ANALISIS EN EL DOMINIO TRANSFORMADO DE SISTEMAS LINEALES E INV ARIANTES

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1 T 5 ANALSS EN EL DOMNO TRANSFORMADO DE SSTEMAS LNEALES E NV ARANTES 5.0. NTRODUCCON En el Capitulo 2 desarrollamos la representaci6n de senales y sistemas en tiempo discreto mediante la transformada de Fourier, yen el Capitulo 3 ampliamos esta representaci6n definiendo la transformada Z. En ambos capftulos se dio especial importancia a las transformadas y a sus propiedades, y s6lo se hizo una breve introducci6n a su uso en el amilisis de sistemas lineales e invariantes (L T). En este capftulo vamos a considerar con mayor detalle la representaci6n y amilisis de sistemas L T utilizando las transformadas de Fourier y Z. El material que se presenta es base esencial para la presentaci6n en el Capftulo 6 de la realizaci6n de sistemas L T y en el Capitulo 7 del disefj.o de estos sistemas. Como se indic6 en el Capitulo 2, un sistema L T se puede caracterizar completamente en el dominio del tiempo mediante su respuesta al impulso h[n], y la salida y[n] debida a una entrada x[n] se puede obtener mediante la suma de convoluci6n y[n] = x[n] * h[n] = L x[k]h[n - k]. (5.1) k=- :t) Alternativamente, como se dijo en la Secci6n 2.7, como la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia se relacionan directamente mediante la transformada de Fourier, la respuesta en frecuencia, suponiendo que exista (que converja), proporciona una caracterizaci6n tambien completa de un sistema LT. En el Capitulo 3 desarrollamos la transformada Z como una generalizaci6n de la transformada de Fourier, y demostramos que Y(z), la transformada Z de la salida de un sistema L T, se relaciona con X(z), la transformada Z de la entrada y con H(z), la transformada Z de la respuesta al impulso mediante la relaci6n Y(z) = H(z)X(z), (5.2)

2 242 Analisis en el dominio transformado de sistemas lineales e invariantes con a region de convergencia apropiada. H(z) se denominafunci6n de transferencia. Como una secuencia y su transformada Z forman una pareja tinica, se deduce que cualquier sistema L T queda completamente caracterizado por su funcion de transferencia, suponiendo de nuevo convergencta. Como veremos en este capitulo, tanto a respuesta en frecuencia como a funcion de transferencia son extremadamente titiles en el analisis y representacion de sistemas L T, debido a que podemos inferir rapidamente muchas propiedades del sistema a partir de elias LA RESPUESTA EN FRECUENCA DE LOS SSTEMAS L Tl La respuesta en frecuencia H(ejw) de un sistema LT se definio en a Seccion 2.6 como a ganancia compleja (autovalor) que el sistema aplica a una exponencial compleja a su entrada ejwn (autofuncion). Ademas, en a Seccion indicamos que, como a transformada de Fourier de una secuencia representa una descomposicion en forma de combinacion lineal de exponenciales complejas, las transformadas de Fourier de la entrada y la salida del sistema se relacionan asf: siendo X(ejw) e Y(ej"') las transformadas de Fourier de la entrada y salida del sistema, respectivamente. Si expresamos la respuesta en frecuencia en forma polar, el modulo y la fase de las transformadas de Fourier de la entrada y la salida del sistema se relacionan asf: (5.3) Y(ej"')l = H(ej"') X(ej"')l, 1:: Y(ej"') = 1:H(ej"') + 1:X(ejw), (5.4a) (5.4b) donde H(ej"')l se denomina respuesta en amplitud o ganancia del sistema, y 1:H(ejw) se denomina respuesta de fase o desplazamiento de fase del sistema. Los efectos en el modulo y la fase representados en las Ecuaciones (5.4a) y (5.4b) pueden ser deseables, si la senal de entrada se modifica de una forma titil o indeseables, si la senal de entrada se deteriora. En el ultimo caso, denominaremos a los efectos de un sistema L T sobre una senal, tal como indican las Ecuaciones (5.4a) y (5.4b) distorsiones de amplitud y de fase, respectivamente Filtros ideales seledivos en frecuencia Una implicacion importante de la Ecuacion (5.4a) es que las componentes de frecuencia de la senal de entrada se venin suprimidas en la salida si H(ej"')l es pequeno en esas frecuencias. El que esta supresion de componentes de Fourier sea deseable o no deseable depende de cada problema especffico. El Ejemplo 2.19 formaliza la nocion general de filtros selectivos en frecuencia mediante la definicion de ciertas respuestas en frecuencia ideales. Por ejemplo, el filtro paso bajo ideal se definio como un sistema lineal e invariante en tiempo discreto cuya respuesta en frecuencia es lwl < we, we < levi ~ n, (5.5)

3 La respuesta en frecuencia de los sistemas L Tl 243 y, por supuesto, H 1 P(eiw) es peri6dica de periodo 2n. El filtro paso bajo ideal selecciona las componentes de ba.ja frecuencia de a sefial y rechaza las componentes de alta frecuencia. En el Ejemplo 2.22 se demostr6 que a correspondiente respuesta al impulso es ~oo < n < oo. (5.6) Amilogamente, el.flltro paso alto ideal se define como H (ei"') = { 0 ' hp 1,!col < We, we < lwl :( n, (5.7) y como H 11 r(e1w) = 1 ~ H 1 r(ei"'), su respuesta al impulso sera (5.8) El filtro paso alto ideal deja pasar sin distorsi6n a banda de frecuencias we < w :( n y rechaza las frecuencias por debajo de w,. En el Ejemplo 2.19 se definen otros filtros ideales selectivos en frecuencia. Los filtros paso bajo ideales son no causales, y sus respuestas al impulso van desde ~ oc a + oc. Por tanto, noes posible calcular a salida de los filtros paso bajo o paso alto ideales de forma recursiva ni de forma no recursiva. Es decir, estos sistemas no son realizables computacionalmente. Otra propiedad importante del filtro paso bajo ideal definido en a Ecuaci6n (5.5) es que a respuesta de fase vale cero. Sino fuera cero, las componentes de a banda de baja frecuencia seleccionadas por el filtro tendrfan tambien distorsi6n de fase. Mas adelante en este capitulo veremos que las aproximaciones causales a los filtros ideales selectivos en frecuencia deben tener una respuesta de fase distinta de cero Distorsion de fase y retardo Para entender el efecto de a fase de un sistema lineal, consideremos primero el sistema de retardo ideal. Su respuesta al impulso es y a respuesta en frecuencia es (5.9) (5.10) 0 (5.11a) lwl < n, (5.11b) donde se asume periodicidad de 2n en frecuencia. Por ahora, supondremos que nd es entero. En muchas aplicaciones, a distorsi6n de retardo se considera una forma suave de distorsi6n de fase, ya que su efecto solo es desplazar a secuencia en el tiempo. Muchas veces esto

4 244 Analisis en el dominio transformado de sistemas lineales e invariantes La no tiene consecuencias, o se podrfa compensar facilmente introduciendo retardos en otras partes de un sistema mas complejo. Por tanto, a! diseflar aproximaciones a filtros ideales y a otros sistemas lineales e invariantes con el tiempo se puede aceptar como ideal una respuesta de fase lineal en ugar de una respuesta de fase cero. Por ejemplo, un filtro paso bajo ideal con fase lineal se definirfa como H (e1"') =. {e- jwnd,!col < we, lp 0, we < lwl ~ n. (5.12) Su respuesta a! impulso serfa - x < n < oc. (5.13) De forma similar, podrfamos definir otros filtros ideales selectivos en frecuencia con fase lineal. Estos filtros tendrfan el efecto de aislar una banda de frecuencias de a seflal de entrada, y el efecto adicional de retrasar a salida nd muestras. N6tese sin embargo que por muy grande que sea nd, el filtro paso bajo ideal sera siempre no causal. Una medida conveniente de a linealidad de a fase es lo que se conoce como retardo de grupo. E concepto de retardo de grupo se relaciona con el efecto de a fase en una seflal de banda estrecha. Concretamente, consideremos a salida de un sistema con respuesta en frecuencia H(ei"'), cuando a entrada es una seflal de banda estrecha de a forma x[n] = s[n] cos(w 0 n). Como se supone que X(eiw) s6o es distinto de cero en los alrededores de w = w 0, el efecto de a fase del sistema se puede aproximar linealmente alrededor de w = w 0. (5.14) Utilizando esta aproximaci6n se puede demostrar (vease el Problema 5.57) que a respuesta y[n] a a seflal x[n] = s[n] cos (w 0 n) es aproximadamente y[n] = H(eiwo)is[n- nd] cos (w 0 n- 0 - w 0 nd). En consecuencia, el retardo en el tiempo de a envolvente s[n] de a seflal de banda estrecha x[n] con transformada de Fourier centrada en w 0 es igual a! negativo de a pendiente de a fase en w 0. A considerar a aproximaci6n a a fase de H(eiw) alrededor dew = w 0, como se indica en a Ecuaci6n (5.14) debemos considerar a respuesta de fase como una funci6n continua dew. La respuesta de fase especificada de esta forma se denotara como arg [H(eiw)] y se denominani afase continua de H(eiw). Especificando a fase como una funci6n continua dew, el retardo de grupo de un sistema se define como d. r(w) = rdg [H(eiw)] = - -d {arg [H(e1w)]}. (/) (5.15) La desviaci6n del retardo de grupo de una constante indica el grado de no linealidad de a fase. Ejemplo 5.1. Efedos de a atenuacion y del retardo de grupo Como ilustraci6n del efecto del retardo de grupo, consideremos un filtro cuya respuesta en amplitud y retardo de grupo en funci6n de a frecuencia se muestran en a Figura 5.1. En a Figura 5.2 se muestra una sefial de entrada y su espectro. La Figura 5.3 muestra a sefial de salida resultante. N6tese que a sefial de entrada consiste en tres pulsos consecutivos de banda estrecha, situados en las frecuencias w = 0,85rr, w = 0,25n y w = 0,5n.

5 La respuesta en frecuencia de los sistemas L Tl 'Vi' ~ " = 0! e '"0 0 ] 50 ';) 0.: 0 0 0,2 rr 0.4 rr 0.6 rr Retardo de Grupo 0,8 rr rr 1,2 rr Frecuencia en radianes ( w) (a) Modulo de a respuesta en frecuencia 1,4 rr 1,6 rr 1,8 rr 2rr 0 c----::::;~;;;:;:::--,---::::;;;;;::;:;r-11 --~~--~~--J;=::: :;::;;;;;;t=:::--=l iii: '"0 '0 ~ L-----L-----~-----L----~--~UULL w l ~-----L----~ 0 0,2 rr 0,4 rr 0,6 rr 0,8 rr rr 1,2 rr Frecuencia en radianes (w) (b) 1,4 rr 1,6 rr 1,8 rr Figura 5.1. Modulo de a respuesta en frecuencia y retardo de grupo para el filtro del Ejemplo rr Sefial de entrada x[n ' "'-..._,' Nurnero de rnuestra (n) (a) ~ ", ~ \ Modulo de a transforrnada de Fourier de a entrada x[n] 1\ n la t 0,2 rr ~ j,) 0.4 rr lt J ~ l_ J '!,A ~ 0,6 rr 0,8 rr rr,2 rr 1,4 rr Frecuencia en radianes (w) (b) ~ Ak. 1,6 rr lk 1,8 rr Figura 5.2. Seiial de entrada y modulo de a transformada de Fourier asociada para el Ejemplo rr

6 246 Analisis en el dominio transformado de sistemas lineales e invariantes Seiial de salida y[ n] 0,5 ~ , ! Numero de muestra (n) Figura 5.3. Seiial de salida del Ejemplo 5.1. Como el filtro presenta una atenuaci6n considerable en a frecuencia w = 0,85n, el pulso de esa frecuencia no aparece claramente a a salida. Ademas, como el retardo de grupo en w = 0,25n es aproximadamente de 200 muestras y en w = 0,5n es aproximadamente de 50 muestras, el segundo pulso de x[n] se retrasa unas 200 muestras y el tercero, unas 50 muestras, como puede verse en a Figura 5.3. S.2. LA FUNCON DE TRANSFERENCA DE SSTEMAS CARACTERZADOS POR ECUACONES EN DFERENCAS LNEALES CON COEFCENTES CONSTANTES Aunque los filtros ideales selectivos en frecuencia son utiles conceptualmente, no se pueden realizar con un numero de operaciones finito. Por tanto, resulta de interes considerar una clase de sistemas que se pueden considerar aproximaciones a los filtros ideales selectivos en frecuencia. En la Secci6n 2.5 presentamos la clase de sistemas cuya entrada y salida satisfacen una ecuaci6n en diferencias lineal de coeficientes constantes de la forma N M ak_}'[n- k] = bkx[n.- k]. (5.16) k=o k = 0 Demostramos ademas que si el sistema es causal, la ecuaci6n en diferencias se puede utilizar para calcular recursivamente la salida. Si las condiciones auxiliares corresponden a reposo inicial, el sistema sera causal, lineal e invariante con el tiempo. Las propiedades y caracterfsticas de los sistemas L T para los que la entrada y la salida satisfacen una ecuaci6n diferencial lineal de coeficientes constantes se estudian mejor en el dominio de la transformada Z. Aplicando la transformada Z a los dos miembros de la Ecuaci6n (5.16), y utilizando las propiedades de linealidad (Secci6n 3.4.1) y lade desplazamiento temporal (Secci6n 3.4.2), obtenemos :1/ M akz-ky(z) = k=o bkz-kx(z), k=o

7 La funci6n de transferencia de sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes 247 o, lo que es lo mismo, ( 5.17) Utilizando las Ecuaciones (5.2) y (5.17) se deduce que si a entrada y a salida de un sistema cumplen una ecuaci6n en diferencias de a forma de a Ecuaci6n (5.16), a expresi6n algebraica de a funci6n de transferencia es M '\' hkz-k H(z) = Y(z) = :.:...k~...::.o X(z) (5.18) La funci6n H(z) de a Ecuaci6n (5.18) es un cociente de polinomios en z- 1, ya que a Ecuaci6n (5.16) toma a forma de una combinaci6n lineal de seflales retardadas. Aunque a Ecuaci6n (5.18) se podrfa escribir, por supuesto de forma que los polinomios se expresaran como potencias de z en ugar de z- 1, no es habitual hacerlo. Tam bien resulta conveniente expresar a Ecuaci6n (5.18) en forma factorizada: k=o i ' 1: 1! ' '---J (5.19) Cada uno de los facto res (1 - ckz- 1 ) de numerador contribuye con un cero en z = ck y con un polo en z = 0. De a misma forma, cada uno de los factores (1 - dkz- 1) del denominador contribuye con un cero en z = 0 y un polo en z = dk. Existe una relaci6n directa entre a ecuaci6n en diferencias y a correspondiente expresi6n algebraica de a funci6n de transferencia. Concretamente, el polinomio del numerador de a Ecuaci6n (5.18) tiene los mismos coeficientes y estructura algebraica que ellado derecho de a Ecuaci6n (5.16) (los terminos de a forma bkz-k corresponden a bkx[n - k]), y el polinomio del denominador de a Ecuaci6n (5.18) tiene los mismos coeficientes y estructura algebraica que ellado izquierdo de a Ecuaci6n (5.16) (los terminos de a forma akz-k corresponden a aky[n - k]). Por tanto, es inmediato pasar de a funci6n de transferencia de a Ecuaci6n (5.18) a a ecuaci6n en diferencias de a Ecuaci6n (5.16), y viceversa. Ejemplo 5.2. Sistema de segundo orden Supongamos que a funci6n de transferencia de un sistema lineal e invariante con el tiempo es (5.20) Para obtener a ecuaci6n en diferencias satisfecha por a entrada y a salida de este sistema, expresamos H(z) en a forma de a Ecuaci6n (5.18) multiplicando los factores del numerador y del denominador para obtener el siguiente cociente de polinomios + 2z- 1 + z- 2 Y(z) H(z)= +l--1-3~-2 =X() 4.c 8 ~ z (5.21)

8 248 Analisis en el dominic transformado de sistemas lineales e invariantes Por tanto, y a ecuaci6n en diferencias es y[n] +!r[n- ]-~ y[n- 2] = x[n] + 2x[n- ]+ x[n- 2]. (5.22) N6tese que una vez que se ha entendido correctamente a correspondencia, es posible proceder directamente de a Ecuaci6n (5.21) a a Ecuaci6n (5.22) (y viceversa) sin utilizar algebra Estabilidad y causalidad A obtener a Ecuacion (5.18) a partir de a Ecuacion (5.16) supusimos que el sistema era lineal e invariante con el tiempo, con lo que se podia aplicar la Ecuacion (5.2), pero nose hicieron supuestos adicionales sobre estabilidad o causalidad. Tambien, a partir de la ecuacion en diferencias se puede obtener una expresion de a funcion de transferencia, pero no a region de convergencia. Concretamente, a region de convergencia de H(z) no se puede determinar a partir del razonamiento que nos condujo a a Ecuacion (5.18), ya que todo lo que se requiere para que a Ecuacion (5.17) sea valida es que las regiones de convergencia de X(z) e Y(z) se solapen. Esto es consistente con el hecho de que, tal y como vimos en el Capftulo 2, a ecuacion en diferencias no especifica de forma (mica a respuesta al impulso de un sistema lineal e invariante con el tiempo. Dada a funcion de transferencia de a Ecuacion (5.18) o (5.19), existen varias posibilidades para a region de convergencia. Dado un cociente de polinomios, cada seleccion de a region de convergencia conducira a una respuesta al impulso diferente, pero todas elias cumpliran la misma ecuacion en diferencias. Si suponemos que el sistema es causal, se deduce que h[n] debe ser una secuencia imitada pora izquierda, y por tanto, a region de convergencia de H(z) debe ser el exterior del polo mas externo. Alternativamente, si suponemos que el sistema es estable, como vimos en a presentacion realizada en la Seccion 2.4, es posible deducir que la respuesta al impulso debe ser absolutamente sumable, es decir, Como a Ecuacion (5.23) es identica a a condicion de que L lh[n]l < rx. (5.23) n=- 7 n=- x (5.24) para lzl = 1, a condicion de estabilidad es equivalente a a condicion de que a region de convergencia de H(z) incluye a a circunferencia unidad. Ejemplo 5.3. Determinacion de a region de convergencia Consideremos un sistema L T cuya entrada y salida se relacionan mediante a siguiente ecuaci6n en diferencias y[n] - ~ y[n- ] + y[n- 2] = x[n]. (5.25) Utilizando los razonamientos anteriores, a expresi6n de H(z) sera H(z) = 1- ~z- 1 + z- 2 =(- ~z- 1 )(1-2z- 1). (5.26)

9 La funci6n de transferencia de sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes 249 Circunferencia unidad Figura 5.4. Diagrama polo-cero del Ejemplo 5.3. La Figura 5.4 muestra el diagrama polo-cero de H(z). Existen tres posibilidades de seleccion de a region de convergencia. Si se supone que el sistema es causal, a region de convergencia sera el exterior del polo mas externo, es decir, Jzl > 2. En este caso el sistema no sera estable, ya que esa region no incluye a a circunferencia unidad. Si suponemos que el sistema es estable, a region de convergencia sera ~ < izl < 2. Para a tercera posibilidad de region de convergencia, izl < ~' el sistema no sera estable ni causal. a :- :- l- Como sugiere el Ejemplo 5.3, la causalidad y la estabilidad no son condiciones necesariamente compatibles. Para que un sistema lineal e invariante con el tiempo cuya entrada y salida satisfacen una ecuaci6n en diferencias de la forma (5.16) sea a la vez causal y estable, la region de convergencia de la correspondiente funci6n de transferencia debe ser el exterior del polo mas externo e incluir a la circunferencia unidad. Por tanto, esto requiere que todos los polos de la funci6n de transferencia esten en el interior de la circunferencia unidad Sistemas inversos Dado un sistema lineal e invariante con el tiempo con funci6n de transferencia H(z), se define el sistema inverso como un sistema con funci6n de transferencia Hi(z) tal que si se coloca en cascada con H(z), la funci6n de transferencia efectiva es la unidad. Es decir, Esto implica que G(z) = H(z)Hi(z) = 1. 1 HJz) = H(z). (5.27) (5.28) La condici6n equivalente en el dominio del tiempo a a Ecuaci6n (5.27) es g[n] = h[n] * hjn] = 6[n]. (5.29) A partir de la Ecuaci6n (5.28), se puede obtener que a respuesta en frecuencia del sistema inverso, si existe, es (5.30)

10 250 Analisis en el dominio transformado de sistemas lineales e invariantes La es decir, que H;(ei'") es el inverso de H(ei"'). Esto quiere decir que ellogaritmo del modulo, a fase y el retardo de grupo del sistema inverso son los negativos de las correspondientes funciones del sistema original. No todos los sistemas tienen inverso. Por ejemplo, el filtro paso bajo ideal no tiene. No hay forma de recuperar las componentes en frecuencia por encima de a frecuencia de corte, ya que a accion del filtro las puso a cero. Muchos sistemas tienen inverso, y un ejemplo muy interesante y uti! es el de los sistemas con funcion de transferencia racional. Concretamente, consideremos h M n (1- ckz-1) H(z) = ( Q) "--:-:-'-k~ (/0 n ( k=l 1 - dkz- ) (5.31) con ceros en z = ck y polos en z = dk, ademas de a adicion de posibles ceros y jo polos en z = 0 y z = CJ:J. Entonces (5.32) es decir, los polos de H;(z) son los ceros de H(z) y viceversa. La cuestion es que region de convergencia asociar a H;(z). La respuesta a proporciona el teorema de convolucion, expresado en este caso como indica a Ecuacion (5.29). Para que a Ecuacion (5.29) tenga sentido, las regiones de convergencia de H(z) y de H;(z) deben solaparse. Si H(z) es causal, su region de convergencia es (5.33) Por tanto, cualquier region de convergencia de H;(z) que se solape con a region de convergencia especificada en a Ecuacion (5.33) sera una region de convergencia valida para H;(z). Presentaremos a continuacion algunos ejemplos sencillos que ilustraran las diferentes posibilidades. Ejemplo 5.4. Sistema inverso de un sistema de primer orden Sea H(::) 1 - o,sz- 1 H(~)--- ~ - - 0,9z- 1 con regi6n de convergencia 1=1 > 0,9. Entonces H;(z) es - 0,9z- 1 H;(z) = - 0,5z- 1. Como H;(z) s61o tiene un polo, existen unicamente dos posibilidades para a regi6n de con-

11 La funci6n de transferencia de sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes 251 vergencia, y a que se solapa con lzl > 0,9 es lzl > 0,5. Por tanto, a respuesta a! impulso del sistema inverso es h;[n] = (0,5)"u[n]- 0,9(0,5)"- 1 u[n- 1]. En este caso, el sistema inverso es a a vez causal y estable. Ejemplo 5.5. Sistema inverso de un sistema con un cero en a region de convergencia Supongamos que H(z) es z- 1-0,5 H(z) ,9z- 1 ' lzl > 0,9. La funci6n de transferencia del sistema inverso es - 0,9z ,8z- 1 HJz) = z- 1-0,5 = - 2z- 1 Como antes, existen dos posibles regiones de convergencia: lzl > 2 y lzl < 2. Sin embargo, en este caso, ambas regiones se solapan con lzl > 0,9, por lo que ambos sistemas son sistemas inversos validos. La respuesta a! impulso correspondiente a a region de convergencia lzl < 2 es hi 1 [n] = 2(2)"u[-n -]-,8(2)"- 1 u[-n] y a de lzl > 2 es hi 2 [n] = - 2(2)"u[n] +,8(2)"- 1 u[n- 1]. Vemos que hi 1 [n] es estable y no causal, y que hi 2 [n] es no estable y causal. Una generalizaci6n de los Ejemplos 5.4 y 5.5 es que si H(z) es un sistema causal con ceros en ck, k = 1,..., M, el sistema in verso sera causal si y solo si asociamos a H/z) a region de convergencia lzl > max lckl k Si requerimos tambien que el sistema inverso sea estable, a region de convergencia de H;(z) debera contener a a circunferencia unidad. Por tanto, se debe cumplir que es decir, todos los ceros de H(z) deben estar en el interior de a circunferencia unidad. Por tanto, un sistema lineal e invariante que es causal y estable tendra un sistema inverso tambien causal y estable si y solo si los polos y los ceros de H(z) estan en el interior de a curcunferencia unidad. Estos sistemas se denominan sistemas de fase minima y se consideraran con mas detalle en a Seccion Respuesta al impulso de funciones de transferencia racionales La presentacion de a tecnica de descomposicion en fracciones simples para calcular transformadas Z inversas (Seccion 3.3.2) se puede aplicar a a funcion de transferencia H(z) para obtener una expresion general de a respuesta al impulso de un sistema cuya funcion de

12 252 Analisis en el dominio transformado de sistemas lineales e invariantes La transferencia sea racional, como a de a Ecuacion (5.19). Recuerdese que cualquier funci6n racional que solo tenga polos de primer orden se puede expresar de a forma M-N N A H(z) = B,z-r + k -1' r ~ 0 k ~ 1 - d kz (5.34) donde los terminos de a primera suma se obtienen por division de los polinomios del numerador y del denominador y solo estan.in presentes si M? N. Los coeficientes Ak del segundo sumatorio se obtienen mediante a Ecuacion (3.41 ). Si H(z) tuviera un polo de orden multiple, su descomposicion en fracciones simples tomarfa a forma de a Ecuacion (3.44). Si el sistema es causal, a region de convergencia estara en el exterior de todos los polos de a Ecuacion (5.34), por lo que M-N N h[n] = Brb[n - r] + Akd~u[n], (5.35) r~ 0 k~l donde a primera suma solo existe si M? N. A presentar los sistemas L T es uti! distinguir dos clases. En a primera, al menos un polo distinto de cero de H(z) no es cancelado por un cero. En este caso habra al menos un termino de a forma Ak(dd"u[n], y h[n] no sera de longitud finita, es decir, no sera cero fuera de un intervalo de longitud finita. Por eso, los sistemas de este tipo se denominan de respuesta a/ impulso infinita (R- nfinite impulse response). En el siguiente ejemplo se presenta un sistema R. Ejemplo 5.6. Sistema R de primer orden Consideremos un sistema causal cuya entrada y salida satisfacen a siguiente ecuaci6n en diferencias r[n] - ay[n - ]= x[n]. La funci6n de transferencia es (por simple inspecci6n) (5.36) H(z) = _ 1. (5.37) - az!jm plano z Circunferencia unidad a fike Figura 5.5. Diagrama polo-cero del Ejemplo 5.6. La Figura 5.5. muestra el diagrama polo-cero de H(z). La region de convergencia es lzl > lal, y a condici6n de estabilidad es lal <. La transformada Z inversa de H(z) es h[n] = a"u[n]. (5.38)

13 La funci6n de transferencia de sistemas caracterizados por ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes 253 En a segunda clase de sistemas, H(z) no tiene polos excepto en z = 0. Es decir, en las Ecuaciones (5.16) y (5.18) N = 0. Por tanto nose puede realizar a descomposici6n en fracciones simples y H(z) es simplemente un polinomio en z- 1 de a forma M H(z) = L hkz-k. (5.39) k=o Hemos supuesto, sin perdida de generalidad, que a 0 = 1. En este caso H(z), queda determinada, salvo un factor constante, por sus ceros. A partir de a Ecuaci6n (5.39) se puede deducir por simple inspecci6n que ;\/ {h h[n] = L hk(5[n - k] = "' k=o 0, 0 ~ n ~ M, en el resto. (5.40) La respuesta al impulso es de longitud finita, es decir, es cero fuera de un intervalo finito. Por eso estos sistemas se denominan de respuesta a/ impulso f!nita (FR - Finite impulse response). N6tese que en los sistemas FR, a ecuaci6n en diferencias (5.16) es identica a a suma de convoluci6n, En el Ejemplo 5.7 presentamos un sistema FR simple. A y[n] = L hkx[n - k]. (5.41) k=o Ejemplo Sistema FR simple Consideremos un sistema cuya respuesta al impulso se obtiene de truncar a del Ejemplo 5.6: h[n] = { a" ~ n ~ M, en el resto. La funci6n de transferencia es entonces M 1 _ am M- 1 H(z) = a"z-" = n=o - az-1 (5.42) Como los ceros del numerador estan en k = 0.1,..., M, (5.43) siendo a un numero real positivo, el polo en z = a es cancelado por un cero. La Figura 5.6 muestra el diagrama polo-cero para el caso de M = 7.

14 254 Analisis en el dominio transformado de sistemas lineales e invariantes ~.'/>m plano z ;:r/'' Polo de / septimo 1 arden""- \ \ \ 0 ", ' 'o / \ ):f \ \ 1 a!jte Figura 5.6. Diagrama polo-cero del Ejemplo 5.7. La ecuaci6n en diferencias satisfecha por a entrada y a salida del sistema lineal e invariante con el tiempo es a convoluci6n discreta M y[n] = akx[n- kj (5A4) k~o Sin embargo, a Ecuaci6n (5.42) sugiere que a entrada y a salida satisfacen tambien a ecuaci6n en diferencias y[n]- ay[n- 1] = x[n]- am+ 1 x[n- M- lj (5.45) Las dos ecuaciones en diferencias son el resultado de las dos formas equivalentes de H(z) en a Ecuaci6n (5.42). S.J. RESPUESTA EN FRECUENCA DE FUNCONES DE TRANSFERENCA RACONALES Si un sistema lineal, invariante con el tiempo y estable tiene una funci6n de transferencia racional (es decir, su entrada y su salida satisfacen una ecuaci6n en diferencias como la (5.16)), su respuesta en frecuencia (es decir, la funci6n de transferencia de la Ecuaci6n (5.18) evaluada en la circunferencia unidad) tiene la forma M L bke- jwk H(eiw) = _k~_o L ake- jwk k~o (5.46) En otras palabras, H(ei"') es un cociente de polinomios en la variable e-iw. Para determinar el modulo, la fase y el retardo de grupo asociadas ala respuesta en frecuencia de sistemas de