Análisis y Solución de. en el dominio del tiempo y en la frecuencia (Laplace).

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1 Análii y Solución de Ecuacione Diferenciale lineale en el dominio del tiempo y en la frecuencia Laplace. Doctor Francico Palomera Palacio Departamento de Mecatrónica y Automatización, ITESM, Campu Monterrey

2 Motivación Análii y etudio intuitivo del comportamiento de itema repreentado ecuacione diferenciale lineale c.c.c. c c a travé de la tranformada de Laplace. Simulación e interpretación gráfica de una repueta tranitoria y en etado etacionario. Analogía de itema fíico analogía de Analogía de itema fíico analogía de comportamiento de itema de diferente naturaleza

3 Contenido Relación caua-efecto en itema fíico. Ecuación Diferencial lineal de Primer Orden c.c.c. c c e interpretación de u parámetro. Función de Tranferencia y Repueta para una ecuación diferencial lineal c.c.c. Polo y cero de una función F. Evaluación de una función repueta: y0 y y en el dominio de la frecuencia. Analogía de itema fíico Repreentación de itema cuyo comportamiento de repueta tranitoria e imilar. Concluione. Ejercicio.

4 Modelación de Sitema Dinámico utilizando Ecuacione Diferenciale lineale ccc c.c.c. -Sitema Mecánico itema de upenión en lo auto - Sitema Hidráulico llenado de un tanque Sitema Fíico - Sitema térmico temperatura en un horno -Sitema Eléctrico velocidad de motore - Sitema Fiiológico efecto de una doi en el cuerpo h. - Sitema Económico inflación - Sitema de producción rate de producción entre máquina ut Función forzante Sitema Fíico a modelar Relación caual yt Repueta del itema o función ubidiaria

5 Relación caua-efecto a er modelada por una ecuación diferencial i Flujo de Combutible: ut: función de entrada o forzante Horno Temperatura: yt Función Repueta o ubidiaria Relación caual dyt τ yt K ut Temperatura 2 y t dy t a d b y t d 2 t Ku t Flujo de ga

6 Para obtener una ecuación diferencial, podemo utilizar: Leye fíica: que de acuerdo a la naturaleza del itema, rigen la relación caual entre la variable de interé. Prueba experimentale análii de la repueta tranitoria del itema ante una función forzante conocida. Por analogía de comportamiento entre itema que guardan un comportamiento imilar, a pear de er de naturaleza diferente. Aplicación de algoritmo y recuro computacionale para Aplicación de algoritmo y recuro computacionale para procear lo dato obtenido de prueba experimentale y generar un modelo matemático deeado.

7 Ecuacione diferenciale lineale de primer orden con coeficiente i contante t dyt Modelo: τ yt K ut Donde: yt : función repueta o ubidiaria del itema, ut : eñal de entrada al itema τ :Tao : contante de tiempo cuyo valor e una medida de la velocidad de la repueta del itema. A menor valor de TAO el itema e má rápido en reponder. Un valor de: τ 10 egundo, e tre vece má rápida que un valor de τ 30 egundo. K: ganancia en etado etacionario e una medida de la enibilidad del itema. Un valor de K 3 e do vece má enible que un valor de K 1.5

8 Ejemplo de ecuacione diferencialei 6 dyt yt 4 dyt yt 2 dyt yt ut... 1 ut... 2 ut... 3 Cuál ecuación diferencial repreenta al itema con la repueta má rápida? Jutifique Cuál e la ecuación diferencial que repreenta al itema má enible a un cambio de entrada? Jutifique

9 Ejemplo de ecuacione diferenciale i de Primer Orden 6 dyt yt 2. 4 ut dyt yt 1.2 ut dyt yt 0.6 ut dyt d dyt dyt yt yt yt [2 [2 [2 e e e 2t Co4t]...1 a 2t Co4t]...2a 2t Co4t]...3a

10 Repueta ante una entrada ecalón

11 Repueta ante una entrada: ecalón y una enoidal. ut 2 2 en 0.5t

12 La tranformada de Laplace en la modelación, etudio y olución de la ecuacione diferenciale.

13 Relación entre ft y u equivalente F. L { ft } 0 ft e -t d t F ft tiempo Ejemplo L -6t 1 { e } L { 2 Sen4t } Plano Complejo: σ jω jω: Eje Imaginario σ : Eje real L -3t { 5 e Sen2t}

14 Principale funcione en el dominio de la frecuencia: G y Y 2 Al aplicar la Tranformada de Laplace a una ecuación diferencial, do expreione on de gran interé: 1 YS: La función repueta de un itema. incluye la c.i. y a la función forzante G c.i.0 Y U ; Función de tranferencia del itema conidera c.i.0 y no e utituye la función forzante. Tanto G como Y etan formada por lo término: x K a... Kn ; b c... d n 0;cero : o d 0;polo : X K : ganancia o o x x jw σ

15 Funcione de tranferencia y Repueta Función de Función Repueta: Tranferencia: G Y La condicione iniciale e conideran idéntica a cero. No e utituye la expreión equivalente de la tranformada de la eñal de entrada. Se utituyen la condicione iniciale dada. d Se utituye la expreión equivalente de la tranformada de la eñal de entrada.

16 Polo o y Cero de una función F 2.4 G 6 1 Cero Finito: no tiene Y Cero Finito: - 4.8/72; Polo finito: it -1/6 Polo finito: it 0, -1/6 Información de lo Polo Finito de G i Indicará i la repueta del itema reproducirá la forma de la eñal de entrada en etado etacionario polo o raíce con σ < 0. ii Comportamiento que agregará a la repueta del itema ante cualquier entrada mima información l d λ Información de lo Polo Finito de Y: i Señale que forman a la función repueta o ubidiaria a travé de u expanión en fraccione parciale, ii Forma de la eñal en etado etacionario polo dominante.

17 G y Y Para la ecuación diferencial Solución: Obtener: a G y,,by dy t L {10 y t } L {1.2 u t } 10Y 10y0 Y 1.2U ; Y [10 1] 10y0 1.2 U ; Y 0.12 G 1.2 : Función U c. i dy t L { 10 y t} L {1.2 u t} 10Y 10y0 Y 1.2U ; 2 Y [10 1] ; Y [10 1] Y : Función Repueta de dyt 10 y t 1.2u t; y0 0.8 u. de i. ; u t 2 u. de i., para t 0 Tranferencia jw X -0.1 jw o X X σ σ

18 Obtención del valor inicial y final de yt a partir de Y Y Y a b : Función Repueta o X X jw σ Polo dominante Teorema del valor inicial : y0 lim. Y lim lim lim Teorema del valor final : y lim. Y lim. lim t

19 Gráfica aproximada de yt a partir de Y Un horno que e encuentra a 80 C e apaga para u enfriamiento. Conidere que la relación Temperatura-flujo combutible, e repreentada por la ecuación Diferencial: 200y t yt K ut. Obtenga, y0 y y dy t 200 y t 0; y 0 80 C 80 ºC 200Y 200y0 Y 0; Y [200 1] 1600 Y Teorema del valor inicial: Valor mínimo, ºC y 0 Y lim lim 80 t Teorema del valor final: y lim Y lim

20 Análii en el dominio de la Frecuencia Laplace A partir de una ecuación diferencial lineal con coeficiente contante, no interea analizar mediante la tranformada de Laplace i Si la repueta del itema podrá reproducir la forma de la eñal de entrada [Función de Tranferencia], ii Forma de repueta que agregará el itema ante cualquier entrada [Función de Tranferencia], iii Diferente funcione que forman la función repueta [Función Repueta expanión en fraccione parciale] iv La forma de la repueta en etado etacionario [Función Repueta] dyt 6 y t 2.4 u t y t

21 Funcione co edeta tranferencia ee cay Repueta Ejemplo 2: Dada una ecuación diferencial obtener: i Su función de tranferencia, G, ii Su función repueta, Y. Aplicando la tranformada de Laplace en ambo lado : L{6 y t} L{ y t} L{2.4u t} 6Y 6y0 Y 2.4U Y [6 1] 2.4U Y G U L{6 y t} L{ y t} L{2.4u t} 2.4 : Función 6 1 Aplicando la tranformada de Laplace en ambo lado : 6Y 6y0 Y 2.4U Y [6 1] de Tranferencia Y 12 /6 1 : Función Repueta o ubidiaria y y t 2.4 u t c. i.: y 0 1.4; u t 2, t 0 : función ecalón

22 Sitema de Primer Orden y Analogía R it: v i t: fuente de voltaje C v o t pt: eñal que regula el caudal hacia el tanque. q i t: Caudal de entrada v i t: fuente de voltaje v o t:voltaje l j dealida C: Capacitancia [Farad] R: Reitencia [Ohm] dv o t R.C vt o vt i dv v o t τ v o t v i t dyt τ y t K u t ht: altura deltanque q o t: Caudal de alida R h : reitencia Hidráulica A: área del tanque dq 0 t R.A q 0 t τ dq 0 t q 0 t q i t q i t K: ganancia en etado etacionario τ: Contante de tiempo

23 Analogía de Sitema por la forma de u repueta tranitoria. i

24 Pruba de Nivel de Glucoa

25 Do perona aiten al mimo evento ocial. Lo do realizaron el mimo conumo de caloría. Al alir del lugar, le piden realizare una análii del grado de glucoa en la angre.

26 Ecenario: Do jóvene aiten a una mima prueba experimental obre intolerancia a la glucoa. A lo do le dieron el mimo conumo de agua limonada muy concentrada y dulce. Se le midió el grado de glucoa en 4 muetra cada 30 minuto

27 Repueta Tranitoria Repueta Tranitoria ; ; ; K U Y G G G Gi τ

28 Valor de la repueta yt ct cada vez que t ti t trancurre un tiempo t τ. b a AK AK Y τ τ 1 1 / 1 e t AK t y τ τ τ 1

29 Modelación de una ecuación diferencial mediante Diagrama a bloque. pt: eñal que regula el caudal hacia el tanque. q i t: Caudal de entrada ht: altura del tanque Caudal de entrada q o t: Caudal de alida R h : reitencia Hidráulica A: área del tanque Q i q t q t Caudal de alida q t Avt i 0 acum q 0 t ht Rh... 2 Q A H, c. i. 0 ; Q o 0 Caudal Acumulado dht A... H Rh 1 Q i Q i Q o 1 A H 1 Rh Q o Q o

30 Simulación del itema hidráulico utilizando la herramienta computacional Matlab-Simulink li

31 Quedo a u órdene Francico Palomera Palacio, PhD Departamento de Mecatrónica y Automatización, Campu Monterrey

32 q t q t q t q t i acum q q 01 t t 02 h t ; R h1 h t R h2 q 02 t dh t A Do Tanque pt q i t R h2 ht Q Q Q A H acum Q i R h1 A V 1 V 2 q 01t Q Q H ; R h1 H R h2 Q 01 1 Rh1 Q i - Q i i Q 01 Q 02 1 A H - Q 02 1 Rh2

33 Ejercicio 1: Para la función Y Obtenga: 1 Su expanión en fraccione parciale in calcular el valor de lo coeficiente. 2 A qué función en el tiempo correponde cada uno de lo término de la expanión realizada en el incio anterior? Graficar cada una de ella de manera individual 3 Obtenga el valor de y0 y de y a partir de la función Y.

34 Ejercicio 2: Parámetro de una ecuación diferencial i lineal l de primer orden dyt dyt dyt 2yt 8 ut...1 yt 1.11 ut...2 2yt 2 ut...3 a Calcule el valor de la contante de tiempo y de la ganancia en etado etacionario para cada ecuación diferencial. b Indique cuál e el itema con velocidad de repueta má lenta. Jutifique. c Indique que valor de la repueta o función ubidiaria alcanzará un mayor valor en etado etacionario ante una entrada ecalón de magnitud 3.

35 Gráfica de Simulación tanque_1entrada_2alida t Qit: Flujo de entrada ht: Altura nivel de llenado del tanque Flujo de alida q 02 t Flujo de alida q 02 t

36 Modelaciòn y imulación del itema de do tanque mediante SIMULINK.

37 Sitema Fíico:Llenado de un tanque Caudal de entrada Tanque Nivel: ht; Caudal de pt: eñal que regula el caudal hacia el tanque. q i t Relación caual Salida, q o t q i t: Caudal de entrada ht: altura del tanque q o t: Caudal de alida R h : reitencia Hidráulica A: área del tanque

38 Parámtro τ y K τ Reitencia * Capacitancia: [egundo] Reitencia: opoición al flujo de corriente eléctrica, calor, aire, caudal, Capacitancia: almacenamiento de materia o energía carga eléctrica, fluido, calor, K ganancia en etado etacionario [incremento de la repueta/incremento de la eñal de entrada]

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