Números. Subclases dentro de los reales. Lectura sugerida

Transcripción

1 Lectur sugerid Selección 1: Subclses dentro de los reles. Nturles. Enteros. Rcionles. Irrcionles. Operciones. Un comentrio y vris clrciones. Vlor bsoluto y signo. Enteros. Sum de enteros. Producto de enteros. El signo y l potenci. División de enteros. L potenci con el producto y l división. En Veig, D.; Mnul de Apoyo pr Ingresntes, Asigntur: Mtemátic. UAI, Buenos Aires, Números Y en l escuel primri empezmos conocer los números. Al terminr l enseñnz medi nos hemos enfrentdo tods sus clses. Exceptundo los complejos (que l myorí de los lumnos conoce en 4º ño), todos los otros tipos de números se llmn reles. Por ejemplo, son números reles: 5 ; -3 ; ½ ; 1.25 ; 5 ; ; π ; etc. Usremos el símbolo R pr representr el conjunto de todos los números reles. Con ellos trbjremos lo lrgo de todo este mteril. Subclses dentro de los reles Como es hbitul distinguiremos vris subclses dentro de los reles: nturles, enteros, rcionles... Simplemente recordremos hor cuáles son y más delnte operremos con ellos pr mnejr sus propieddes. Nturles Son los números pr contr : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8... etc. etc. El símbolo pr el conjunto de todos los números nturles es un N myúscul. Podemos poner entonces: N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Los puntos suspensivos indicn que l list continú indefinidmente con números cd vez myores. Lbortorio de Cálculo / Pág. 1

2 Enteros Si reunimos todos los números nturles más el cero y los opuestos de los nturles tenemos el conjunto de los números enteros. Recordemos que el opuesto de un número es el resultdo de cmbirle el signo. Por ejemplo: el opuesto de 3 es -3 ; el opuesto de -5 es 5 y el opuesto de 0 es 0. El símbolo pr este conjunto de todos los enteros es un Z. Podemos escribir: Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2...} De est form se sobreentiende que los puntos suspensivos indicn que l list sigue indefinidmente en mbs direcciones. Es evidente que todos los nturles son enteros. Por eso decimos que el conjunto de los números nturles está incluido dentro del conjunto de los números enteros. Esto lo simbolizmos sí: N Z El símbolo se lee está incluído en Rcionles Si formmos tods ls frcciones posibles entre números enteros (por supuesto con divisor no nulo) y tenemos los números rcionles. El conjunto de todos los números rcionles se simboliz con Q myúscul. Notemos que l plbr rcionl no quiere decir sensto o rzonble o lógico : simplemente se debe que "rzón" signific cociente o frcción en Mtemátics. Conviene hcer quí un clrción: cundo considermos los números 4/6 y 10/15, unque prezc que se trt de rcionles distintos eso no es cierto: bst "simplificrlos" (o se dividir numerdor y denomindor por el mismo entero) pr ver que se trt del mismo número escrito en dos forms distints. En efecto: Lbortorio de Cálculo / Pág. 2

3 = = = = 2 3 Qued clro que mbs frcciones son igules: representn el mismo número rcionl. Cundo un frcción y no se puede simplificr por ningún entero decimos que es un frcción irreducible. Tengmos tmbién en cuent que hy frcciones que tienen como numerdor un múltiplo del denomindor (por ej: 12/2). Evidentemente l simplificr nos qued un entero. De modo que los enteros tmbién están entre los rcionles. Podemos decir que el conjunto de los enteros está incluido dentro del conjunto de los rcionles. Y esto lo podemos simbolizr sí: Z Q Pregunt: es rcionl el número 0.1? Podemos ver que el 0.1 se puede escribir como un frcción. En efecto: 0.1= 1/10 Por lo tnto el 0.1 es un rcionl. Pregunt: es rcionl el número 0.23? Vemos que tmbién lo podemos escribir como un cociente de enteros: 0.23 = 23/100 Entonces el 0.23 tmbién es rcionl. Otr más: y el 1.523? Tmbién lo es porque = 1523/1000 Lbortorio de Cálculo / Pág. 3

4 L últim: cómo mostrmos que (periódico) es rcionl? En l esuel medi prendimos trnsformr en un frcción un deciml periódico como éste Lo hcemos sí: = 5/9 Es decir, formmos un frcción que tiene como numerdor el período y como denomindor tntos nueves como cifrs tiene el período (quí el período es 5 y como ese período tiene un sol cifr sbemos que en el denomindor v un solo 9 ). Tmbién prendimos reescribir uno del tipo de 0,23. En efecto: 0,23= 23/99 (de fácil verificción con su clculdor) Los números como 0,23 que se escriben con un cero seguido de un período que se repite indefinidmente se llmn periódicos puros. Si tienen l comienzo un prte no periódic, como en el cso de se los llm periódicos mixtos. Tmbién prendimos en l escuel medi reescribir estos últimos como cociente de enteros. Recordemos que un número como (llmémoslo z ) puede escribirse como frcción de enteros poniendo como numerdor l rest de ls cifrs 624 menos ls cifrs no periódics 6 (lo que drí = 618 ) y como denomindor un número formdo por tntos nueves como cifrs tiene l prte periódic y tntos ceros como cifrs tiene l prte no periódic ( quí : 990 donde los dos 9 vn por ls cifrs periódics 2 y 4 y por otr prte el 0 que v por l cifr 6 no periódic). Vle decir que podrímos escribir el número z como l frcción 618/990 (Ud. puede verificrlo fácilmente con l clculdor). Es decir que se prende reescribir como frcción de enteros culquier entero (por ej. 7 = -14/2), culquier número con desrrollo deciml finito (por ej. 1,3 = 13/10); y culquier periódico puro (por ej. 0, 7 ) = 7/9) o periódico mixto (por ej. 0,29 ) = 27/9). Conocer ess conversiones nos permite ceptr que los rcionles son los números reles que se escriben con desrrollo deciml finito o con desrrollo deciml infinito periódico. Vle decir que nos d l posibilidd de definir los rcionles (Q) de dos mners equivlentes: Lbortorio de Cálculo / Pág. 4

5 frcciones de enteros de divisor no nulo o bien Q: reles con desrrollo deciml finito o infinito periódico Este conjunto Q formdo por todos los rcionles incluye evidentemente todos los enteros; por eso Z está incluido en Q, lo que podemos simbolizr: Z Q Si relcionmos tmbién los nturles podemos escribir: N Z Q Ahor bien: cuáles son los reles que no están en Q? Son los llmdos... Irrcionles Son todos los reles con desrrollo deciml infinito no periódico. El primer irrcionl que conocimos en l primri es π. Este número tiene como primers cifrs: π = 3, etc. (es común usr vlores redondedos como π 3,14 ó π 3,1416) Los griegos se enfrentron hce lrededor de 2000 ños con otro irrcionl: 2 (cuys primers cifrs son 1, etc.). Ejemplo: 3 8 es el número 2; es rcionl. En cmbio 3 es irrcionl. Los rcionles y los irrcionles son todos los reles que hy. Podemos continur l cden de conjuntos incluidos y escribir: N Z Q R Lbortorio de Cálculo / Pág. 5

6 Pero es importnte tener en clro que conocer los tipos de números reles que vmos estudir y sber que uns clses están incluids en otrs es pens empezr brir l puert del tem. En relidd se conoce el tem cundo se sben mnejr los números en cción y el cmpo de cción de los números son ls... Operciones Comencemos por ls dos más sencills: sum y producto. Ests dos operciones tienen l propiedd conmuttiv: el orden de los números no cmbi el resultdo Pr el producto: Culesquier sen los reles, b, se cumple: * b = b * ( el orden de los fctores no lter el producto ) Pr l sum: Culesquier sen los reles, b vle: + b = b + ( el orden de los sumndos no lter l sum ) Ambs propieddes se podrín simbolizr sí: se cumple ; b R : + b = b + ; b R : * b = b* pr todo pertenecientes El símbolo que signific pr todo es como un A invertid (se dice que se lo eligió porque l A es l inicil de l plbr ingles ALL que quiere decir todos ) Tmbién ests dos operciones tienen l propiedd socitiv: l plicr l operción tres números con un cierto orden, el resultdo no depende de si empiezo operndo con los dos primeros o con los dos últimos. Lbortorio de Cálculo / Pág. 6

7 Pr l sum (en símbolos): ; b; c R vle ( + b) + c = + ( b + c) Un ejemplo de est propiedd serí: Al efectur l siguiente sum del modo indicdo: (2 + 3) + 7= = 12 (inicio sumndo los dos primeros números) Tenemos el mismo resultdo que l operr de este otro modo: 2 + (3 + 7) = = 12 (inicio sumndo los dos últimos) Pr el producto (en símbolos): ; b; c R vle ( * b) * c = *( b * c) Por ejemplo: (3 * 2) * 5 = 6 * 5 = 30 (inicio multiplicndo los dos primeros) Vle lo mismo que: 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30 (inicio multiplicndo los dos últimos) Un comentrio y vris clrciones: Leyendo lgún libro o punte es posible encontrr un pregunt del tipo: en R es cierto que + b = b +? Hy que clrr que l pregunt no está del todo bien formuld. Evidentemente se está dndo lgo por sobreentendido. Y ese lgo es: se pregunt si eso se cumple pr todos los números reles. Sin embrgo no se lo está diciendo explícitmente. No conviene usr ese tipo de sobreentendidos. Es mejor hcer l pregunt del modo más clro posible pr que no deje duds. Pr poder ver cuál es el problem con est form de preguntr vemos este cso: En R, es cierto que = 1? Lbortorio de Cálculo / Pág. 7

8 Usted, qué contestrí? contestó que sí, que un número dividido por sí mismo d como resultdo 1? En cso de que es fuer su respuest le sugerimos que tome l clculdor y hlle el vlor de 0 0. Después nos coment... Lo qué sucedió es que l máquin dio un mensje de error. L operción no es válid. No vle ni 0 ni 1 ni ningún número! Entonces l form correct de hber hecho l pregunt es: Es cierto que culquier número rel distinto de cero dividido por sí mismo d 1? o si se prefiere usr símbolos: Es cierto que: R, 0 vle que: = 1? Aquí sí l respuest es firmtiv. Tmbién hemos visto que csi l totlidd de los egresdos de l escuel medi suele decir: todo número elevdo l cero d 1 Será cierto? Si usted cree que sí, le sugerimos que tome un clculdor científic y hlle el vlor de 0 0 ( cero l cero ). Después nos cuent... Aquí tmbién l frse que repiten esos egresdos tiene un error. Pr no equivocrnos podemos decir: todo número rel no nulo elevdo l cero d 1. o tmbién todo rel distinto de cero, elevdo l cero d 1. En símbolos: R; 0 vle 0 = 1 Hst quí nuestro comentrio. Hbímos visto dos propieddes de los reles. Veremos otrs más. Vlor bsoluto y signo El vlor bsoluto de un rel x se simboliz: x y viene definido por l regl: Lbortorio de Cálculo / Pág. 8

9 Si un rel es positivo o cero: su vlor bsoluto es ese mismo número rel. Si un rel es negtivo: su vlor bsoluto es el opuesto de ese número rel. es decir: Si x 0 entonces x =x (I) Si x < 0 entonces x =-x (II) por ejemplo: el 7 es positivo, por lo tnto su vlor bsoluto es el mismo 7. 7 =7 otro ejemplo: el 3 es negtivo, por lo tnto su vlor bsoluto es su opuesto (el opuesto de 3 es 3) -3 =3 y finlmente el vlor bsoluto de cero es cero. 0 =0 Tnto pr negtivos como pr positivos el vlor bsoluto es positivo (Y pr cero el vlor bsoluto es cero, que no es n positivo ni negtivo). Algunos creen entonces que l expresión (II) ( si x < 0 entonces x =-x ) está ml escrit: no entienden qué hce ese signo menos ubicdo delnte de l x. Veámoslo: Cundo x < 0 entonces "x" y tiene un signo menos (puede ser por ejemplo x = - 3). Quiere decir que ese otro signo menos que se ubic delnte de l x (o se delnte del -3 ) hce que el resultdo se positivo. Pr verlo mejor podemos ponerlo sí: (-3) = - (-3) = 3 se entiende l función de este signo -? En cunto l signo en los reles hy tres: positivos signo: +1 negtivos signo: -1 cero signo: 0 Tener en cuent que el signo de un rel es un número rel (puede ser el 1 ó el 1 ó el 0) Lbortorio de Cálculo / Pág. 9

10 Por ejemplo: signo de (8) = 1 signo de (-3) = -1 signo de (0) = 0 Es fácil ver hor que culquier rel se puede escribir como producto de su vlor bsoluto por su signo. Por ejemplo: 8 = 8. signo(8) esto vle 8 esto vle 1 (y es cierto que 8 = 8. 1) -5 = -5. signo(-5) esto es 5 esto es 1 (y es cierto que 5 = 5. (-1)) Enteros Los conceptos de vlor bsoluto y signo que vimos pr reles vlen por supuesto tmbién pr enteros (que son un tipo prticulr de reles). Estos dos conceptos de signo y vlor bsoluto nos permiten entender más fácilmente lguns propieddes de: producto, división, sum, rest y potenci de enteros. Sum de enteros ejemplos: (I) Si son de igul signo: conservo el signo y sumo los vlores bsolutos. (II) Si son de signo: qued el signo del más grnde (el de myor vlor bsoluto) y se restn los vlores bsolutos (el myor menos el menor). (I) (7) + (5) = 12 (-7) + (-5) = -12 (II) (7) + (-5) = 2 (7) + (-9) = 2 quedó en cd cso el signo del más grnde. (-7) + (5) = 2 Lbortorio de Cálculo / Pág. 10

11 Producto de enteros (positivos o negtivos) Siempre se multiplicn los vlores bsolutos: (I) si son de igul signo: resultdo positivo. (II) si son de signo: resultdo negtivo. Por supuesto si uno de los dos (o los dos) fuer cero, el producto serí cero. ejemplo: (I) (3). (5) = 15 (-3). (-5) = 15 (II) (3). (-5) = -15 (-3). (5) = -15 Pr productos múltiples con fctores positivos y negtivos podemos encontrr un regl de los signos observndo que los signos menos se eliminn de dos. (-5). (-3) = +15 Por lo tnto si un producto con vrios fctores tiene un cntidd pr de signos menos, el resultdo es positivo. En cmbio si hy un cntidd impr de signo menos el resultdo es negtivo. ejemplo: (-3). (-2). (+1). (-3). (+2). (-1) = +36 Hy cutro signos -. Por lo tnto el resultdo es positivo. ejemplo: (-1). (+1). (-2). (-1). (+3). (-1). (-1) = -6 Hy cinco signos -.Por lo tnto el resultdo es negtivo. Éste qued solo y sí produce el resultdo negtivo. El signo y l potenci Un potenci de enteros (positivos o negtivos) con exponente nturl es un producto repetido de un mismo fctor. Ejemplo: 5 =.... El signo del resultdo se relcion entonces con l regl de signos del producto múltiple. Vemos: Lbortorio de Cálculo / Pág. 11

12 1) (-2) 5 l bse es negtiv y el exponente impr. Hy un cntidd impr de fctores negtivos. El resultdo es negtivo. (-2) 5 = -32 2) (-2) 4 l bse es negtiv y el exponente es pr. Hy entonces un cntidd pr de fctores negtivos. El resultdo es positivo. 3) (2) 5 4) (2) 4 En los csos tres y cutro l bse es positiv por lo tnto el resultdo solo puede ser positivo (vrios signos + en el producto, sólo pueden dr otro signo + ). Podemos grupr estos csos en dos bloques: conserv el signo de l bse exponente impr exponente pr ejemplo: (-2) 5 = -32 bse negtiv, resultdo negtivo. (2) 5 = +32 bse positiv, resultdo positivo. siempre d positivo ejemplo: (-2) 4 = +16 (2) 4 = +16 División de enteros Pr l división de enteros positivos o negtivos vle l mism regl de signos que pr el producto: igul signo resultdo positivo distinto signo resultdo negtivo Lbortorio de Cálculo / Pág. 12

13 L potenci con el producto y l división Consideremos l expresión (. b) 3 con, b enteros. (. b) 3 = (. b) (. b) (. b) =... b. b. b = 3. b 3 Otr vez definición de cubo por definición de cubo puedo reordenr los fctores en síntesis (. b) 3 = 3. b 3 (o se l potenci se distribuye respecto del producto) Esto no vle sólo pr el cubo, o l curt potenci o el cudrdo. Vle pr culquier exponente nturl. Es decir, pr, b enteros y n nturl (culesquier sen ellos) vle: n n n ( b) = b Lo llmmos propiedd distributiv de l potenci respecto del producto. Por supuesto que tmbién debemos recordr un fórmul nálog que vle pr el cociente. b n = b n n ojo!: quí b 0 A esto lo llmmos l propiedd distributiv de l potenci respecto del cociente. Lbortorio de Cálculo / Pág. 13