TRIGONOMETRÍA. Para el estudio de dichas relaciones entre lados y ángulos se utilizan triángulos rectángulos como el siguiente.

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍA La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente la palabra trigonometría proviene del griego Tri (tres), gono (ángulos) y metría (medida); con lo cual significa medida de tres ángulos o medida de triángulos. Para el estudio de dichas relaciones entre lados y ángulos se utilizan triángulos rectángulos como el siguiente. A partir de él, se definen las razones (fracciones) trigonométricas. Seno de α = sen(α) = Coseno de α = cos(α) = Tangente de α = tan(α) = Cosecante de α = csc(α) = Secante de α = sec(α) = Cotangente de α = cot(α) = Cateto Opuesto Hipotenusa Cateto Adyacente Hipotenusa Cateto Opuesto Cateto Adyacente Hipotenusa Cateto Opuesto Hipotenusa Cateto Adyacente Cateto Adyacente Cateto Opuesto Prof. Jonathan Brenes S. 1

2 Es común dibujar tales triángulos sobre un plano cartesiano, dentro de una circunferencia trigonométrica. Circunferencia trigonométrica. Es una circunferencia en un plano cartesiano con centro en el origen de coordenadas, asociada a un círculo de radio una unidad. Es utilizada para estudiar las razones y funciones trigonométricas. En trigonometría los ángulos pueden tener medidas superiores a 180, diferente a Geometría plana. Ángulos Un ángulo es una porción de plano que está limitada por dos rayos que parten de un mismo punto. Los ángulos se miden en grados o radianes. Prof. Jonathan Brenes S.

3 Para pasar de grados a radianes se utiliza la fórmula. Ejemplo. Convertir 150º en radianes. Radianes = 150 π 180 = 5π 6 Para pasar de radianes a grados se utiliza la fórmula. Ejemplo. Convertir 3π rad en grados. Grados = 3π 180 π = 70 También puede tomar en cuenta que π equivale a 180º. Ejemplo. Convertir π 3 rad a grados. ⅔π rad = ⅔ 180 = 10 Prof. Jonathan Brenes S. 3

4 Ángulo en posición estándar o posición normal: Ángulo cuyo lado inicial está sobre el semi-eje x positivo. Positivo: Ángulo en posición estándar cuyo recorrido es contrario al de las manecillas del reloj. Prof. Jonathan Brenes S. 4

5 Negativo: Ángulo en posición estándar cuyo recorrido es en el mismo sentido al de las manecillas del reloj. Cuadrantal: Ángulo en posición estándar cuyo lado terminal queda ubicado sobre uno de los semi-ejes coordenados. Para que un ángulo sea cuadrantal debe cumplirse que al dividir su mediada por 90º resulte un número entero. Prof. Jonathan Brenes S. 5

6 Ángulos Coterminales: Ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal. Para que dos ángulos sean coterminales, al restar sus medidas y dividirla por 360º debe dar un número entero. Ángulo de referencia: Un ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar no cuadrantal, es aquel ángulo cuyo lado inicial es el terminal del ángulo dado y su lado final está sobre el semi-eje x positivo o negativo. El ángulo de referencia es siempre agudo y positivo. Sea α un ángulo dado, no cuadrantal, y de medida entre ]0, 360 [, su ángulo de referencia δ está en función del lado terminal de α de la siguiente forma. Si α ]0, π [ Si α ]π, π[ δ = α δ = 180 α Prof. Jonathan Brenes S. 6

7 Si α ]π, 3π [ Si α ]3π, π[ δ = α 180 δ = 360 α Prof. Jonathan Brenes S. 7

8 Identidades Trigonométricas tan(x) = sen(x) cos (x) sec(x) = 1 cos (x) 1 csc(x) = sen(x) 1 cot(x) = tan(x) = cos (x) sen(x) Pitagóricas sen (x) + cos (x) = 1 sec (x) tan (x) = 1 tan (x) + 1 = sec (x) csc (x) cot (x) = 1 cot (x) + 1 = csc (x) Suma y diferencia de ángulos. sen(x ± y) = sen(x)cos (y) ± cos (x)sen(y) cos(x ± y) = cos(x)cos (y) sen (x)sen(y) tan(x ± y) = De ángulo opuesto tan (x) ± tan (y) 1 tan (x)tan (y) sen( x) = sen(x) csc( x) = csc (x) cos( x) = cos(x) sec( x) = sec (x) tan( x) = tan(x) cot( x) = cot (x) De ángulo complementario sen ( π x) = cos (x) csc (π x) = sec (x) cos ( π x) = sen(x) sec (π x) = csc (x) tan ( π x) = cot (x) cot (π x) = tan (x) Prof. Jonathan Brenes S. 8

9 Funciones Trigonométricas Seno f: R [ 1,1], con f(x) = sen(x). Propiedades: Ámbito: [-1,1] Intersección con el eje x: (kπ, 0), con k Z. Intersección con el eje y: (0,0) Periodo: π Coseno f: R [ 1,1], con f(x) = cos(x). Propiedades: Ámbito: [-1,1] Intersección con el eje x: ( k+1 π, 0), con k Z. Intersección con el eje y: (0,1) Periodo: π Prof. Jonathan Brenes S. 9

10 Tangente f: R { k+1 π, con k Z} R, f(x) = tan(x). Propiedades: Ámbito: R Intersección con el eje x: (kπ, 0), con k Z. Intersección con el eje y: (0,0) Periodo: π f es estrictamente creciente en todo su dominio. Asíntotas en x = k+1 π, con k Z. Prof. Jonathan Brenes S. 10

11 Cosecante f: R {kπ, con k Z} ], 1] [1, + [, f(x) = 1 sen(x) = csc(x). Propiedades: Ámbito: ], 1] [1, + [ Intersección con el eje x: No tiene. Intersección con el eje y: No tiene. Periodo: π Asíntotas en x = kπ, con k Z. Prof. Jonathan Brenes S. 11

12 Secante f: R { k+1 1 π, con k Z} ], 1] [1, + [, f(x) = = cos(x) sec(x). Propiedades: Ámbito: ], 1] [1, + [ Intersección con el eje x: No tiene. Intersección con el eje y: (0,1). Periodo: π Asíntotas en x = k+1 π, con k Z. Prof. Jonathan Brenes S. 1

13 Cotangente f: R {kπ, con k Z} R, f(x) = 1 tan(x) = cot(x). Propiedades: Ámbito: R Intersección con el eje x: ( k+1 π, 0), con k Z. Intersección con el eje y: No tiene. Periodo: π Asíntotas en x = kπ, con k Z. Prof. Jonathan Brenes S. 13

14 Arcoseno f: [ 1,1] [ π, π ], con f(x) = sen 1 (x) = arcsen(x). Nota: El inverso multiplicativo (o recíproco) de sen(x) es csc(x). El criterio inverso de sen(x) es arcsen(x). Arcocoseno f: [ 1,1] [0, π], con f(x) = cos 1 (x) = arccos(x). Prof. Jonathan Brenes S. 14

15 Arcotangente f: R ] π, π [, con f(x) = tan 1 (x) = arctan(x). Asíntotas en y = ±π Prof. Jonathan Brenes S. 15

16 Práctica 1. Considere un ángulo α en posición estándar, tal que su lado terminal se encuentra en el tercer cuadrante. Si sen(α) = 7. Calcule, usando identidades trigonométricas, el valor exacto de: a) cos(α) b) sen ( π 3 α) c) tan ( π 3 α) 4. Determine el valor exacto de tan ( 7π ), usando identidades trigonométricas y considerando 1 que 7π = π + π En la circunferencia trigonométrica el valor de cos(α) = x, si tan(α) < 0, determine: a) Cuadrante en el que se ubica el lado terminal de α. b) cos (π α) 4. Simplifique los siguientes criterios de funciones definidas en su dominio máximo con codominio R. a) f(x) = tan (x) + sen(x)csc (x) b) g(x) = (1 sen (x))(1 + sen (x)) c) h(x) = cos4 (x) sen 4 (x) 1 tan 4 (x) d) j(x) = cos (x)[sec (x) tan (x)]+sen (x)[csc (x) cot (x)] [sen(x)+cos (x)] +[sen(x) cos (x)] e) k(x) = sen (x)[cot(x) csc (x)] cot(x)+csc (x) Grafique las funciones que se presentan a continuación. a) f: [100π, 10π[ R, con f(x) = sen(x) b) g: [ 9π, 7π] R, con g(x) = cos(x) c) h: ] 7π, 5π [ R, con h(x) = tan (x) d) i: ]π, 3π[ R, con i(x) = csc (x) Prof. Jonathan Brenes S. 16

17 e) j: [0,1] R, con f(x) = arccos(x). 6. En cada caso escriba el nombre de la función trigonométrica a la cual hace referencia el enunciado. a) (00π, 0) es una intersección con el eje x. b) Es estrictamente decreciente en todo su dominio. c) Tiene dos asíntotas horizontales. d) Si α = 45, g(α) = Considere la función f: R { k+1 π, con k Z} R, con f(x) = sec(x). Determine: a) Un intervalo para el cual la gráfica de sec(x) es convexa. b) Un intervalo donde f es estrictamente creciente si x ] 31π c) La ecuación de la asíntota vertical si x ]10π, 1π[, 9π [ Prof. Jonathan Brenes S. 17