Semana 07[1/21] Sumatorias. 12 de abril de Sumatorias

Transcripción

1 Semana 07[/] de abril de 007

2 Semana 07[/] Progresiones aritméticas Progresión aritmética Es una sumatoria del tipo (A + d) es decir, donde a A + d, para valores A, d Ê. Utilizando las propiedades de sumatoria, obtenemos que esta suma es igual a A + d Nos basta, entonces, calcular la sumatoria

3 Semana 07[3/] Progresiones aritméticas Para ello utilizaremos el método de Gauss: como la suma en Ê es conmutativa, entonces S puede ser calculado de las dos formas siguientes S (n-) + n S n + (n-) + (n-) Si sumamos estas dos igualdades, obtenemos S (n ) + n S n + (n ) + (n ) S n + n + n n + n Como cada suma posee (n + ) sumandos, obtenemos que S n(n + )

4 Semana 07[4/] Progresiones aritméticas Propiedad Si n 0, n(n + ) Demostración. Por inducción sobre n 0. Caso n 0: Hay que demostrar que 0 0 lo cual es directo pues ambos lados valen 0. Supongamos que la fórmula vale para algún n 0. Entonces n+ (n + ) + n(n + ) (n + ) + (n + n) + (n + ) n + 3n + con lo que completamos la demostración. (Aquí aplicamos la hipótesis inductiva.) (n + )(n + )

5 Semana 07[5/] Progresiones aritméticas Es importante notar que 0 + por lo que es irrelevante si la suma se considera desde 0 o desde. También, notemos que si n n son números naturales, entonces n n n n n (n + ) (n )n (n + n )(n n + ) por lo que sabemos calcular esta suma entre cualquier par de números. Finalmente, volviendo a la progresión aritmética, podemos ahora dar su fórmula explícita: Fórmula progesión aritmética (A + d) A(n + ) + d n(n + )

6 Semana 07[6/] Progresiones geométricas Progresión geométrica Es una sumatoria del tipo es decir, donde a Ar, para valores A, r Ê. Ar Supongamos que r. El caso r es muy sencillo, y queda como ejercicio para el lector. Similarmente a como procedimos antes, podemos decir que esta suma equivale a A por lo que basta calcular esta última sumatoria. r Denotemos Se tiene entonces que por lo que S r r S r + S r S (r r + )

7 Semana 07[7/] Progresiones geométricas S r S (r r + ) Reconocemos en esta última igualdad una suma telescópica, la cual vale r 0 r n+. Por lo tanto S( r) r n+ y gracias a que r se obtiene la fórmula Propiedad Si n 0 y r, r r n+ r Queda propuesto al lector demostrar por inducción esta propiedad. Nuevamente es posible calcular esta suma entre cualquier par de números. Si n n, entonces n n r r n r r n + r r n r r n r n + r

8 Semana 07[8/] Progresiones geométricas Así, volviendo al caso de la progresión geométrica, obtenemos que ésta cumple la fórmula Fórmula progresión geométrica Si r, Ar A( r n+ ) r

9 Semana 07[9/] Algunas sumas importantes Veamos a continuación algunas sumas importantes que podemos calcular usando lo conocido. Propiedad Si n 0, n(n + )(n + ). 6 Demostración. Queda propuesto como ejercicio, demostrar esta propiedad usando inducción. Aquí lo haremos directamente, notando que para cualquier {0,...,n} se tiene que Por ende, tendremos la siguiente igualdad ( + ) ( + ) 3 Y aplicando propiedades de las sumas, obtenemos: ( + ) Continúa...

10 Semana 07[0/] Algunas sumas importantes Continuación demostración. Despejamos entonces el valor de la suma buscada, obteniendo: ( ) ( + ) ( ) (( + ) 3 3 ) 3. 3 }{{}}{{}}{{} () () (3) Y todos los términos en el lado derecho se pueden calcular: La suma (), por propiedad telescópica, (( + ) 3 3 ) (n + ) 3 0 (n + ) 3. La suma (), por la propiedad vista para progresiones aritméticas, n(n + ). La suma (3) por propiedad vista en la tutoría pasada, n +. Continúa...

11 Semana 07[/] Algunas sumas importantes Continuación demostración. En resumen, tenemos que: Concluyendo el resultado. ( ) (n + ) 3 3n(n + ) (n + ) 3 (n + ) (n + n + 3n ) 3 (n + ) ( n + n ) 3 n(n + )(n + ). 6 Otra suma importante, del mismo tipo que la anterior es Propiedad Si n 0, ( ) n(n + ) 3. Demostración. La demostración queda propuesta como ejercicio, tanto usando inducción como de forma directa. Para probarlo directamente, se usa la misma técnica anterior, o sea se calcula ( + ) 4.

12 Teorema del binomio de Newton Semana 07[/] Coeficientes binomiales Consideremos la siguiente fórmula de recurrencia: f 0 f n n f n si n Factorial Llamaremos factorial de n (denotado n!) al valor f n. Por ejemplo, el factorial de 4 es 4! 4 3! 4 3! 4 3! 4 3 0! Los números factoriales poseen la siguiente interpretación en el contexto de armar combinaciones: sea n. Entonces n! (n )! corresponde a la cantidad de -tuplas que se puede formar a partir de un conjunto de n elementos, SIN repetirlos. Por ejemplo, si A {a, b, c, d}, cuántos pares ordenados (-tuplas) distintos podemos formar con sus elementos, sin repetirlos? (a, b) (b, a) (c, a) (d, a) (a, c) (b, c) (c, b) (d, b) combinaciones, y 4! (4 )! (a, d) (b, d) (c, d) (d, c)

13 Teorema del binomio de Newton Semana 07[3/] Coeficientes binomiales Continuando con la interpretación combinatorial, sea n. Definimos Coeficiente binomial Se define (se lee n sobre ) como el número de subconjuntos de tamaño que posee un conjunto de tamaño n. Cuánto vale ( n )? Observemos que por cada subconjunto de tamaño de un conjunto de n elementos, podemos formar varias -tuplas: pensando en el ejemplo de A {a, b, c, d}, a partir del subconjunto {a, c} podemos formar los pares ordenados (a, c) y (c, a). El número de -tuplas que se pueden formar a partir de un conjunto de tamaño n será, entonces, el número de subconjuntos de tamaño que éste posea, pero para considerar los posibles reordenamientos que hacen diferentes a las tuplas, necesitamos multiplicar por la cantidad de formas en que es posible ordenar un conjunto de elementos: este último valor es!. Por lo tanto, el número de -tuplas que se puede formar es! por lo que n!!(n )!

14 Teorema del binomio de Newton Semana 07[4/] Coeficientes binomiales Propiedades Si 0 n, ( n ) ( 0, n ) n ( n ( ) n ) n 3 Si < n, ( ( n+ +) n ) ( + n ) + Demostración. Demostraremos (3). ( ) ( ) n n + + n!!(n )! + n! ( + )!(n ( + ))! n!!(n )(n )! + n! ( + )!(n )! ( n!!(n )! n + ) + n! (n ) + ( + )!(n )! (n )( + ) n!!(n )! n + (n )( + ) (n + )n! ( + )! (n )(n )! + +

15 Teorema del binomio de Newton Semana 07[5/] Coeficientes binomiales La propiedad (3) permite utilizar un método iterativo para calcular ( n ). Éste consiste en construir un triángulo, donde las filas están etiquetadas con valores de n, y las columnas con valores de. Los bordes de este triángulo los rellenamos con unos, como muestra la tabla: n 0 n n n 3 n 4 n 5 En esta estructura, el término ( n ) es el que aparece en la fila n y la columna. Para calcularlo, entonces, como 0 < < n: ( ) ( ) ( ) n n n + es decir, cada término es la suma del que se encuentra sobre él, y el que se encuentra en su diagonal superior-izquierda. Rellenamos el triángulo: Este triángulo es llamado Triángulo de Pascal n 0 n n n n n 5...

16 Teorema del binomio de Newton Semana 07[6/] Binomio de Newton Teorema Sean x, y Ê, n Æ. Entonces (x + y) n x y n Ejemplo: (x + ) 3 ( ) 3 x ( ) 3 x + ( ) 3 x + x x + 3 x + x x + 6x + x 3 ( ) 3 x Veamos, antes de probar el teorema, una forma intuitiva de comprender por qué aparecen los coeficientes ( n ). Pensemos en n 3. (x + y) 3 (x + y)(x + y)(x + y) x 3 + x y + xyx + xy + yx + yxy + y x + y 3 El término x y viene de haber elegido x en los primeros dos paréntesis, y haber elegido y en el tercero. ( ) 3 representa la cantidad de combinaciones donde se eligió x exactamente dos veces, las cuales son: x y, xyx, yx. Si reordenamos los factores, obtenemos ( ) 3 x y + xyx + yx x y Finalmente se concluye que (x + y) 3 ( ) 3 x 0 y ( ) 3 x y + ( ) 3 x y + ( ) 3 x 3 y 0 3

17 Teorema del binomio de Newton Semana 07[7/] Binomio de Newton Demostración. Probémoslo por inducción en n Æ. Primero analicemos el caso base, n 0. Por un lado (x + y) 0 y por otro 0 ( 0 (Aquí suponemos que x Ê, x 0 ). Es decir, la propiedad se cumple para n 0. ) x y 0 ( 0 0) x 0 y 0 Sea entonces n 0 tal que se tiene que (x + y) n n ( n ) x y n (H.I.). Probemos que se tiene el teorema para n + : (x + y) n+ (x + y)(x + y) n (x + y) x y n Aplicamos H.I. x + y n + x y n+. Ahora, si n, sabemos por propiedad de los coeficientes binomiales que ( ) ( ) ( ) n + n n +. Continúa...

18 Teorema del binomio de Newton Semana 07[8/] Binomio de Newton Continuación demostración. Luego, n (x + y) n+ x n+ + x + y n + x n+ + x y n + + [ x n+ + + n+ + x y n+. De donde se concluye el teorema. x y n + + y n+ x y n + + y n+ ( )] n x y n + + y n+ Cambio de variable.

19 Teorema del binomio de Newton Semana 07[9/] Ejemplo: Sumas varias Calculemos las siguientes sumatorias: 3 4 n (+) n (! n ) n n ( n ) + Para ésta, utilizamos la descomposición ( + ) + con lo que la suma a calcular se convierte en ( ( + ) ) + usando la propiedad telescópica. n + n + Consideremos la igualdad ( + )! ( + )!! +!, con la que obtenemos que! ( + )!! Sumando a ambos lados, llegamos a! (( + )!!) (n + )! 0! (n + )! pues es una suma telescópica.

20 Teorema del binomio de Newton Semana 07[0/] Ejemplo: Sumas varias 3 Esta suma resulta ser una aplicación directa del Binomio de Newton. Utilizando que m para cualquier m, n Así, utilizando la fórmula de Newton se tiene que ( + ) n n 4 Para este tipo de sumatorias, debemos llevarlas a la forma del Binomio de Newton, típicamente ingresando los factores que sobran al coeficiente binomial. Reescribamos el término de la suma: + n!!(n )! + n! ( + )!(n )! Para formar un nuevo coeficiente binomial, debemos procurar que los dos valores de abajo (en este caso + y n ) sumen el de arriba (en este caso n). Para arreglarlo, amplifiquemos numerador y denominador por (n + ), obteniendo n! ( + )!(n )! n + Ahora tenemos un factor en lugar de n+ independiente de, por lo que (n + )n! ( + )!(n!) n + + (n + )! ( + )!(n )! n +. Hemos ganado algo? Sí, pues n+ + n es un término

21 Teorema del binomio de Newton Semana 07[/] Ejemplo: Sumas varias Hacemos una traslación de índice en la suma de la derecha, para obtener + n+ + n + Esto de la derecha se parece bastante a un Binomio de Newton: bastaría rellenar con n+, sin embargo primero debemos procurar que el índice sume sobre todos los valores 0,,...,n +. Sumamos y restamos el término asociado a 0, y seguimos desarrollando: ( ) ( n + n+ ( ) ( ) ) n + n + n + 0 n + ( n+ ( n + n + (( + )n+ ) n + (n+ ) ) n+ )