TEMA 2: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

Transcripción

1 TEMA : DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 1.- DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Cuando estudiamos un solo carácter estadístico, los datos que obtenemos forman una variable estadística unidimensional. También podemos estudiar dos o más caracteres al mismo tiempo de los individuos de una población; entonces se obtienen variables estadísticas bidimensionales o multidimensionales. Por ejemplo, se pueden estudiar el peso y la altura de los alumnos, las calificaciones de dos asignaturas, el capital invertido y las ventas de un producto, etc. Una distribución se llama bidimensional cuando para cada elemento de una población o muestra se consideran los valores correspondientes a dos caracteres cuantitativos distintos. Las variables estadísticas bidimensionales se representan por el par (x,y) donde x e y se obtienen al estudiar las variables unidimensionales correspondientes. La forma de agrupar los valores de una variable bidimensional es mediante una tabla simple donde se escribe cada pareja de datos y también mediante las tablas de doble entrada que son así: Y 1 Y Y 3 Y 4 X 1 f 11 f 1 f 13 f 14 X X X f 44 Donde los f ij son las frecuencias absolutas bidimensionales. Definimos frecuencia absoluta bidimensional, f ij al número de veces que se repite el par (x i, y j ). La suma de las frecuencias absolutas bidimensionales es igual al número total de elementos. De la misma forma que en una variable unidimensional podemos definir la frecuencia relativa bidimensional, h ij, como la frecuencia absoluta expresadas en tantos por uno y se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de datos. Las variables que forman una variable bidimensional pueden ser discretas o continuas y en el último caso se agrupan en intervalos y se trabaja con la marca de la clase. A partir de una tabla de doble entrada se pueden obtener dos tablas con las dos variables separadas que se llaman distribuciones marginales. Ejemplo:En una clase se han preguntado a los 30 alumnos el número de exámenes aprobados de un total de tres que se han hecho en las asignaturas de Historia y Matemáticas. Los datos obtenidos son: Y(H) 1 3 f x X(M) f y Las distribuciones marginales asociadas son: x i (M) f i Y i (H) f i La tabla sencilla correspondiente a esta distribución bidimensional es: x i y i f i

2 .- CÁLCULO DE PARÁMETROS. Mirando las distribuciones marginales podemos calcular los parámetros o medidas de centralización y de dispersión de cada una de las variables que forman la variable bidimensional. Existe un nuevo parámetro específico de las variables bidimensionales que se llama covarianza. Se llama covarianza, xy a la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada variable respecto de su media. xy = ( xi x)( y j y) N f ij = x y i N j f ij xy A la covarianza también se le conoce con el nombre de varianza conjunta. EJEMPLO: Halla la media, la varianza, la desviación típica, y la covarianza de la siguiente distribución bidimensional Talla(cm) Peso(kg) La tabla que nos permitirá hacer con rapidez los cálculos es: x i y i x i y i x i y i = 081/ 1 = V x = (3611/1) (173 4) = x = 8 41 = y = 893/1 = V y = (66637/1)-- (74 4) = y = 15 4 = xy = (155043/1) = Veamos ahora un ejemplo donde aparecen frecuencias absolutas en una tabla de doble entrada: En la clasificación de 0 equipos la relación entre partidos ganados y perdidos es: Per Gan [0,5) [5,10) [10,15) [15,0] [5,10) 1 4 [10,15) 4 [15.0) 4 3 [0,5] 1 1 Formamos la tabla de cálculos: x i y i f i f i x i f i y i f i x i f i y i f i x i y i x =80/0 = y =80/0 = x = y = xy = 3700/ = Sumas

3 3.- REPRESNTACIÓN GRÁFICA: NUBE DE PUNTOS Sobre unos ejes coordenados representamos los valores de la variable marginal X (en el horizontal) y de la variable marginal Y (en el vertical) y cada pareja de valores de la variable bidimensional (x,y) se representa con un punto del plano. Esta representación gráfica recibe el nombre de nube de puntos o diagrama de dispersión. La nube de puntos permite apreciar si hay una mayor o menor relación entre las dos variables. Si los puntos están muy alejados unos de otros diremos que la dispersión es grande. Por el contrario, si los puntos están muy próximos diremos que la nube está muy concentrada. Ejemplo: Las notas de 10 alumnos en las asignaturas de Matemáticas y Lengua son: (3,3), (3,7), (4,4), (5,), (5,4), (5,6), (6,4), (7,4), (7,7), (8,6) La Nube de puntos es : L E N G U A MATEMÁTICAS 4.- CORRELACIÓN. La correlación estudia la dependencia que existe entre las variables de una distribución bidimensional. Como la correlación indica una dependencia estadística no podemos expresarla con una fórmula matemática y entonces solo diremos si la dependencia es positiva o negativa y si es fuerte o débil. Cuando al aumentar una variable, aumenta la otra diremos que la correlación es directa o positiva. Cuando al aumentar una variable, disminuye la otra diremos que es inversa o negativa. Cuando al aumentar una variable, la otra aumenta y disminuye sin razón diremos que es nula. Observando la nube de puntos, podemos ver la correlación que existe: 1. Si la nube está concentrada y alargada hacia arriba diremos que es positiva y fuerte.. Si la nube está menos concentrada y alargada hacia arriba será positiva y débil. 3. Si la nube está concentrada y alargada hacia abajo diremos que es inversa y fuerte. 4. Si la nube está menos concentrada y alargada hacia abajo será inversa y débil. 5. Si la nube está muy dispersa y de forma circular diremos que es nula. Cuando la nube de puntos se concentra en torno a una recta, diremos que la correlación es lineal, aunque existen otros tipos de dependencias entre las variables (parabólica, logarítmica, etc). 4.1Correlación y covarianza Para conocer si la correlación es directa o inversa basta con determinar la covarianza. Se verifica: a) Si la covarianza es positiva entonces la correlación es directa b) Si la covarianza es negativa entonces la correlación es inversa c) Si la covarianza es cero entonces la correlación es nula - 3 -

4 4.Coeficiente de correlación lineal El parámetro que cuantifica perfectamente la correlación entre dos variables es el llamado coeficiente de correlación lineal de Pearson: r = x xy y El coeficiente de Pearson toma todos valores del intervalo [-1,1] y se cumple: 1.- Si r > 0 la correlación es positiva.- Si r < 0 la correlación es negativa 3.- Si r = 0 la correlación es nula Para saber si la correlación es fuerte o débil tendremos en cuenta lo siguiente: a) Si r = -1 o r = 1 la dependencia es perfecta porque todos los puntos están sobre una recta. b) Si r está en (-1, -0 8] la dependencia es fuerte c) Si r está en (-0 8,-0 3] la dependencia es débil d) Si r está en (-0 3,0 3] la dependencia es casi nula e) Si r está en (0 3,0 8] la dependencia es débil f) Si r está en (0 8,1) la dependencia es fuerte. Ejemplo: En el ejemplo de los partidos de fútbol ganados y perdidos por 0 equipos obtuvimos los siguientes resultados: xy = -11 x = 4 77 y = 3 91 Mirando la covarianza ya podemos afirmar que la correlación será negativa o inversa, lo que se traduce que si aumentan los partidos ganados, disminuyen los perdidos. Si calculamos el coeficiente de Pearson tenemos que r = -11/ = lo que nos indica que la dependencia es débil y negativa. Lo traduciremos diciendo que el número de partidos ganados no influye mucho para el nº de los partidos perdidos. 6.-RECTAS DE REGRESIÓN Ya hemos visto que si la nube de puntos de una distribución bidimensional se sitúa alrededor de una recta la correlación que existe es lineal y podemos calcular esa recta. Siempre se verifica que la recta que estamos buscando pasa por el par ( x, y ) y como es una recta que está muy próxima a casi todos los puntos, se verifica que la suma de las distancias entre cada punto de la nube y el correspondiente de la recta sea mínima. Este método de buscar la recta se llama de mínimos cuadrados. La recta que estamos buscando se llama recta de regresión. Existen dos rectas de regresión: xy Recta de regresión de y sobre x y y = ( x x) Con esta recta podemos predecir o estimar valores para y a partir de valores de x. x xy Recta de regresión de x sobre y x x = ( y y ) y Con esta recta podemos predecir o estimar valores para la variable x a partir de valores de y. Las pendientes de las rectas se llamarán coeficientes de regresión y tienen el mismo signo de r. Las predicciones serán más fiables si el valor del coeficiente de Pearson, r, está próximo a 1 o 1 y si los valores que tomamos están próximos a la media. Vamos a realizar un ejemplo completo calculando todos los parámetros y las rectas de regresión EJEMPLO: En una clase de 1 alumnos, se les ha preguntado su altura (cm) y su peso (Kg). Deseamos saber si las dos variables están muy correlacionadas y si las rectas de regresión nos da estimaciones fiables. Los datos son los que se encuentran en la tabla siguiente: - 4 -

5 Talla(cm) Peso(kg) La tabla que nos permitirá hacer con rapidez los cálculos es: x i y i x i y i x i y i = 081/ 1 = V x = (3611/1) (173 4) = x = 8 41 = y = 893/1 = V y = (66637/1)-- (74 4) = y = 15 4 = xy = (155043/1) = Vamos ahora a calcular el coeficiente de correlación para ver si la relación entre la altura y el peso de los alumnos es fuerte y fiable para posteriores estimaciones. r = 15'15 5'33 = 0'73 3'9 Como r > 0 sabemos que la correlación es directa o positiva, al aumentar la talla aumenta el peso. Ahora bien, como r toma valores del intervalo (0 3, 0 8] la correlación es débil, y entonces las posteriores estimaciones no serán muy vinculantes. Calculemos ahora los coeficientes de regresión: xy 15'15 xy 15'15 = = 0'5336 = = 0'9947 8'41 15'4 x La recta de regresión de y sobre x es: y = (x 173 4) y = 0 53x 18 1 La recta de regresión de x sobre y es: x = ( y 74 4) x = 0 99y y Si quisiéramos calcular el peso (y) en Kg estimado para un alumno que mide 190 cm, nos iríamos a la primera recta y sustituiríamos x=190 en ella. y = = 8 58 Kg. Si ahora queremos saber la altura (x) en cm estimada para un alumno de 76 Kg, nos iríamos a la segunda recta y en ella sustituimos y = 76 x = = 175 cm EJEMPLO : Las temperaturas medias en una ciudad durante el primer semestre son: E F Mz Ab My Jn Temp máxima (x) Temp mínima (y) a) Calcula el coeficiente de correlación lineal b) Qué tipo de relación estadística existe? c) Determina las dos rectas de regresión d) Qué temperatura mínima se espera en Agosto cuando la máxima es de 38º? e) Qué temperatura máxima se espera en Diciembre cuando la mínima es de 0º? - 5 -

6 Empezaremos elaborando la tabla que nos facilita los cálculos: x y x y xy Obtenemos los parámetros necesarios: x = 19 5 y = 1 67 x = 91 y = 3 77 xy = '77 a) r = = 0' 981 '91 3'77 b) Como r está en (0 8, 1) la relación es muy fuerte y directa, y por tanto las estimaciones serán muy fiables. c) La recta de regresión de y sobre x es: 10'77 y 1'67 = '91 La recta de regresión de x sobre y es: ( x 19'5) y = 1'7 x 1' 13 10'77 x 19'5 = ( y 1'67) x = 0'76y + 9'9 3'77 d) Si x = 38º la mínima esperada es y = = Aunque la relación es muy fuerte vemos que este resultado no tiene mucho sentido y esto es debido porque x =38 es un valor muy alejado de la media. e) Si y = 0º la máxima esperada es x = = 9 9.Tampoco es muy fiable este resultado por la misma razón que el anterior. Sin embargo si y = 14º la máxima esperada es x = =0 5 que es más razonable