Teoría de Telecomunicaciones I. I.E. Evelio Astaiza Hoyos

Transcripción

1 Teoría de Telecomunicaciones I I.E. Evelio Astaiza Hoyos

2 Objetivo El estudiante, al finalizar el curso estará en capacidad de describir los efectos de la contaminación de una señal transmitida, las limitaciones físicas y tecnológicas de los sistemas de Telecomunicaciones, identificar las distintas formas existentes de procesamiento de señales de naturaleza analógica y los criterios de selección de los mismos. Teoría de Telecomunicaciones I 2

3 Contenido del curso (1) GENERALIDADES Comunicación, mensajes y señales. El sistemas de comunicaciones. Limitaciones en la comunicación eléctrica. La modulación y la codificación. Cronología de la comunicación eléctrica. SEÑALES, ESPECTROS Y FILTROS (SISTEMAS LTI) Señales AC. Señales periódicas y series de Fourier Señales aperiódicas y Transformada de Fourier Relación entre el dominio del tiempo y la frecuencia. Respuesta de un sistema y filtros. Correlación y densidad espectral. Teoría de Telecomunicaciones I 3

4 Contenido del curso (2) SEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO Introducción a la probabilidad (repaso) Variables aleatorias y funciones de probabilidad Promedios estadísticos Modelos útiles de probabilidad Señales aleatorias. El ruido y su filtración. COMUNICACIÓN DE BANDA BASE Señales y ruido. Distorsión de la señal transmitida. Pérdida de transmisión y decibeles en el sistema. Teoría de Telecomunicaciones I 4

5 Contenido del curso (3) MODULACIÓN LINEAL Señales y sistemas pasabanda Modulación de doble banda: AM y DSB Moduladores y transmisores. Moduladores de banda lateral suprimida: SSB y VSB. Conversión de frecuencia, detección y receptores. Múltiplex por división de frecuencia (FDM) Sistemas de televisión y facsímile. MODULACIÓN EXPONENCIAL Conceptos fundamentales: FM y PM. Análisis espectral de FM Anchos de banda de FM Modulación de fase (PM) Transmisores y receptores. Teoría de Telecomunicaciones I 5

6 Contenido del curso (4) RUIDO DE MODULACION DE ONDA CONTINUA Modelos y Parámetros del sistema. Interferencia. Ruido pasabanda Ruido en modulación lineal Ruido en modulación exponencial Comparación de los sistemas de modulación de onda continua. Teoría de Telecomunicaciones I 6

7 Metodología CLASES Clases magistrales y practicas basadas en simulación utilizando la herramienta MATLAB. EVALUACIÓN Parcial I: Evaluación escrita (25%) Prácticas (10%) Parcial II: Evaluación escrita (25%) Prácticas (10%) Final: Evaluación escrita (20%) Prácticas (10%) Teoría de Telecomunicaciones I 7

8 Bibliografía Communication Systems Bruce Carlson Transmisión De Información. Modulación Y Ruido, Misha Schawartz Sistemas De Comunicación Digitales Y Analógicos. León W. Couch Ii Sistemas De Comunicación Electrónicas. Wayne Tomasi Fundamentals Of Signals And System Using Matlab Edward W. Kamen Bonnie S. Heck Teoría de Telecomunicaciones I 8

9 CAPITULO I Generalidades

10 Información, Mensajes y Señales Mensaje: Representación física de la información producida por una fuente. Tipos de Mensaje: Analógico y digital. Un mensaje analógico puede ser entregado a un destino con cierto grado de confiabilidad siempre y cuando este resida en una forma de onda variante con el tiempo. Un mensaje digital puede ser entregado a un destino con cierto nivel de precisión en una cantidad de tiempo específica siempre y cuando la información resida en un conjunto de símbolos. Teoría de Telecomunicaciones I 10

11 Elementos de un Sistema de Comunicación Teoría de Telecomunicaciones I 11

12 Efectos Sobre la Señal Producidos en el Canal Atenuación Distorsión Interferencia Ruido Teoría de Telecomunicaciones I 12

13 Limitaciones de Diseño (1) Ancho de banda: (Aplica como una medida de la velocidad tanto para señales como para sistemas) Cuando una señal varía rápidamente con el tiempo, su espectro se extiende sobre un amplio rango, igualmente, la habilidad de un sistema para seguir las variaciones de una señal se refleja en su respuesta en frecuencia o en su denominado ancho de banda de transmisión. Teoría de Telecomunicaciones I 13

14 Limitaciones de Diseño (2) Ruido: Térmico Interferencia Ínter modulación La medida relativa de la cantidad de potencia de ruido en una señal de información se expresa mediante la relación de potencia de señal a ruido S/N El ruido degrada la fidelidad de la señal en comunicaciones analógicas e introduce errores en comunicaciones digitales. Teoría de Telecomunicaciones I 14

15 Limitaciones de Diseño (3) Considerando las limitaciones de ancho de banda y ruido, Hartley y Shannon establecen que la tasa de transferencia de información no puede superar la capacidad del canal, la cual establece el límite superior en el desempeño de un sistema de comunicaciones con una relación señal a ruido y un ancho de banda dados. Teoría de Telecomunicaciones I 15

16 Modulación y Codificación (1) Modulación: Alteración sistemática de una señal portadora en correspondencia con las variaciones de una señal moduladora. Métodos de Modulación. Modulación de Onda Continua Modulación de pulsos Teoría de Telecomunicaciones I 16

17 Modulación y Codificación (2) Teoría de Telecomunicaciones I 17

18 Modulación y Codificación (3) Beneficios de la Modulación El propósito primario de la modulación en un sistema de comunicaciones es adaptar a la señal a las características del canal de transmisión. Eficiencia en la transmisión (Tamaño antenas) Superar limitaciones de hardware Reducción de ruido e interferencia Asignación de frecuencia Multiplexación Teoría de Telecomunicaciones I 18

19 Modulación y Codificación (3) CODIFICACIÓN Es una operación de procesamiento de símbolos para mejorar la comunicación cuando la información es digital o puede ser llevada a la forma de símbolos discretos. CODIFICACIÓN DE CANAL Es una técnica utilizada para introducir redundancia controlada para el mejoramiento del desempeño y fiabilidad en un canal ruidoso. CODIFICACION PARA CONTROL DE ERRORES Permite la reducción del ancho de banda de ruido mediante la adición de dígitos de verificación a cada palabra codificada. Teoría de Telecomunicaciones I 19

20 Cronología en comunicaciones (1) Desarrollos preliminares en electricidad, magnetismo y matemáticas Telegrafía Telefonía Telegrafía inalámbrica Comunicación electrónica Teoría de transmisión Televisión Teoría de la comunicación estadística 1953 Televisión a color Teoría de Telecomunicaciones I 20

21 Cronología en comunicaciones (2) Teoría de la información 1962 Comunicaciones satelitales Comunicaciones digitales Comunicaciones de banda ancha 1969 Arpanet 1972 Teléfono celular Sistemas de comunicación digital Teoría de Telecomunicaciones I 21

22 CAPITULO II Señales, Espectros y Filtros

23 Señales A.C. (1) Considere la familia de señales sinusoidales descritas de la forma Donde A es el valor pico o amplitud, ωo es la frecuencia en radianes y ø el ángulo de fase. La ecuación [1] implica que la señal tiene un periodo de repetición Teoría de Telecomunicaciones I 23

24 Señales A.C. (2) El reciproco del periodo es igual a la frecuencia en ciclos. Teoría de Telecomunicaciones I 24

25 Señales A.C. (3) La representación fasorial de la señal proviene del teorema de Euler. Luego, se puede representar cualquier señal sinusoidal como la parte real de una función exponencial compleja Teoría de Telecomunicaciones I 25

26 Señales A.C. (4) Para describir el mismo fasor en el dominio de la frecuencia, se deben asociar la correspondiente amplitud y fase con la frecuencia de rotación del fasor fo. Teoría de Telecomunicaciones I 26

27 Convenciones utilizadas en análisis espectral En todos los diagramas la variable independiente es frecuencia (f). Los ángulos de fase son medidos referenciados a señales coseno, o equivalentemente con respecto al semieje real positivo del diagrama fasorial. Se debe considerar siempre a la amplitud de la señal como una cantidad positiva, en caso de ser negativa debe ser representada en la fase. Los ángulos de fase son expresados en grados incluso cuando otros ángulos se encuentren expresados en radianes. Teoría de Telecomunicaciones I 27

28 Ejemplo (1) Considere la señal Utilizando las convenciones y expresándola en términos de funciones coseno tenemos Teoría de Telecomunicaciones I 28

29 Ejemplo (2) Obteniendo el diagrama de espectro un lado de la señal Teoría de Telecomunicaciones I 29

30 Ejemplo (3) Sin embargo, otra representación de mayor valor denominada diagrama de espectro de doble lado, involucra valores negativos de frecuencia, representación que puede obtenerse conociendo que Luego se puede obtener aplicando [4] Teoría de Telecomunicaciones I 30

31 Ejemplo (4) Por consiguiente aplicando [7] a la expresión de tenemos los diagramas Teoría de Telecomunicaciones I 31

32 Señales periódicas y potencia promedio (1) Sinusoides y fasores son miembros de una clase general de funciones periódicas, las cuales obedecen a la relación Por consiguiente una señal periódica se describe completamente especificando su comportamiento en uno de sus periodos. La representación de una señal periódica en el dominio de la frecuencia es el espectro obtenido por su expansión en series de fourier, y se requiere que la señal posea una potencia promedio finita. Teoría de Telecomunicaciones I 32

33 Señales periódicas y potencia promedio (2) Dada una función v(t) su valor promedio para todo el tiempo se define como En el caso de una señal periódica con periodo To promedio se redefine como el Teoría de Telecomunicaciones I 33

34 Señales periódicas y potencia promedio (3) La definición de potencia promedio asociada a cualquier señal periódica es Digamos que v(t) es una señal periódica de potencia con periodo To, su expansión en series complejas de fourier es Teoría de Telecomunicaciones I 34

35 Señales periódicas y potencia promedio (4) Los coeficientes de la serie se relacionan con v(t) a través de Estos coeficientes pueden ser expresados de forma polar como Teoría de Telecomunicaciones I 35

36 Señales periódicas y potencia promedio (5) Luego la expansión en series complejas de fourier [13] expande una señal de potencia periódica como una suma infinita de fasores de la forma Se hace énfasis en la interpretación espectral escribiendo Teoría de Telecomunicaciones I 36

37 Señales periódicas y potencia promedio (5) Donde representa la amplitud del espectro como una función de la frecuencia y arg representa la fase del espectro como una función de la frecuencia. Existen 3 propiedades importantes del espectro de señales de potencia periódicas Todas las frecuencias son múltiplos enteros o armónicos de la frecuencia fundamental fo. La componente d.c. es el valor promedio de la señal cuando n=0. Teoría de Telecomunicaciones I 37

38 Señales periódicas y potencia promedio (6) Si v(t) es una función real en el dominio del tiempo Lo cual indica que el espectro de amplitud presenta simetría par y el espectro de fase simetría impar Teoría de Telecomunicaciones I 38

39 Señales periódicas y potencia promedio (7) Dado lo anterior, la expansión en series complejas de fourier de señales reales, permite el reagrupamiento en pares complejos conjugados, excepto por C0, luego la señal v(t) puede ser expresada como La cual es denominada serie trigonométrica de fourier y sugiere un espectro de un solo lado. Sin embargo la mayoria de las veces se utilizan series exponenciales y espectros de dos lados. Teoría de Telecomunicaciones I 39

40 Señales periódicas y potencia promedio (8) La integración para Cn generalmente involucra un promedio fasorial de la forma Teoría de Telecomunicaciones I 40

41 Señales periódicas y potencia promedio (9) Dado que esta expresión aparece una y otra vez cuando se realiza el análisis espectral de una señal, se introduce la función Sinc, la cual se define como Donde λ representa la variable independiente Teoría de Telecomunicaciones I 41

42 Ejemplo: Descomposición en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (1) Para calcular los coeficientes de fourier, el rango de integración se toma sobre el periodo central Así mismo, sabiendo que la función v(t) se define como Teoría de Telecomunicaciones I 42

43 Ejemplo: Descomposición en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (2) Los coeficientes de fourier están dados por Teoría de Telecomunicaciones I 43

44 Ejemplo: Descomposición en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (3) Luego el espectro de magnitud está dado por Si Teoría de Telecomunicaciones I 44

45 Ejemplo: Descomposición en series de Fourier de un tren de pulsos rectangulares (4) Y el espectro de fase se obtiene por la observación de Cn, el cual siempre es real, pero en algunas ocasiones es negativo, lo cual indica que arg toma valores de 0, +180 y -180 dependiendo del signo de la función Sinc. Teoría de Telecomunicaciones I 45

46 Condiciones de convergencia y fenómeno de Gibbs (1) Condiciones de Dirichlet Si una función periódica v(t) posee un número finito de máximos, mínimos y discontinuidades por periodo, y v(t) es absolutamente integrable, luego la serie de fourier existe y converge uniformemente donde quiera que v(t) sea continua. Si v(t) es cuadrado integrable, luego tiene un área finita por periodo (equivalente a la potencia de la señal) Teoría de Telecomunicaciones I 46

47 Condiciones de convergencia y fenómeno de Gibbs (2) De acuerdo a las anteriores condiciones la serie converge en la media si Teoría de Telecomunicaciones I 47

48 Condiciones de convergencia y fenómeno de Gibbs (3) xx Teoría de Telecomunicaciones I 48

49 Teorema de Parseval (1) El teorema de Parseval relaciona la potencia promedio de una señal periódica con sus coeficientes de fourier. Teoría de Telecomunicaciones I 49

50 Teorema de Parseval (2) De la expresión anterior tenemos que la integral dentro de la sumatoria es Cn la expresión anterior indica que la potencia promedio de una señal periódica puede ser encontrada por la suma del cuadrado de las magnitudes de las líneas del espectro de la señal. Teoría de Telecomunicaciones I 50

51 Transformación de Fourier (1) Si una señal no periódica tiene una energía total finita, su representación en el dominio de la frecuencia, será un espectro continuo obtenido a partir de la transformada de fourier. Así mismo, es mas apropiado hablar de la energía de una señal no periódica que hablar de la potencia promedio de la señal, puesto que en este tipo de señales, su magnitud tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, igual sucede con el cuadrado de la magnitud y por consiguiente con su promedio de potencia. Teoría de Telecomunicaciones I 51

52 Transformación de Fourier (2) La energía de una señal se obtiene de acuerdo a Si la integral existe y converge a un valor mayor que cero y menor que infinito, se dice que la señal tiene una energía bien definida y se la denomina señal no periódica de energía. Es una condición esencial que una señal sea no periódica de energía para realizar su análisis espectral utilizando la transformación de fourier. Teoría de Telecomunicaciones I 52

53 Transformación de Fourier (3) Para introducir la transformada de fourier se parte de la representación en series de fourier de una señal periódica de potencia. Considerando el ejemplo de la descomposición en series de fourier del tren de pulsos, se puede observar que las componentes de frecuencia se encuentran espaciadas en intervalos Teoría de Telecomunicaciones I 53

54 Transformación de Fourier (4) Luego se puede observar que las componentes de espectro se acercan conforme el periodo se hace mayor, en el caso de el pulso rectangular, puede considerarse posee periodo infinito, por lo tanto, el espaciamiento entre las componentes del espectro tiende a cero, aproximándose a una variable continua de frecuencia f. Teoría de Telecomunicaciones I 54

55 Transformación de Fourier (5) En la expresión anterior de v(t) el término entre corchetes simboliza la transformada de fourier de la señal v(t), y se define como una integración sobre todo el tiempo que se encuentra definida la función de la variable f La función en el dominio del tiempo puede ser recuperada a partir de la transformada inversa de fourier. Teoría de Telecomunicaciones I 55

56 Transformación de Fourier (6) Propiedades de la transformación de Fourier. La transformada de Fourier es una función compleja, donde es la amplitud del espectro de v(t), y argv(f) es el espectro de fase. El valor de V(f) en f=0 es igual al área neta de v(t). Teoría de Telecomunicaciones I 56

57 Transformación de Fourier (7) Si v(t) es real Luego, se presenta simetría par en el espectro de magnitud e impar en el espectro de fase; las funciones complejas que obedecen a esta propiedad se las denomina poseen simetría hermitiana. Teoría de Telecomunicaciones I 57

58 Ejemplo: Espectro de un pulso rectangular (1) Sea un pulso rectangular estándar centrado en t=0 y de duración, luego v(t) se expresa de la forma Teoría de Telecomunicaciones I 58

59 Ejemplo: Espectro de un pulso rectangular (2) Luego Teoría de Telecomunicaciones I 59

60 Señales simétricas y causales (1) En general una señal puede ser expresada de la forma Donde Dado que Y representan las componentes par e impar de la señal V(f). Teoría de Telecomunicaciones I 60

61 Señales simétricas y causales (2) Si v(t) es real se cumple que Y por consiguiente Ahora, si v(t) es simétrica en el dominio del tiempo Teoría de Telecomunicaciones I 61

62 Señales simétricas y causales (3) Donde w(t) es válida para ambas v(t)coswt y v(t)sinwt. Si v(t) presenta simetría par v(-t)=v(t) Si v(t) presenta simetría impar v(-t)=-v(t) Ahora considérese el caso de una señal causal Con lo cual preclude cualquier tipo de simetría Teoría de Telecomunicaciones I 62

63 Señales simétricas y causales (3) Por lo tanto el espectro está formado por una parte real y una imaginaria, luego Integral que se asemeja a la transformada unilateral de Laplace La cual implica que v(t)=0 para t<0, luego si v(t) es una señal causal de energía V(f) puede determinarse a partir de la transformada unilateral de Laplace reemplazando s por jw Teoría de Telecomunicaciones I 63

64 Ejemplo: Pulso causal exponencial (1) Sea la señal causal Para la cual es espectro esta dado por racionalizando Luego Teoría de Telecomunicaciones I 64

65 Ejemplo: Pulso causal exponencial (2) Convirtiendo a coordenadas polares para obtener los espectros de magnitud y fase Teoría de Telecomunicaciones I 65

66 Teorema de energía de Rayleigh Establece que la energía E de una señal v(t) está relacionada con su espectro V(f) por Dado lo anterior se puede establecer que para un pulso rectangular la densidad espectral de energía para Donde la energía total del pulso es Teoría de Telecomunicaciones I 66

67 Relaciones tiempo frecuencia (Superposición) Si a1 y a2 son constantes y Luego Generalizando El teorema establece que combinaciones lineales en el dominio del tiempo son expresadas igualmente como combinaciones lineales en el dominio de la frecuencia Teoría de Telecomunicaciones I 67

68 Relaciones tiempo frecuencia (Desplazamiento en el tiempo y cambio de escala) (1) Desplazamiento en el dominio del tiempo causa adiciones lineales de fase Teoría de Telecomunicaciones I 68

69 Relaciones tiempo frecuencia (Desplazamiento en el tiempo y cambio de escala) (2) Cambios de escala en el dominio del tiempo producen cambios de escala recíprocos en el dominio de la frecuencia Teoría de Telecomunicaciones I 69

70 Ejemplo (1) Sea la señal donde Aplicando el teorema de superposición y desplazamiento en el tiempo tenemos Con Teoría de Telecomunicaciones I 70

71 Ejemplo (2) Tenemos que Luego si y entonces y donde entonces Teoría de Telecomunicaciones I 71

72 Ejemplo (3) Donde Si y se convierte en Teoría de Telecomunicaciones I 72

73 Ejemplo (4) Y el espectro es Donde se puede apreciar que es puramente imaginario dada la simetría impar de la señal en el domino del tiempo Teoría de Telecomunicaciones I 73

74 Relaciones tiempo frecuencia (Traslación de frecuencia y modulación)(1) Multiplicar un función en el dominio del tiempo por causa que su espectro sea trasladado en frecuencia por +fc Teoría de Telecomunicaciones I 74

75 Relaciones tiempo frecuencia (Traslación de frecuencia y modulación)(2) De acuerdo a la gráfica anterior tenemos: Las componentes significativas de frecuencia se encuentran alrededor de fc. A pesar que V(f) tiene una banda limitada de W, V(f - fc) tiene un espectro amplio de 2W. V(f - fc) es no hermitiana pero posee simetría con respecto al origen trasladado f fc. Teorema de la modulación Teoría de Telecomunicaciones I 75

76 Ejemplo: Pulso de RF Sea la señal Aplicando la propiedad de modulación tenemos Teoría de Telecomunicaciones I 76

77 Relaciones tiempo frecuencia (Diferenciación e integración)(1) Derivar una función en el dominio del tiempo, implica la multiplicación por un factor complejo en el dominio de la frecuencia Para comprobarlo tenemos Teoría de Telecomunicaciones I 77

78 Relaciones tiempo frecuencia (Diferenciación e integración)(2) Generalizando Integrar una función en el dominio del tiempo, implica la división por un factor complejo en el dominio de la frecuencia si Teoría de Telecomunicaciones I 78

79 Ejemplo: Pulso Triangular La forma de onda zb(t) posee área neta cero, y su integración produce un pulso triangular. Aplicando el teorema de integración Teoría de Telecomunicaciones I 79

80 Convolución (1) La convolución de dos funciones de la misma variable v(t) y w(t) se define como La integral de convolución no es difícil de calcular si las dos funciones son continuas en el tiempo, pero si una o ambas presentan discontinuidades, la interpretación gráfica de la convolución es de gran ayuda, por ejemplo sean las señales Teoría de Telecomunicaciones I 80

81 Convolución (2) Luego Teoría de Telecomunicaciones I 81

82 Convolución (3) En la figura anterior se puede apreciar que cuando t<0, las funciones no se traslapan, luego cuando 0 < t < T, las funciones se traslapan para 0 < λ < t por lo tanto t es el límite superior de integración Teoría de Telecomunicaciones I 82

83 Convolución (4) Finalmente cuando t > T las funciones se traslapan para t-t< λ < t Luego la gráfica de la función resultante es Teoría de Telecomunicaciones I 83

84 Teoremas de la convolución La convolución satisface múltiples propiedades derivadas de su definición o de su interpretación gráfica, tales como Teniendo presentes las anteriores propiedades se listan los teoremas de convolución Teoría de Telecomunicaciones I 84

85 Ejemplo: Pulso Trapezoidal (1) El pulso rectangular puede ser expresado como la convolución de los pulsos rectangulares Si el problema se puede estudiar en tres partes No hay traslape Hay traslape parcial Hay traslape total Teoría de Telecomunicaciones I 85

86 Ejemplo: Pulso Trapezoidal (2) En el caso de no traslape tenemos En la región de traslape parcial Teoría de Telecomunicaciones I 86

87 Ejemplo: Pulso Trapezoidal (3) En la región de traslape total Luego, el resultado es el pulso trapezoidal, del cual su transformada puede expresarse como Teoría de Telecomunicaciones I 87

88 Impulsos y transformada en el límite (Propiedades del impulso unitario) Considerando Donde v(t) es continua en t=0, y si v(t)=1, tenemos Las propiedades integrales mas significativas del impulso son Teoría de Telecomunicaciones I 88

89 Impulsos y transformada en el límite (Impulsos en frecuencia)(1) Una señal constante en el dominio del tiempo posee un espectro definido por un impulso, luego Generalizando Teoría de Telecomunicaciones I 89

90 Impulsos y transformada en el límite (Impulsos en frecuencia)(2) Si v(t) es una señal periódica arbitraria Luego su transformada de fourier es Lo anterior indica que cualquier conjunto de espectro de dos lados puede ser convertido a un espectro continuo, permitiendo la representación de señales periódicas y no periódicas por espectros continuos. Teoría de Telecomunicaciones I 90

91 Ejemplo: Señal modulada en frecuencia Sea la señal Con Teoría de Telecomunicaciones I 91

92 Funciones escalón y signo (1) La función signo se define como Esta función es un caso particular de la función Donde Teoría de Telecomunicaciones I 92

93 Funciones escalón y signo (2) Luego Ahora, la función signo y la función escalón se relacionan Teoría de Telecomunicaciones I 93

94 Funciones escalón y signo (3) Convolucionando una función v(t) cualquiera con el escalón tenemos Luego Lo anterior indica que el teorema de integración es válido cuando V(0)=0 Teoría de Telecomunicaciones I 94

95 Impulso en el tiempo (1) La transformada de un impulso en el dominio del tiempo es una función constante en el dominio de frecuencia De manera general aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo tenemos Sea v(t) una función continua en el tiempo con transformada bien definida V(f), luego Teoría de Telecomunicaciones I 95

96 Impulso en el tiempo (2) Luego Así mismo se puede relacionar el impulso unitario con el escalón unitario mediante Por lo tanto Teoría de Telecomunicaciones I 96

97 Impulso en el tiempo (3) De lo anterior y aplicando el teorema de diferenciación tenemos Donde w(t) es una función no impulsiva; expresiones que permiten analizar el espectro de alta frecuencia de una señal para el diseño de sistemas, cuando alguna de las derivadas de la señal presenta discontinuidades. Teoría de Telecomunicaciones I 97

98 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposición integral)(1) Sea el sistema LTI Donde la salida y(t) es la respuesta del sistema a la entrada x(t) y representada por La propiedad de linealidad indica que el sistema obedece al principio de superposición, luego si (ak son constantes) Teoría de Telecomunicaciones I 98

99 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposición integral)(2) La propiedad de invarianza en el tiempo del sistema indica que las características del sistema permanecen fijas con el tiempo, por lo tanto La mayoría de los sistemas LTI son sistemas compuestos por elementos que se pueden caracterizar como conjuntos de resistencias, inductores y capacitores, el análisis directo de este tipo de sistemas relaciona la entrada con la salida mediante una ecuación diferencial lineal de la forma Teoría de Telecomunicaciones I 99

100 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposición integral)(3) Para obtener una relación explícita entre la entrada y salida del sistema, se debe definir la respuesta al impulso de dicho sistema Y de acuerdo a que cualquier señal continua a la entrada del sistema puede ser expresada como entonces Teoría de Telecomunicaciones I 100

101 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposición integral)(4) Lo anterior, de acuerdo a la propiedad de linealidad del sistema, y dada la propiedad de invarianza en el tiempo tenemos Por lo tanto, la salida del sistema se expresa como la convolución de la respuesta al impulso del sistema con la señal de entrada. Teoría de Telecomunicaciones I 101

102 Respuesta de sistemas LTI (Respuesta al impulso y superposición integral)(5) Existen formas de calcular h(t) a partir de ecuaciones diferenciales, pero es mas cómodo calcularla a partir de la respuesta al escalón, luego, sea Lo anterior cumple con la propiedad general de convolución luego Teoría de Telecomunicaciones I 102

103 Respuesta en tiempo de un sistema de primer orden En el circuito de la figura, la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema, su respuesta al escalón y al impulso son Nótese que las respuestas g(t) y h(t) son respuestas causales. Teoría de Telecomunicaciones I 103

104 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (1) La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de fourier de la respuesta al impulso del sistema Esta definición hace que sea necesario que H(f) exista, dado que si h(t) es creciente con el tiempo (sistema inestable) H(f) no existe. Cuando h(t) es real H(f) es hermitiana. La interpretación en el dominio de la frecuencia proviene de la convolución de la señal de entrada al sistema con la respuesta al impulso del mismo. Teoría de Telecomunicaciones I 104

105 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (2) Luego, sea donde la condición que x(t) exista para todo tiempo t está asociada con las condiciones de estado estable del sistema, por lo tanto la respuesta de estado estable del sistema está dada por Teoría de Telecomunicaciones I 105

106 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (3) Llevando H(fo) a forma polar se tiene donde luego por lo tanto son las repuestas en magnitud y fase del sistema como funciones de la frecuencia. Teoría de Telecomunicaciones I 106

107 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (4) Por consiguiente, sea una señal x(t) con espectro X(f), se tiene que y aplicando transformada se tiene que y los correspondientes espectros de magnitud y fase son Si x(t) es una señal de energía, luego y(t) también será una señal de energía con densidad espectral de energía y energía total igual a Teoría de Telecomunicaciones I 107

108 Funciones de transferencia y respuesta en frecuencia (5) Finalmente, se puede determinar H(f) en un sistema sin conocer h(t), conociendo la ecuación diferencial del sistema, expresando H(f) como la relación de polinomios Igualmente se puede obtener la respuesta de estado estable de un fasor como cuando Teoría de Telecomunicaciones I 108

109 Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden (1) Redibujando el circuito del ejemplo anterior, con impedancias y tenemos cuando donde Teoría de Telecomunicaciones I 109

110 Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden (2) Graficando el espectro de la respuesta del sistema Para ilustrar mejor el comportamiento del sistema, sea x(t) una señal de entrada arbitraria con espectro contenido en Pueden ser estudiados 3 casos Teoría de Telecomunicaciones I 110

111 Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden (3) Teoría de Telecomunicaciones I 111

112 Análisis de diagramas en bloques Teoría de Telecomunicaciones I 112

113 Ejemplo: Retenedor de orden cero Sea El resultado anterior es aparentemente inusual, realizando el proceso en el dominio del tiempo tenemos la entrada al integrador es cuando Teoría de Telecomunicaciones I 113

114 Distorsión de señal en transmisión (Transmisión sin distorsión) (1) Se dice que se presenta transmisión sin distorsión cuando la señal de salida del canal de transmisión difiere de la señal de entrada solamente en un multiplicación por una constante y en un retardo finito, por lo tanto un sistema sin distorsión debe tener una respuesta constante en magnitud y un desplazamiento lineal negativo de fase, luego Teoría de Telecomunicaciones I 114

115 Distorsión de señal en transmisión (Transmisión sin distorsión) (2) La gráfica muestra la densidad espectral de energía de una señal promedio de voz De la gráfica se puede concluir que un sistema que cumpla las condiciones anteriores en el rango de frecuencias desde 200Hz a 3200Hz puede considerarse sin distorsión Típicamente se definen 3 tipos de distorsión Distorsión de amplitud Distorsión de retardo Distorsión no lineal cuando hay elementos no lineales. Teoría de Telecomunicaciones I 115

116 Distorsión de señal en transmisión (Distorsión Lineal)(1) La distorsión lineal incluye cualquier distorsión de amplitud o retardo en un sistema de transmisión lineal. Señal de prueba Distorsión de amplitud Distorsión de fase θ=-90 Teoría de Telecomunicaciones I 116

117 Distorsión de señal en transmisión (Distorsión Lineal)(2) La distorsión de amplitud ocurre cuando no es constante con la frecuencia, si el desplazamiento de fase no es lineal, cada componente de la señal sufre diferentes cantidades de retardo causando distorsión de fase o distorsión de retardo, dado que Que será independiente de la frecuencia solamente si arg H(f) es lineal con la frecuencia. Veamos cual es el impacto de la distorsión de fase en una señal modulada. Teoría de Telecomunicaciones I 117

118 Distorsión de señal en transmisión (Distorsión Lineal)(3) La función de transferencia de un canal arbitrario puede ser expresada como donde si la entrada al canal es y Luego por la propiedad de retardo de la transformada donde por lo tanto, la portadora ha sido retardada td señales moduladas retardadas tg y las Teoría de Telecomunicaciones I 118

119 Distorsión de señal en transmisión (Distorsión Lineal)(4) td corresponde al desplazamiento de fase de la portadora y se denomina retardo de fase del canal o retardo de portadora, el retardo entre la envolvente de la señal de entrada y la señal de salida tg es denominado retardo de envolvente o retardo de grupo del canal. Para poder recuperar las señales originales, el retardo de grupo debe ser constante, luego donde Teoría de Telecomunicaciones I 119

120 Ecualización (1) La distorsión lineal teóricamente es reversible mediante redes de ecualización Para el cual la salida total sería sin distorsión si se cumple que de donde Difícilmente se consigue el diseño de un ecualizador que cumpla la condición anterior, pero se obtiene una buena aproximación. Teoría de Telecomunicaciones I 120

121 Ecualización (2) Una de las técnicas mas antiguas de ecualización para líneas telefónicas es la utilización de bobinas de pupinización, un método mas reciente consiste en la utilización de ecualizadores de líneas de retardo o filtros transversales Generalizando Teoría de Telecomunicaciones I 121

122 Ejemplo: Distorsión Multitrayectoria Supóngase la salida de un canal de radio sea Donde el segundo término corresponde a un eco del primero si t1<t2, luego donde Por lo tanto las características del ecualizador requerido son Si lo cual revela que si fuese un medio cableado serviría un ecualizador con TAP de la forma y Teoría de Telecomunicaciones I 122

123 Distorsión no lineal y compansión (1) En un sistema no lineal, su comportamiento no puede ser descrito por una función de transferencia, en lugar de ello los valores instantáneos de entrada y salida son relacionados por una curva o función comúnmente llamada característica de transferencia. Bajo condiciones de entrada de pequeña señal, es posible linealizar la función como se muestra en la figura, bajo expresiones de la forma. Teoría de Telecomunicaciones I 123

124 Distorsión no lineal y compansión (2) A pesar de que no existe una función de transferencia, el espectro de la salida puede ser obtenido a partir del teorema de convolución Si la señal x(t) es limitada en banda W, la respuesta de un sistema lineal no podría contener componentes mas allá de la banda, pero en el caso de sistemas no lineales, la salida incluye componentes de la forma que se encuentran en bandas 2W,3W, etc., las cuales pueden ser eliminadas a partir de filtrado. Teoría de Telecomunicaciones I 124

125 Distorsión no lineal y compansión (3) Sin embargo, aún queda el problema de la eliminación de componentes aditivas en la banda lo cual produce la distorsión no lineal en cuestión. Por ejemplo sea la señal la cual se introduce al sistema anterior, luego Teoría de Telecomunicaciones I 125

126 Distorsión no lineal y compansión (4) La solución a la situación anterior es la introducción de dos sistemas tales que Teoría de Telecomunicaciones I 126

127 Perdidas de transmisión y decibeles (ganancia de potencia)(1) Además de la distorsión un canal de comunicaciones también reduce el nivel de potencia de la señal, lo cual puede ser compensado por amplificación. En un sistema LTI sin distorsión se tiene que Donde Pin es la potencia promedio de la señal de entrada Luego Los db siempre representan razones de potencias y los dbw o los dbm representan potencia. Teoría de Telecomunicaciones I 127

128 Perdidas de transmisión y decibeles (ganancia de potencia)(2) Considerando un sistema descrito por su función de transferencia H(f), si a la entrada del sistema se introduce una señal sinusoidal con amplitud Ax y produce una amplitud de salida y las potencias normalizadas son y no necesariamente iguales a Pin y Pout, sin embargo cuando hay adaptación de impedancias es igual a, por lo tanto si luego en este caso la ganancia de potencia también aplica a las señales de energía en el sentido que, además se tiene que la ganancia relativa de potencia se define como Teoría de Telecomunicaciones I 128

129 Perdidas de transmisión y repetidores (1) Las pérdidas de transmisión o atenuación se definen como Donde En el caso de las líneas de transmisión, cable coaxial, fibra óptica y guías de onda, la potencia de salida decrementa exponencialmente con la distancia, luego Donde es la distancia del canal de transmisión y α es el coeficiente de atenuación en db por unidad de longitud, luego Teoría de Telecomunicaciones I 129

130 Perdidas de transmisión y repetidores (2) Teoría de Telecomunicaciones I 130

131 Perdidas de transmisión y repetidores (3) La figura representa un sistema de transmisión por cable con un amplificador de salida y un amplificador operando como repetidor en la mitad del trayecto de transmisión, luego Teoría de Telecomunicaciones I 131

132 Sistemas de radio (1) Se examinarán las perdidas de transmisión en un sistema de radio propagación por línea de vista. Las pérdidas de espacio libre en un enlace por línea de vista son debidas a la dispersión atmosférica, y dadas por Teoría de Telecomunicaciones I 132

133 Sistemas de radio (2) Expresando en kilómetros y f en gigahertz las antenas tienen un efecto focalizador que actúa como amplificador en el sentido que la máxima ganancia de antena para una apertura de área efectiva es Teoría de Telecomunicaciones I 133

134 Ejemplo: Sistema de transmisión por satélite (1) La figura muestra un enlace satelital que utiliza un satélite geoestacionario operando en la banda C con frecuencia de subida de 6Ghz y de bajada de 4Ghz. Teoría de Telecomunicaciones I 134

135 Ejemplo: Sistema de transmisión por satélite (2) Las pérdidas en el enlace de subida están dadas por y en el enlace de bajada el satélite tiene un amplificador repetidor que produce una salida típica de 18dBW, si la potencia de entrada al transmisor es de 35dBW, la potencia recibida en el satélite es de Luego la potencia de salida de la antena del receptor es Teoría de Telecomunicaciones I 135

136 Filtros y filtrado (Filtros ideales) (1) Un filtro ideal por definición posee las características de un sistema sin distorsión para una o varias bandas de frecuencias y respuesta cero para todas las demás frecuencias. Los parámetros y son las frecuencias de corte inferior y superior respectivamente, y el ancho de banda del filtro esta dado por Teoría de Telecomunicaciones I 136

137 Filtros y filtrado (Filtros ideales) (2) Sin embargo, todos los filtros ideales son irrealizables, debido a que sus características de transferencia no pueden ser obtenidas a partir de un conjunto finito de elementos. Por ejemplo, la función de transferencia y repuesta al impulso de un filtro pasabajos (LPF) se puede escribir como Teoría de Telecomunicaciones I 137

138 Limitación en banda y en tiempo Se dice que una señal v(t) es limitada en banda si existe una constante W tal que De manera similar v(t) es limitada en tiempo si para las constantes t1<t2 Por lo tanto cualquier señal limitada en banda existe para cualquier tiempo y viceversa, luego las señales perfectamente limitadas en banda y limitadas en tiempo son mutuamente excluyentes, entonces abandonaremos el concepto de señales limitadas en banda porque por ello se debería aceptar modelos de señal que existan para todo tiempo (señales no causales). Teoría de Telecomunicaciones I 138

139 Filtros reales (1) La figura muestra el espectro de magnitud de un filtro real pasa banda Los puntos en los cuales termina la banda pasante son definidos por Además en los filtros reales, se pueden observar 3 regiones bien definidas, región de banda pasante, transición y banda detenida. Teoría de Telecomunicaciones I 139

140 Filtros reales (2) El filtro estándar mas simple es el filtro pasabajas de Butterworth de orden n, el cual tiene n elementos reactivos y si K=1 se tiene Donde B es el ancho de banda de 3dB y Pn es un polinomio complejo; la familia de polinomios de Butterworth se definen por la propiedad Por consiguiente las primeras n derivadas de son cero para f=0 y se dice que es máximamente plana. Teoría de Telecomunicaciones I 140

141 Filtros reales (3) Un filtro de Butterworth de primer orden tiene las mismas características de un filtro RC pasa bajos, con una pobre aproximación a un LPF ideal. Pero la aproximación mejora a medida que se incrementa n, la siguiente tabla muestra algunos de los polinomios de Butterworth para n=1 hasta 4 con Teoría de Telecomunicaciones I 141

142 Filtros reales (4) Una idea clara de la relación de amplitud en la región de transición se obtiene a partir del diagrama de bode, luego a medida que se incrementa n la respuesta en magnitud del filtro es mas aproximada a la ideal, pero la respuesta de fase en la banda pasante es menos lineal. Teoría de Telecomunicaciones I 142

143 Filtros reales (5) Luego, en los casos en los cuales la linealidad de la fase es un factor fundamental, los filtros de Bessel Thomson son una mejor opción, de acuerdo a que presentan una característica de máximo desplazamiento de fase lineal, pero presentan una amplia región de transición. Por otro lado las clases de filtro de igual rizado (equiripple) tales como Chebysheb y elípticos proporcionan mejores caídas en la región de transición, pero presentan pequeños rizados en la región pasante y significativo desplazamiento de fase no lineal. Teoría de Telecomunicaciones I 143

144 Ejemplo: Filtro de Butterworth de segundo orden (1) El siguiente circuito es un filtro pasa bajos de Butterworth de segundo orden con Por lo tanto su función de transferencia es Teoría de Telecomunicaciones I 144

145 Ejemplo: Filtro de Butterworth de segundo orden (2) Luego de acuerdo a los polinomios de Butterworth tenemos que se requiere Por lo tanto, la relación entre R, L, C que satisface la ecuación es Lo cual implica que Teoría de Telecomunicaciones I 145

146 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (1) Un pulso rectangular, o cualquier otra señal con transiciones abruptas contienen una cantidad significativa de componentes de alta frecuencia que pueden ser atenuadas o eliminadas por filtros pasabajos. El filtrado del pulso produce un efecto de aplanamiento que puede ser estudiado en el dominio del tiempo, este estudio se puede iniciar considerando a la entrada de un filtro un escalón unitario que representaría el borde del pulso, luego la respuesta al impulso del filtro será Teoría de Telecomunicaciones I 146

147 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (2) Luego la respuesta al impulso de un filtro de primer orden es Donde B es el ancho de banda del filtro, pero el filtro de primer orden no tiene restricciones severas con respecto a la limitación en banda, por consiguiente un filtro ideal su respuesta al impulso es, luego Donde Teoría de Telecomunicaciones I 147

148 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (3) Donde la primer integral es igual a ½, pero la segunda requiere integración numérica, luego Teoría de Telecomunicaciones I 148

149 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (4) El tiempo de rizado es una medida de la velocidad de la respuesta al impulso de un filtro, usualmente definido como el intervalo tr entre g(t)=0.1 y g(t)=0.9, el tiempo de rizado para un filtro de primer orden es de y para un filtro ideal es de por lo tanto se considera en general ahora si la señal de entrada al filtro es un pulso rectangular con duración e inicio en t=0 y Teoría de Telecomunicaciones I 149

150 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (5) Luego Donde se observa que la respuesta tiene una forma aproximadamente rectangular cuando mientras es completamente distorsionado cuando Teoría de Telecomunicaciones I 150

151 Respuesta al pulso y tiempo de rizado (6) Por lo tanto para transmitir pulsos rectangulares se requiere un ancho de banda grande para reproducir su forma Pero para detectar el envío de un pulso o medir su amplitud es suficiente con Además la detección y resolución de pulsos están generalmente relacionadas con la medida relativa a un tiempo de referencia de posición de pulsos. Teoría de Telecomunicaciones I 151

152 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (1) La transformada de fourier es muy útil cuando deseamos descomponer señales de acuerdo a su contenido de frecuencia, sin embargo a veces es conveniente descomponer las señales en función de su fase, para estas aplicaciones se utiliza la transformada de Hilbert, la cual se introduce en conjunción con los filtros en cuadratura, el cual es una red pasa todo que simplemente desplaza la fase de las componentes positivas de frecuencia en -90 y las componentes negativas de frecuencia un ángulo de +90, luego un desplazamiento de fase de es equivalente a multiplicar a la función de transferencia por Teoría de Telecomunicaciones I 152

153 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (2) Luego la función de transferencia del filtro puede ser escrita en términos de la función signo como y su correspondiente repuesta al impulso obtenida por dualidad dado que luego Teoría de Telecomunicaciones I 153

154 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (3) Si se introduce al filtro una señal arbitraria x(t), luego la salida del filtro puede ser definida como la transformada de Hilbert de x(t) denotada como Nótese que la transformada de Hilbert es una convolución y por lo tanto transforma una función en el dominio tiempo a otra también en el dominio tiempo, no está efectuando un cambio de dominio, por lo tanto el espectro de como Teoría de Telecomunicaciones I 154

155 Filtros de cuadratura y transformada de Hilbert (4) Se puede observar de la ecuación de que es un sistema no causal, y por lo tanto físicamente no realizable, aunque su comportamiento puede ser aproximado en una banda finita de frecuencias. Presumiendo que la señal de entrada al filtro x(t) es real 1. El espectro de magnitud de una señal y el de su transformada de Hilbert es igual, luego la energía o potencia de la señal y de su transformada también es igual. 2. Si es la transformada de Hilbert de la señal luego es la transformada de Hilbert de 3. Una señal y su transformada de Hilbert son ortogonales Teoría de Telecomunicaciones I 155

156 Ejemplo: Transformada de Hilbert de una señal coseno Sea luego Por lo tanto Este par de transformadas son muy utilizadas para encontrar la transformada de Hilbert de cualquier señal que consiste de la suma de sinusoides. Teoría de Telecomunicaciones I 156

157 Ejemplo: Transformada de Hilbert de un pulso rectangular (1) Sea su transformada de Hilbert Gráficamente tenemos Teoría de Telecomunicaciones I 157

158 Ejemplo: Transformada de Hilbert de un pulso rectangular (2) Como se aprecia en la gráfica para el caso en el cual luego las áreas se cancelan entre y y Por ultimo no existe cancelación de área para Combinando en una expresión Teoría de Telecomunicaciones I 158

159 Correlación y densidad espectral La correlación se enfoca en el estudio de promedios temporales y señales de energía o potencia, tomando la transformada de Fourier de una función de correlación se obtiene una representación en el dominio de la frecuencia en términos de funciones de densidad espectral, teniendo como ventaja que las señales por si mismas no necesariamente deben ser Fourier transformables, por ello, la densidad espectral permite modelar un amplio rango de señales incluyendo las señales aleatorias. Teoría de Telecomunicaciones I 159

160 Correlación y densidad espectral (correlación de señales de potencia)(1) Sea v(t) una señal de potencia no necesariamente real o periódica, solamente se establece que debe tener bien definida su potencia promedio El promedio temporal de una señal debe interpretarse Con las siguientes propiedades Teoría de Telecomunicaciones I 160

161 Correlación y densidad espectral (correlación de señales de potencia)(2) Si v(t) y w(t) son señales de potencia, el promedio se denomina producto escalar de v(t) y w(t), el producto escalar es un número, posiblemente complejo que sirve como una medida de similaridad entre dos señales; la desigualdad de Schwarz relaciona el producto escalar con las potencias de las señales Ahora, sea Teoría de Telecomunicaciones I 161

162 Correlación y densidad espectral (correlación de señales de potencia)(3) la potencia promedio de z(t) será Si a=1 y Donde se observa que un gran valor del producto escalar implica señales similares, de igual manera un pequeño producto escalar implica señales disimilares y Teoría de Telecomunicaciones I 162

163 Correlación y densidad espectral (correlación de señales de potencia)(4) Definiendo la correlación cruzada (crosscorrelation) de dos señales de potencia como La cual es el producto escalar con la segunda señal retardada con relación a la primera, donde el desplazamiento es la variable independiente, donde la variable t ha sido omitida del promedio temporal; las propiedades generales de son Luego la correlación cruzada mide la similaridad entre y como una función de Teoría de Telecomunicaciones I 163

164 Correlación y densidad espectral (correlación de señales de potencia)(5) Por lo tanto la correlación cruzada es una medida mas sofisticada de la similaridad de dos señales que el producto escalar dado que detecta similaridades de las señales desplazadas en el tiempo que el producto escalar puede obviar. Si se correlaciona una señal con si misma, se genera la función de autocorrelación, la cual nos da una idea de la variación en el tiempo de la señal en un sentido promedio. Si es grande, se puede inferir que es muy similar a para un valor de particular. Teoría de Telecomunicaciones I 164

165 Correlación y densidad espectral (correlación de señales de potencia)(6) Algunas propiedades de la función de autocorrelación luego posee simetría hermitiana y máximo valor en el origen igual que la señal de potencia. Si es real, luego será real y par. Si es periódica tendrá la misma periodicidad. Considerando la señal autocorrelación se encuentra que, obteniendo su y si y son no correlacionadas para todo luego y haciendo Teoría de Telecomunicaciones I 165

166 Ejemplo: Correlación de fasores y sinusoides (1) El producto escalar de dos fasores o señales sinusoidales se describe como Resultado que se aplicará mas adelante, luego sean Donde y son constantes complejas que afectan la magnitud del fasor y su fase. Teoría de Telecomunicaciones I 166

167 Ejemplo: Correlación de fasores y sinusoides (2) Luego la correlación cruzada es Luego, los fasores son no correlacionados a menos que tengan frecuencias idénticas. Por lo tanto la función de autocorrelación es Por lo tanto, para una señal sinusoidal Teoría de Telecomunicaciones I 167