Problemas de geometría afín

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1 Problemas de geometría afín Teóricos Problema A Para un subconjunto no vacío X de R n se cumple: X es subvariedad afín cada recta que pasa por dos puntos distintos de X está totalmente contenida en X Problema A2 Sean X e Y dos subvariedades afines paralelas de R n Si X e Y tienen algún punto en común, entonces son incidentes Problema A3 punto En R n, una recta y un hiperplano que no son paralelos se cortan en un único Problema A4 Sean en R n dos rectas r y s que se cruzan (es decir, que no están en un mismo plano, o sea, ni se cortan ni son paralelas) Existe un único plano π r paralelo a s que contiene a r, y existe un único plano π s paralelo a r que contiene a s Además π r y π s son paralelos Problema A5 Sean A, B, C tres puntos alineados en R n tales que B C Supongamos que respecto de una referencia afín fijada en R n tenemos A = (a,, a n ), B = (b,, b n ) y C = (c,, c n ) Dado i {,, n} tal que b i c i 0 se cumple (A, B, C) = a i c i b i c i Problema A6 Sean A, B, C tres puntos alineados en R n tales que B C y denotemos (A, B, C) = λ Existe una referencia afín en R n respecto de la cual las coordenadas son A = (λ, 0,, 0), B = (, 0,, 0) y C = (0, 0,, 0) Problema A7 En R 2, la condición necesaria y suficiente para que tres puntos A = (a, a 2 ), B = (b, b 2 ) y C = (c, c 2 ) estén alineados es que se cumpla a a 2 b b 2 = 0 c c 2 Problema A8 En R 2, considérense tres rectas r a x + b y = d, s a 2 x + b 2 y = d 2 y t a 3 x + b 3 y = d 3 De la discusión del sistema de ecuaciones lineales a x + b y = d a 2 x + b 2 y = d 2 a 3 x + b 3 y = d 3 dedúzcase la propiedad: r, s y t son paralelas ó concurren en un punto a b d a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 = 0

2 2 Problema A9 En R 3, la condición necesaria y suficiente para que cuatro puntos A = (a, a 2, a 3 ), B = (b, b 2, b 3 ), C = (c, c 2, c 3 ) y D = (d, d 2, d 3 ) sean coplanarios es que se cumpla a a 2 a 3 b b 2 b 3 = 0 c c 2 c 3 d d 2 d 3 Problema A0 Dado un paralelogramo ABCD, si E es el punto medio del lado AB y F es el punto medio del lado CD, entonces las rectas DE y F B dividen a la diagonal AC en tres partes iguales Problema A Las diagonales de un trapecio se dividen en partes cuya proporción es la misma que la proporción entre las bases Problema A2 Si P es el punto de corte de las diagonales de un trapecio, entonces la recta paralela a las bases que pasa por P corta a los dos lados restantes del trapecio en puntos cuyo punto medio es P Problema A3 Dadas dos rectas paralelas y distintas, r y r, y pares de puntos distintos, A, B r y A, B r, la recta que pasa por los puntos AA BB y AB A B corta al segmento AB en su punto medio Problema A4 Dado un triángulo ABC y tres puntos A, B y C sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente, hállese una condición necesaria y suficiente para que los triángulos ABC y A B C tengan el mismo baricentro Problema A5 Dados tres puntos distintos y alineados A, B y C, calcúlese la relación que hay entre las seis razones simples que se obtienen al permutar dichos puntos En qué condiciones las seis razones simples toman como máximo tres valores diferentes? Problema A6 Sea r una recta y sea π un plano paralelo a r Pruébese que el lugar geométrico de los baricentros de los triángulos que tienen un vértice sobre r y los otros dos vértices sobre π es un plano paralelo a π Problema A7 Dado un tetraedro ABCD, sea r una recta que corta en puntos A, B, C y D a las caras BCD, CDA, DAB y ABC, respectivamente Pruébese que los puntos medios de los segmentos AA, BB, CC y DD son coplanarios Problema A8 En R 3, sean r y s dos rectas que se cruzan Dado un punto P R 3 que no pertenece ni a r ni a s, existe una única recta t que pasa por P y que corta a r y a s

3 3 Prácticos Problema B En R 4, obtenga ecuaciones paramétricas e implícitas del hiperplano que pasa por los puntos O = (0, 0, 0, 0), A = (,,, 0), B = (,, 0, ) y C = (, 0,, ) Problema B2 En R 4, obtenga ecuaciones del hiperplano que pasa por los puntos P = (, 0, 2, 0), Q = (, 2, 0, ) y es paralelo al plano de ecuaciones x y + 5z + t =, x + y = 7 Problema B3 En R 4, estudie la posición relativa entre el plano x+y +z =, x y +t = y el plano x = + λ, y = 2λ β, z = β, t = 3λ Problema B4 En R 3, una recta r es paralela al plano x + y z = y pasa por el punto (0, 0, ) Halle su ecuación sabiendo además que corta a la recta de ecuaciones x+z = 4, y = Problema B5 Problema B6 En R 4, halle la recta que pasa por el origen y se apoya en las dos rectas x = 2 + 3λ x = 7µ y = λ y = r, r z = + 2λ 2 z = + µ t = 3 2λ t = + 2µ Halle la menor subvariedad afín de R 4 que contiene a las rectas 2x y = 0 x + y 3 = 0 r x + z = 0, r 2 2x z = 0 3x t = 0 t = 0 Problema B7 En R 4, obtenga la familia de hiperplanos que son incidentes con el plano determinado por los puntos A = (, 2, 3, ), B = (0, 0,, 5) y C = (3,, 5, 0) Problema B8 En R 3, dados los planos π 3x + 4y + 5z = y π 2 2x + y + z = 2, y dados los puntos A = (, 0, ) y B = (, 4, 2), halle la ecuación del plano que pasa por π π 2 y por el punto medio del segmento AB Problema B9 En R 3, una recta está contenida en el plano x + y + z = 4 y pasa por el punto (2,, ) Halle su ecuación sabiendo además que es paralela al plano x y + z = 0 Problema B0 En R 3, calcule la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralela a la recta r 2, siendo r x 3 = y 2 = z x = 3λ, r 2 y = + 2λ 2 3 z = λ Problema B En R 3, halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (,, ), es paralela al plano x 2y z = 0, y es coplanaria con la recta x = y 2 = z 3

4 4 Problema B2 En R 4, obtenga ecuaciones paramétricas e implícitas del hiperplano que pasa por los puntos O = (, 0,, 0), A = (0,, 0, ), B = (, 0, 0, ) y C = (0,,, 0) Problema B3 En R 4, calcule la recta que pasa por el punto P = (0, 0,, ), corta al plano x + 2y =, z + t = 0, y corta a la recta x = λ, y = 3 + λ, z = 5 + 2λ, t = 0 Problema B4 En R 4, obtenga ecuaciones del hiperplano que pasa por los puntos P = (3, 2, 4, ), Q = ( 3, 4, 2, 2) y es paralelo al plano de ecuaciones 2x+5z+t = 8, 2y 5z t = 6 Problema B5 En R 3, calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto (, 0, 2) y se apoya en las rectas r x 3 = y + 2 = z, r 2 x + 6 = y 2 = z Problema B6 rectas En R 5, halle las ecuaciones de la mínima subvariedad afín que pasa por las r x = x 2 = x 3 = x 4 = x 5, r 2 x = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 Problema B7 Considere, en R 4, la recta x = 2 + 3λ y = λ r z = + 2λ t = 3 2λ Obtenga primero unas ecuaciones implícitas de r Calcule después el hiperplano que pasa por r y por los puntos P = (, 0, 0, 0), Q = (0, 0, 0, ) Problema B8 Halle la menor subvariedad afín de R 4 que contiene a las rectas x + y = 0 x + y = 0 r y + z = 0, r 2 z = 0 z + t = 0 t + = 0

5 5 Problemas de geometría euclídea Teóricos Se llama cuerda de una circunferencia a todo segmento que tenga sus extremos sobre ella Dado un triángulo, se define su perímetro como la suma de las longitudes de sus tres lados, y se define su semiperímetro como un medio del perímetro El inradio del triángulo es el radio de su circunferencia inscrita Un triángulo se dice que es acutángulo si sus tres ángulos son agudos (menores que π 2 ) Dado un triángulo acutángulo en R 2, el triángulo que forman los pies de sus altura se denomina triángulo órtico asociado al triángulo dado Problema C En R 2, dada una circunferencia y un diámetro suyo, para una cuerda de la circunferencia que no es diámetro se cumple: el diámetro pasa por el punto medio de la cuerda si y sólo si el diámetro es perpendicular a la cuerda Problema C2 Sea C una circunferencia en R 2 Fijado un número real positivo α menor que el doble del radio de la circunferencia, calcule el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de C de longitud α Problema C3 Sea C una circunferencia en R 2 Fijado un punto P R 2, calcule el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas de C que pasan por P Problema C4 En R 2, dadas una circunferencia y dos cuerdas de desigual longitud de ella, la de mayor longitud es la que dista menos del centro de la circunferencia Problema C5 Dado un triángulo en R 2, sus tres alturas se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo Problema C6 Dado un triángulo acutángulo en R 2, las bisectrices interiores de su triángulo órtico son las alturas del triángulo dado En particular, el incentro del triángulo órtico es igual al ortocentro del triángulo dado Problema C7 Dado un triángulo acutángulo en R 2, las bisectrices exteriores de su triángulo órtico son los lados del triángulo dado Problema C8 Dado un triángulo acutángulo en R 2, los exincentros del triángulo órtico son los vértices del triángulo dado Problema C9 El área del triángulo es igual al producto de su inradio y su semiperímetro Problema C0 La suma de las distancias de un punto interior de un triángulo a sus vértices es menor que el perímetro y mayor que el semiperímetro Problema C Sean e, v R n tales que e 0 Se cumplen: (a) El vector v es ortogonal a e si y sólo si la proyección ortogonal de v sobre e es cero (b) El vector v e si y sólo si la proyección ortogonal de v sobre e es el propio v

6 6 Problema C2 Dadas en R n dos rectas r y s que se cruzan, existe una única recta de R n que las corta y es perpendicular a ambas Problema C3 Dados vectores e, v R n no nulos y escalares λ, µ R tales que λµ < 0, se cumple (e, v) + (λe, µv) = π Problema C4 Se cumple la siguiente reformulación del teorema de Pitágoras: un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales son perpendiculares Problema C5 La suma de las distancias de los puntos de la base de un triángulo isósceles a los lados es constante Problema C6 La suma de las distancias de un punto interior de un triángulo equilátero a los lados es constante Problema C7 Cualesquiera que sean los vectores e, v, u R 3 se cumplen : (a) (v u) e = (v e)u (u e)v ; (b) (v u) e + (u e) v + (e v) u = 0 (identidad de Jacobi) Problema C8 Cualesquiera que sean los vectores v, u, v, ū R 3 se cumple : v v u v (v u) ( v ū) = (identidad de Lagrange) v ū u ū Prácticos Problema D En R 3, calcule de dos maneras distintas la distancia del punto P = (, 2, 3) a la recta Problema D2 Problema D3 r x + 2 = y = z 2 2 En R 3, calcule de dos maneras distintas la distancia entre las rectas r x = y 7 = z 5 6, s x = y + 5 = z 6 En R 3, determine la recta perpendicular común a las rectas r x 2 = y = z + 3, s x 2 = y 2 = z 2 3 Problema D4 Considere en R 3 la recta r y el plano π de ecuaciones x = + 2λ π 4x + y + z = 9, y = 2 λ r z = 3 + λ Calcule la recta de π que describen los pies de las perpendiculares a π trazadas desde los puntos de r

7 7 Problema D5 En R 3, determine los valores de a, b y c para que las rectas r x a = y = z + b, s x 2 = y = z, t x + = y 2 2 = z c sean perpendiculares Problema D6 En R 4, calcule la distancia del punto P = (, 6, 0, ) al plano de ecuaciones x + y + z =, x y + t = Problema D7 En R 4, calcule la distancia entre las rectas x = + λ x = + µ y = λ y = 2µ r, r z = 2 + 4λ 2 z = 0 t = 5 + 3λ t = 3µ Problema D8 En R 4, halle el pie de la perpendicular trazada desde el punto P = (, 0, 0, ) sobre las subvariedades: (a) la recta x + y =, x y + z =, y z + t = 0; (b) el hiperplano x + y + z t = 4 Problema D9 En R 4, calcule la distancia entre la recta r y el plano π, siendo x = λ x = α β y = 4 λ y = + 2α r, π z = 7 2λ z = 6 + α + β t = 0 t = Problema D0 En R 4, calcule la distancia entre los planos } y z t = 0 x + 2y 2z = 0 π, x + y z t = 2x + y 2z 3t = 0 } π 2 Problema D En R 4, calcule la distancia entre la recta r que pasa por los puntos A = (0,,, 0) y B = (, 0, 0, ), y el plano } y z t = 0 π x + 2y 2z = 0 Problema D2 En R 4, halle el punto simétrico del punto P = (, 4,, ) respecto del hiperplano x + y + 3z t + = 0

8 8 Problema D3 En R 3, calcule de dos maneras distintas la distancia del punto P = (, 0, ) a la recta r x = y + 2 = z Problema D4 En R 4, calcule la distancia entre las rectas x = 4λ x = 2 y = λ y = 2µ r, r z = + λ 2 z = + µ t = 4 + 3λ t = 3µ Problema D5 En R 4, calcule la distancia del punto P = (, 0, 2, ) al plano de ecuaciones 2x + z + t = 0, 2y + z t = 2 Problema D6 En R 3, determine la recta perpendicular común a las rectas r x 2 = y 2 = z 2, s x = y + = z 2 Problema D7 En R 4, calcule la distancia entre la recta r que pasa por los puntos A = (, 0,, 0) y B = (0,, 0, ), y el plano } x z + t = 0 π 2x y 2z = 0 Problema D8 En R 4, calcule la distancia entre la recta r y el plano π, siendo x = λ x = α y = 3 + λ y = α + β r, π z = 5 + 2λ z = 5 + 2α + β t = 0 t =