Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

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2 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo de volúmenes. Cálculo de densidd y centros de ms, velocidd y trjo.

3 Integrl definid En el símolo de l integrl los números y se denominn límites de integrción ( es el límite inferior y es el límite superior).

4 Teorem fundmentl del Cálculo L primer prte de este teorem firm que si F (l primitiv) corresponde l integrl de un función f, luego: F (x)=f(x) Esto es: L derivd es l operción invers de l integrl. l segund prte dice que si f(x) es un función continu en [, ] y F es un primitiv de f en [, ] entonces: x f dx F( ) F( ) Pr plicrlo se v utilizr l siguiente notción: x x f dx F F( ) F( )

5 Propieddes de l Integrl Definid Se f(x) un función integrle en [, ], entonces: 1. Si k es culquier constnte entonces: kf x dx k xdx 2. Si g(x) es un función integrle en [, ], entonces: f f x gxdx f xdx gxdx 3. Se c є [, ], es decir, c. Entonces f es integrle en [, ], si solo si f es integrle en [, c] y en [c, ]: f c xdx f xdx f xdx c

6 4. L integrl definid sore un punto es cero, esto es: f xdx 0 5. L integrl definid de de f es igul menos l integrl definid de de f, es decir: f x dx f xdx 6. Cundo l función f (x) es myor que cero, su integrl es positiv; si l función es menor que cero, su integrl es negtiv.

7 Integrl definid: Interpretción Geométric En l figur l región es el áre jo l curv, y est limitd en su prte superior por l gráfic de un función continu no negtiv f, en su prte inferior por el eje x, su izquierd por l rect x = y su derech por l rect x =.

8 R

9

10 Áre jo l curv de un función continu en en el intervlo [,] : =

11 L integrl definid o áre jo l curv Áre jo l curv f(x)dx f(x)

12 GRÁFICAS DE FUNCIONES Técnics pr simplificr el trjo de grficr: ) Intersección con los ejes crtesinos: Intersección con el eje X. se sustituye en l ecución el vlor cero pr x Intersección con el eje Y: se despej x y se sustituye el vlor cero pr y Se utilizn los dos puntos (0,y) y (y,0) como referente del trzdo de l gráfic

13 GRÁFICAS DE FUNCIONES ) Simetrí: ) Simetrí: Con respecto l origen. Si pr cd punto (x,y) en l gráfic tmién existe el punto (-x,-y) en ell. Lo compromos si remplzndo y por y y x por x otenemos un ecución equivlente.

14 GRÁFICAS DE FUNCIONES c) L primer derivd: Deemos recordr que l primer derivd represent l tngente l curv en un punto de ell, si l igulmos cero el punto de referenci es un máximo o un mínimo. d) L segund derivd y puntos de inflexión El signo de l segund derivd nos dice si l concvidd de l curv, si es (+) se trt de un mínimo y l curv es cóncv hci rri, si es (-) se trt de un máximo y l curv es cóncv hci jo. Si igulmos cero l segund derivd estremos definiendo los posiles puntos de inflexión

15 GRÁFICAS DE FUNCIONES FUNCIONES CUADRÁTICAS Ls funciones cudrátics tienen un o ls dos vriles elevds l cudrdo. Ls más comunes son ls cónics que tienen l ecución generl: De l cul derivn ls formuls generles prticulres: Circunferenci Práol verticl Práol horizontl Elipse Hipérol horizontl Hipérol verticl

16 GRÁFICAS DE FUNCIONES IMPORTANTES y = x² + 2 y = x² - 2 y = -x² + 2 y = (x+2)² y = (x-2)²

17 Ejemplo 1 Clculr el áre delimitd por l curv y = 4x - x 2 y el eje OX. Pr hllr el áre seguiremos los siguientes psos: 1º Se clculn los puntos de corte con el eje OX, hciendo f(x) = 0 y resolviendo l ecución. 2º El áre es igul l integrl definid de l función que tiene como límites de integrción los puntos de corte.

18 Ejemplo 2 Si l función es negtiv en un intervlo [, ] entonces l gráfic de l función está por dejo del eje de sciss. El áre de l función viene dd por un viene dd por: Clculr el áre delimitd por l curv y = x 2 4x y el eje OX.

19 Ejemplo 3. Hllr el áre limitd por l curv y = cos x y el eje OX entre y

20 Ejemplo 4 Cundo l función define tiene zons por encim y por dejo del eje de sciss. Pr clculr el áre de l función seguiremos los siguientes psos: 1º Se clculn los puntos de corte con el eje OX, hciendo f(x) = 0 y resolviendo l ecución. 2º Se ordenn de menor myor ls ríces, que serán los límites de integrción. 3º El áre es igul l sum de ls integrles definids en vlor soluto de cd intervlo. Clculr el áre de ls regiones del plno limitd por l curv f(x) = x 3 6x 2 + 8x y el eje OX.

21 ÁREA COMPRENDIDA ENTRE DOS FUNCIONES El áre comprendid entre dos funciones es igul l áre de l función que está situd por encim menos el áre de l función que está situd por dejo.

22 Áre entre dos funciones que se cortn R Y f(x) g(x) c X Áre (R) = [f(x) - g(x)] dx + c [g(x) - f(x)] dx

23 Ejemplo 5 Clculr el áre limitd por l curv y = x 2-5x + 6 y l rect y = 2x. En primer lugr hllmos los puntos de corte de ls dos funciones pr conocer los límites de integrción.

24 De x = 1 x = 6, l rect qued por encim de l práol.

25 Ejemplo 6 Clculr el áre limitd por l práol y 2 = 4x y l rect y = x. De x = 0 x = 4, l práol qued por encim de l rect.

26 Ejemplo 7 Clculr el áre limitd por ls gráfics de ls funciones 3y =x 2 e y = x 2 + 4x. Hllmos los puntos de corte de ls funciones, con ello encontrmos los límites de integrción.

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28 Ejemplo 8 Hllr el áre de de l región limitd por ls funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugr hllmos el punto de intersección de ls funciones: L gráfic del coseno qued por encim de l gráfic del seno en el intervlo de integrción. x=0

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