E.T.S.I. INDUSTRIAL DE BEJAR UNIVERSIDAD DE SALAMANCA CAPITULO

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1 Análisis en el dominio de la frecuencia 121 E.T.S.I. INDUSTRIAL DE BEJAR UNIVERSIDAD DE SALAMANCA CAPITULO 9 ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

2 122 Problemas de ingeniería de control RESPUESTA FRECUENCIAL 9.1º) En la Figura 9.1 se muestran dos sistemas de control, uno de primer orden y uno de segundo orden. Calcular: a) Funciones de transferencia complejas b) Si la entrada es sinusoidal r(t) = A sen Tt, calcular, en cada caso, las salidas c(t) en el dominio del tiempo en régimen permanente. FIG º) Consideremos el circuito RLC de la Figura 9.2. Si se aplica una tensión de entrada e(t) i = E i sen ωt, obtener la corriente i(t) que circula por la resistencia R en estado estacionario. FIG. 9.2

3 Análisis en el dominio de la frecuencia 123 DIAGRAMA POLAR (O DE NYQUIST) 9.3º) Dibujar el diagrama polar de los sistemas representados por las siguientes funciones de transferencia: 9.4º) Dibujar el diagrama polar de los sistemas representados por las siguientes funciones de transferencia : 9.5º) En la Figura 9.5 se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control del nivel de un depósito con acción de control de tipo integral y realimentación unitaria. FIG. 9.5 Dibujar el diagrama polar de su función de transferencia en lazo abierto ( tipo 1):

4 124 Problemas de ingeniería de control 9.6º) En la Figura 9.6 se muestra el diagrama de bloques de un servomecanismo de posición con acción de control de tipo proporcional-derivativo y realimentación unitaria. FIG. 9.6 Dibujar el diagrama polar de su función de transferencia en lazo abierto ( tipo 1): 9.7º) En la Figura 9.7 se muestra el diagrama de bloques de un servomecanismo de posición con acción de control de tipo integral y realimentación unitaria. FIG. 9.7 Dibujar el diagrama polar de su función de transferencia en lazo abierto ( tipo 2):

5 Análisis en el dominio de la frecuencia 125 DIAGRAMA DE BODE 9.8º) Dibujar el diagrama asintótico de Bode del sistema representado por la siguiente función de transferencia : NOTA: Obsérvese que corresponde a una función de transferencia como la del Ejercicio 9.5 haciendo T = 1, T = º) Dibujar el diagrama de Bode del sistema representado por la siguiente función de transferencia sinusoidal: NOTA: Obsérvese que corresponde a una función de transferencia como la del Ejercicio 9.4.b) haciendo τ = 10, τ = 100. Es un elemento de retraso de fase º) Dibujar el diagrama de Bode del sistema representado por la siguiente función de transferencia sinusoidal: 9.11º) Calcular la respuesta en frecuencia, mediante el diagrama de Bode, del sistema representado por la siguiente función de transferencia:

6 126 Problemas de ingeniería de control 9.12º) Dibujar el diagrama asintótico de Bode y, a partir de él, el trazado polar de los sistemas con función de transferencia NOTA: El sistema a) se llama de fase no mínima y el sistema b) se llama de fase mínima, debido a la forma del trazado de la fase en el diagrama de Bode. Obsérvese que en el caso a) existe un cero en el semiplano s derecho 9.13º) Dibujar el diagrama asintótico de Bode y, a partir de él, el trazado polar del sistema con función de transferencia en lazo abierto: 9.14º) En la Figura 9.14 se muestra un filtro R-C paso bajo. a) Obtener la función de transferencia compleja G(jω) b) Dibujar el trazado polar c) Dibujar el diagrama de Bode asintótico d) Si se aplica una señal senoidal de 2 Voltios de amplitud de pico, con dos pulsaciones 3 4 diferentes, ω 1= 10 rad/seg y ω 2= 10 rad/seg, calcular el valor de la respuesta en régimen permanente en ambos casos, para R = 1 KS y C = 1 µf ( utilizar el diagrama de Bode ) FIG. 9.14

7 Análisis en el dominio de la frecuencia 127 RESPUESTA EN FRECUENCIA DE ELEMENTOS DE CONTROL 9.15º) Hallar la respuesta frecuencial (diagrama de Bode) de un controlador de tipo proporcional-derivativo (PD) para los siguientes valores de los parámetros: a) K = 0.25, Td = 1.0 b) K = 1.0, Td = 0.25 c) K = 1.0, Td = º) Hallar la respuesta frecuencial (diagrama de Bode) de un controlador de tipo proporcional-integral (PI) para los siguientes valores de los parámetros: a) K= 0.25, Ti = 1.0 b) K = 1.0, Ti = 1.0 c) K = 1.0, Ti = º) Hallar la respuesta frecuencial (diagrama de Bode) de un controlador de tipo proporcional-integral-derivativo (PID) para los siguientes valores de los parámetros: a) K= 1.0, Ti = 1.0, Td =1.0 b) K = 4.0, Ti = 1.0, Td = 1.0 c) K = 1.0, Ti = 4.0, Td = 1.0 d) K = 1.0, Ti = 1.0, Td = 0.25

8 128 Problemas de ingeniería de control 9.18º) Hallar la respuesta frecuencial (diagrama de Bode) de un compensador de adelanto de fase para K = 1, J = 1, " = 0.25 NOTA: Obsérvese en la Figura 9.18 una implementación de esta red con elementos activos FIG º) Hallar la respuesta frecuencial (diagrama de Bode) de un compensador de retraso de fase para K = 1, J = 1, " = º) Dibujar el diagrama de Bode de la red pasiva de adelanto de fase de la Figura 9.20 FIG. 9.20

9 Análisis en el dominio de la frecuencia 129 ESTABILIDAD EN FRECUENCIA : CRITERIO DE NYQUIST (I) SISTEMAS DE FASE MINIMA 9.21º) Aplicar el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.21 FIG º) Aplicar el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.22 FIG. 9.22

10 130 Problemas de ingeniería de control 9.23º) Aplicar el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.23 en el que se ha considerado un sensor de primer orden FIG º) Aplicar el criterio de Nyquist al sistema de control de la Figura Hallar el valor crítico de la ganancia K para la estabilidad. Es estable para K=10? FIG º) Estudiar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.25 a) mediante el lugar de las raíces b) mediante el criterio de Nyquist FIG. 9.25

11 Análisis en el dominio de la frecuencia º) Estudiar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.26 a) mediante el lugar de las raíces b) mediante el criterio de Nyquist FIG º) Estudiar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.27 mediante el criterio de Nyquist FIG. 9.27

12 132 Problemas de ingeniería de control ESTABILIDAD EN FRECUENCIA : CRITERIO DE NYQUIST (II) SISTEMAS DE FASE NO MINIMA 9.28º) Sea el sistema de lazo cerrado de la Figura Determinar el valor crítico de K para la estabilidad utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist FIG º) Estudiar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.29 mediante el criterio de Nyquist FIG. 9.29

13 Análisis en el dominio de la frecuencia º) Estudiar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.30 a) mediante el lugar de las raíces b) mediante el criterio de Nyquist FIG º) Estudiar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.31 mediante el criterio de Nyquist siendo K > 1 FIG º) Aplicar el criterio de Nyquist para determinar la estabilidad del sistema de control de la Figura 9.32 NOTA: Los polos de la planta son s = ; s, s = j FIG. 9.32

14 134 Problemas de ingeniería de control ESTABILIDAD RELATIVA: MARGENES DE GANANCIA Y FASE 9.33º) Aplicando el criterio de Nyquist, calcular los valores de K que hacen estable al sistema con realimentación unitaria, representado por la función de transferencia en lazo abierto G(s). Calcular los márgenes de ganancia ( M g ) y fase ( M f ), para K= º) Dibujar el diagrama asintótico de Bode para la función de transferencia sinusoidal en lazo abierto Calcular la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de cruce de fase, el margen de ganancia y el margen de fase. 9.35º) Dibujar el diagrama asintótico de Bode para la función de transferencia sinusoidal en lazo abierto Calcular la frecuencia de cruce de ganancia, la frecuencia de cruce de fase, el margen de ganancia y el margen de fase. 9.36º) En la Figura 9.36 aparece el diagrama de bloques simplificado de un sistema de control de un vehículo espacial. Determinar la ganancia K tal que el margen de fase sea 50º. Cuál es el margen de ganancia en este caso? FIG. 9.36

15 Análisis en el dominio de la frecuencia º) Trazar el diagrama de Bode de la función de transferencia en lazo abierto G(s) del sistema en lazo cerrado que se muestra en la Figura Determinar el margen de ganancia y el margen de fase. FIG º) Un sistema de control con realimentación unidad, tiene una función de transferencia en lazo abierto a) Estudiar, mediante el criterio de Routh, el rango de valores de K que hacen el sistema estable en lazo cerrado b) Dibujar el diagrama polar y de Bode. Indicar en cada diagrama el margen de ganancia y el margen de fase c) Calcular el valor de K para que el margen de ganancia sea igual a 20 db d) Calcular el valor de K para que el margen de fase sea igual a 40º

16 136 Problemas de ingeniería de control IDENTIFICACION DE SISTEMAS POR SU RESPUESTA FRECUENCIAL 9.39º) Obtener dos de las posibles funciones de transferencia cuyo trazado de Bode (modular) es el de la Figura 9.39 FIG º) Identificar el sistema cuyo diagrama de Bode experimental aparece en la Figura 9.40 FIG. 9.40

17 Análisis en el dominio de la frecuencia º) En la Figura 9.41 se muestra el diagrama de Bode obtenido experimentalmente de la función de transferencia en lazo abierto de un sistema de control con realimentación unitaria. Se sabe que la función de transferencia en lazo abierto es de fase mínima. Del diagrama puede observarse que hay un par de polos complejos conjugados en ω = 2 rad/seg. a) Determinar la relación de amortiguamiento del término cuadrático correspondiente a estos dos polos complejos conjugados. b) Determinar la función de transferencia en lazo abierto G(s) FIG. 9.41

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