Unidad Didáctica 2 Cinemática

Transcripción

1 Unidad Didáctica Cineática

2 1.- Intoducción La Cineática es la pate de la Física que descibe los oviientos de los cuepos sin aboda las causas que los poducen, las cuales son objeto de ota pate de la Física: la Dináica..- Caacte elativo del oviiento: sistea de efeencia. Un cuepo está en eposo cuando su posición no cabia especto a un sistea de efeencia elegido coo fijo. Un cuepo está en oviiento cuando su posición cabia especto a un sistea de efeencia elegido coo fijo. Dado que un iso cuepo puede esta a la vez en eposo o en oviiento según el sistea de efeencia que se considee, se llega a la conclusión de que todo oviiento es elativo. Tayectoia: línea iaginaia que descibe un cuepo al ovese especto a un sistea de efeencia. 3.- Vecto de posición. La posición, : es una agnitud vectoial que indica la distancia de un cuepo al oigen de un sistea de efeencia que se toa coo fijo. Es deci, es un vecto que tiene, coo oigen, el oigen de coodenadas y po exteo, el punto consideado. Las coodenadas indican la distancia del cuepo a cada uno de los ejes de coodenadas. = x + y y, en función de los vectoes unitaios ( i, j ): = x i + y j 4.- Vecto desplazaiento. Desplazaiento, Δ, ente dos posiciones, es una agnitud vectoial que indica la distancia en línea ecta ente las posiciones final ( B ) e inicial ( A ) de un cuepo. Δ, es el vecto que tiene po oigen el punto de patida A y po exteo el punto de llegada B y su ódulo es la distancia en línea ecta ente la posición inicial y la final: Δ = B - A 5.- Vectoes velocidad edia y velocidad instantánea. Un óvil se taslada, siguiendo una tayectoia cualquiea, desde el punto A (punto de patida) al punto B (punto de llegada) y eplea un tiepo en hacelo. A y B, son los vectoes de posición de los puntos A y B. Δ, es el vecto desplazaiento ente los puntos A y B., es el tiepo epleado. Unidad : Cineática pag. 1

3 Velocidad edia, v, es una agnitud vectoial cuya diección y sentido son los del vecto desplazaiento y cuyo ódulo es el cociente ente el ódulo del vecto desplazaiento y el tiepo. En el Sistea Intenacional, la unidad paa la velocidad es el /s. Esta agnitud nos indica el ito de cabio de la posición con el tiepo. Δ v = Velocidad instantánea: es la velocidad que lleva un óvil en un punto o instante deteinado. Es un vecto cuya diección es tangente a la tayectoia en el punto consideado, su sentido es el del desplazaiento, y se calcula deivando el vecto de posición con especto al tiepo. d v = 6.- Vectoes aceleación edia y aceleación instantánea. Excepto en el oviiento ectilíneo y unifoe, en todos los deás oviientos se poduce un cabio en el vecto velocidad: ya sea en el ódulo, en la diección o en el sentido. Dado un óvil que se desplaza de A a B a lo lago de una tayectoia cualquiea, y = f(x), y eplea un tiepo,, en hacelo. En el punto A, el óvil lleva una velocidad, v A y, en el punto B, lleva una velocidad, v B. Aceleación edia, a, es una agnitud vectoial que nos indica la apidez con que cabia el vecto velocidad con el tiepo. Tiene la isa diección y sentido que los del vecto Δ v. En el Sistea Intenacional, la unidad de aceleación es el /s². a Δv = t Δ Aceleación instantánea, a, es la aceleación que lleva un óvil en una posición o instante dado. Es un vecto cuya diección y sentido coinciden con los del vecto dv y se calcula deivando el vecto velocidad instantánea con especto al tiepo. a dv = Coponentes intínsecas del vecto aceleación. La aceleación ide los cabios que se poducen en la velocidad de un óvil que pueden se debidos a cabios en el ódulo de la velocidad y/o en su diección. Po eso, se distiguen dos clases de aceleación: tangencial y noal. La aceleación tangencial, a t : elaciona la vaiación del ódulo del vecto velocidad con el tiepo. Es un vecto que tiene diección tangente a la tayectoia, sentido el iso que el del vecto velocidad y su ódulo es: d v a t = Unidad : Cineática pag.

4 La aceleación noal (o centípeta), a n : elaciona los cabios de la diección de la velocidad con el tiepo. Es un vecto que tiene diección pependicula a la tayectoia y sentido hacia dento y su ódulo es: v a n = R Si τ, es un vecto unitaio según la diección tangente, y n un vecto unitaio según la diección de la noal: a = a t + a n = a t τ + a n n Esto supone que cuando un coche toa una cuva, aunque su apidez sea constante, está cabiando su velocidad. 7.- Clasificación de oviientos. Hay tes posibles citeios paa clasifica los oviientos: 1. Toando coo efeencia la tayectoia, los oviientos se clasifican en: Moviientos ectilíneos o de tayectoia ecta. Moviientos cuvilíneos o de tayectoia cuva (cicula, elíptica, paabólica, etc.).. Toando coo efeencia la elación ente el espacio ecoido y el tiepo epleado (ódulo de la velocidad) se dividen en: Moviientos unifoes (M.U.): el ódulo de la velocidad es constante. Moviientos vaiados: el ódulo de la velocidad no es constante. a) Moviientos unifoeente vaiados (M.U.V.): el ódulo de la velocidad cabia de foa diectaente popocional al tiepo: la aceleación es constante. M.U. Aceleado: el ódulo de la velocidad auenta con el tiepo. M.U. Retadado: el ódulo de la velocidad disinuye con el tiepo. b) Moviientos vaiados no unifoes: el ódulo de la velocidad no cabia de foa diectaente popocional al tiepo: la aceleación no es constante. 3. Toando coo efeencia las coponentes intínsecas de la aceleación: Paa estudia los cabios en la diección de la velocidad utilizaos las coponentes intínsecas de la aceleación. Coponentes M.Rectilíneos M. Cuvilíneos Otos intínsecas de la oviientos M.R.U M.R.U.A. M.C. M.C.U.A. aceleación cuvilíneos a t 0 # 0 y cte. 0 # 0 y cte # 0 a n 0 0 # 0 y cte # 0 y cte # 0 Unidad : Cineática pag. 3

5 8.- El oviiento ectilíneo. Un oviiento es ectilíneo cuando su tayectoia es una línea ecta, es deci, a n = 0. El vecto Δ = F - i tiene diección constante, peo no tiene po qué se la isa que las de F y i. Paa ayo sencillez, se suele toa el oigen de coodenadas sobe la tayectoia y, adeás, se hace que ésta coincida con uno de los ejes catesianos. De esa foa, si que van a coincidi las diecciones de F, i y F - i y, en consecuencia, tabién coincidián las diecciones de los vectoes Δ, v y a y se pueden aneja las coespondientes ecuaciones vectoiales coo ecuaciones escalaes Ecuaciones. Tipo de oviiento Cualquiea Posición Desplazaiento Velocidad Aceleación x (t) i + y(t) j + z(t) k = F i dv d a = = a Δ = - v = t + a n Δx = x M.R.U. x F = x i + v F - x i = v Δx a v = = cte n = 0, a t = 0 a = 0 a 1 M.R.U.V. x F = x i + v i + a 1 n = 0, Δx = v i + a v F = v i + a Δv a = a t = 1 1 Caída libe y F = y i + v i + g Δy = v i + g v F = v i + g g 8..- Citeios de signos. Aunque no hay una diección poviligiada, po convenio intenacional se ha adoptado el siguiente citeio: Posición: se considea positiva si se encuenta a la deecha del oigen y negativa si se encuenta a la izquieda. En oviientos veticales, seá positiva si se encuenta po encia del oigen y negativa cuando está po debajo del oigen. Desplazaiento: se considea positivo si un óvil se ueve hacia la deecha y negativo si se ueve hacia la izquieda. En los oviientos veticales consideaos positivo, hacia aiba y negativo, hacia abajo. Velocidad: tiene siepe el iso sentido que el desplazaiento, po tanto, se considea positiva si el óvil se ueve hacia la deecha y negativa si se ueve hacia la izquieda. Unidad : Cineática pag. 4

6 Aceleación: depende de dos factoes: de que la velocidad esté auentando o disinuyendo de que el cuepo se desplace en sentido + o -. El convenio que se ha toado es: Si un óvil auenta su apidez (acelea), la aceleación (tangencial) tiene el iso sentido que la velocidad. Si un óvil está disinuyendo su apidez (está fenando), entonces su aceleación (tangencial) va en el sentido contaio a la velocidad. 9.- El oviiento cicula. Moviiento cicula es aquel en el que la tayectoia descita po el punto óvil es una cicunfeencia. En este caso se elige coo efeencia el cento de la cicunfeencia Paa estudia estos oviientos se usan dos tipos de agnitudes: Lineales: aco descito, ΔS, velocidad instantánea en cada punto, aceleación, etc. Angulaes: ángulo baido po el adiovecto, Δϕ, que indica la posición del punto en cada instante, velocidad angula, ω, aceleación angula, α, etc. En el caso de descibi el oviiento ediante agnitudes lineales, había que indica la velocidad lineal en los distintos puntos de la tayectoia, así coo los valoes que van toando el vecto aceleación y sus coponentes tangencial y noal, o sus coponentes catesianas (si se utilizan ejes de coodenadas catesianos). La elación ente el aco descito y el ángulo: ΔS = Δϕ. R aco = ángulo. adio Δϕ es una agnitud adiensional y se expesa en adianes Velocidad angula edia e instantánea Iagineos un óvil que, en tayectoia cicula, descibe, en un tiepo t, un aco ΔS copendido ente la posición A 1 y la posición A, y supongaos que elegios coo oigen de acos al punto A: La velocidad angula edia, ω, es una agnitud vectoial que ide la apidez de vaiación del ángulo baido po el adiovecto po unidad de tiepo. Su unidad en el S.I. es el s -1 o el ad/s. Su ódulo: ω ϕf -ϕ = = I Δ ϕ Unidad : Cineática pag. 5

7 La velocidad angula edia ω, es un vecto pependicula al plano que contiene a la tayectoia descita (vecto axial), cuyo sentido viene dado po el sentido de avance de un sacacochos paa diestos, que gie en el sentido en que gie el óvil. La expesión anteio queda: Δ ϕ ω = n (siendo n un vecto unitaio pependicula al plano de la tayectoia). La velocidad angula instantánea, ω, es la velocidad angula que lleva el óvil en un punto o oento deteinado: dϕ ω = n 9..- Aceleación angula edia e instantánea. La aceleación angula edia, α, es una agnitud vectoial que ide la apidez de vaiación de la velocidad angula con el tiepo. La unidad en el S.I. es el ad/s o bien s -. Su ódulo: ω -ωi Δ ω α = F = La aceleación angula edia es un vecto pependicula al plano de la tayectoia, cuyo sentido es el de Δω, po tanto: Δ ω α = n La aceleación angula instantánea, α, es el valo de la aceleación angula en una posición o instante deteinado: dω α = n Relación ente las agnitudes lineales y las agnitudes angulaes. La elación ente el angulo baido po el adiovecto y aco ecoido po el exteo de éste: ΔS = Δϕ. R La elación ente la velocidad angula y la lineal: v = ω. R Las coponentes intínsecas de la aceleación: Aceleación tangencial: a t = α. R Aceleación noal: a n = ω. R Unidad : Cineática pag. 6

8 10.- Casos paticulaes de oviientos ciculaes Ecuaciones. Moviiento M.C.U. M.C.U.V. Equivalencias Ángulo ϕ F = ϕ I + ω ϕ F = ϕ I + ω I + 1 α Desplazaiento angula Velocidad angula Aceleación angula Coponentes intínsecas Δϕ =ϕ F - ϕ I = ω Δϕ = ϕ F - ϕ I = ω I + 1 α ΔS = Δϕ. R Δ ω = ϕ = cte ω F = ω I + α v = ω. R α = 0 a t = 0 a n = ω. R Peiodo: T = π ω Fecuencia: f = 1 T = ω π Δ ω α = Δ t a t = α. R a n = ω. R a t = α. R a n = ω. R El oviiento peiódico. Se dice que el oviiento cicula unifoe es un oviiento peiódico, ya que, a intevalos iguales de tiepo, epite los valoes del vecto de posición, de la velocidad, de la aceleación, etc.). Peiodo, T, es el tiepo epleado po el óvil en descibi un gio copleto y, po tanto, en epeti los valoes de las agnitudes encionadas. T = π ω π adianes equivale a da una vuelta copleta, es deci a 360º Fecuencia, f: es el núeo de vueltas que el punto óvil da en un segundo. Po consiguiente, la fecuencia seá la invesa del peiodo (expesado en segundos). f = 1 T = ω π La unidad de fecuencia en el S.I. es el s -1, tabién conocido coo hetzio (Hz). Unidad : Cineática pag. 7

9 Tipo de oviiento Cualquiea M.R.U. Resuen de fóulas de Cineática Posición Desplazaiento Velocidad Aceleación x (t) i + y(t) j + z(t) k = F i x F = x i + v M.R.U.V. x F = x i + v i + 1 a Caída libe y F = y i + v i + 1 g Δy = v i + 1 g dv a = = a t + a n d Δ = - v = a d v t = τ a v n = n R Δx = x F - x i = v Δx a v = = cte n = 0, a t = 0 a = 0 a 1 n = 0, Δx = v i + a v F = v i + a Δv a = a t = v F = v i + g g Moviiento M.C.U. M.C.U.V. Equivalencias Ángulo ϕ F = ϕ I + ω ϕ F = ϕ I + ω I + 1 α Desplazaiento angula Velocidad angula Aceleación angula Coponentes intínsecas Δϕ =ϕ F - ϕ I = ω Δϕ = ϕ F - ϕ I = ω I + 1 α ΔS = Δϕ. R Δ ω = ϕ = cte ω F = ω I + α v = ω. R α = 0 a t = 0 a n = ω. R Peiodo: T = π ω Fecuencia: f = 1 T = ω π Δ ω α = Δ t a t = α. R a n = ω. R a t = α. R a n = ω. R Unidad : Cineática pag. 8

10 Pobleas de la Unidad 1.- Las ecuaciones paaéticas del vecto de posición de un óvil son: x = t + 5, y = 3t. a) Qué tayectoia descibe el punto? b) Cuál seá el valo del vecto de posición en los instantes t = s y t = 4 s? c) Cuánto valdá el vecto desplazaiento desde el punto A (t = s) hasta el punto B (t = 4 s). d) Halla el ódulo del vecto desplazaiento..- Paa el oviiento de ecuación: = 3t i (6t + 3) j a) Cuál es la tayectoia? b) Qué tipo de oviiento es? c) Cuánto vale el vecto de posición a t =0 s y t = s? d) Cuánto valdá el vecto desplazaiento desde (t=0 s) hasta t= s. e) Halla el ódulo del vecto desplazaiento. 3.- Dado un oviiento expesado po la ecuación: = 3t i 6tj deteina: a) Vecto velocidad edia en los cuato pieos segundos. b) Vecto velocidad instantánea paa t = 5s. c) Módulo de la velocidad paa t = 5s. 4.- Dado un oviiento expesado po la ecuación: = ti + j deteina: a) Vecto velocidad edia ente t = s y t =4 s. b) Vecto velocidad instantánea paa t = 3s. c) Módulo de la velocidad paa t = 3 s Paa el oviiento epesentado po la ecuación: = 5t i + 3t j, deteina: a) Vecto aceleación edia en los tes pieos segundos. b) Aceleación instantánea paa t = 3s. c) Módulo de la aceleación instantánea paa t = 3s. 6.- El vecto de posición un óvil queda deteinado po las siguientes coponentes: x = 4 + 3t, y = t 3 +5, z = t + 4t, en las que x, y, z vienen expesadas en y el tiepo en s. Deteina a) la aceleación edia en el pie segundo b) la aceleación instantánea y su ódulo en el instante t = 1s. 7.- La ecuación que define la tayectoia de una patícula en un plano, viene dada po = 5t i + (0t - 5t ) j, deteina: a) expesión del vecto velocidad y su ódulo, b) el vecto aceleación y su ódulo, b) ódulos de la aceleación tangencial y noal paa t = s. 8.- El vecto velocidad del oviiento de una patícula viene dado po: v = (3t - ) i + (6t - 5) j + (4t -1) k. Calcula: a) Ecuación del vecto aceleación y su ódulo. b) Módulo de las aceleaciones tangencial y noal paa t = 1s. Pobleas de oviientos ectilíneos 9.- Un coche cicula a 7 k/h. Fena y paa en 5 s. alcula la aceleación y la distancia ecoida Un Boeing 77 necesita coo ínio una velocidad de 369 k/h paa inicia el despegue. Si estando paado coienza a oda, tada 5 s en despega. a) Deteina la aceleación, supuesta constante, que popocionan los otoes del avión. b) Calcula la longitud ínia que ha de tene la pista de ateizaje Una caja se cae desde un caión en acha y se desliza po la calle una distancia de 45 antes de detenese. El ozaiento ente la caja y la calle poduce una deceleación de 4 /s. Cuál ea la velocidad del caión cuando se cayó la caja? Unidad : Cineática pag. 9

11 1.- Un coche viaja de noche a una velocidad de 7 k/h y, de epente, se encuenta con un caión estacionado a 0 de distancia. El conducto aplica el feno counicándole una aceleación de -5/s. a) Cuánto tiepo tadaá en detenese? b) Chocaá con el caión paado? 13.- La velocidad de un autoóvil pasa de 54 k/h a 7 k/h en 175 de caetea ectilínea. a) Qué tipo de oviiento lleva? b) Qué tiepo inviete en ecoe esos 175? c) Calcula la aceleación Se deja cae un objeto desde un edificio de 300 de altua, calcula el tiepo que tada en llega al suelo y la velocidad con que lo hace Se lanza, desde el suelo, veticalente hacia aiba un cuepo con una velocidad de 40 /s. Calcula: a) la posición y la velocidad al cabo de s. b) la altua áxia que alcanza y el tiepo epleado. c) la velocidad al egesa al punto de lanzaiento y el tiepo total Un cohete se dispaa veticalente hacia aiba con una velocidad de 0 /s. Calcula: a) Tiepo en llega a la altua áxia. b) Altua áxia alcanzada. c) Espacio que habá ecoido en los 3 pieos segundos y velocidad que llevaá en ese oento Desde un globo que se está elevando con una velocidad constante de /s, se deja cae un paquete cuando se encuenta a 60 de altitud. a) Cuánto tiepo tada el paquete en llega al suelo? b) Con qué velocidad llega? c) Donde se encuenta el globo cuando llega el paquete al suelo? Pobleas de oviiento cicula 18.- Un disco de 40 c de diáeto gia con velocidad angula constante de 00.p.. Deteina: a) La velocidad angula en el S.I. b) La velocidad lineal en un punto de la peifeia de la ueda. c) Aco descito po un punto de la peifeia de la ueda en.10-3 s Calcula las velocidades angula y lineal con las que la Luna gia alededo de la Tiea, sabiendo que nuesto satélite inviete 7 días y 8 hoas en una evolución copleta alededo de la Tiea, y que la distancia ente abos astos es de k. 0.- Un disco, con un diáeto de 30 c, adquiee una velocidad de 33.p.. a los 3 s de epeza a gia. Calcula: a) la aceleación angula de dicho disco, b) la velocidad y aceleación lineales de un punto de su peifeia a los s de coenza el oviiento de gio. 1.- Un punto óvil se ve soetido a un oviiento cicula de 6 de adio giando a la velocidad de 00 vueltas cada inuto. Halla: a) Peiodo y fecuencia. b) Ángulo descito en 0 s. c) Valo de la aceleación tangencial y noal así coo del vecto aceleación..- Un ventilado de 50 c de adio gia a 150.p.., cuando se desconecta de la coiente, tadando edio inuto en paase. Calcula: a) su velocidad angula inicial en unidades S.I. b) su aceleación angula, c) el núeo de vueltas que da hasta que se detiene, d) el espacio ecoido po el punto edio y po el exteo de las aspas ientas se está paando, e) la velocidad lineal del exteo a los 5 s, f) la aceleación tangencial, noal y total del exteo del aspa a los 5 s. Unidad : Cineática pag. 10