En diferentes campos de la actividad científica se encuentran casos en los que ciertos experimentos u observaciones, pueden repetirse varias veces

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1 CAPÍTULO 5 SUCESOS ALEATORIOS E diferetes capos de la actividad cietífica se ecuetra casos e los que ciertos experietos u observacioes, puede repetirse varias veces bajo siilares codicioes, dado para cada observació aislada u resultado deteriado. Siilarete a los juegos de azar existe uchos ejeplos de experietos cietíficos que se preseta e Física, Biología, Medicia y deás raas del saber, e dode se pretede ateer bajo cotrol todas las codicioes que puede ejercer ifluecia sobre el experieto, de tal fora que su repetició sea lo ás uifore posible, si ebargo aparece ua variabilidad itríseca que o es posible doiar. Debido a esta variabilidad, el resultado del experieto varía de fora irregular e las repeticioes sucesivas, y el resultado de ua repetició idividual o puede predecirse exactaete. Esto sigifica que por ejeplo, las edicioes de ua catidad física, o dará por lo geeral resultados idéticos. Esta variabilidad, aleatoria e ipredecible aparece coo ua característica doiate e todos los experietos repetidos y se tiee la costubre de iputar tales variacioes a los errores de edida, cuado e verdad la causa de la variació elude el cotrol. E tal caso direos que estaos ate u experieto aleatorio u observació aleatoria. E coclusió direos que si el resultado de u experieto varía de ua repetició a otra, dicho experieto es aleatorio. So evetos que tiee lugar e fora ipredecible, coo sucede co la desitegració de los átoos e ua uestra uclear radiactiva. El feóeo coocido coo desitegració uclear cosiste e que espotáeaete los úcleos de átoos co u úero ásico (A=Z+N; Z=úero de eutroes; N=úero de eutroes) grade eite e fora ipredecible diversa clase de partículas (,,,...) trasforádose e otra clase de úcleos, por lo geeral ás estables. Este proceso puede durar fraccioes de segudo o años eteros, depediedo del aterial, pero para cada clase de úcleos o podeos saber co exactitud e que tiepo se produce el feóeo de desitegració. Por este otivo, catalogaos este experieto detro de los sucesos aleatorios ó estocásticos. Cuado por ejeplo, se tiee u gas ideal (gas soetido a bajas presioes y altas teperaturas, para asegurar que la iteracció etre las oléculas sea pequeña; coo ocurre co las el aire que respiraos, que a la teperatura abiete puede cosiderarse, para la ayoría de fies, coo ua ezcla de gases ideales), las colisioes que se produce etre las oléculas so de carácter estrictaete aleatorio, es decir so ipredecibles. El estudio de los procesos aleatorios se fudaeta e la teoría de la probabilidad, que e la actualidad es ua raa de las ateáticas, cuyo capo de aplicació se extiede sobre todas las raas de las ciecias aturales, técicas y sociales. La teoría ateática de los juegos de azar desarrollada hace ás de tres siglos dio orige al fudaeto ateático de la teoría de la probabilidad. E todos los juegos corrietes de azar co dados, cartas, ruletas y otros aparatos seejates, cada ua de las jugadas debe dar u resultado de etre u úero de ellos posibles, represetado por las seis caras del dado, los treita y siete casos de la ruleta, las 52 cartas de ua baraja, etc. Si el aparato de juego esta correctaete hecho y el juego se realiza e fora adecuada, o es posible predecir de ateao cual de estos resultados posibles se va a obteer e ua jugada deteriada. No podeos predecir, si e la próxia tirada co ua oeda, va a salir cara o sello, y aálogaete e otros casos. Pues bie: esta isa iposibilidad de predicció costituye la aleatoriedad, el eleeto que caracteriza la falta de certeza, es decir, el azar del juego. Por otra parte, existe etre los diversos resultados posibles de aquel ua sietría recíproca, que os hace cosiderar todos estos resultados coo equivaletes desde el puto de vista del juego. E otras palabras, cosideraos que es igualete favorable para u jugador arriesgar su apuesta a uo cualquiera de los resultados posibles. Supogaos u juego e el que se de esas codicioes, cada vez que se hace ua jugada se obtedrá coo resultado uo de etre cierto úero de ellos, o casos posibles, y etre estos existe ua sietría utua del tipo que acabaos de idicar. Si deotaos por c el úero total de casos posibles y si este puede dividirse e u grupo de casos favorables, que deotareos por a y otro grupo de casos desfavorable que deotareos por (c- a), u jugador A, segú las reglas del juego, llevaría iplícito que gaase para cualquiera de los casos favorables a y que por el cotrario perdiese e presecia de cualquiera de los casos desfavorables (c- a). El cociete etre el úero de casos favorables a y el úero total de casos posibles, llegó a coocerse coo la probabilidad del hecho que cosistía e que el jugador A gaase. Esta apreciació codujo a la faosa defiició clásica de probabilidad, que dice así: La probabilidad de que se presete deteriado suceso es igual al cociete del úero de casos que so favorables a este suceso, por el úero de casos posibles, co tal que todos estos casos sea utuaete siétricos. E Física aparece la icertidubre debido a la icapacidad del hobre de eteder todos los efectos y causas e hechos que so iheretes a la aturaleza isa del problea. Coo resultado de la icertidubre, uca se puede predecir copletaete el futuro de u suceso, sio ás bie cosiderar la posibilidad de la ocurrecia de sucesos particulares y luego deteriar su verosiilitud. Los sucesos iciertos debe ser cosiderados ediate la teoría de probabilidades, la cual trata foralete los experietos físicos y sus resultados. Por la razó aterior, e física se estudia dos tipos de procesos: Aleatorios o Estocásticos y Deteriistas. Los deteriistas se describe, e la ayoría de los casos, a través de odelos ateáticos por edio de ecuacioes difereciales. E estos odelos a partir de ua codició iicial e u tiepo dado, siepre es posible predecir el coportaieto del sistea uívocaete, e u tiepo posterior. E los procesos estocásticos al cotrario, sólo es posible predecir la probabilidad del coportaieto de diferetes variates. Los procesos estocásticos se estudia e ua parte de la ateática, llaada Teoría de Probabilidades. E esta teoría se cosidera los úeros aleatorios y los procesos aleatorios. Para aalizar estos procesos, es ecesario elaborar prograas especiales, para que el coputador produzca estos úeros aleatorios. A este tipo de prograas se le llaa geeradores de úeros aleatorios. Los étodos elaborados e esta parte de la ateática se puede usar, o sólo para aalizar procesos estocásticos, sio tabié procesos deteriistas. Por ejeplo, si se estudia u proceso deteriista del creciieto de u cristal, e este étodo se agrega átoos al azar y se prueba, por ejeplo la eergía; cada vez que se agrega u átoo al sistea y se acepta el caso cuado la eergía del sistea es íia. Para siular estos procesos, se utiliza los geeradores de úeros aleatorios. A todo el cojuto de étodos, que utiliza geeradores de úeros aleatorios para siular procesos, se les llaa étodos de Mote Carlo. E los últios años estos étodos se usa apliaete o sólo e la Física y e la Mateática, sio tabié, e Biología, Quíica, Medicia, Ciecias Sociales, etc.

2 5. PROBABILIDAD Cualquier odelo realista de u feóeo e el udo real debe teer e cueta la posibilidad de la aleatoriedad. A fi de costruir u odelo y poder hacer su subsiguiete aálisis, debeos teer u verdadero coociieto sobre las bases de la TEORÍA DE LA PROBABILIDAD la cual estudia SUSECOS, FUNCIONES y PROCESOS ALEATORIOS. Los sucesos se llaa aleatorios si e u experieto este puede suceder o o de fora ipredecible. Si u suceso A que se sucede veces e ua serie de N repeticioes del iso experieto la razó fa NA N defie la frecuecia de aparició del suceso, la cual satisface la codició evidete: 0 f A (5.) El líite de este valor cuado el úero de repeticioes tiede al ifiito se cosidera coo la probabilidad de aparició del suceso A: li f A P A, (5.2) N léase probabilidad del suceso A La probabilidad evideteete tabié satisface la desigualdad: 0 P ( (5.3) Es decir, la probabilidad de que el suceso A ocurra, está copredida e el itervalo etre 0 y, icluidos los valores extreos. El suceso A, geeralete se llaa suceso aleatorio. Para u suceso A cierto, es decir, para u hecho que se presete ecesariaete cada vez que se realiza el experieto la probabilidad de u suceso cierto es siepre igual a. Para u suceso A iposible, es decir, u hecho que o puede presetarse uca al realizar u experieto la probabilidad es siepre igual a cero. Dos sucesos A y B so idepedietes si la probabilidad de uo cualquiera de los dos sucesos es idepediete de la presecia o ausecia del otro. U suceso aleatorio A correspodiete a la situació cuado el suceso A o sucede se llaa suceso opuesto a A. Evideteete, la sua de las probabilidades de cualquier suceso A y de su opuesto A siepre es igual a la uidad: P ( (5.4) 5.. CONJUNTOS DE SUCESOS ALEATORIOS Ua colecció de todos los posibles resultados de u experieto se llaa el cojuto de sucesos aleatorios. Los eleetos de u cojuto de este espacio se deoia putos uestrales, cada uo de los cuales está asociado co uo y sólo u resultado distito. Cosidereos que estaos próxios a realizar u experieto cuyo resultado o es predecible por adelatado. Si ebargo supogaos que se cooce el cojuto de todos los posibles resultados, auque o se coozca aticipadaete el resultado particular del experieto. El cojuto de todos los posibles resultados de u experieto es coocido coo espacio uestral del experieto y se deota por S. Alguos ejeplos so los siguietes:. Si el experieto cosiste e lazar ua oeda, etoces: S={C, O}, dode C sigifica que el resultado del lazaieto es cara y O que es el lado opuesto a la cara, que por lo geeral se deoia sello. 2. Si el experieto cosiste e lazar u dado, etoces el espacio uestral es S={,2,3,4,5,6}, dode el resultado i sigifica que i aparece sobre el dado, i=,2,3,4,5,6. 3. Si el experieto cosiste e el lazaieto de dos oedas etoces el espacio uestral cosiste de los siguietes cuatro putos: S={(C,C),(C,O),(O,C),(O,O)}. El resultado será (C,C) si abas oedas queda co la cara arriba; será (C,O) si la priera oeda queda co la cara arriba y la seguda co el lado opuesto (sello) arriba; será (O,C) si e la priera oeda queda el sello arriba y la seguda queda co cara arriba, y será (O,O) si abas oedas queda co sello arriba. 4. Si el experieto cosiste de dos dados, etoces el espacio uestral cotiee 36 putos: (,), (,2), (,3), (,4), (,5), (,6) (2,), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (3,), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) S (4,), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (5,), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) (6,), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) U suceso A es ua colecció de putos uestrales del espacio uestral S de u experieto. Por lo geeral, los sucesos se desiga co las letras del alfabeto. Se deoia suceso siple, si costa de u solo puto uestral, y copuesto si costa de dos o ás putos uestrales. El copleeto A c de u suceso A, costa de todos los putos uestrales del espacio uestral del experieto que o perteezca a A, así que el copleeto de u suceso es tabié u suceso. Nótese que A c ocurrirá si y solo si A o ocurre. E el ejeplo (4), si A={(,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,)}, etoces A c ocurrirá si la sua de los úeros que resulta al lazar los dados es c diferete de siete. Tégase e cueta que S. Los sucesos puede estar relacioados de diferetes aeras. Si dos sucesos o tiee putos e coú, se deoia utuaete excluyetes o disyutos. N A

3 Cuado cosideraos u experieto cuyo espacio uestral es S, para cada eveto A del espacio uestral S, defiios el úero, correspodiete a la probabilidad del eveto A, de tal aera que satisfaga las siguietes tres codicioes:. 0 P ( 2. P ( S) 3. Para cualquier secuecia de evetos A, A 2,...que sea utuaete excluyetes, esto es, evetos para los cuales A A dode, etoces P A A ). Puesto que los sucesos A y A c so siepre utuaete excluyetes y puesto que A A c S, de las codicioes (2) y (3) que satisface la defiició de probabilidad de u eveto, se sigue que: S) A A ) A ). E otras palabras, la probabilidad de que u eveto o ocurra es eos la probabilidad de que el eveto ocurra. A cada puto del espacio uestral de u experieto se le asiga u úero llaado edida de la probabilidad. Las frecuecias relativas so ua explicació satisfactoria de la edida de la probabilidad asigada a u puto uestral. Si se le asiga ua edida de probabilidad p a u puto de u espacio uestral, sigifica que si se hiciera esayos repetidos del iso experieto ua y otra vez, digaos veces y se cotara el úero de veces que fue observado el suceso siple asociado co este puto, la razó a sería uy cercaa a p. Frecueteete se dice por ejeplo, que la probabilidad de que salga cara al lazar ua oeda es /2. La experiecia deuestra que esto es uy cercao al resultado obteido cuado se hace u gra úero de lazaietos de ua oeda bie equilibrada, es decir co desidad de asa uifore. Esta iterpretació de la edida de la probabilidad se cosidera coo ua propiedad de ciertos feóeos repetitivos. La frecuecia relativa puede servir coo base para la iterpretació sigificativa de la edida de la probabilidad. Co la teoría de probabilidades se puede obteer la edida de la probabilidad para uchos experietos, partiedo de ciertos supuestos acerca del ecaiso físico que geera los sucesos observados. Las probabilidades asigadas a los sucesos de u espacio uestral, debe cuplir las siguietes codicioes, que deoiareos axioas: Axioa. La probabilidad de u suceso es u úero ayor o igual que cero y eor o igual que uo: 0 P ( (A.3.) Axioa 2. La probabilidad de u suceso S seguro, es la uidad: P ( S) (A.3.2) dode S es el suceso asociado a todos los putos uestrales e el espacio uestral. Axioa 3. La probabilidad de la uió de dos sucesos utuaete excluyetes, es la sua de las probabilidades de estos dos sucesos: A (A.3.3) Las frecuecias relativas observadas ipoe alguas restriccioes a las probabilidades. Si e u experieto que se realiza veces puede presetarse k resultados posibles, las frecuecias relativas F i so: F ; 2 F2 ; 3 F3 ; k F,, 2, dode 4 (A.3.5) correspode al úero de veces e que fue observado cada resultado e particular. Cada frecuecia debe satisfacer el axioa, y la sua de las frecuecias debe satisfacer el axioa 2, así: 2 k 2 k (A.3.6) Podeos decir que la probabilidad de cada suceso siple está dada por el peso relativo y que el cojuto de pesos relativos se oraliza a. EJEMPLOS Ejeplo:. Cuál es la probabilidad de obteer cara, al lazar ua oeda? Teiedo e cueta la probabilidad p ( de ocurrecia del suceso A, etre u úero N de casos posibles se defie ediate: Sucesos o casos favorables f p( (A.4.) Sucesos o casos posibles para el caso particular, la probabilidad de obteer cara, al lazar ua oeda es: 2, f, p( C) 0.5 (A.4.2) 2 Ejeplo 2: Cuál es la probabilidad de que cuado se laza u dado se obtega la cara dode está arcados tres putos? De acuerdo a la defiició de probabilidad clásica dada por la expresió (A.4.), teeos que: 6, f, p(3) 0.67 (A.4.3) 6 Ejeplo 3: Cuál es la probabilidad de sacar u as de ua baraja de 52 cartas que solo tiee cuatro ases? c c

4 Utilizado la defiició (A.4.), se tiee: 4 52, f 4, p( as) (A.4.4) 52 3 Ejeplo 4: Ua ura cotiee 3 bolas rojas, 5 blacas y 4 azules. Cuál es la probabilidad de que al sacar ua bola, esta sea: (a) roja; (b) blaca; (c) azul. (a) La probabilidad de sacar ua bola roja se obtiee utilizado la defiició (A.4.), así: 3 f 3. 2, p( R) 0.25 (A.4.5) 2 4 (b) La probabilidad de sacar ua bola blaca se obtiee utilizado la defiició (A.4.), así: 5 f 5, 2, p( 0.47 (A.4.6) 2 (c) La probabilidad de sacar ua bola azul se obtiee utilizado la defiició (A.4.), así: 4 f 4, 2 p( (A.4.7) 2 3 Ejeplo 5: Dos oedas se laza siultáeaete. Cuál es la probabilidad de que se obtega dos caras? Casos posibles: (cara, cara); (cara, sello); (sello, sello); (sello, cara) = 4 Casos favorables: (cara, cara) = Usado la defiició (A.4.), se sigue que la probabilidad de obteer dos caras es: p ( C, C) 0.25 (A.4.8) 4 Ejeplo 6: Cuado se laza siultáeaete u dado y ua oeda, cuál es la probabilidad de obteer cara e la oeda y 5 putos e el dado? E este caso los dos sucesos so idepedietes, por tato: La probabilidad de obteer cara e la oeda es: p ( C) (A.4.9) 2 La probabilidad de obteer 5 putos e el dado es: p ( 5) (A.4.0) 6 La probabilidad de obteer cara e la oeda y la cara de 5 putos e el dado, se obtiee a partir de la expresió: p( A p( p( (A.4.) Por cosiguiete: p( C 5) p( C) p(5) (A.4.2) Ejeplo 7: Ua ura cotiee 3 bolas rojas y 5 azules. Si se extrae siultáeaete dos bolas, cuál es la probabilidad de que las dos sea rojas? Si desigaos por R, R2, R3 las bolas rojas y por A, A2, A3, A4, A5 las azules, los casos posibles so: R R2 R R3 R A R A2 R A3 R A4 R A5 R2R3 R2 A R2 A2 R2 A3 R2 A4 R2 A5 R3 A R3 A2 R3 A3 R3 A4 R3 A5 A2 A3 A2 A4 A2 A5 A3 A4 A3 A A Casos favorables: R R2 R R3 R2R3 3 (A.4.4) A =28 (A.4.3) Luego usado la defiició (A.4.) la probabilidad de extraer siultáeaete dos bolas sea rojas es: 3 p ( R, R) 0,07 (A.4.5) 28 Ejeplo 8: Cosidere que ua red cristalia plaa está forada por dos clases de átoos A y B. Cuál es la probabilidad de que al eos u átoo B sea vecio de u átoo A?

5 El úero de casos posibles que se puede teer, por ejeplo, cuado u átoo A está rodeado de cuatro átoos de clase A o B, dispuestos e fora equidistate, es 6. Por tato el úero de casos favorables es 5. Esto sigifica que de las 6 diferetes foras de distribuir cuatro átoos de dos clases diferetes A y B, existe quice e las cuales está presete u átoo de clase B. Luego la probabilidad de que al eos u átoo B sea vecio de u átoo A es: 5 p. (A.4.6) 6 Ejeplo 9: Supoga que ua red cristalia tridiesioal está forada por dos clases de átoos A y B. Cuál es la probabilidad de que al eos u átoo B sea vecio de u átoo A? Podeos cosiderar que, por ejeplo, u átoo A se ecuetra e el cetro de u cubo y que e cada vértice se ecuetra situado u átoo que puede ser de clase A o de clase B. Coo el cubo tiee 8 vértices, podeos decir que el átoo A está rodeado por ocho átoos, que puede dispoerse e u úero de foras diferetes, dado por: De esas disposicioes posibles solo existe ua que estaría forada por átoos de la isa especie, es decir, por átoos A. Luego las deás disposicioes posibles que icluye por lo eos u átoo B, so iguales a 255. Luego la probabilidad de que A tega por lo eos u vecio B es: 255 p (A.4.7) 256 A.5 PROPIEDADES DE SUCESOS ALEATORIOS Defiició : U cojuto de sucesos (A,B,C,...) se llaa aleatorio si cupliedo todas las codicioes del experieto puede suceder o o. Defiició 2: U suceso A cosiste e que el suceso A o sucedió, y se le llaa suceso opuesto para el suceso A. Defiició 3: U suceso "" que o puede presetarse uca al realizarse u experieto se llaa suceso iposible Defiició 4: U suceso que se preseta ecesariaete cada vez que se realiza u experieto se llaa suceso cierto y se deota e lo sucesivo por "U". Defiició 5: U suceso C= A+B se llaa sua de los sucesos A y B y cosiste e la aparició de al eos uo de estos sucesos Defiició 6: Sea el grupo copleto de sucesos C, C 2,...,C, co iguales probabilidades de aparició. Es decir, los sucesos C,C 2,...,C debe satisfacer las siguietes tres codicioes: ) C +C C = U 2) C i. C j =. Para ij 3) C ) = C 2 ) =... = C ) Aquí las dos prieras codicioes se deduce de la defiició de grupo copleto de sucesos. Coo e ejeplo del esquea clásico de uras cosidereos el grupo copleto de sucesos aleatorios C, C 2,...,C 6 que so las aparicioes de los úeros,2,3,4,5,6 respectivaete, después de lazar u dado. E este caso, es claro que los sucesos C,C 2,...,C 6 satisface las tres codicioes ateriores, puesto que e prier lugar, los sucesos o puede aparecer jutos, e segudo lugar, uo de estos sucesos ecesariaete siepre aparece, y al fi las probabilidades de la aparició de todos los sucesos so iguales gracias a la sietría del dado. Defiició 7: Si el suceso A aparece al eos por la realizació de uo de los procesos eleetales C,C 2,...,C (), es decir A= C +C C, etoces los sucesos C,C 2,...,C se llaa sucesos favorables a A y es el úero de sucesos favorables a A. Coo u suceso copuesto se cosidera el suceso A, que cosiste e la aparició de u úero par, es decir que aparezca el úero 2 o el úero 4 o el úero 6, e este caso A= C 2 +C 4 +C 6 y los sucesos C 2,C 4,C 6 so los sucesos eleetales favorables a A. Defiició 8: E el esquea clásico de las uras, la probabilidad del suceso aleatorio A es igual a la razó etre el úero "" de casos favorables a A respecto al úero total de casos posibles, es decir: A ) = / Ejeplos: ) Ua ura cotiee 0 bolas. De estas 6 so rojas y 4 so verdes. Si se extrae ua bola al azar, cuál es a probabilidad de que esta bola sea roja?. Sea,2,3,...,0 los úeros de las bolas y C,C 2,...,C 0 los sucesos aleatorios correspodietes a los hechos de que e el experieto se extrae la bola co el úero respectivo. Estos sucesos fora el grupo copleto de sucesos y adeás siedo las bolas iguales, las probabilidades so: C )= C 2 )=...= C 0 )= (/0). Si A es u suceso aleatorio que cosiste e extraer ua de las bolas rojas a las que previaete les heos asigaos los úeros,2,3,4,5,6, etoces A= C +C 2 +C 3 +C 4 +C 5 +C 6 y el úero de los casos favorables a A es =6. Coo =0 etoces. = (/)= (6/0)= ) Ua ura cotiee 0 bolas, 6 rojas y 4 verdes. Se extrae dos bolas al azar, cuál es la probabilidad de que ua bola sea roja y otra sea verde? El úero total de casos posibles es =0*0=00. E efecto, cada uo de los posibles resultados del experieto puede ser caracterizado por dos úeros (i, j), dode i es el úero de la priera bola y j el úero de la seguda bola. Coo i = j =,2,...,0, etoces todos los posibles resultados del experieto puede ser represetados e fora de ua tabla cuadrada co las diesioes 0x0. Los sucesos favorables puede ser los siguietes: Que la priera bola sea roja y la seguda bola sea verde (el úero de estos sucesos es de 6*4) o que la priera bola sea verde y la seguda sea roja (el úero de sucesos es 6*4), etoces el úero total de los sucesos favorables es:

6 =6*4+6*4=48. Por eso: = (/)= 48/00)= 0.48 Las probabilidades de los sucesos aleatorios tiee tres propiedades uy iportates: ) La probabilidad de u suceso iposible es cero: P 0 2) La probabilidad de u suceso cierto es uo: U)= 3) Si el suceso A aparece siepre que ocurra el suceso B (A, etoces A.6 TEOREMA DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Defiició : El suceso A se llaa idepediete del suceso B si la probabilidad de aparició del suceso A o depede del hecho de que aparezca o o aparezca el suceso B. Defiició 2: La probabilidad del suceso A deteriada por la codició del suceso B se llaa la probabilidad codicioal y se deota. Para los sucesos idepedietes = Ejeplos: ) Haciedo cola para el édico está 4 hobres y 6 ujeres que etra al azar al cosultorio del édico. El suceso D cosiste e el hecho de que el prier paciete que etra sea u hobre y el suceso A que el segudo paciete sea ua ujer. La probabilidad del suceso D es D)= (4/0) =0.4. La probabilidad del suceso A depede del hecho de si apareció ates o o el suceso D. Si el suceso D se preseta e la cola, etoces quedará 3 hobres y 6 ujeres y la probabilidad del suceso A teiedo e cueta el suceso D, es: D)= 6/9= 0.67 Si el suceso D o aparece sio que aparece el suceso D (es decir que la priera paciete es ua ujer), etoces e la cola quedará 4 hobres y 5 ujeres y la probabilidad e este caso, es: P ( D) 5/ Por lo tato e el caso cosiderado la probabilidad de que se presete el suceso A, depede de que se produzca o o el suceso D. 2) Se laza ua oeda al aire dos veces. El suceso A es que e la priera vez se obtega cara, y el suceso B es que e la seguda vez se obtega cruz. Claro que e este caso el suceso B o depede del suceso A y por eso P ( B / B / 0.5 Teorea de adició de probabilidades Deoteos por A y B dos sucesos, cada uo de los cuales puede presetarse o o e ua cualquiera de las veces que realizaos el experieto E. El suceso copuesto, que cosiste de la presecia de al eos uo de los dos sucesos A y B, lo podreos cosiderar coo la sua de los sucesos A y B y por tato lo deotareos por A+B. De aera aáloga, el suceso que cosiste e la presecia de A y B cojutaete, se cosiderará coo el producto de A y B, y por ello, lo represetareos por AB. La siguiete fórula se cooce regla de la adició de probabilidades: A+=+-A (A.6.2.) La probabilidad de la sua de sucesos es igual a la sua de la probabilidades de los sucesos eos la probabilidad del producto de los sucesos. Cuado dos evetos o puede presetarse siultáeaete se deoia utuaete excluyetes. E este caso, el producto AB es u suceso iposible, por tato su probabilidad A=0 Corolarios del teorea de adició ) La probabilidad de la sua de dos sucesos icopatibles o utuaete excluyetes es igual a la sua de las probabilidades de estos sucesos A+=+ (A.6.3.) Para los sucesos icopatibles, AB y P 0. 2) La sua de probabilidades de sucesos opuestos es igual a la uidad: + A )= (A.6.3.2) E efecto, para los sucesos opuestos teeos A+ A = U y A A =. Adeás U)= y P 0. 3) La probabilidad de la sua de tres sucesos puede ser calculada a través de la fórula: A+B+C)=++C)-A-BC)-AC)+ABC) (A.6.3.3) 4) La regla geeral de adició de u úero arbitrario de sucesos, está dada por: A +A A )=A )+A 2 )+...+A )-A A 2 )-A A 3 )-...A - A ) -+A A 2 A 3 )+A A 2 A 4 ) A -2 A - A )...(-) - A A 2...A ) (A.6.3.4) Las propiedades expuestas e los ateriores corolarios puede deducirse a partir de las siguietes proposicioes fudaetales de la teoría de probabilidades: ) Cualquier probabilidad es u úero o egativo 0 2) La probabilidad de u suceso cierto es igual a la uidad 3) Si los sucesos A y B so utuaete excluyetes se satisface la siguiete regla de adició: A+=+

7 Teorea de ultiplicació de probabilidades Itroduciedo el síbolo A B / (A.6.4.) ( B / A A (A.6.4.2) B e dode P ) se deoia probabilidad codicioal de B, relativa a la hipótesis de que haya ocurrido A, y aálogaete: dode ) es la probabilidad codicioal de A relativa a la hipótesis de que haya ocurrido B, se obtiee la a regla de ultiplicació de la teoría de probabilidades, dada por: A B / (A.6.4.3) La probabilidad de la aparició siultáea de dos sucesos es igual al producto de la probabilidad de uo de ellos por la probabilidad codicioal del otro, calculada supoiedo que el prier suceso ya haya ocurrido. A.6.5 Corolarios del teorea de ultiplicació de probabilidades ) La probabilidad de aparició de dos sucesos idepedietes A y B, es igual al producto de las probabilidades y de estos sucesos, abas diferetes de cero: A. E efecto, para los sucesos idepedietes B / 2) Si el suceso A o depede del suceso B, etoces el suceso B tapoco depede del suceso A. E efecto, si A o depede B, etoces y A..., de otro lado A.. B / Al coparar estas dos expresioes obteeos B / 3) La probabilidad del producto de tres sucesos se puede calcular a través de la fórula siguiete A. B. C). B /. C / A. 4) La regla geeral para deteriar la probabilidad de la ultiplicació de u úero arbitrario de sucesos es: A A2 A ) A ). A2 / A ). A3 / A A2 )... A / A A2 A ) A.7 TEOREMA DE BAYES Supogaos que el suceso A puede presetarse solaete e cobiació co uo de los sucesos H,H 2,...,H que fora u grupo copleto de sucesos utuaete excluyetes. E este caso los sucesos H,H 2,...,H se llaa hipótesis. Deotareos las probabilidades a priori de aparició de las hipótesis por: H ) ( i,2,3, ) (A.7.) i i y las probabilidades codicioales de que el suceso aleatorio A aparezca juto a la hipótesis H i, por: Hi ) pi ( i,2,3,, ) (A.7.2) Etoces: A HA H2. A H. A (A.7.3) e dode dos cualesquiera de los sucesos del segudo iebro so utuaete excluyetes. Usado la regla geeral de adició para u úero arbitrario de sucesos, dada por la ecuació (A.7.) y la expresió para la probabilidad codicioal (A.7.2) se obtiee: p 2 p2 p H) H) H2) H2) H ) H ) (A.7.4) Si ahora sustituios e (A.7.) el suceso H, por u suceso arbitrario H tedreos: P p i i ( H i / (A.7.5) p p Hi) A / Hi) Hi / (A.7.6) Hi ) A / Hi ) H) A / H) Esta expresió da la probabilidad a posteriori de H i, es decir, la probabilidad H i / de que actúe la causa H i, calculada sobre la hipótesis de que heos observado la presecia de A. La expresió (A.7.6) costituye el teorea de Hipótesis de Bayes. La expresió (A.7.4) puede expresarse ediate: ) H) H 2 ) H 2 ) H ) H ) H i ) H i ) i H (A.7.7) i

8 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD COMPLETA Supogaos que el suceso A puede aparecer solaete juto a uo de los sucesos H,H 2,...,H que fora u grupo copleto de los sucesos. E este caso los sucesos H,H 2,...,H se llaa hipótesis. Deotareos por P ( Hi ) (i=,2,3,...,) las probabilidades de aparició a priori de las hipótesis y por P ( Hi ) las probabilidades codicioales, de que apareció el suceso aleatorio A juto a la hipótesis H i (i=,2,3,...,). Por ejeplo, si el suceso aleatorio A es que u aluo pueda solucioar u problea, etoces coo hipótesis por ejeplo, se puede utilizar los sucesos H 2,H 3,H 4,H 5 de que la prooció del aluo correspoda a la ota de 2,3,4 o 5 respectivaete. Claro que los sucesos H 2,H 3,H 4,H 5 fora u grupo copleto de los sucesos. Las probabilidades a priori de las hipótesis so P ( Hi ) (i=2,3,4,5) y defie la probabilidad de ecotrarse co u aluo de la prooció H i cuado se elige u aluo al azar. Las probabilidades codicioales P ( Hi ) so las probabilidades de que el aluo co la prooció (H i ) solucioe el problea. Hay ua preguta que se ecuetra e los probleas de la teoría de probabilidades: Cóo calcular la probabilidad copleta del suceso A para ciertas probabilidades codicioales P ( Hi )?. La respuesta a esta preguta la da el teorea siguiete: La probabilidad copleta de que el suceso A pueda ocurrir solo juto a ua de las hipótesis H i es igual a la sua de los productos de las probabilidades a priori de las hipótesis H i por la correspodiete probabilidad codicioal del suceso A. Ejeplo : Codicioalete u grupo de los aluos puede dividirse e tres subgrupos; el 50% de los aluos asiila el tea de la clase co la probabilidad de 0.9; el 30% asiila el tea de la clase co la probabilidad de 0.7; y el 20% asiila el tea co la probabilidad de 0.5 Cuál es la probabilidad de que u aluo elegido al azar asiila el tea de la clase? E este problea teeos tres hipótesis: de que el aluo escogido al azar perteezca al prier grupo (H ), al segudo grupo (H 2 ) o al tercer grupo (H 3 ). Las probabilidades a priori de las hipótesis so respectivaete iguales a: H )= 0.5; H 2 )= 0.3; H 3 )= 0.2. El suceso aleatorio A cosiste e que el aluo asiile el tea de la clase. Las probabilidades codicioales correspodietes so iguales a: H )= 0.9; H 2 )= 0.7; H 3 )= 0.5 Etoces segú la fórula (A.7.7) teeos: = H ).H )+H 2 ).H 2 )+H 3 ).H 3 ) = 0.5* * *0.2= = 0.76 Esa es la probabilidad buscada. Ejeplo 2: Co respecto al ejeplo aterior cosidereos u proceso cotrario. Supogaos que apareció e el experieto el suceso A. Cuál es la probabilidad de que el suceso A apareció juto co la hipótesis H?. E otras palabras, Cuál es al probabilidad a posteriori de la hipótesis H co la codició de que apareció el suceso A?. Deotareos la probabilidad a posteriori de la hipótesis H i, H i /. La respuesta a la preguta aterior la da el teorea de hipótesis de Bayes: Hi) A / Hi) Hi / Hi ) A / Hi ) H) A / H) La fórula de Bayes, dada por (A.7.6) expresa la probabilidad de la hipótesis a posteriori detro de la probabilidad de la hipótesis a priori. Ejeplo 3: E el ejeplo aterior, u aluo elegido al azar asiiló el tea de la clase. Cuál es la probabilidad de que este aluo perteezca al priero, al segudo o al tercer subgrupo? De acuerdo al ejeplo, las probabilidades a priori de las hipótesis H i, de que el aluo elegido al azar perteezca al subgrupo i, está dadas por: H )= 0.5; H 2 )= 0.3; H 3 )= 0.2 El suceso cosiste e que el aluo asiila el tea de clase. Las probabilidades codicioales correspodietes so: H )= 0.9; H 2 )= 0.7; H 3 )= 0.5 Coo e el experieto apareció el suceso A, las probabilidades a posteriori de las hipótesis correspodietes se obtiee a partir de la fórula (A.7.6), así: H) A / H) (0.5)(0.9) 0.45 H / 0.6 H ) A / H ) H ) A / H ) H ) A / H ) (0.5)(0.9) (0.3)(0.7) (0.2)(0.5) H2) A / H2) (0.3)(0.7) 0.2 H2 / 0.27 H ) A / H ) H ) A / H ) H ) A / H ) (0.5)(0.9) (0.3)(0.7) (0.2)(0.5) H3) A / H3) (0.2)(0.5) 0. H3 / 0.3 H) A / H) H2) A / H2) H3) A / H3) (0.5)(0.9) (0.3)(0.7) (0.2)(0.5) 0.76 Etoces, la probabilidad de que el aluo elegido al azar, haya asiilado la clase y perteezca al prier subgrupo es 0.6, al segudo subgrupo 0.27 y al tercer subgrupo 0.3. REPETICIONES DE EXPERIMENTOS. FÓRMULAS DE BERNOULLI Y DE MOIVRE-LAPLACE E la teoría de probabilidades y estadística ateática tiee gra iportacia los experietos co pruebas repetidas. Cosiderareos la repetició de las pruebas e las que puede aparecer o o el suceso A. Si la probabilidad de aparició del suceso A e cada prueba es la isa e igual a p, idepedieteete de los resultados de las pruebas ateriores, etoces éste experieto se llaa esquea de las pruebas idepedietes. Deotareos por P, la probabilidad de que aparezca el suceso A exactaete veces e ua

9 serie de pruebas idepedietes. Adeás deotareos por q p a la probabilidad de que o aparezca el suceso A e ua prueba; q A ) p! P, C p q p!( )!. Etoces, e dichas circustacias tiee lugar la fórula de Beroulli siguiete: q (A.9.) E el esquea de repetició de pruebas idepedietes se itroduce la variable aleatoria Y, que correspode al úero de pruebas e que apareció el suceso A, co la codició de que el úero total de las pruebas es igual a. E tales circustacias la variable aleatoria Y puede ser itroducida. Adeás itroducireos para cada prueba las variables características X,X 2,...,X, que acepta la agitud de si apareció el suceso A y la agitud de 0 e el caso cotrario. De aquí se deduce que Y = X + X 2 + X X = X i (A.9.2) i= La variable Y puede aceptar los valores de 0 (si o apareció A i ua vez, o sea, para todo X i =0), (si apareció A solo ua vez, es decir ua de las variables X i es igual a y las deás so iguales a cero), etc., hasta. De la fórula de distribució de Beroulli sabeos que Y!!( )! ) C p q p q (A.9.3) Ejeplo : La probabilidad de que u aluo asiila bie el tea de la clase es P = 0.8 cuál es la probabilidad que 8 aluos del grupo de 0 aluos asiile el tea de la clase? Supogaos que todos los aluos tiee capacidades iguales y por eso, para cada uo de ellos p=0.8 y q=0.2. El úero total de pruebas e este caso es =0. Sea A u suceso e el que el aluo asiila el tea de la clase. Segú las codicioes dadas, el suceso A apareció = 8 veces e = 0 pruebas idepedietes, por eso segú la fórula (A.9.) P 0! 0!(0 8)! ,8 C0(0.8) (0.2) (0.8) (0.2) 8 P 0,8 (0.5)(0.8) (0.04) Ejeplo 2 La probabilidad edia de que u aluo pueda solucioar u problea, es igual a 0.8. Cuál es la probabilidad de que eos del 90% de los aluos del grupo de 20 aluos, solucioe el problea? El 90% de los 20 aluos es igual a 8 aluos. Etoces la probabilidad buscada es la probabilidad de que el problea sea solucioado por, o 2, o 3, o,..., o 8 aluos, es decir: D) P P P P P 20,0 20, ,3 20,8 Esta fórula o es cóoda para calcular y es ejor cosiderar e fora preliiar el suceso opuesto D, de que ás del 90% de los aluos solucioa el problea, es decir 9 o 20 aluos. Etoces segú (A.9.) D) P P 20,9 20,20 20! 9 20! D ) p q p q 20 p q p 9!! 20! 0! 9 D) P (20q P) E uestro caso P= 0.8, q= 0.2 y por eso 9 P ( D) (0.8) ( ) De aquí, segú el corolario 2 del teorea de la adició del teorea de probabilidades teeos. P ( D) D) Esta es la probabilidad buscada. La fórula de Beroulli es correcta para valores arbitrarios y, pero coo se ve de los ejeplos ateriores, co el aueto de y los cálculos se hace tediosos (es difícil calcular!, p, etc., para grade valores y ). Si ebargo para grades valores de y la fórula de Beroulli puede ser siplificada, utilizado la relació aproxiada de Stirlig para grades valores de : 2! 2 e (A.9.4) Co la ayuda de la fórula (A.9.4), la fórula de Beroulli (A.9.), puede reducirse a la fora siguiete: P, dode ; ( x ) 2 x exp 2 2 ; (A.9.5)

10 = p ; = pq (A.9.6) La relació (A.9.5) se llaa fórula local de Moivre y Laplace. Las tablas correspodietes a la fució (x), aparece e casi todos los libros de la teoría de probabilidades y de estadística. Ejeplo: La probabilidad edia de que u aluo cupla co la tarea es igual a 0.8. Cuál es la probabilidad de que de los 00 aluos, exactaete 85 cupla co la tarea? E este caso = 00; = 85; p = 0.8; q = -p = 0.2 Los paráetros y segú la fórula (.9.6) so respectivaete iguales a: p 90; pq 00(0.8)(0.2) 4 Etoces segú la fórula (A.9.5), teeos: P 00, (.25) La fució (x) es par y por eso (-.25)= (.25). De la tabla hallaos (.25) = 0.83 Etoces: P 00,85 = (0.25) ( 0.83)= La probabilidad buscada es 4.6%. E la práctica cuado el úero de pruebas, es grade, es ás iteresate defiir la probabilidad de que el úero de pruebas e las cuales el suceso A aparezca, esté copredido detro de u itervalo dado] a, b [, es decir, a < b. Deotareos por Pa ba la probabilidad de que el úero de pruebas e que el suceso A aparezca es ayor que a y eor o igual a b, si el úero total de los experietos es. Esta probabilidad segú el teorea itegral de Moivre y de Laplace es igual a: {a P b - a - t - b}= ( )- ( ) ; = p ; = pq 2 dode (x) = (x) dt = e 2 dt 2 es la fució de distribució oral, la cual cosiderareos posteriorete. Ejeplo: E la ciudad C llueve por tério edio 80 días e el año. Cuál es la probabilidad de que e u año dado el úero de los días de lluvia sea de 60 a 75 días? E este caso el suceso A es que u día dado sea u día de lluvia y la probabilidad edia de aparició del suceso A es = 80/365= Los valores correspodietes e la fórula (A.9.6) para las codicioes dadas so: p 0.22; q =0.78; = 365; = p = 80; = Etoces de la fórula (A.9.5) teeos P365 {60 a 75}= ( )-( pq = 8; a 60; b 75 ) (-0.625)- (-2.5) La fució (x) es ua fució ipar y por eso (-x ) = - (x) Utilizado esta propiedad de la fució (x) y los valores de (x) de la tabla correspodiete so: (-0.625)= - (0.625)= -0.23; (-2.5)=- (2.5)= por lo tato P{60 < 75}= = 0.26 Esta es la probabilidad buscada. x 0 x 0