Algunos objetivos de la signatura 2. Sean x 1,x 2,...,x n números reales distintos y sean y 1,y 2,...,y n números reales.

Transcripción

1 Algunos objetivos de la signatura 2 Ajustes por mínimos cuadrados Sean x 1,x 2,...,x n números reales distintos y sean y 1,y 2,...,y n números reales.

2 Algunos objetivos de la signatura 2 Ajustes por mínimos cuadrados Sean x 1,x 2,...,x n números reales distintos y sean y 1,y 2,...,y n números reales. Problema.- Hallar los coeficientes a y b de la recta y = ax + b que mejor se ajusta a los puntos (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ). Es decir, buscar el punto (a, b) que hace mínimo el valor de la función n E(a, b) := (ax i + b y i ) 2. i=1

3 Algunos objetivos de la signatura 3 2 y x 0.5 y=ax+b

4 Algunos objetivos de la signatura 4 Problema.- Hallar el polinomio de segundo grado y = ax 2 + bx + c que mejor se ajusta a los puntos (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ); en este caso, se debe buscar el mínimo de la función E(a, b, c) de las variables a, b, c, dada por E(a, b, c) := n (ax 2 i + bx i + c y i ) 2. i=1

5 Algunos objetivos de la signatura 5 Problema.- Hallar la elipse x2 a 2 + y2 b 2 =1que mejor se ajusta a los puntos (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ) en el sentido de los mínimos cuadrados.

6 Algunos objetivos de la signatura 6 Ajustes de planos Dados n puntos en el espacio (x 1,y 1,z 1 ),...,(x n,y n,z n ) hallar el plano z = ax + by + c que minimice el error cuadrático total n E(a, b, c) := (ax i + by i + c z i ) 2. i=1

7 Algunos objetivos de la signatura 7 Sistemas lineales incompatibles Sabemos que un sistema de ecuaciones lineales a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, tiene soluciones (o es compatible) si se cumple el Teorema de Rouché-Frobenius.

8 Algunos objetivos de la signatura 8 Este teorema dice que el sistema tiene soluciones si y solo si los rangos de las matrices a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n a 21 a 22 a 2n b , a m1 a m2 a mn a m1 a m2 a mn b m son iguales.

9 Algunos objetivos de la signatura 9 Ejemplo 1.- El sistema 3x 1 +2x 2 + x 3 = 2, 9x 1 +6x 2 +3x 3 = 6, tiene solución,

10 Algunos objetivos de la signatura 9 Ejemplo 1.- El sistema 3x 1 +2x 2 + x 3 = 2, 9x 1 +6x 2 +3x 3 = 6, tiene solución, pues rg =1y rg =

11 Algunos objetivos de la signatura 10 Ejemplo 2.- El sistema 3x 1 +2x 2 + x 3 = 2, 9x 1 +6x 2 +3x 3 = 6.01, no tiene ninguna solución,

12 Algunos objetivos de la signatura 10 Ejemplo 2.- El sistema 3x 1 +2x 2 + x 3 = 2, 9x 1 +6x 2 +3x 3 = 6.01, no tiene ninguna solución, pues rg =1y rg =

13 Algunos objetivos de la signatura 10 Ejemplo 2.- El sistema 3x 1 +2x 2 + x 3 = 2, 9x 1 +6x 2 +3x 3 = 6.01, no tiene ninguna solución, pues rg =1y rg = Es satisfactoria esta situación? Cualquiera diría que este segundo sistema casi tiene solución.

14 Algunos objetivos de la signatura 11 Esto llegará a ser cierto si en las ecuaciones cambiamos el signo igual = por el signo de aproximadamente igual (ó en inglés). 3x 1 +2x 2 + x 3 2, 9x 1 +6x 2 +3x ,

15 Algunos objetivos de la signatura 12 Consideremos un caso más general, hallar las soluciones que mejor satisfacen al sistema a 11 x 1 + a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 b 3

16 Algunos objetivos de la signatura 13 Este sistema lo podemos reescribir en forma de vectores columnas así: x 1 a 11 a 21 + x 2 a 12 a 22 b 1 b 2 a 31 a 32 b 3

17 Algunos objetivos de la signatura 13 Este sistema lo podemos reescribir en forma de vectores columnas así: x 1 a 11 a 21 + x 2 a 12 a 22 b 1 b 2 a 31 a 32 b 3 De esta forma el problema se puede reformular de este modo: Hallar el vector del plano (subespacio vectorial de dimensión 2) engendrado por los

18 Algunos objetivos de la signatura 14 vectores a 11 a 21 a 31 y a 12 a 22 a 32 que esté lo más cerca posible del vector b 1 b 2 b 3

19 Algunos objetivos de la signatura 15 Con lo cual este problema es equivalente al problema de hallar la distancia de un punto a un plano; es decir, dados un punto P y un plano π hallar el punto Q de π que hace mínima la distancia PX de P a un punto cualquiera X de π.

20 Algunos objetivos de la signatura 15 Con lo cual este problema es equivalente al problema de hallar la distancia de un punto a un plano; es decir, dados un punto P y un plano π hallar el punto Q de π que hace mínima la distancia PX de P a un punto cualquiera X de π. Es fácil averiguar la solución utilizando el teorema de Pitágoras, pues Q viene dado por la intersección de la recta que pasa por P y es perpendicular a π con este plano. La mínima distancia es PQ.

21 Algunos objetivos de la signatura 16 Podemos observar dos figuras que ilustran esta idea.

22 Algunos objetivos de la signatura 17 P Q X π

23 Algunos objetivos de la signatura 17 b P a_1 Q x_0 Xx π 0 a_2

24 Algunos objetivos de la signatura 18 Interpretación geométrica del ajuste por mínimos cuadrados Dados los puntos (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ) la búsqueda de (a, b) tal que la recta y = ax + b sea la que mejor se ajusta a los puntos en el sentido de los mínimos cuadrados, puede intepretarse de la manera siguiente.

25 Algunos objetivos de la signatura 18 Interpretación geométrica del ajuste por mínimos cuadrados Dados los puntos (x 1,y 1 ),...,(x n,y n ) la búsqueda de (a, b) tal que la recta y = ax + b sea la que mejor se ajusta a los puntos en el sentido de los mínimos cuadrados, puede intepretarse de la manera siguiente. Si miramos la fórmula n E(a, b) := (ax i + b y i ) 2. i=1

26 Algunos objetivos de la signatura 19 vemos que se trata de hacer lo más pequeñas posible las siguientes cantidades simultáneamente, (ax 1 + b y 1 ) 2 (ax 2 + b y 2 ) 2. (ax n + b y n ) 2

27 Algunos objetivos de la signatura 20 Lo cual es equivalente a hallar la combinación lineal a x 1 x 2.. x n + b más próxima al vector y 1 y 2.. y n.