecto y las posbles líneas de mejoa del msmo

14 - 3 - Intoduccón

15 Revsón de conceptos báscos. Revsón de conceptos báscos. En este capítulo se analzan los conceptos de geometía poyectva que están asocados al poceso de captacón de una magen. El poceso de poyeccón cental (modelo pnhole que se ntoducá en el sguente capítulo) con el que se modela el poceso de captacón de una magen es báscamente poyectvo. Se patá de una ntoduccón geneal sobe la geometía poyectva que pemta defn los conceptos que se van a maneja duante el tabajo... Intoduccón a la geometía poyectva. La geometía poyectva sumnsta un modelo lneal del poceso de captacón de mágenes (s no hay dstosones) () pues estuda la elacón ente fguas geométcas y su poyeccón. El ejemplo común usado consste en fguas en 3D con poyeccones en un plano 2D. Desde el punto de vsta sntétco, la geometía poyectva es una geometía que pate de los sguentes pncpos: Dos puntos defnen una ecta. Todo pa de ectas se cotan en un punto (cuando dos ectas son paalelas decmos que se cotan en un punto del nfnto). La geometía poyectva puede entendese, nfomalmente, como la magen que se obtene en nuesto ojo del espaco que vemos cuando nos colocamos en un punto, mando desde ese punto. Esto es, cualque línea que ncde en nuesto "ojo" nos paece se sólo un punto, ya que el ojo no puede "ve" los puntos que hay detás (ve Fg...). Fg... Incdenca de líneas en un punto. (). En ealdad las lentes povocan dstosones, lo que equvale a alnealdades, que la geometía poyectva no puede modela

16 Revsón de conceptos báscos.2. Coodenadas homogéneas en el plano..2.. Ecuacón afín de una ecta y coodenadas homogéneas de la ecta. En el sstema famla de la geometía analítca eucldana, un punto m se epesenta 2 2 como un pa de coodenadas (x, y) en R. Comúnmente, R se dentfca con un plano. 2 Se puede consdea entonces R como un espaco vectoal en el que (x, y) es un vecto. Se asoca así, un punto a un vecto. Una línea ecta en el plano 2 R está epesentada po su ecuacón afín: ax + by + c = De esta manea, una línea ecta puede se epesentada po un vecto: v = [a, b, c] T. El vecto v epesenta las coodenadas homogéneas de la ecta. La coespondenca ente líneas ectas y vectoes no es uno a uno, ya que (a, b, c) T y [ka, kb, kc] T epesentan exactamente la msma línea ecta paa k, sn embago son vectoes dstntos. Estos vectoes son consdeados como equvalentes y se defnen como vectoes homogéneos. En geometía poyectva se ntoducen coodenadas que pemten epesentacones múltples, tanto de puntos como de ectas, con las cuales es posble estuda nocones como punto mpopo y ecta poyectva de foma analítca Coodenadas homogéneas del punto. Un punto de coodenadas eucldanas m = [x, y] T en un plano R 2 tene una epesentacón homogénea en R 3 dada po M = [X Y Z] T. Sendo [X Y Z] las coodenadas homogéneas del punto eucldano [x, y]. Las coodenadas homogéneas [X Y Z] son númeos eales y la coodenada homogénea Z es no nula. La elacón ente las coodenadas homogéneas y eucldanas de un punto es: x = X e Z Y y = Z Una foma senclla paa pasa de coodenadas catesanas, [x, y], a coodenadas homogéneas consste en añad z = como coodenada Z: [x, y, ]. La ecuacón de la ecta afín en coodenadas homogéneas es: X Y ax + by + c = a + b + c = ax + by + cz = Z Z En este tabajo se van a epesenta las coodenadas homogéneas con letas mayúsculas, mentas que las eucldanas se epesentaán con letas mnúsculas

17 Revsón de conceptos báscos A cada punto epesentado en coodenadas homogéneas, M = [X Y Z] T, le coesponde un únco punto de coodenadas euclídeas, m = [x, y] T ; peo a este punto m le coesponden nfntos puntos homogéneos, ya que tanto las coodenadas (X, Y, Z) como las coodenadas [kx, ky, kz] epesentan dcho punto, sempe que k sea un númeo eal dfeente de ceo El punto mpopo. En el apatado anteo no se ha consdeado el punto expesado en coodenadas homogéneas [X, Y, ]. A contnuacón se va a estuda qué epesenta dcho punto. S se consdean las ecuacones afnes de dos ectas del plano: ax + by + cz =, a ' X + b' Y + c' Z = Se puede obtene el punto de cote de estas dos ectas (expesado en coodenadas homogéneas) medante el poducto vectoal de los vectoes consttudos po las coodenadas homogéneas de la ectas: [ X, Y, Z] ~ [ a, b, c] [ a', b', c'] En la geometía eucldana dos ectas paalelas no se cotan en nngún punto. Sn embago s en coodenadas homogéneas tatamos halla el punto de cote de dos ectas paalelas: ax + by + c =, a ' X + b' Y + c' = [ X, Y, Z] ~ [ a, b, c] [ a', b', c'] ~ [ b, a,] Se obtene el vecto decto de las ectas paalelas. Po lo que se puede entende el punto [X, Y, ] como el punto en que se cotan todas las ectas con vecto decto v = ( x, Y ). Este punto ecbe el nombe de punto mpopo o punto del nfnto. Los puntos del nfnto foman la ecta del nfnto, Z = Dualdad punto ecta. Lo que se consgue medante las coodenadas homogéneas es que los puntos y las ectas sean algebacamente lo msmo. Así, la epesentacón en coodenadas homogéneas de una ecta del plano está fomada po un vecto de tes elementos, y la epesentacón en coodenadas homogéneas de un punto del plano tambén está fomada po un vecto de tes elementos

18 Revsón de conceptos báscos.3. El espaco poyectvo P n. El espaco poyectvo es el espaco de las coodenadas homogéneas que se han pesentado en el apatado anteo. En este apatado se va a estuda cómo la geometía poyectva ntoduce las coodenadas que pemten epesentacones múltples, tanto de puntos como de ectas. n El espaco poyectvo de dmensón n, P está fomado po todos los elementos del n+ n espaco euclídeo R excepto el elemento nulo, tal que dados x, y P, = [ x ] T e [ y ] T x,..., x n + y =,..., y n + con algún x e y, entonces x = y s exste un λ tal que x = λ y. P n = R n+ { } Paa conceta la defncón anteo, a contnuacón se van a estuda como ejemplos los 2 espacos poyectvos P y P..4. La ecta poyectva P. La ecta poyectva es el espaco poyectvo de dmensón uno: 2 P = R {} s = [ x x ] T e [ y y ] T x, 2 y =, 2 con algún x e y, x, y P, entonces x = y s exste un λ tal que x = λ y. Consdeemos un punto petenecente a la ecta poyectva: x P cuyas coodenadas homogéneas son = [ x x ] T, como el punto x epesentado en la fgua.2.. S 2 x, 2 x, se pueden expesa sus coodenadas euclídeas como x = x [ x x, ]. Una ecta afín es aquella que pasa po el ogen de coodenadas. S dos puntos del 2 espaco R petenecen a la msma ecta afín, entonces petenecen al msmo elemento del espaco poyectvo P. Es dec, los elementos de P epesedntan el conjunto de todas las ectas afnes del 2 espaco euclídeo R (como las epesentadas en la fgua.2). Po tanto, cada elemento 2 de la ecta poyectva P epesenta una deccón (que pasa po el ogen) de R. Faltaía po consdea el punto [ x, ] T que no petenece a la ecta afín. Este punto es el defndo como punto mpopo o punto en el nfnto. 2 2 T - 7 -

19 Revsón de conceptos báscos 2 R x x x 2 P Fg..2. El espaco poyectvo, P..5. El plano poyectvo P 2. El plano poyectvo P 2 en el que están epesentados todos los puntos no homogéneos x = X e y = Y, puede se ntepetado utlzando la epesentacón de la Fg..3: Z Z z y Y x ( x, y ) ( X, Y, Z ) f = Z y Y X Fg..3. Poyeccón (X, Y, Z) (x, y) - 8 -

20 Revsón de conceptos báscos En este esquema la poyeccón de (X, Y, Z) en un plano (x, y) paalelo al plano (X; Y; ) ubcado en Z =, está dada po el punto (x, y) el cual puede se calculado aplcando el x y Teoema de Thales como = =. Se obtene entonces x = X e y = Y. X Y Z Z Z Se puede obseva que cualque punto 3D sobe la línea de poyeccón O (XYZ) poduce el msmo punto poyectado en el plano (x, y). Esto es lo msmo que dec que la poyeccón de k (X, Y, Z) es gual a la poyeccón de (X, Y, Z), paa k, y que esta poyeccón está dada po x = X e y = Y. En otas palabas, la clase de vectoes Z Z homogéneos k (X, Y, Z) epesentan el msmo punto en P Tansfomacones poyectvas 2D: homogafías. La geometía poyectva 2D es el estudo de las popedades del plano poyectvo P 2 que son nvaantes bajo un gupo de tansfomacones conocdas como poyectvdades u homogafías. Una homogafía es una tansfomacón byectva del espaco poyectvo que vene dada po h : P 2 P 2 de manea tal que una línea ecta es tansfomada como una línea ecta. La poyectvdad está defnda como: h(m) = m = H m, m,m 2 P X X ' a = Y Y ' a Z Z' a 2 3 a a a a a a X Y Z donde H es una matz de 3 x 3 no sngula. Se dce entonces que m es la tansfomacón lneal H de m. Esta tansfomacón es bunívoca ente dos planos 2D, cuyos puntos son epesentados homogéneamente po m y m. Es dec, un punto en un plano 2D tene una únca coespondenca en un punto de oto plano 2D, y vcevesa. Es mpotante destaca que, debdo a la natualeza de las coodenadas homogéneas, dos matces popoconales defnen la msma homogafía ya que los puntos [X, Y, Z] y [kx, ky, kz] son el msmo punto poyectvo. Como ejemplo de tansfomacón poyectva 2D, se va a estuda la tansfomacón sométca, que es una tansfomacón euclídea. Esta tansfomacón defne una otacón seguda de una tanslacón. En el capítulo 3 se veá que el modelo pnhole ncluye esta tansfomacón. La azón de estudala en el espaco 2D es que facltaá su entendmento en el espaco 3D. En la tansfomacón sométca se conseva la dstanca Euclídea, es dec la dstanca ente dos puntos es gual a la dstanca ente los puntos tansfomados. La tansfomacón poyectva sométca es lustada en la Fg..4.: - 9 -

21 Revsón de conceptos báscos Fg..4. Tansfomacón poyectva euclídea. Fg..4. Tansfomacón poyectva euclídea. En coodenadas eucldeas, esta fgua coesponde a la tansfomacón de coodenadas (x, y) (x, y ), donde θ es el ángulo de la otacón de los ejes y (t x, t y ) es el desplazamento del ogen. Esta tansfomacón puede se escta en coodenadas catesanas como: ( ) ( ) ( ) ( ) R + t = + = y x t t y x sen sen y x y x θ θ θ θ cos cos ' ' (..) o ben en coodenadas homogéneas, como la poyectvdad: = ' ' y x y x T t R ( ) ( ) ( ) ( ) = cos cos y x t sen t sen y x θ θ θ θ (.2.) con [ ] = T. La tansfomacón nvesa (x, y ) (x, y) se obtene de: [ ] = ' ' ' ' t R y x y x (.3.) Como la matz R es otonomal (po se una matz de otacón), es dec que [ ] 2x2 T I R R = se sabe entonces que la nvesa de R es su tanspuesta. Defnendo [ ] [ ] R T R R' = = y t R t = se obtene: = y x y x T t R (.4.) t y t x y' x' x y θ

22 Revsón de conceptos báscos.7. Tansfomacones poyectvas 3D. Un punto M que se encuenta en el espaco 3D se epesenta en coodenadas homogéneas como un vecto de cuato elementos. S el punto 3D tene coodenadas (no homogéneas) [x, y, z] se expesaá entonces como M = [X Y Z T] donde x = X, T y = Y y z = Z. Una foma senclla de pasa de coodenadas no homogéneas a T T homogéneas es agegando un uno al fnal del vecto, es dec M = [X Y Z ]. La únca tansfomacón poyectva 3D que se va a estuda es la tansfomacón 3D Euclídea, que epesenta los cambos de coodenadas que pueden suf los objetos ígdos al pasa de un sstema de coodenadas a oto. En el capítulo 3 se veá que el modelo de cámaa pnhole ncluye esta tansfomacón. Z' Z ϕ z Y t ϕ y Y ' ϕ x X ' X Fg..5. Tansfomacón 3D Euclídea. Dado un sstema de coodenadas 3D (x y z) que ha sufdo una otacón y una taslacón como se apeca en la Fgua.5., el espaco 3D en el nuevo sstema de coodenadas (x y z ) queda defndo po una tansfomacón 3D Euclídea defnda po: x' x R y' = y + t z' z (.6.) donde R es una matz 3 x 3 otonomal, po se una matz de otacón, y t es un vecto 3 x que defnen la otacón y taslacón del sstema de coodenadas espectvamente. Esta tansfomacón se defne en coodenadas homogéneas de la sguente foma: - 2 -

23 Revsón de conceptos báscos X ' Y ' R = T Z' X t Y Z (.7.) A contnuacón se defná la matz otonomal R pesente en la tansfomacón Euclídea R 3 R 3. Una otacón de los ejes de coodenadas puede se descompuesto en otacones de cada uno de los ejes tal como se muesta en la fgua.6.: Y' Y X ' X ' X Z' Z' Z Y' Z' Z ϕ z X Y ' Y ϕ y Z X ' X ϕ x Y Fg..6. Rotacón de los ejes Z, Y y X Las tansfomacones de cada una de estas otacones están dadas po R Z, R Y y R X en la tabla..: Rotacón Eje Z Eje Y R z R y Matz de otacón cos( ϕ z ) sen( ϕ z ) = ( ) ( ) sen ϕ z cos ϕ z cos( ϕ y ) sen( ϕ y ) ( ) ( ) = sen ϕ y cos ϕ y = cos ϕ x sen ϕ x ( ) ( ) sen ϕ x cos ϕ x Eje X ( ) ( ) R x Tabla.. Matz de otacón de los ejes Z, Y y X. A manea de ejemplo s el únco movmento exstente es la otacón del eje X, la ecuacón que tansfoma las coodenadas seía:

24 Revsón de conceptos báscos = z y x sen sen z y x x x x x ) cos( ) ( ) ( ) cos( ' ' ' ϕ ϕ ϕ ϕ (.8.) La otacón total se puede defn entonces como pmeo una otacón del eje Z, luego del eje Y, y luego del eje X, eso se puede expesa matemátcamente como una multplcacón de las tes matces de otacón en el sguente oden: = = R R R R R R R R R z y x R R R R (.9.) Análogamente al caso 2D, la utldad de defn esta tansfomacón en coodenadas homogéneas fente a las coodenadas catesanas es que nos pemte ealza una tansfomacón que consta de dos pasos (multplca po la matz de otacón R y suma el vecto de tanslacón t) en un solo paso (multplca po la matz [ ] t R t R T =.

25 Calbacón de cámaas fjas 2. Calbacón de cámaas fjas. 2.. Estudo del poceso de calbacón de una cámaa. Se denomna calbacón al poceso de obtencón de los valoes de los paámetos del modelo de una cámaa. Estos paámetos elaconan una escena del espaco tdmensonal con la magen bdmensonal captada po la cámaa Modelo pn-hole. La gan mayoía de los pocedmentos de calbacón se basan en el modelo de cámaa pn-hole. Este modelo está basado en la geometía poyectva: la poyeccón de un punto de la escena se obtene de la nteseccón de una línea que pasa po este punto y el cento de poyeccón (foco) con el plano magen. El modelo consste en un cento óptco C, en donde convegen todos los ayos de la poyeccón, y un plano de magen en el cual la magen es poyectada. El plano de magen está ubcado a una dstanca focal f del cento óptco y pependcula al eje óptco Z. (ve Fg 2.). c M ( c c, c )) (( x, y z) x, y, z = M x, y z) c, c c c c, Fg. 2.. Modelo de cámaa pn-hole. Como se ve en la Fgua 2.., el modelo pnhole descbe la poyeccón de un punto M de la escena en un punto m de la magen. Paa modela la poyeccón es necesao ealza vaas tansfomacones y efese a vaos sstemas de coodenadas dstntos. A contnuacón se descben los sstemas de coodenadas que apaecen en el modelo de poyeccón

26 Calbacón de cámaas fjas Sstema de coodenadas del mundo: son las coodenadas que descben la poscón del punto 3D M especto de la escena. La eleccón de estas coodenadas es abtaa. Como se ve en la Fgua 2.., los ejes de este sstema de coodenadas son XYZ. Sstema de coodenadas de la cámaa: son las coodenadas que descben la poscón del punto 3D M c especto de la cámaa. Como se ve en la Fgua 2.., los ejes de este sstema de coodenadas son X cycz c. Y su ogen es el cento óptco de la cámaa El punto M y el punto M c son el msmo punto como se ndca en la Fgua 2.., nos efemos a él con dstnta notacón úncamente paa ndca especto a que sstema de coodenadas lo estamos efendo. Sstema de coodenadas de la magen: son las coodenadas que descben la poscón del punto 2D m especto del plano magen. Nomalmente este sstema de coodenadas tene su ogen en el cento del plano magen (c en la Fgua 2..). Como se ve en esta Fgua, los ejes de este sstema de coodenadas son uv. Sstema de coodenadas nomalzadas de la magen: son las coodenadas que descben la poscón del punto 2D m c especto del plano magen, stuando el ogen de estas coodenadas en la esquna supeo zqueda del plano magen (c en la Fgua 2..). Como se ve en esta Fgua, los ejes de este sstema de coodenadas son u nvn. El punto m y el punto m c tambén son el msmo punto como se ndca en la Fgua 2.., de nuevo nos efemos a él con dstnta notacón úncamente paa ndca especto a que sstema de coodenadas lo estamos efendo. El modelo de poyeccón depende de una see de paámetos de la cámaa. Estos paámetos se clasfcan en extínsecos e ntínsecos: Paámetos extínsecos: son los que elaconan la poscón elatva ente un objeto de la escena que se está captando y la cámaa fja. o Tanslacón: t = [t x, t y, t z ] T. (ve Fg. 2..). es la dstanca ente el cento óptco de la cámaa y el cento de coodenadas del mundo. o Rotacón: son los ángulos otados sobe cada uno de los ejes, [φ x, φ y, φ z ] (ve Fg. 2..). Paámetos ntínsecos: son los paámetos popos de la geometía ntena y de la óptca de la cámaa. Estos paámetos son: o o Cento del eje óptco (c = [u, v]): tambén llamado punto pncpal. Defne el punto donde el eje óptco (z c ) atavesa el plano magen. Las coodenadas de este punto venen dadas en píxeles. Factoes de escalado (k u, k v ):. ndcan la popocón de tamaño de un objeto vsto en la ealdad especto a su poyeccón en el plano magen. La

27 Calbacón de cámaas fjas popocón puede se dstnta en cada eje. Este paámeto se descompone a su vez en: Factoes de convesón píxel-mlímetos (d u, d v ): ndcan el númeo de píxeles po mlímeto que usa la cámaa. Esta elacón se obtene dvdendo la dmensón en píxeles de la magen po el tamaño en mm. del CCD. Dstanca focal (f): dstanca ente el cento óptco y el cento del plano magen, vene dada en mm. Facto de popocón (s): ndca la elacón de tamaño ente la dmensón hozontal y vetcal de un píxel. La elacón ente ellos (cuando no exste dstosón) vene dada po: k u = s d u f k v = d v f La matz de poyeccón. S consdeamos un punto 3D en coodenadas catesanas y lo expesamos en coodenadas homogéneas, dcho punto tene 4 coodenadas: M = [X, Y, Z, T]. De la msma foma, un punto 2D en coodenadas catesanas tene 3 coodenadas s lo expesamos en coodenadas homogéneas: m = [U, V, S]. Supongamos que la cámaa capta una escena y la plasma en el plano magen. La elacón ente un punto M de la escena 3D y su coespondente punto m de la magen, vene detemnada po la foma: m = P M El símbolo = ndca que los elementos de ambos lados son equvalentes excepto po un facto de popoconaldad, es dec, λm = P M, sendo λ el ctado facto, o facto de escala. La matz P se denomna matz de poyeccón y depende de los paámetos extínsecos e ntínsecos. Paa detemna la foma de la matz de poyeccón se estuda cómo se elaconan las coodenadas del punto M, expesadas en base a las coodenadas del mundo (ejes XYZ de la fgua 2..), con las coodenadas del punto m, expesadas en efeenca a las coodenadas nomalzadas de la magen (ejes u n v n de la ctada fgua)

28 Calbacón de cámaas fjas Poyeccón 3D-2D. Convesón de las coodenadas de la cámaa ( ) c z c, y c x, a las del plano de la magen (u, v). Basándose en la geometía de la poyeccón, podemos elacona estas coodenadas medante la dstanca focal (f): c c c y v x u z f = = A pat de esta elacón se constuye la matz de poyeccón pespectva: = c c c y x z f v u En coodenadas homogéneas: = c c c Z Y X f f S V U 2. Tansfomacón Cámaa-Imagen. Paso de las coodenadas del plano de la magen (u, v) a las nomalzadas de la magen (u n, v n ). Se tata de un cambo de coodenada del sstema (c, u, v) al (c n, u n, v n ). Paa ello, hay que suma vectoalmente a m la poscón de c especto a c n como se ndca en la fgua 2.2. Fg 2.2. Cambo de coodenada del sstema (c, u, v) al (c n, u n, v n ). Las coodenadas además, dejan de expesase en mlímetos y pasan a expesase en pxels medante los factoes de convesón. c u v v n u n c n m cm c c m c n n + =

29 Calbacón de cámaas fjas u n = d u u + u v n = d v v + v Con estos dos pmeos pasos queda consttuda la matz de paámetos ntínsecos (en adelante A) que elacona el punto 3D M c (efedo a las coodenadas de la cámaa) con el punto m n (efedo a las coodenadas nomalzadas de la magen). En coodenadas homogéneas: = c c c v u n n n Z Y X v d f u d f S V U (2..) n M c A m = Según se ha vsto, el sstema de coodenadas 3D de la cámaa no suele concd con el sstema de coodenadas de la escena que suele efese al objeto que se está estudando ( coodenadas del mundo ). Po ello, es necesao un nuevo cambo de coodenadas que elacone las coodenadas del mundo con las coodenadas de la cámaa. Este cambo de coodenadas coesponde a una tansfomacón 3D Euclídea que se ha estudado en el apatado.7 de la memoa. 3. Tansfomacón Escena-Cámaa Paso de las coodenadas del mundo (x, y, z) a las de la cámaa (x c, y c, z c ). Es un cambo de coodenadas defndo po una matz de otacón y tanslacón que se denomna matz extínseca. Pmeo se ealza una otacón alededo de los tes ejes: = z y x z y x (2.2.) M R M = Seguda de una tanslacón: + = z y x c c c t t t z y x z y x (2.3) t M M c + =

30 Calbacón de cámaas fjas Combnando las ecuacones 2.2. y 2.3. se obtene la ecuacón que ealza el paso de coodenadas del mundo a las coodenadas de la cámaa: t M R M c + = Donde R es la matz de otacón y t es el vecto de tanslacón. Según se ha vsto, esta expesón matcal se puede escb en coodenadas homogéneas medante la matz de paámetos extínsecos (en adelante [R t]): = Z Y X Z Y X c c c T t R (2.4) En conclusón, la expesón geneal de la matz de poyeccón que elacona un punto M de la escena 3D y su coespondente punto m de la magen es el esultado de multplca la matz de paámetos ntínsecos de la ecuacón 2. (A) y la matz de paámetos extínsecos de la ecuacón 2.4. [R t]: [ ] = = x x x v u t t t v d f u d f t R A = x x x v u t t t v d f u d f P (2.5) Po lo tanto, la expesón geneal que elacona un punto M de la escena con su coespondente punto m de la magen es: = Z Y X t t t v d f u d f V U x x x v u λ (2.6) M P m = λ El modelo que se ha ntoducdo no tene en cuenta los efectos de dstosón de la lente, po lo que a contnuacón se va a explca el poblema de la dstosón y su efecto en el modelo.

31 Calbacón de cámaas fjas Coeccón de la dstosón ntoducda po las lentes. El modelo pnhole no modela coectamente las lentes eales poque el cento óptco de estas lentes no es únco. La dstosón es la dstanca exstente ente la poscón deal dada po el sstema pnhole y la poscón eal que ocupa cada píxel en la magen. punto eal ( u', v' ) ( u v) punto deall, ( u,v ) φ δ δ φ Fg Relacón ente el punto deal y el punto eal. Podemos expesa la elacón ente el punto eal y el punto deal con las sguentes ecuacones: u ' ' = u + δ ( u, v) v = v + δ ( u, v) u v Donde δ u epesenta la dstosón de la coodenada u del punto eal especto al punto deal, y δ v epesenta la dstosón de la coodenada v del punto eal especto al punto deal. Exsten dos tpos pncpales de dstosón: o Dstosón adal (es más apecable cuanto más alejado se está del punto pncpal). Se poduce en cámaas de gan angula donde la dstanca focal es muy cota. La Fg. 2.4 muesta el efecto de esta dstosón. Fg Dstosón adal

32 Calbacón de cámaas fjas Un modelo utlzado fecuentemente paa las ecuacones de coeccón son: a a a a a f v v f u u y x = + = δ Donde δ es la dstanca adal ente el punto eal y el punto deal como se muesta en la fgua 2.3; los paámetos a son los témnos del polnomo de coeccón. o Dstosón tangencal: debdo a la no pependculadad ente el eje óptco de la lente fja y el plano magen. La Fg. 2.5 muesta el efecto de esta dstosón Fg. 2.5.Dstosón tangencal. Las ecuacones de coeccón son dfeentes paa cada coodenada: ( ) ( ) v u p v p u v p u p v u = + + = φ φ δ δ Sendo u φ δ y v φ δ las componentes u y v de la dstanca tangencal φ δ ente el punto eal y el punto deal como se muesta en la fgua; p y p 2 son dos paámetos de segundo oden con los que se modela la dstosón Paa ealza la coeccón, se añaden estos témnos a las coodenadas deales del modelo pnhole. La dstosón de cada coodenada se expesa de la sguente foma: ) cos( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) cos( ) ( ), ( φ φ δ φ δ δ φ φ δ φ δ δ φ φ + = = sen v u sen v u v u (2.7.) donde es la dstanca ente el punto poyectado en la magen y cento de la magen, y φ es la dstanca angula ente el punto poyectado en la magen y el eje hozontal u de la magen. ognal magen dstosón tan gencal u v

33 Calbacón de cámaas fjas 2.2. Métodos de calbacón de cámaa. Como se ha señalado en el apatado anteo, el poceso de calbacón de una cámaa consste en estma sus paámetos extínsecos e ntínsecos. Los métodos de calbacón cláscos paten de una escena conocda: se stúan una see de puntos 3D cuyas poscones especto al sstema de coodenadas del mundo 3D son conocdas. Esto equee una pepaacón exhaustva de la escena. Fente a los métodos cláscos se stúan los métodos de autocalbacón, que se caactezan po no necesta el conocmento de nngún dato de la escena y que seán desaollados en el sguente capítulo. La clasfcacón de los métodos de calbacón se ealza en funcón de los sguentes cteos: Clasfcacón en cuanto a la computacón: Lneal: aquellos que usan técncas de esolucón de sstemas de ecuacones lneales. Tenen las ventajas de se muy smples de mplementa y muy ápdos. Ejemplos de estos métodos son [Faugeas, 986] y [Hall et al., 982]. No lneal: se basan en la utlzacón de métodos teatvos. Suelen necesta una apoxmacón ncal que se obtene medante algún método lneal. Son más lentos peo pemten esolve sstemas de cámaa más complejos. Ejemplos de estos métodos son [Tsa, 987] y [Zhang, 998]. Clasfcacón en cuanto a la obtencón de los paámetos: Explícta: se obtenen dectamente los valoes de cada uno de los paámetos que foman el modelo de la cámaa. Ejemplos de estos métodos son [Batsta et al., 998] y [Tsa, 987]. Implícta: se obtene pmeo la matz de poyeccón y a pat de ella se calculan los paámetos. Ejemplos de estos métodos son [Faugeas, 986] y [Zhang, 998]. En este apatado se van a estuda dos métodos de calbacón. El pme método que se va a estuda es el popuesto po Faugeas. Este método está basado en una tansfomacón lneal decta y popone una solucón homogénea utlzando una estccón en cuanto al vecto de otacón del eje z. Se ha escogdo este método po se un buen ejemplo paa comenza en el estudo de la calbacón de cámaas. El segundo que se va a estuda es el popuesto po Zhang. La azón de eleg este método es que supone un paso muy mpotante en una de las líneas báscas del estudo de la calbacón de cámaas: la smplfcacón del tabajo pevo necesao paa pepaa la escena. Este es uno de los objetvos del poyecto po lo que se ha consdeado fundamental su estudo. Esta smplfcacón se basa en el hecho de utlza un patón de efeenca del que se toman vaas mágenes paa no tene que pepaa y med los puntos de la escena. El método de Zhang se consdea un paso ntemedo ente la calbacón y la autocalbacón

34 Calbacón de cámaas fjas Método de Faugeas [Faugeas, 986] El poceso de calbacón se ealza en dos pasos. Pmeo se estma la matz de poyeccón P, y después se estman los paámetos ntínsecos y extínsecos de la cámaa a pat de la matz de poyeccón estmada en la fase anteo. Este método esuelve la calbacón medante la descomposcón en valoes sngulaes de una matz que foma el sstema de ecuacones que poyecta un punto del espaco en el plano magen de la cámaa. Lo que se obtene es una matz de poyeccón a pat de la cual se extaen todos los paámetos, tanto los extínsecos (taslacón y otacón del patón especto a la cámaa) como los ntínsecos (cento del eje óptco, factoes y factoes de escalado). El método de Faugeas no tene ene cuenta la dstosón ntoducda po las lentes, po lo que no la coge. Paa ealza el método de Faugeas úncamente es necesao una magen.. Estmacón de la matz de poyeccón P. Como ya se ha ndcado, la matz de poyeccón P epesenta la tansfomacón ente los puntos 3D de la escena y la poscón de los puntos 2D coespondentes en la magen (ecuacón 2.6). λ m = P M (2.8) Se pate de n coespondencas m M, (,...,n) =, donde M es un punto de la escena de coodenadas conocdas y m es su coespondente punto de la magen, de coodenadas tambén conocdas.. El objetvo es calcula la matz P a pat de n ecuacones (2.8) asocadas a las n coespondencas. Cada coespondenca genea dos ecuacones: u p = (2.9) p 3 X + p X + p 32 Y + p Y + p 33 Z + p Z + p 34 v p = (2.) p 3 X + p X + p 32 Y + p Y + p 33 Z + p Z + p 34 donde (u, v ) son las coodenadas del punto de la magen m, (X,, Y, Z ) son las coodenadas del punto de la escena M, y p jk son los elementos de la matz P

35 Calbacón de cámaas fjas S en las ecuacones (2.9) y (2.) se pasa el denomnado multplcando al oto lado de la ecuacón, se obtenen dos ecuacones lneales con los elementos de la matz P como ncógntas. u v ( p3 X + p32 Y + p33 Z + p34 ) = p X + p2 Y + p3 Z p4 (2.) + ( p3 X + p32 Y + p33 Z + p34 ) = p2 X + p22 Y + p23 Z p24 (2.2) + Estas ecuacones se eodenan como: X Y Z X Y Z u v X X u v Y Y u v Z Z u v p = (2.3) donde p es un vecto que contene los 2 elementos de la matz P: p = [ p p p p p p p p p p p ] T p Se consdean 2n ecuacones lneales semejantes a las de la ecuacón (2.3) a pat de n coespondencas ente puntos (n 6) paa foma un sstema de 2n ecuacones lneales. Este sstema se denota como: L p = (2.4) donde L es una matz de dmensón 2n x 2. En geneal este sstema no tene una solucón exacta, peo se puede obtene una solucón lneal medante el autovecto coespondente al autovalo más pequeño que mnmza L T L. O, de foma equvalente, con el vecto coespondente al valo sngula más pequeño de la SVD (Sngle Value Descomposton o descomposcón en valoes sngulaes) de L. La heamenta SVD se defne en el anexo A de esta memoa. Al calcula explíctamente los coefcentes de P en funcón de los paámetos que componen la matz de poyeccón, se encuenta la patculadad de que[ 3, 32, 33 ] = [ p3, p32, p33 ], donde [ 3, 32, 33] coesponde a la tecea fla de la matz de otacón. Como esta matz es otonomal, la noma de sus vectoes fla o columna es la undad = Po lo tanto mpone esta estccón en P supone nomalzala, es dec, se dvden todos los elementos de la matz po: p p32 p

36 Calbacón de cámaas fjas 2. Estmacón de los paámetos extínsecos e ntínsecos a pat de la matz de poyeccón. Paámeto Tpo Valo Vecto de otacón 3 Extínseco 3 = p 3 Coodenada u del cento óptco Intínseco u o = p p3 Coodenada v del cento óptco Intínseco v o = p 2 p3 Facto de escala α = f k u Intínseco p2 α = f k u = p Facto de escala β= f k u Intínseco p3 β = f k v = p Vecto de otacón Vecto de otacón 2 Vecto de tanslacón en el eje x, t x Vecto de tanslacón en el eje y, t y Extínseco Extínseco Extínseco Extínseco t x t y 2 = α = β = α = β 2 ( p u p ) 3 ( p v p ) 2 ( p u p ) ( p u p ) Vecto de tanslacón en el eje z, t z Extínseco t z = p34 Tabla 2.. Paámetos de la cámaa calculados según el método de Faugeas La pncpal ventaja de este método es que es muy ápdo de computa. Como pncpal desventaja pesenta que no ncluye la dstosón (adal y tangencal) po lo que los esultados son poco exactos. Además exge conoce el punto M de la escena 3D. En muchos métodos teatvos se pueden utlza los esultados de este método como apoxmacón ncal paa obtene la matz de tansfomacón (P), como ocue en [Zhang, 998]

37 Calbacón de cámaas fjas Método de Zhang [Zhang, 998][Zhang, 2] Zhang popone una técnca de calbacón basada en la obsevacón de una plantlla plana como la de la fgua 2.5 desde vaas poscones. A dfeenca del método de Faugeas, el método de Zhang utlza vaas mágenes dstntas. Fg Plantlla plana. La ventaja de este método de calbacón con especto al esto de los métodos es que pemte obtene los paámetos de la cámaa fáclmente a pat de una plantlla plana sn necesdad de conoce las poscón de los puntos M de la escena que se van a utlza paa ealza la calbacón. La azón es que se elgen las coodenadas del mundo de tal foma que dos de sus ejes concden con los lados de la plantlla, y el teceo (Z) es pependcula a esta. Esto hace que sea una técnca muy flexble ya que no equee una pepaacón exhaustva de la escena. Paa que el método funcone coectamente se necestan al menos tes mágenes con la plantlla tomada en dstntas oentacones. Este númeo de mágenes puede se nfeo s se fjan los valoes de algunos paámetos ntínsecos. Po ejemplo, s no se calcula la otogonaldad del plano magen, sólo son necesaas dos mágenes. El modelo de cámaa que utlza es el pnhole. La poyeccón de un punto M de la escena en un punto m de la magen vene dada po la ecuacón (2.6.): λ m = P M donde λ es un facto de escala dado que las coodenadas de los puntos son homogéneas. Como ya se ha ndcado en la ecuacón (2.5), la matz de poyeccón P es el poducto de la matz de paámetos ntínsecos A y la matz de paámetos extínsecos [R t]. Po lo que la ecuacón (2.6) se puede escb de la sguente foma: λ m = A [R t] M El método de Zhang no supone que los ejes del plano de la magen sean otogonales. Po ello, ntoduce un nuevo paámeto ntínseco que mde esta pédda de otogonaldad. En el caso de que los ejes fuesen pefectamente otogonales, el valo de este paámeto seía la undad (como supone el modelo tadconal pnhole)

38 Calbacón de cámaas fjas Al añad el paámeto que mde la pédda de otogonaldad (γ ), la matz de paámetos ntínsecos en el modelo de Zhang tene la foma: α A = γ u v β sendo α = ( s d u f) y β = (d v f) los factoes de escala en el eje u y v; (u, v ) las coodenadas del punto pncpal de la magen, y γ el paámeto que epesenta la pédda de otogonaldad de los ejes en la magen. Se ha cambado la notacón de los factoes de escala paa utlza la msma nomenclatua que utlza Zhang al explca su método. Como el método asume que el sstema de coodenadas del mundo eal se adapta a la popa plantlla, los puntos M de la escena que se van a utlza paa ealza la calbacón están colocados de foma que su coodenada z =. El modelo λ m = A [R t] M se educe elmnando la componente z. Defnendo los R = : vectoes columna de la matz de otacón como [ ] 2 3 [ R t] M = λ A [ t] M = A [ t] M m = λ A 2 3 λ 2 (2.5.) Es dec se tansfoma el modelo ncal en una homogafía H que elacona los puntos de la plantlla plana del escenao con sus coespondentes en la magen. λ m = H M (2.6.) Sendo 2 t x H = A [ 2 t] 2 22 t y = A (2.7) 3 23 t z El objetvo del método de Zhang es obtene los paámetos de la cámaa a pat de n m coespondencas,..., n j =,..., m con m 3, donde el subíndce m M, ( = ), ( ) j ndca el punto utlzado y el subíndce j la magen utlzada. Paa ello, el método de Zhang sgue los sguentes pasos:

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