Probabilidad y Estadística - Listado de Ejercicios. Facultad de Ingeniería - IMERL

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1 Probabilidad y Estadística - Listado de Ejercicios Facultad de Ingeniería - IMERL Curso 2007

2 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 1 1. Práctico Problemas de conteo Ejercicio 1.1 En cierta ciudad las matrículas de los autos se forman con 2 vocales diferentes seguidas de 5 dígitos todos diferentes. Determinar la cantidad de matrículas que pueden hacerse y determinar cuántas de ellas comienzan con A y terminan con 89. Ejercicio 1.2 Entre 3 ingenieros, 5 economistas y 4 arquitectos deben seleccionarse 4 para formar una comisión. 1. Calcular cuántas comisiones diferentes podrían formarse. 2. Calcular cuántas de esas comisiones estarían integradas por un ingeniero, dos economistas y un arquitecto. 3. Calcular en cuántas comisiones habría por lo menos dos arquitectos. Ejercicio 1.3 En una fábrica los productos se codifican con 3 letras distintas que indican 3 operaciones que sufren cada uno de los productos y 3 cifras distintas y en ese orden: primero las letras y después los números. Las letras utilizadas son A, B, C y D. 1. Cuántos productos pueden codificarse? 2. Cuántos códigos empiezan con A y terminan con 9? 3. En cuántos los números 0 y 2 aparecen juntos y en ese orden? 4. En cuántos los números 0 y 2 aparecen juntos? 5. En cuántos productos aparecen dos números pares juntos y el otro es impar? Ejercicio 1.4 Una caja fuerte se abre mediante una cierta clave de 5 dígitos (pueden ser repetidos). Ud. es lo suficientemente audaz como para intentar abrirla, y lo hace probando números al azar. Cuántas claves posibles hay? Cuántas claves posibles hay si se usan sólo los dígitos de 1 a 6 en vez de usar los 10? Ejercicio 1.5 Se juega a un juego del tipo 5 de Oro: hay que acertar 5 números, elegidos dentro de 36 posibilidades. 1. Cuántas jugadas posibles hay? 2. Si se eligen 5 números a priori, cuántas jugadas posibles hay que contengan exactamente uno de los números elegidos? 3. Si se eligen 5 números a priori, cuántas jugadas posibles hay que contengan por lo menos 2 de los números elegidos? Ejercicio 1.6 * Usted va a la panadería a comprar una docena de bizcochos. En la panadería sólo quedan croissants, margaritas y galletas en cantidades suficientes.

3 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 2 1. Cuántas elecciones distintas puede hacer? 2. Usted llega a la facultad con α croissants, β margaritas y γ galletas (α + β + γ = 12) y los reparte entre usted y 11 amigos. Cuántos repartos puede hacer? (Calcular en función de α, β y γ). Cuánto deben valer α, β y γ para que dicha cantidad sea máxima? (Sugerencia: ver como varía dicha cantidad al variar en una unidad alguno de los parámetros) 1.2. Propiedades de la Probabilidad Ejercicio 1.7 Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Sean A, B y C sucesos. Expresar mediante operaciones con conjuntos los sucesos que corresponden a: 1. Ocurren A y B. 2. Ocurren los tres sucesos. 3. Ocurre A u ocurre B. 4. Ocurre por lo menos uno de los tres sucesos. 5. Ocurre A u ocurre B pero no los dos simultáneamente. 6. No ocurre B. 7. No ocurre ni A ni B. 8. No ocurre ninguno de los tres sucesos. 9. Ocurre A y no ocurre B. 10. Ocurre exactamente uno de los tres sucesos. 11. Ocurren por lo menos dos de los tres sucesos. Ejercicio 1.8 Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Demostrar que: 1. Si A y B son sucesos tales que A B entonces: P (B \ A) = P (B) P (A) Sugerencia. Considerar que B \ A = B A c y B = (B A) (B A c ) Deducir que P (A) P (B). 2. Si A y B son sucesos entonces P (A B) máx{p (A), P (B)} y P (A B) mín{p (A), P (B)} Ejercicio 1.9 Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Se consideran dos sucesos A y B tales que P (A) = 1/3 y P (B) = 1/2. Determinar el valor de P ( A C B ) en los siguientes casos: 1. A y B incompatibles (mutuamente excluyentes). 2. A B. 3. P (A B) = 1/8.

4 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 3 Ejercicio 1.10 Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Se consideran los sucesos A y B con: P (A) = 0,375, P (B) = 0,5, P (A B) = 0,25. Calcular: 1. P ( A C) y P ( B C). 2. P (A B). 3. P ( A C B C). 4. P ( A C B ) y P ( A B C). Ejercicio 1.11 Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Demostrar que: 1. * Si A, B y C son sucesos entonces se cumple que: P (A B C) = P (A)+P (B)+P (C) P (A B) P (A C) P (B C)+P (A B C) 2. * Si A 1,..., A n son sucesos probar que: ( n ) P A i = P (A i ) i=1 1 i n 1 i<j n P (A i A j ) ( 1) n 1 P (A 1... A n ) Ejercicio 1.12 II Y I IV Z III Un sistema de canalización de agua tiene 4 compuertas, dispuestas como en la figura. Cada compuerta se abre y cierra al azar, dejando pasa agua (si está abierta) o impidiéndolo. Supongamos las probabilidades siguientes: P (I abierta) = P (II abierta) = P (IV abierta) = 0,55, P (III abierta) = 0,36. P (I cerrada, II abierta) = P (I abierta, IV cerrada) = P (I cerrada, III abierta) = 0,2. P (II abierta, IV abierta) = 0,35, P (III abierta, IV cerrada) = 0,26. P (II abierta, III abierta) = 0 P (I o II o IV abierta) = 0,85, P (I o III o IV abierta) = 0,87. Calcular la probabilidad de que un torrente de agua lanzado en el punto Y llegue a Z. Se sugiere utilizar el ejercicio anterior. Ejercicio 1.13 Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad.

5 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 4 1. Mostrar que si A y B son sucesos entonces: P (A B) P (A) + P (B) 2. * Deducir que si A 1, A 2,..., A m son sucesos entonces: ( m ) m P A n P (A n ) 3. ** Demostrar que si {A n } n N es una colección de sucesos se cumplen: n=1 n=1 ( ) ( N ) P A n = lím P A n N n=1 n=1 ( ) ( N ) P A n = lím P A n N n=1 n=1 Sugerencia: aplicar el teorema de continuidad de la probabilidad. 4. ** Deducir que si {A n } n N es una colección de sucesos entonces: ( ) P A n P (A n ) n=1 ( ) 5. ** Deducir por último que si P (A n ) = 0, n N entonces P A n = 0. n=1 n=1 Ejercicio 1.14 ** Si Ω es un conjunto arbitrario no vacío, una colección A de subconjuntos de Ω se dice una σ álgebra en Ω si: Ω A. A A A c A. {A n } n N A n N A n A. Si en lugar de esta última propiedad se verifica en cambio la propiedad más débil de que si A, B A A B A se dice que A es un álgebra (de Boole) en Ω. Se define una probabilidad como una función P : A [0, 1] tal que P (Ω) = 1 (A n ) n N A sucesión de sucesos incompatibles (A i A j =, i j) la serie ( converge a P n=1 A n ) Sean Ω cualquiera Ω, A σ-álgebra en Ω y P : A [0, 1] tales que P (Ω) = 1 A y B A incompatibles (esto es A B = ) vale P (A B) = P (A) + P (B). P (A n ) n=1

6 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 5 ( ) (A n ) n N A creciente (A n A n+1 n N) vale P A n = lím P (A n ). n Probar que P es una probabilidad. Ejercicio 1.15 ** n=1 1. Demuestre que cualquiera sea Ω, las familias A 1 = {, Ω} y A 2 = P (Ω) = {A : A Ω} son σ álgebras en Ω y cualquier otra σ álgebra A cumple que A 1 A A Sea Ω = R y A = {A R : A o A c numerable}. Mostrar que A es una σ álgebra pero [0, 1] / A. 3. Sea Ω = R y A = {A R : A o A c finito}. Mostrar que A es una álgebra pero no una σ álgebra en Ω. 4. Mostrar que si {A α } α I es una familia de σ álgebras A = A α es también una σ álgebra en Ω. 5. Sea E una colección arbitraria de subconjuntos de Ω. Utilice lo anterior para demostrar que existe una σ álgebra que denominaremos σ (E) (σ álgebra generada por E) con la siguiente propiedad: si E A y A σ álgebra en Ω entonces σ (E) A (σ (E) es la σ álgebra más pequeña que contiene los conjuntos de E). 6. Si Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E = {{0}, {0, 1}}, hallar σ (E). 7. Si Ω = R y E = {A R : A o A c finito}, hallar σ (E). Haga lo mismo para E = {{x} : x R}. 8. Si Ω = R y Demuestre que: E 1 = {(a, b] : a < b} E 2 = {[a, b] : a < b} E 3 = {(a, b) : a < b} E 4 = {(a, b) : a < b, a Q, b Q} E 5 = {(, b] : b R} E 6 = {A R : A abierto} α I σ (E 1 ) = σ (E 2 ) = σ (E 3 ) = σ (E 4 ) = σ (E 5 ) = σ (E 6 ) def = B Dicha σ álgebra B se denomina σ álgebra de Borel y a sus elementos borelianos. Sugerencia: probar que E i σ (E j ) i, j y deducir que σ (E i ) σ (E j ). Para trabajar con E 6 puede usarse el resultado de que si A es abierto en R entonces existen intervalos {(a n, b n )} n N tales que A = (a n, b n ). n N

7 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 6 2. Práctico Cálculo de probabilidades Ejercicio 2.1 Determinar el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, y en el caso que sea finito, indicar su cardinal Lanzar al aire una moneda tres veces 2. Extraer dos fichas sucesivamente y sin reposición de una bolsa que contiene fichas numeradas con los 5 dígitos pares. 3. Lanzar una moneda finalizando el experimento si sale número; si sale cara, tirar además un dado. 4. Seleccionar al azar dos alumnos de una clase de Valor de la tasa de inflación para este año. Ejercicio 2.2 * Este ejercicio pretende formalizar el concepto de equiprobabilidad. Sea Ω un conjunto finito y p : Ω R una función tal que: p (ω) 0 ω Ω p (ω) = 1 ω Ω Demuestre entonces que: 1. La función P : P (Ω) R definida como: P (A) = ω A p (ω) A Ω es una probabilidad en (Ω, P (Ω)). 2. Si se supone además p (ω) = p 0 > 0 constante ω Ω entonces en ese caso p 0 = 1 Ω y por lo tanto la función anterior se convierte en: P (A) = A Ω que es la interpretación clásica de equiprobabilidad como casos favorables sobre casos posibles. Ejercicio Se juega a un juego del tipo 5 de Oro: hay que acertar 5 números, elegidos dentro de 36 posibilidades. a) Cuál es la probabilidad de ganar? b) Cuál es la probabilidad de acertar en al menos 3 números (es decir, acertar exactamente 3, exactamente 4, o exactamente 5 números)? c) Construir un espacio muestral para este experimento. 1 El cardinal de un conjunto finito es su cantidad de elementos, y se denota por card (A), #A o A.

8 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 7 d) Y si en lugar de 36, se elige sobre 20 números, cuánto dan las probabilidades anteriores? 2. Se juega a la baraja con 40 cartas, 10 de cada palo. Si uno toma 3 cartas, cuál es la probabilidad de elegirlas todas del mismo palo? Ejercicio 2.4 Si a un ómnibus con n asientos suben i personas con i n (o sea que no debe ser un ómnibus montevideano, claramente). 1. De cuántas maneras posibles pueden elegirse los asientos en los que se sentará la gente? 2. De cuántas maneras distintas puede disponerse la gente en el ómnibus? 3. * Asumamos ahora que la gente se dispone al azar y que cada disposición particular tiene la misma probabilidad (equiprobabilidad). Supongamos que n = 4m y que el ómnibus tiene un pasillo en el medio; y que a cada costado del pasillo hay m filas de 2 asientos. Para darle un toque romántico, suponga ahora que sube al ómnibus Keanu Reeves o Angelina Jolie (según la opción de cada uno), qué probabilidad tiene Ud. de quedar sentado al lado del personaje en cuestión? Ejercicio Calcular la probabilidad de obtener una suma de puntos menor que 18 al tirar 3 dados. 2. * Se elige un grupo de n personas al azar. Descartando los años bisiestos y suponiendo por lo tanto años de 365 días, cuál es la probabilidad de que al menos dos personas cumplan el mismo dia? Cuánto tiene que ser n para que dicha probabilidad supere a 0.5? Ejercicio 2.6 Si un dado está cargado de modo tal que P ({i}) = αi, i = 1, 2,..., Determinar el valor de α 2. Cuál es la probabilidad de sacar 5? 3. Cuál es la probabilidad de sacar par? Ejercicio 2.7 * Un secretario o secretaria vuelve a su oficina el 31 de diciembre luego de haber despedido el año en el Mercado del Puerto. Su único trabajo consiste en enviar n cartas. Antes de la despedida ya había escrito el nombre del destinatario en cada una de las n cartas y cada uno de los n sobres dispuestos para el envío, de modo que lo único que debe hacer es acertar cada carta en el sobre que le corresponde. Obviamente coloca las cartas en los sobres de manera totalmente aleatoria (puede suponerse equiprobabilidad). 1. Calcular la probabilidad p n de que al menos una carta vaya a parar al sobre que le toca. 2. Calcular lím n p n Sugerencia: Considere la siguiente generalización de la fórmula de la probabilidad de la unión: ( n ) P A i = P (A i ) P (A i A j ) ( 1) n 1 P (A 1... A n ) i=1 1 i n 1 i<j n

9 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 8 3. Práctico Probabilidad Condicional e Independencia Ejercicio 3.1 Se consideran los sucesos A y B tales que P (A) = 1 4 siguientes casos: y P (A B) = 1 3. Calcular P (B) en los 1. Si A y B son independientes 2. Si A y B son disjuntos (o excluyentes) 3. Si A es un subconjunto de B Ejercicio 3.2 Si A y B son sucesos independientes y B y C también son sucesos independientes. Puede afirmarse que A y C son independientes? En caso afirmativo demostrar, si no dar un contraejemplo. Ejercicio 3.3 Demostrar que A es independiente de A si y sólo si P (A) = 0 ó P (A) = 1. Ejercicio 3.4 Se consideran los eventos A y B tales que 1. P (A) = 1 2, P (B) = 1 3 y P (A B) = 1 4. Calcular a) P (A B) b) P (B A) c) P ( A C B ) d) P ( B C A ) e) P ( A C B C) f ) P ( B C A C) 2. P (A) = 3 8, P (B) = 5 8 y P (A B) = 3 4. Calcular a) P (A B) b) P (B A) 3. B A. Calcular P (A B) 4. A y B son disjuntos (o excluyentes), esto es A B =. Suponiendo P (B) 0, calcular P (A B). Qué se puede decir de la independencia si P (B) 0? Y si P (B) = 0 Ejercicio Una caja contiene 12 lámparas de las cuales 4 son defectuosas. Se toman al azar tres lámparas del lote una tras otra. Hallar la probabilidad de que las tres lámparas no sean defectuosas. 2. Se consideran ahora tres cajas con lámparas: La caja 1 contiene 10 lámparas de las cuales 4 son defectuosas La caja 2 contiene 6 lámparas de las cuales 1 es defectuosa La caja 3 contiene 8 lámparas de las cuales 3 son defectuosas

10 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 9 Escogemos al azar una caja y luego sacamos una lámpara al azar Cuál es la probabilidad de que la lámpara sea defectuosa? Ejercicio Se considera una caja que contiene 6 bolillas rojas, 4 blancas y 5 azules. Se extraen tres bolillas en forma sucesiva (sin reposición). Calcular la probabilidad que la primera sea roja, la segunda blanca y la tercera azul 2. Se consideran dos cajas con bolas. La caja 1 contiene 3 bolas rojas y 2 azules, la caja 2 contiene 2 bolas rojas y 8 azules. Se lanza una moneda, si se obtiene cara se saca una bola de la caja 1, y si se obtiene cruz se saca una bola de la caja 2. a) Hallar la probabilidad que la bola extraída sea roja. b) Si se sabe que la bola extraída es roja, cuál es la probabilidad que provenga de la caja 1? Ejercicio La probabilidad de que el jugador 1 de en el blanco es 1 6, la probabilidad de que el jugador 2 de en el blanco es 1 4 y la probabilidad de que el jugador 3 de en el blanco es 1 3. Cada uno dispara una vez al blanco. a) Cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado solamente una vez? b) Si sólo uno da en el blanco, cuál es la probabilidad que haya sido el jugador 1? 2. La probabilidad de que el jugador 1 de en el blanco es de en el blanco es 1 3. y la probabilidad de que el jugador a) Si cada uno dispara dos veces, cuál es la probabilidad de que el blanco sea alcanzado por lo menos una vez? b) Supongamos ahora que cada uno dispara una vez. Dado que el blanco fue alcanzado solamente una vez, cuál es la probabilidad que haya sido el jugador 1? Ejercicio 3.8 Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en cierta circunstancia; el 70 % de las mujeres reaccionan positivamente en dicha circunstancia, mientras que el porcentaje de los hombres es solamente el 40 %. Se sometió a una prueba a un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres para descubrir sus reacciones. Una prueba escogida al azar de las 20 resultó negativa. Cuál es la probabilidad de que haya sido realizada por un hombre? Ejercicio 3.9 Este ejercicio consiste en demostrar y aplicar una generalización de la Fórmula de Bayes. 1. Sea B 1, B 2,..., B n una partición de Ω (es decir B 1, B 2,..., B n incompatibles y n B i = Ω) y sea A otro suceso cualquiera, probar que para todo j = 1,..., n. P (B j A) = P (A B j) P (B j ) n P (A B i ) P (B i ) i=1 i=1

11 Probabilidad y Estadística IMERL - FING En un país hay cuatro partidos políticos que se dividen la opinión pública. Se sabe que: El 35 % de la población adhiere al partido I El 31 % adhiere al partido II El 28 % adhiere al partido III El 6 % adhiere al partido IV Entre los adherentes al partido I, un 36 % corresponde a personas con ingresos inferiores a dos salarios mínimos Entre los adherentes al partido II, esa proporción es del 52 % Para el partido III, es un 42 % Para el partido IV, 11 % Si se elige una persona al azar y resulta tener ingresos inferiores a dos salarios mínimos. Calcular la probabilidad de que sea un adherente al partido I; al partido II; al partido III y al partido IV. 3. Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50 %, 30 % y 20 % del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de producción de defectuosos de cada máquina son 3 %, 4 % y 5 % respectivamente. Se toma al azar un artículo de la producción total. Si el artículo seleccionado es defectuoso, hallar la probabilidad de que halla sido producido por la máquina A. Ejercicio 3.10 Primer parcial, mayo de 1999 Supongamos que en un país un 40 % de los ciudadanos habilitados para votar es adherente al partido A, un 35 % al partido B y un 25 % al partido C. Se realiza de manera simultánea una elección interna en los tres partidos, pero como no se requiere acreditar la adhesión a cada partido, el voto extrapartidario es posible: un votante de un partido puede, si quiere, participar en la interna de otro partido. Supongamos que Ud. sabe que: Entre los adherentes de A, un 10 % votó en la elección interna de otro partido Entre los adherentes de B, un 15 % votó en la interna de A Entre los adherentes de C, un 5 % votó en la interna de A 1. Cuál fue el porcentaje de votos obtenidos por el partido A en las internas? 2. Si se elige al azar una persona dentro de todas las que en las votaron a A, a) cuál es la probabilidad que sea un adherente de B? b) y cuál es la probabilidad que sea un adherente de C? 3. Si personas votaron en la interna de A, a) en cuánto estimaría la cantidad de votantes de A que son adherentes de B? b) y la cantidad de votantes de A que son adherentes de C? Ejercicio 3.11 Examen, marzo de 2003 Se admite que entre los jugadores profesionales de ping pong un 5 % consume anfetaminas antes de cada partido. Durante un campeonato se les toma una muestra de orina a todos los jugadores. La muestra de cada jugador se divide en dos submuestras iguales a las que se les aplica un test clínico: si el resultado de aplicar el test a las dos submuestras da positivo entonces el jugador es sancionado; en cualquier otro caso el jugador no es sancionado. Considere los eventos:

12 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 11 A 1 = { el resultado de la primera submuestra da positivo } A 2 = { el resultado de la segunda submuestra da positivo } B = { el jugador es sancionado} D = { el jugador consumió anfetaminas } Se asume que los eventos A 1 y A 2 condicionados a los eventos D y a D c son independientes, esto es: P (A 1 A 2 D) = P (A 1 D)P (A 2 D) y P (A 1 A 2 D c ) = P (A 1 D c )P (A 2 D c ). Se sabe además que P (A i D) = 0,90 y P (A i D c ) = 0,02 para i = 1, Calcule P (D A 1 ), esto es, la probabilidad de que un jugador haya consumido anfetaminas dado que el resultado de la primera submuestra es positivo. 2. Calcule P (B), esto es, la probabilidad de que un jugador sea sancionado. Son A 1 y A 2 eventos independientes? 3. Calcule P (D B), esto es, la probabilidad de que un jugador sancionado haya consumido anfetaminas. Ejercicio 3.12 Examen, febrero 2004 De una caja que contiene 3 bolas rojas y 2 azules se extrae una bola al azar y se la coloca en una segunda caja que contiene 4 bolas azules y 2 rojas. A continuación se extrae una bola al azar de la segunda caja. 1. Cuál es la probabilidad de que se extraiga la misma bola que se extrajo de la primera caja? 2. Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de la segunda caja sea roja? 3. Si la bola extraída de la segunda caja es roja, cuál es la probabilidad de que sea la misma bola que se extrajo de la primera caja?

13 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Práctico Variable aleatoria y función de distribución Ejercicio 4.1 Sea X una variable aleatoria (v.a.) que toma los valores { 2, 1, 1, 1,5, 5} con probabilidades 1 6, 1 6, 1 6, 1 4 y 1 4 respectivamente. Graficar su función de distribución. Ejercicio 4.2 Se consideran las funciones F : R R tales que: βe x si x < 0 β si x = 0 F (x) = 1/4 si 0 < x < 1 α x 1+x si 1 x Hallar α y β para que F sea una función de distribución. α + e x si x 1 F (x) = βx + γ si 1 < x 1 δ + εx si 1 < x Hallar α, β, γ, δ, ε para que F sea una función de distribución. Ejercicio 4.3 Se considera las función de distribución F X : R R de la variable aleatoria X. Probar que: 1. P (a < X b) = F X (b) F X (a) 2. P (X = a) = F X (a) lím x a F X(x) 3. P (a X b) = F X (b) lím x a F X (x) 4. P (a < X < b) = lím x b F X(x) F X (a) 5. P (a X < b) = lím x b F X (x) lím x a F X (x) 6. P (X > a) = 1 F X (a) 7. P (X a) = 1 lím x a F X(x)

14 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 13 Ejercicio 4.4 De las gráficas de la figura, indicar cuáles son función de distribución (f.d.) y cuáles no lo son /2 Ejercicio 4.5 Se considera una variable aleatoria X cuya función de distribución es: 0 si x < 3 1/4 si 3 x < 1 1. F X (x) = 3/4 si 1 x < 2 1 si 2 x Calcular: a) P ( 3 X 1) b) P ( 3 < X 1) c) P ( 3 X < 1) d) P ( 3 < X < 1) e) P ( 2 < X < 2) f ) P ( 1 < X < 0) 0 si x < 0 1/4 si 0 x < 1 1/3 si 1 x < 2 2. F X (x) = x/6 si 2 x < 4 x/8 + 1/4 si 4 x < 6 1 si 6 x Calcular: a) P (1 X 5) b) P (2 < X 4) c) P (0 < X < 1) d) P (4 X < 6)

15 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 14 Ejercicio 4.6 De un grupo de 16 estudiantes de los cuales 5 estudian economía, 4 contador y 7 administración se eligen 3 al azar para formar una comisión. 1. Hallar la probabilidad de que los 3 sean economistas. 2. Hallar la probabilidad de que al menos 2 sean economistas. 3. Sea X la variable aleatoria que cuenta la cantidad de economistas que integran la comisión. Hallar y graficar la función de distribución F X. Ejercicio 4.7 Se presentan para un cargo de gerente 5 personas de las cuales 3 son contadores. Luego de estudiar los correspondientes antecedentes, se determina que los méritos son similares y por lo tanto la elección se hará teniendo en cuenta solamente el carácter de contador. El jefe de personal comienza a llamar al azar a los 5 involucrados. Si la primer persona cumple el requisito lo elige, de lo contrario llama al siguiente. De esa manera procede hasta conseguir el candidato contador. Sea X la variable aleatoria que cuenta la cantidad de entrevistas efectuadas. 1. Hallar y graficar la función de distribución F X. 2. Hallar la probabilidad que se efectúen al menos 2 entrevistas. Ejercicio 4.8 ** Dada una v.a. X se dice que θ es una mediana de X si P (X θ) 1 2 y P (X θ) Mostrar que si F X es estrictamente creciente y continua existe una única mediana. 2. Mostrar que siempre existe al menos una mediana, pero dar un ejemplo en que haya infinitas. 3. Sea X = θ + ε, siendo ε una v.a. con distribución estrictamente creciente, continua y simétrica respecto al 0. (ε ε). Mostrar que θ es la única mediana de X. Ejercicio 4.9 ** Una función X : Ω R se dice variable aleatoria (v.a.) respecto a la σ-álgebra A en Ω si {X t} A t R. Dado B R, sea X 1 (B) def ={ω Ω : X (ω) B}, que también escribiremos [X B]. 1. Probar que X es una v.a. respecto de A si y sólo si B boreliano [X B] A. { X 1 (A B) = X 1 (A) X 1 (B) Sugerencia: observar que X ( 1 A C) = ( X 1 (A) ) C Deducir que ζ = {C R : X 1 (C) A} es una σ-álgebra en R. Mostrar que (, t] ξ t y usar las caracterizaciones de σ- álgebra de Borel del práctico 2 (Propiedades de la probabilidad). 2. Sea f : R R continua. Mostrar que es una v.a. respecto de B. Sugerencia: ζ = {C R : f 1 (C) B} es una σ-álgebra, ζ contiene a los abiertos y usar Práctico 1, ejercicio opcional 2) h), teniendo presente que si f es continua U abierto de R, f 1 (U) también es abierto. Deducir que si f : R R continua y X : Ω R v.a. respecto de A, entonces f(x) : Ω R v.a. respecto de A.

16 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 15 { } 3. Si X n { : Ω R v.a. respecto de A, entonces: A = } ω : sup X n (ω) = + n ω : ínf n (ω) = n A y B = Se dirá que Y : Ω R = R {+ } es una v.a. respecto de A, si [Y B] A B boreliano de R y si {Y = + }, {Y = } A. Con esta convención mostrar que sup n 4.2. Distribuciones Discretas X n, ínf n X n, lím X n, son v.a. respecto de A n Ejercicio 4.10 La distribución introducida en este ejercicio se denomina distribución binomial. 1. Se considera el natural n 1, 0 < p < 1 y el conjunto A = {0, 1,..., n}. Probar que la función p : A R tal que p (k) = C n k pk (1 p) n k con k A define una probabilidad en A. Sugerencia: utilizar el binomio de Newton. 2. La probabilidad de que una cierta clase de componente pase con éxito una determinada prueba de impacto es 3/4. Hallar la probabilidad de que exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueban pasen la prueba. 3. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad, cuál es la probabilidad de que: a) sobrevivan exactamente 5 personas. b) al menos 10 sobrevivan. c) sobrevivan entre 3 y 8 personas. 4. El sistema electrónico de dirección de un cohete funciona correctamente con una probabilidad p cuando se pone a funcionar. Se quiere instalar n sistemas de respaldo independientes, pero idénticas, en el cohete de modo que la probabilidad de que al menos un sistema trabaje en forma correcta no sea menor que 0,99. Hallar la cantidad n de sistemas electrónicos de dirección que se necesitan para satisfacer los requerimientos si p = 0,9 y si p = 0,8. Ejercicio 4.11 La distribución introducida en este ejercicio se denomina distribución hipergeométrica. 1. Se consideran los números naturales N, D y n tales que N D. Sea también A = {0, 1,..., n}. Para r > 0, se define C r s = 0 si s < 0 o si s > r. a) Probar que n k=0 C N D n k CD k = C N n Sugerencia: observe que (1 + x) N = (1 + x) N D (1 + x) D y utilice el desarrollo de Newton ((1 + x) N = Cn N x n ) para hallar el coeficiente de x n a ambos lados de la igualdad. n=0 b) Probar que la función p : A R tal que p (k) = CN D n k CD k Cn N probabilidad en A. con k A define una

17 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Una empresa quiere comprar cajas que contienen 40 herramientas cada una. El procedimiento de control de calidad de cada caja consiste en tomar una muestra de 5 herramientas al azar de dicha caja y rechazarla si se encuentra una herramienta defectuosa. Si la caja a inspeccionar tiene 3 defectuosas, cuál es la probabilidad de rechazar la caja? 3. Ahora de un lote de 10 herramientas se seleccionan 4 al azar. Si el lote contiene 3 herramientas con defectos de fabricación, calcular la probabilidad de que: a) las 4 funcionen. b) al menos 2 no funcionen. c) sólo una funciona. d) por lo menos una funciona. Ejercicio 4.12 Graficar la función de distribución y la función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución Bin (6, 0,25). Ejercicio 4.13 * Diremos que θ es una moda de la variable aleatoria discreta X si y sólo si se cumple que: P (X = θ) = p X (θ) p X (x) = P (X = x) x R X Sea X Bin (n, p) 1. Probar que: p X (k) (n + 1) p k = 1 + p X (k 1) (1 p) k k = 1,..., n 2. Calcular la(s) moda(s) de X discutiendo según p. Sugerencia: estudiar el cociente de la parte anterior y compararlo con 1. Ejercicio 4.14 En los siguientes ejercicios se asume que los fenómenos se comportan según la distribución de Poisson, dada por: λ λk X P (λ) p X (k) = e k! k = 0, 1, El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. Cuál es la probabilidad de que entren 6 partículas al contador en un milisegundo determinado? 2. Se sabe que 10 es el número promedio de camiones-tanque de aceite que llegan por día a una cierta ciudad portuaria. Las instalaciones del puerto pueden atender cuando mucho a 15 camiones-tanque en un día. Cuál es la probabilidad de que en un determinado día se tengan que regresar algunos de los camiones-tanque? 3. Se certifica la calidad de discos de computadora pasándolos por un certificador que cuenta el número de sectores defectuosos. Una determinada marca de discos tiene un promedio de 0,1 sectores defectuosos por disco. Calcular la probabilidad de que:: a) un disco que se inspeccione no tenga sectores defectuosos. b) un disco que se inspeccione tenga más de un sector defectuoso. c) dos discos que se inspeccionen no tengan sectores defectuosos.

18 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 17 Ejercicio 4.15 Se considera 0 < p < 1 y R X = {1, 2, 3,...} los enteros positivos. 1. Probar que p X : R X [0, 1] dada por p X (k) = (1 p) k 1 p es una función de probabilidad. Si una variable aleatoria discreta X tiene por función de probabilidad p X como antes se dice que X tiene distribución Geométrica de parámetro p y se denota X Geo (p). 2. Consideramos un experimento aleatorio donde nos interesa estudiar la ocurrencia o no de un suceso A con probabilidad p (0 < p < 1). Cada vez que ocurre A diremos que hay éxito y cada vez que ocurre A c diremos que hay fracaso. Repetimos el experimento en forma independiente (es decir lo que ocurre en una repetición no influye en las otras) hasta obtener éxito (ocurre A). Sea X una variable aleatoria que cuenta la cantidad de repeticiones. Calcular P(X = n) con n N (la probabilidad de tener que realizar n repeticiones para obtener un éxito) y deducir que X Geo (p). 3. Usted va a jugar a la ruleta y tiene la obsesión de jugarle al 18. Tan obsesivo es, que si no gana sigue y sigue jugando. Puede suponerse que el casino es serio y que todos los resultados son igualmente probables, siendo los resultados de distintas tiradas independientes. Experiencias previas indican que tras nueve jugadas sucesivas sin que salga el 18, Ud. comienza a ponerse francamente histérico y que si sigue perdiendo hasta la jugada 12 (inclusive), Ud. se vuelve un tanto violento e intenta destruir la banca, la ruleta, las fichas y todo lo que se le cruce en el camino. Cuál es la probabilidad de llegar a ponerse histérico sin terminar la velada en la comisaría más cercana? Sugerencia: no se olvide del El tablero de un conmutador telefónico es de muy poca capacidad en cuanto al tiempo de ocupado se refiere, de tal forma que las personas no pueden encontrar una línea desocupada para sus llamadas. Puede ser de interés saber el número de intentos necesarios que se requieren para tener una línea disponible. Suponga que p = 0,05 es la probabilidad de tener línea durante la mayor congestión de llamadas. Se tiene el interés particular de saber la probabilidad de que sean necesarios 5 intentos para lograr una comunicación. Ejercicio 4.16 Sea X el número de experiencias independientes que hay que realizar para observar por k-ésima vez (k 1) el suceso A, con P (A) = p. 1. Hallar la distribución de X. Esta distribución se llama Binomial Negativa de parámetros k y p y se escribe X BN (k, p) 2. En una población con personas donde 1800 son portadores de una enfermedad, se realiza un muestreo con reposición donde se puede suponer equiprobabilidad. Cuál es la probabilidad de obtener una muestra con 4 enfermos sin tener que seleccionar más de 8 personas? 3. Hallar la probabilidad de que una persona que lanza al aire tres monedas obtenga ya sea sólo caras o sólo cruces por segunda ocasión en el quinto lanzamiento. 4. Si X 1, X 2,... X k iid Geo (p), hallar la distribución de X = X 1 + X X k.

19 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Práctico Distribuciones continuas y absolutamente continuas Ejercicio 5.1 Sea X una variable aleatoria real continua y a < b reales. 1. Demostrar que: P (a < X b) = P (a X b) = P (a < X < b) = F X (b) F X (a) 2. Si además X es absolutamente continua con densidad f X deducir que: P (a < X b) = P (a X b) = P (a < X < b) = b a f X (x) dx Ejercicio 5.2 Cuáles de las gráficas de la figura corresponden a una densidad y cuáles no? Ejercicio 5.3 Se considera la variable aleatoria X absolutamente continua con densidad: 0 si x < 0 f X (x) = bx si x (0, 1] ae x si x > 1 Hallar a y b sabiendo que P (X [0, 2]) = 2P (X [2, 4]). Ejercicio 5.4 Se consideran las siguientes funciones reales: f 1 (x) = f 2 (x) = { c1 x si x (0, 1) 0 si x / (0, 1) 0 si x < 1 c 2 x 2 si x [1, 2] c 2 x si x (2, 3) 0 si x 3 1. En cada caso, hallar c i para que f i sea una densidad. 2. Se considera ahora una variable aleatoria X con densidad f i (con el c i hallado). a) Calcular P (0,3 < X < 0,6), P (X > 2) y P ( 1 2 < X < 3 2). b) Hallar la función de distribución de F X para cada densidad y graficar.

20 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 19 Ejercicio 5.5 En pruebas de medición de distancia de frenado de automóviles, los vehículos que viajan a determinada velocidad tienden a recorrer distancias de frenado que están distribuidas uniformemente entre dos puntos a y b. Calcular la probabilidad de que uno de estos automóviles: 1. se detenga más cerca de a que de b. 2. se detenga de tal modo que la distancia a a sea por lo menos 3 veces mayor que la distancia a b. Ejercicio 5.6 Suponga que la concentración de cierto contaminante se encuentra distribuida uniformemente en el intervalo de 4 a 20 ppm (partes por millón). Si se considera tóxica una concentración de 15 ppm o más, cuál es la probabilidad de que al tomar una muestra la concentración sea tóxica? Ejercicio En la densidad normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está: a) a la derecha de z = 1,84. b) entre z = 1,97 y z = 0, Si Z N (0, 1), encuentre los valores de k de tal forma que: a) P (Z > k) = 0,3015 b) P (k < Z < 0,18) = 0, En una distribución normal con µ = 40 y σ = 6, encuentre el valor de x que tiene: a) 45 % del área a la izquierda. b) 14 % del área a la derecha. Ejercicio 5.8 En un proceso industrial el diámetro de un balero es parte importante de un componente. El comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser 3,0±0,01 cm. Por lo tanto, no se acepta ningún balero que se salga de esa especificación. Se sabe que en el proceso de producción, el diámetro de un balero tiene una distribución normal con media µ = 3,0 cm y desviación estándar σ = 0,005 cm. En promedio, qué porcentaje de baleros fabricados se descartarán? Ejercicio 5.9 Una cierta máquina produce resistencias eléctricas que tienen un valor medio de 40Ω y una desviación estándar de 2Ω. Suponga que los valores de las resistencias siguen una distribución normal. 1. Qué porcentaje de las resistencias tendrán un valor que exceda de 43Ω? 2. Si al medir el valor de las resistencias, el medidor redondea la medida al valor entero más cercano (en Ω), qué porcentaje de las resistencias será considerada como mayores de 43Ω? Ejercicio 5.10 Considere la siguiente función f : R R: f (x) = { 0 si x < 0 λe λx si x 0 λ > 0

21 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Demuestre que f es una función de densidad para cualquier valor de λ > 0. Si una variable aleatoria X absolutamente continua tiene una densidad de esta forma se dice que X tiene distribución exponencial de parámetro λ (X exp (λ)). 2. Si X exp (λ) hallar y graficar la función de distribución F X. 3. Sea X una variable aleatoria que mide el tiempo de vida (en años) de un cierto aparato electrónico. El fabricante desea garantizar que la duración de estos aparatos supera los x 0 años con una probabilidad de 0,90. Si se sabe que X exp (0,01), determinar x 0. Halle también la menor cantidad de años enteros que cumple con la condición. 4. Un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de vida en años está dado por la variable aleatoria T exp ( 1 8). Si 5 de estos componentes se instalan en diferentes sistemas, cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen funcionando después de 8 años? Ejercicio 5.11 Examen, febrero de 2000 El consumo máximo de agua potable de una ciudad en un día cualquiera es una variable aleatoria X (en miles de m 3 ) con densidad: { 0 si x 0 f (x) = kxe x 3 si x > 0 1. Determine el valor de k para que f sea una densidad (de ahora en más se trabaja con ese valor). 2. Si la capacidad máxima de suministro de agua es de 27,000 m 3, hallar la probabilidad de que en un día determinado no se pueda satisfacer la demanda de agua potable (y por lo tanto haya corte de suministro). 3. Hallar la probabilidad de que en dos días cualesquiera de la próxima semana haya corte de suministro. 4. Hallar la probabilidad de que por lo menos en un día de la próxima semana haya corte de suministro. Ejercicio 5.12 Primer parcial Sea X una variable aleatoria real absolutamente continua con densidad f, siendo f una función par (es decir, f (x) = f ( x) x R). Sea F X su función de distribución. Probar que F X ( x) = 1 F X (x) x R. 2. La intensidad relativa de una señal de sonido se puede modelar como una variable aleatoria X absolutamente continua con densidad f (x) = 1 2 e x x R (conocida como distribución de Laplace). Se sabe además que una cierta señal de sonido es claramente perceptible para el oído humano medio si la intensidad relativa medida por X está entre 2,1 y 2,1 Cuál es la probabilidad de que al enviar una señal, esta no sea percibida claramente por los destinatarios, suponiendo que los mismos son personas con capacidad auditiva media? 3. Se emiten señales de sonido en forma independiente hasta que se reciben 2 señales con claridad. Hallar la probabilidad de tener que enviar exactamente 5 señales.

22 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Práctico Distribución conjunta. Variables independientes. Ejercicio 6.1 Sea F XY la distribución conjunta de las variables aleatorias X e Y. Probar que lím F XY (x, y) = F X (x) y que lím F XY (x, y) = F Y (y) y + x + Ejercicio Sean X e Y dos variables aleatorias cuya distribución conjunta es 1 si x 1, y 1 y si y [0, 1), x y F XY (x, y) = x si x [0, 1), y x 0 en los otros casos Hallar la distribuciones marginales F X y F Y. 2. Sean X e Y dos variables aleatorias cuya distribución conjunta es 1 si x 1, y 1 y si x 1, y [0, 1) F XY (x, y) = x si x [0, 1), y 1 xy si x [0, 1), y [0, 1) 0 en los otros casos Hallar la distribución (marginal) F X y la distribución (marginal) F Y. 3. Si X e Y son variables aleatorias, las distribuciones marginales F X y F Y determinan la distribución conjunta F XY? En qué caso F X y F Y determinan la distribución conjunta? Ejercicio 6.3 Se considera la siguiente función p XY : R 2 R { k (2x + y) si x {0, 1, 2, 3}, y RY = {1, 2, 3} p XY (x, y) = 0 en los otros casos 1. Hallar k para que p XY sea función de probabilidad puntual conjunta. 2. Sean X e Y variables aleatorias discretas con R X = {0, 1, 2, 3} y R Y = {1, 2, 3}, cuya función de probabilidad puntual conjunta es p XY. Hallar las funciones de probabilidad puntuales (marginales) p X y p Y. 3. X e Y son independientes? Justifique la respuesta. 4. Calcular P(1 X < 3, 2 < Y 3) y P(X + Y < 3). Ejercicio 6.4 Se considera la siguiente función f XY : R 2 R { kxy si x (0, 4) y (1, 5) f XY (x, y) = 0 en los otros casos 1. Hallar k para que f XY sea la función de densidad conjunta de dos variables aleatorias X, Y absolutamente continuas.

23 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Hallar las densidades (marginales) f X y f Y. 3. Hallar la distribución conjunta F XY y la distribuciones (marginales) F X y F Y. 4. X e Y son independientes? Justifique la respuesta. 5. Calcular P(X 3, Y 2) y P(X + Y > 4). Ejercicio 6.5 Sean X 1, X 2,..., X n iid con distribución F. 1. Calcular la función de distribución de X n = máx{x 1, X 2,..., X n }. 2. Calcular la función de distribución de X 1 = mín{x 1, X 2,..., X n }. Ejercicio 6.6 Gumbel: una distribución max-estable 1. a) Probar que la función f : R R tal que f (x) = 1 ( x α ( β exp β )) exp ( ( exp ( ))) x α es una función de densidad. Diremos que una variable aleatoria X tiene distribución Gumbel si X es absolutamente continua y la densidad de X es la dada en la parte anterior. Notación: X Gumbel (α, β). b) Si X Gumbel (α, β) hallar la función de distribución F X. c) Probar que X Gumbel (α, β) Z = X α Gumbel (0, 1). β 2. Sea X 1, X 2,..., X n,... una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas con distribución exp(1). Para cada n 1 definimos las variables a) Hallar la distribución de M n. b) Probar M n = máx {X 1, X 2,..., X n } lím P (M n log(n) x) = F Z (x) donde Z Gumbel (0, 1) n + β Ejercicio 6.7 Hallar la distribución F Y y la densidad f Y de la variable aleatoria 1. Y = log(x) donde X es una variable aleatoria con densidad f X (x) = 2. Y = X 2 donde X es una variable aleatoria con densidad { 2xe x 2 x (0, + ) f X (x) = 0 en los otros casos 3. Y = 3X + 1 donde X U [0, 1] { 1 x 2 x (1, + ) 0 en los otros casos

24 Probabilidad y Estadística IMERL - FING 23 Ejercicio 6.8 Sean X, Y v.a. independientes tales que X Bin(n, p), Y Bin(m, p). Hallar la función de distribución de X + Y. Ejercicio Sean X, Y v.a. independientes tales que X P(λ 1 ), Y P(λ 2 ). Hallar la función de distribución de X + Y. 2. En las mismas condiciones que en 1. calcular P (X = k X + Y = n) k = 0,..., n. 3. Se tienen dos centrales digitales A y B. El número de llamadas que llegan en 15 minutos a las centrales se puede modelar con dos variables aleatorias independientes, X para la central A e Y para la central B tales que X P(λ 1 ), Y P(λ 2 ). Supongamos además que en 15 minutos La probabilidad de que no llegue ninguna llamada a A es dos veces la probabilidad de que no llegue ninguna llamada a B La probabilidad de que llegue exactamente una llamada a A y la probabilidad de que llegue exactamente una llamada a B son iguales Se sabe que en en 15 minutos llegaron 10 llamadas (entre A y B). Cuál es la probabilidad de qué A haya recibido más llamadas que B? Ejercicio 6.10 Sean X, Y v.a. independientes tales que X, Y U[0, 1]. Hallar la función de distribución de X +Y y de XY. Ejercicio 6.11 * Sean X e Y variables aleatorias independientes tales que X exp(1) e Y exp(1). Se consideran las variables aleatorias Z = X + Y y W = X Y. 1. Probar que P(X > 0, Y > 0) = 1 y probar que la densidad conjunta f XY es { e (x+y) si x > 0 y > 0 f XY (x, y) = 0 en los otros casos 2. Se consideran los conjuntos A = { (x, y) IR 2 : x > 0, y > 0 } } y B zw = {(x, y) /R 2 : x + y z, xy w con z > 0 e w > 0. Dibujar A B zw. { ( ) (1 e z ze z ) si z > 0 w > 0 3. Probar que la distribución conjunta F ZW es F ZW (z, w) = Sugerencia: considerar A B zw. w 1+w 4. Probar que Z y W son independientes, y deducir las distribuciones de Z y de W Ejercicio 6.12 ** Sean X 1, X 2, X 3, X 4 iid U[0, 1]. 1. Halle la densidad conjunta f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) del vector (X 1, X 2, X 3, X 4 ). 0 en los otros casos 2. Integre en una región adecuada la densidad anterior para hallar la probabilidad del suceso A = {X 1 < X 3 < X 2 < X 4 }. Interprete el resultado. 3. Se sortean ahora cuatro puntos A, B, C, D de una circunferencia de longitud 1 de forma independiente y con distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que las cuerdas AB y CD se corten. Sugerencia: descomponga el suceso en sucesos de la forma vista en la parte anterior.

25 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Práctico Esperanza, covarianza y varianza Ejercicio 7.1 Al invertir en la bolsa de valores, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dólares en un año con una probabilidad de 0.3 o bien tener una pérdida de 1000 dólares con probabilidad 0.7. Cuál sería la ganancia esperada de esta persona? Ejercicio 7.2 Un comerciante de joyas antiguas está interesado en comprar un collar de oro para el cual las probabilidades de venderlo ganando 250 dólares, 100 dólares, nada o perdiendo 100 dólares, son respectivamente, 0.22, 0.36, 0.28, Cuál es la ganancia esperada del comerciante? Ejercicio 7.3 La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X está dada por: Hallar K y la esperanza de X. p X (x) = KC 3 x ( ) x ( ) 3 x 1 3 con x = 1, 2, Ejercicio 7.4 La función de densidad de la variable aleatoria X que mide los diámetros de paso de los hilos de 4 la rosca de una pieza está dada por: f(x) = π (1 + x 2 si x [0, 1] ) 0 en cualquier otro caso 1. Cuál es el valor esperado de X? 2. Si ahora definimos una variable aleatoria Y tal que Y = 3X + 1, cuál es el valor esperado de Y? Ejercicio 7.5 Una variable aleatoria continua X tiene densidad dada por: f(x) = Obtenga el valor esperado de g (X) = e 2X 3. { e x si x > 0 0 en cualquier otro caso Ejercicio 7.6 Sea U U[0, 1]. Hallar la función de distribución de la variable aleatoria X = 1 U, su densidad y su esperanza. Verificar que la esperanza coincide con el valor hallado mediante la fórmula E (g(u)) = g(t)f U (t)dt. Ejercicio 7.7 Consideremos dos juegos de azar. 1. Se eligen 5 números entre 1 y 20 y se sortea mediante bolilleros 5 números entre 1 y 20 (suponemos equiprobabilidad). Si salen los 5 números elegidos por nosotros (aunque sea en otro orden), ganamos 20 veces lo apostado; si salen 4 de los 5, ganamos 4 veces lo apostado; si salen 3 de los 5, ganamos el doble de lo apostado, y en cualquier otro caso perdemos lo apostado. (Atención: cuando decimos ganar nos referimos a cuánto se nos paga, y no a la ganancia neta. En realidad, la ganancia neta se obtiene luego de restar lo apostado, por ej.: si acertamos los 5 números, la ganancia neta es 19 veces lo apostado.)

26 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Se eligen 5 cartas de un mazo de 32, si las 5 son del mismo color y en escalera (supongamos las cartas numeradas del 1 al 8; las escaleras son cuatro: 1 a 5, 2 a 6, 3 a 7, 4 a 8) ganamos 8 veces lo apostado, si obtenemos 5 cartas del mismo color pero no en escalera, ganamos 2 veces lo apostado; si obtenemos cartas en escalera pero no del mismo color, recuperamos lo apostado; en cualquier otro caso se pierde lo apostado. (Vale la misma precisión que en el juego anterior respecto de la ganancia y también suponemos equiprobabilidad.) Queremos jugar una vez por semana uno de estos juegos, con las siguientes reglas: Jugaremos siempre una suma fija S, Jugaremos siempre el mismo juego, Las distintas jugadas son totalmente independientes, no hay influencia de una jugada en la otra Jugaremos por un tiempo indefinido, muy largo. Cuál de los juegos elegiría ud.? Al cabo de 1000 semanas, cuánto estimaría usted que es la ganancia neta que se obtendría jugando siempre al primer juego? Y al segundo?. Ejercicio 7.8 Si a ud. le dicen que el 12 % de la población está desempleada, el 48 % tiene un solo empleo, el 35 % tiene dos empleos y el 5 % tiene tres, y por otra parte en una muestra tomada al azar, de manera independiente, de 1400 personas resulta que el promedio de empleos por persona es Usted qué diría? Le parece que algún dato puede estar mal, o no? Si algún dato puede estar mal, de cuáles sospecharía? Qué tipos de errores podría contener la información? Si además, entre esas 1400 personas hay 312 desempleados, qué respondería a las preguntas anteriores? Ejercicio 7.9 Calcular la esperanza y la varianza de las siguientes distribuciones: 1. U{1,..., n} (uniforme discreta) 2. U[a, b] (uniforme continua) 3. P(λ) (Poisson) 4. exp(λ) (exponencial) 5. Geo(p) (geométrica) Ejercicio 7.10 Calcular esperanza y varianza de la distribución BN(k, p) (binomial negativa). Sugerencia: Utilizar que si X 1,..., X k iid Geo(p) entonces X X k BN(k, p). Ejercicio 7.11 Calcular esperanza y varianza de la distribución H(n; N; D) (hipergeométrica). Ejercicio 7.12 En este ejercicio se demostrarán la Desigualdad de Markov y la Desigualdad de Tchebycheff. 1. Demostrar la Desigualdad de Markov. Sean g : R R, con recorrido de g el conjunto de los reales mayores o iguales a 0; X v.a. real y a > 0, entonces Sugerencia: g(x) a1 {g(x) a}. P (g(x) a) E (g (X)). a

27 Probabilidad y Estadística IMERL - FING Demostrar la Desigualdad de Tchebycheff. Si X v.a. real tal que E ( X 2) <, entonces P ( X E (X) ε) Var (X) ε 2 ε > La producción diaria de motores eléctricos en una fábrica es (en promedio) µ = 120 con una desviación estándar de σ = 10. Hallar un intervalo que contenga por lo menos el 90 % de la cantidad diaria de motores producidos. 4. El costo diario por conectarse a un servidor de internet tiene una media µ = 13U$ con una desviación estándar de σ = 6,4U$. Acotar la probabilidad de que el costo sea mayor que 30 U$. 5. Una empresa de electrónica se encarga de suministrar tarjetas de impresoras a una fábrica de montaje de microcomputadoras. Se estudió la demanda mensual de tarjetas durante algunos meses y se vio que el promedio era µ = 280 con una desviación estándar de σ = 4. Cuál es el stock de tarjetas que debe tener la empresa de electrónica al principio de cada mes para que la demanda sea mayor que la oferta cuando mucho con una probabilidad de 0.10? Ejercicio 7.13 Primer parcial, Mayo de 1999 Se ponen a funcionar en un mismo momento (que tomamos como tiempo 0) dos lamparitas de dos marcas distintas, A y B, que se dejan prendidas hasta que se rompan. Llamemos X al tiempo de duración de la lamparita A e Y al tiempo de duración de la lamparita B. Admitamos que X e Y son independientes, que X sigue una distribución exponencial de parámetro λ 1 > 0 y que Y sigue una distribución exponencial de parámetro λ 2 > 0. Llamemos S al tiempo en que ocurre la primera rotura de alguna de las dos lamparitas y T al tiempo en que se rompe la restante lamparita. 1. Calcular las funciones de distribución de S y T. 2. Calcular E (S), E (T ). 3. Calcular E (ST ). Son S y T independientes? Justifique la respuesta. 4. Calcular P (S = T ).