ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES CONTINUAS: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

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1 CURSO DE BIOESTADÍSTICA BÁSICA Y SPSS ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES CONTINUAS: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Amaia Bilbao González Unidad de Investigación Hospital Universitario Basurto (OSI Bilbao-Basurto) 7 INDICE. INTRODUCCIÓN Ejemplo Clasificación de los Modelos de Regresión Lineal. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Ejemplo Representación gráfica Tipo de relación entre las variables Coeficiente de correlación lineal de Pearson 3. RECTA DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Planteamiento de la recta Estimación de la recta Ejemplo en SPSS Interpretación de los coeficientes estimados 4. ES ADECUADO EL MODELO PLANTEADO? Test de Wald Coeficiente de determinación R 5. SUPUESTOS TEÓRICOS 6. DIAGNOSIS DEL MODELO 7. EJEMPLO DEL MODELO LINEAL GENERAL

2 . INTRODUCCIÓN EJEMPLO: Objetivo: Queremos explicar / conocer / predecir el comportamiento de la a través de otros parámetros. Variable de interés: Variable dependiente/respuesta Variables que influyen en la Variables independientes/ explicativas/covariables Se supone que el valor que toma la está influenciado por los valores que toman una o más variables. Tipo de variables: Variable dependiente: Cuantitativa Variables independientes: Cuantitativas Relación entre variables cuantitativas CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL: Dependiendo del nº de variables explicativas o independientes Una variable explicativa Dos o más variables explicativas Modelo de Regresión Lineal Simple Modelo de Regresión Lineal Múltiple 3

3 EJEMPLO:. MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Objetivo: Sabemos que la está muy relacionada con el Bun. Queremos explicar/conocer/predecir el comportamiento de la a través del Bun Cómo influye el Bun en la? Datos: Se dispone de una muestra de 37 pacientes de los cuales conocemos su nivel de y de Bun. Variables: CREATININA: Nivel de Variable dependiente (cuantitativa) : Nivel de Bun Variable independiente/explicativa (cuantitativa) 4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA: La representación gráfica más oportuna para analizar el tipo de relación existente entre dos variables cuantitativas Gráfico de dispersión Ejemplo en SPSS: Ruta SPSS: Gráficos > Dispersión > Simple 4 3 Eje horizontal: var. explicativa Eje vertical: var. dependiente Puntos: representan a cada paciente de la muestra Tendencia: según aumenta el nivel del Bun, aumenta el nivel de la La relación parece lineal 5

4 TIPO DE RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES: En todo momento, la relación entre la variable dependiente (respuesta) y la variable o variables explicativas (covariables) debe ser lineal. Ejemplo de relación no lineal: Queremos explicar el nivel de satisfacción de pacientes que acuden al servicio de urgencias de un hospital a través de la edad Tendencia: dos bloques Menores de 7 años: según aumenta la edad, aumenta el nivel de satisfacción Mayores de 7 años: el nivel de satisfacción se estabiliza SATISFAC 3 4 EDAD La relación no es lineal No debemos utilizar un modelo de regresión lineal 6 Ejemplo de relación no lineal: Queremos explicar la percepción de imagen corporal que tienen las pacientes con trastornos de la alimentación dependiendo de su peso Tendencia: dos bloques Empezando por pesos bajos, según aumenta el peso la imagen corporal mejora. Una vez alcanzado un rango de peso normal, según sigue aumentando el peso, la imagen corporal vuelve a empeorar. IMAGEN La relación no es lineal PESO No debemos utilizar un modelo de regresión lineal 7

5 COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON: Definición: Mide la magnitud de la asociación lineal entre dos variables cuantitativas. Se denota como r. Interpretación de r: puede tomar valores entre - y Si r próximo a Existe un grado alto de correlación positiva Si r próximo a El grado de correlación es prácticamente nula Si r próximo a - Existe un grado alto de correlación negativa Ejemplo en SPSS: Ruta SPSS: Analizar > Correlaciones > Bivariadas Correlaciones Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N Correlación de Pearson Sig. (bilateral) N **. La correlación es significativa al nivel,,,688**,, 37 37,688**,,, r =.688 Correlación positiva considerable Contraste de SPSS: H : Coef.Corr = H : Coef.Corr 8 3. RECTA DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE INDICE PLANTEAMIENTO DE LA RECTA: Ejemplo: Consideramos a la variable (Y) como dependiente de los valores de la variable Bun (X) Para un cierto valor del Bun, se espera un cierto valor medio de Objetivo: Encontrar una función razonable de forma que pueda estudiar o estimar el valor medio de la a partir de los valores del Bun. 4 3 Recta de regresión Expresión de la recta: Media () = β + β xbun β : Ordenada de la recta β : Pendiente de la recta

6 ESTIMACIÓN DE LA RECTA: En que consiste la estimación de la recta?: Media (Creat.) = β + β x Bun β, β? Se trata de elegir β y β de forma que la recta que obtenemos sea aquella que mejor se ajusta a los datos Método de estimación: Método de Mínimos Cuadrados Idea intuitiva: obtener la recta que está tan próxima como sea posible a todos los datos puntuales simultáneamente 4 3 Minimizar la suma de los cuadrados de las distancias entre los datos puntuales y la recta (residuos) n n Min e i ei = Min [ yi ( ˆ β + ˆ βxi )] 4 6 i= i= ˆ β y ˆ β EJEMPLO EN SPSS: Ruta SPSS: Analizar > Regresión > Lineal Análisis descriptivo previo: Estadísticos descriptivos Desviación Media típ. N,6, ,7 9,36 37 Estimación de los parámetros: Modelo (Constante) Coeficientes no estandarizados a. Variable dependiente: Coeficientes a Coeficientes estandarizad os B Error típ. Beta t Sig.,54,43,976,,,,688 7,8, ˆ β =.54 ˆ β =. Media (Creat.) = x Bun

7 INTERPRETACIÓN DE LOS COEFICIENTES ESTIMADOS: Recta estimada: Media () = x Bun Interpretación de la estimación de β : ˆ β =.54 (Ordenada de la recta) El valor medio de la es de.54 cuando el Bun es tiene sentido En este caso no es interpretable No Interpretación de la estimación de β : βˆ =. (Pendiente de la recta) El aumento en unidad del Bun, produce un aumento de. en el valor medio de la. Como ˆβ es positivo Según aumenta el Bun aumenta la, y la magnitud de dicho aumento viene determinado por el parámetro ˆβ. INTERVALOS DE CONFIANZA DE LOS COEFICIENTES: Hasta ahora solo hemos obtenido las estimaciones de β y β. ˆ β =.54 y ˆ β =. Estimaciones puntuales Podemos obtener los Intervalos de confianza del 95% para cada uno de los coeficientes Nos orientan sobre la precisión de la estimación. Ejemplo en SPSS: Ruta SPSS: Analizar > Regresión > Lineal Coeficientes a Modelo (Constante) Coeficientes no estandarizados a. Variable dependiente: Intervalo de confianza para B al 95% B Error típ. t Sig. Límite inferior Límite superior,54,43,976,,49,598,, 7,8,,,3 IC.95 (β ) = (.49,.598) IC.95 (β ) = (.,.3) 3

8 4. ES ADECUADO EL MODELO PLANTEADO? INDICE Recordar el objetivo: Explicar o conocer el comportamiento de la a través del comportamiento del Bun. Analizar si el Bun tiene algún efecto sobre el comportamiento de la. objetivo? El modelo de regresión lineal simple planteado cumple este Herramientas: Test de Wald (para cada coeficiente estimado) Coeficiente de Determinación R 4 TEST DE WALD: Objetivo: dar respuesta a la siguiente pregunta: La variable explicativa tiene algún efecto significativo sobre la variable dependiente CREATININA? Planteamiento del contraste: H : β = El efecto del Bun sobre la sería nulo H : β Estadístico de contraste o pivote: ˆ β t p = Desv.Stand ( ˆ β ) n t( ) Suponiendo H cierta Decisión: p-valor.5 No rechazo H El Bun no es una variable estadísticamente significativa en el modelo Replantear el modelo p-valor <.5 Rechazo H El efecto del Bun sobre la es estadísticamente significativo El modelo planteado tiene sentido 5

9 Ejemplo en SPSS: Ruta SPSS: Analizar>Regresión>Lineal Modelo (Constante) Coeficientes no estandarizados a. Variable dependiente: Coeficientes a Coeficientes estandarizad os B Error típ. Beta t Sig.,54,43,976,,,,688 7,8, Resultados del Test de Wald para β Valor del estadístico: t = 7.8 p-valor <. <.5 Se rechaza la hipótesis nula de que β = El Bun tiene un efecto estadísticamente significativo sobre la 6 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN R : Objetivo: dar respuesta a la siguiente pregunta: Cuál es la variabilidad de la CREATININA explicada a través del modelo (en este caso a través del )? Interpretación del coeficiente: Puede tomar valores entre y Si su valor es próximo a el modelo no es adecuado Cuanto más próximo a sea, mejor es el modelo La interpretación suele realizarse en porcentajes (R x )% En el caso de Regresión Lineal Simple R = r 7

10 Ejemplo en SPSS: Ruta SPSS: Analizar>Regresión>Lineal Modelo Resumen del modelo R cuadrado Error típ. de la R R cuadrado corregida estimación,688 a,473,47,36549 a. Variables predictoras: (Constante), R =.473 la A través del Bun se explica un 47.3% de la variabilidad de Conclusiones: El Bun es una muy buena variable para explicar el comportamiento de la, aunque no es suficiente SUPUESTOS TEORICOS Supuestos sobre la variable dependiente o respuesta: Debe ser cuantitativa y debe seguir una distribución normal: Y N(µ,σ ) Este supuesto implica que los errores sigan una distribución normal de media y varianza σ. Esta hipótesis debe ser contrastada a través de los residuos. Residuo = e i = Valor observado de Y - Valor predicho de Y Residuo = e i N (, σ ei ) Residuo estandarizado = var e ( ) i N (,) Supuestos sobre la variable explicativa o covariable: Bun Debe ser cuantitativa Supuestos sobre la relación entre las variables: Debe ser lineal 9

11 6. DIAGNOSIS DEL MODELO Objetivo: Contrastar la hipótesis teórica sobre que los residuos estandarizados del modelo siguen una distribución N (,) EJEMPLO EN SPSS: Ruta SPSS: Analizar>Regresión>Lineal El SPSS permite guardar los residuos para poder hacer análisis y gráficos. Histograma: La distribución debe ser más o menos normal (acampanada) Media= y Varianza= 8 6 El histograma indica un ligero sesgo hacia la derecha, aunque no excesivamente acentuado 4 5,63 4,63 3,63,63,63,63 -,38 -,38 -,38 Desv. típ. =, Media =, N = 37, Standardized Residual Gráfico de dispersión: Representamos en el gráfico, los residuos estandarizados frente a los valores de la variable explicativa Bun. Residuos mayores que 3 o menores que -3 deben ser examinados con mayor detalle. 6 4 El gráfico indica que 6 casos tienen residuos mayores de 3. Por tanto deberían ser examinados con más detalle. Standardized Residual

12 7. EJEMPLO DEL MODELO LINEAL GENERAL INTRODUCCIÓN: Variable dependiente: Cuantitativa Variables independientes: Cuantitativas y cualitativas EJEMPLO: Hipótesis: Sabemos que el Bun es buena variable para explicar el comportamiento de la, pero no suficiente. Por tanto, consideraremos también el Sexo, ya que se cree que la también podría estar influenciada por el sexo. Variables: Variable dependiente: (cuantitativa) Variables explicativas: Bun (cuantitativa) y Sexo (cualitativa) Objetivo: Estudiar si el Bun y el Sexo tienen alguna influencia sobre la conjuntamente. GRAFICO DE DISPERSION: SEXO Mujer Hombre SEXOC Mujer Hombre 6 3

13 PLANTEAMIENTO DEL MODELO: Media () = β + β x Bun + β x Sexo Hombre donde Sexo =, si es hombre, si es mujer La variable Sexo es dicotómica, por tanto, debemos considerar a los hombres o mujeres como grupo de referencia. En este caso, vamos a considerar a los mujeres como grupo de referencia. Hombres: Media () = β + β x Bun + β = (β + β ) + β x Bun Mujeres: Media () = β + β x Bun 4 EJEMPLO EN SPSS: Ruta SPSS: Analizar > Modelo Lineal General > Univariante Estimación del modelo: Variable dependiente: Parámetro Intersección [SEXO=] [SEXO=] Estimaciones de los parámetros Intervalo de confianza al 95%. Límite B Error típ. t Significación Límite inferior superior,45,49 8,45,,39,5,, 7,635,,,3,55,4 3,848,,76,34 a..... a. Al parámetro se le ha asignado el valor cero porque es redundante. Modelo estimado: Media (Creat) = x Bun +.55 x Sexo Hombre Hombres: Media (Creat) = x Bun +.55 = x Bun Mujeres: Media (Creat) = x Bun 5

14 Interpretación de los coeficientes: Media (Creat) = x Bun +.55 x Sexo Hombre Interpretación de la estimación de β :.45 El valor esperado de la cuando el Bun es y el paciente es mujer No es interpretable Interpretación de la estimación de β :. El aumento en unidad del Bun, produce un aumento de. en el valor medio de la, en las mismas condiciones de Sexo (ajustando por Sexo). Interpretación de la estimación de β :.55 La diferencia en el nivel medio de la de un Hombre respecto del de una Mujer es de.55, en las mismas condiciones de Bun (ajustando por Bun). 6 Análisis del efecto de cada variable explicativa (Test de Wald): Variable dependiente: Parámetro Intersección [SEXO=] [SEXO=] Estimaciones de los parámetros Intervalo de confianza al 95%. Límite B Error típ. t Significación Límite inferior superior,45,49 8,45,,39,5,, 7,635,,,3,55,4 3,848,,76,34 a..... a. Al parámetro se le ha asignado el valor cero porque es redundante. Bun: t = 7.635, p-valor <.5 Sexo: t = 3.848, p-valor <.5 Tanto la influencia del Bun, como del Sexo sobre la son estadísticamente significativas. Coeficiente de Determinación: no coincide con r R =.496 El Bun y el Sexo conjuntamente explican el 49.6% de la variabilidad de la 7

15 MUCHAS GRACIAS! 8