Els alumnes miren sorpresos el tauler amb les dades de l embassament.

Transcripción

1 SOLUCIONARI Els alumnes miren sorpresos el tauler amb les dades de l embassament. Ens diu la veritat? No n estic segur. Informació sobre l embassament CAPACITAT 9,7 hm Justifica si el guia ha fet bé els càlculs. Al final de la visita, el professor decidei entregar-los aquest fullet. La despesa d aigua a l any d una família és d uns litres. Quants metres farà el costat d un cub amb aquesta capacitat? Si el cub fa 10 m d aresta, la seva capacitat és de 10 m m 9,61 hm. Per tant, el guia no ha fet bé el càlcul de l aresta litres dm 1.5 m L aresta del cub fa , m. 79

2 Polinomis i fraccions algebraiques POLINOMIS SUMA, RESTA I MULTIPLICACIÓ POTÈNCIES DIVISIÓ REGLA DE RUFFINI DIVISORS D UN POLINOMI FACTORITZACIÓ D UN POLINOMI VALOR NUMÈRIC D UN POLINOMI ARRELS D UN POLINOMI FRACCIONS ALGEBRAIQUES SIMPLIFICACIÓ OPERACIONS 80

3 Un home de principis Dies negres i nits llargues, aquestes darreres setmanes havien estat especialment difícils per a en Paolo Ruffini. Mentre caminava cap a casa, pensava en com era de dura la decisió que havia hagut de prendre sobre no jurar fidelitat a la bandera dels invasors francesos. Un copet a l espatlla i la veu amiga d en Luigi el van tornar a la realitat. Paolo! Què has fet? A la universitat no es comenta res més. El responsable polític ha assegurat que mai més no tornaràs a seure a la teva càtedra i que has marcat el teu destí; se l veia terriblement enfadat. Ho vaig pensar durant molt de temps i quan vaig comunicar la decisió que havia pres em vaig sentir alleugerit va argumentar en Ruffini, convençut del tot. Però, no has pensat en la teva família o en la teva posició? en Luigi va mostrar la preocupació que semblava que havia abandonat en Ruffini. Luigi, quant donaries per un lloc de funcionari? Arribaven al mercat i en Ruffini es va aturar en sec. Jo no estic disposat a pagar tant per la càtedra; si fes el jurament, hauria traït els meus principis i mutilat la meva ànima. Mantindria la càtedra, però el Paolo Ruffini que coneies hauria mort. En Ruffini es va dedicar totalment al seu ofici de metge durant els anys en què va estar allunyat de la docència. En la divisió de polinomis P() : (, calcula el grau del quocient i del residu. El grau del quocient és un grau més petit que el grau del polinomi P(), i el grau del residu és zero, ja que sempre és un nombre (un nombre és un polinomi de grau zero).

4 Polinomis i fraccions algebraiques EXERCICIS 001 Efectua l operació següent: ( + + 1) ( + 1) ( + + 1) ( + 1) + 00 Multiplica aquests polinomis: P() + 1 Q() 1 P() Q() Si P() + i Q() + 1, calcula: P(1) + P( 1) P(0) + Q( 1) P(1) + P( 1) (1 1 + ) + ( ) + 6 P(0) + Q( 1) + ( + + 8) Quant ha de valer a perquè P( 0 si P() + 1? Són les solucions de l equació i Efectua les divisions de polinomis següents. Comprova en cadascuna el resultat que obtens. ( 5 5) : ( 1) ( + ) : ( 1) ( + 1) : ( + 1) ( 5 + 1) : ( ) ( 5 5) : ( 1) ( + ) : ( 1) ( + 1) : ( + 1) ( 5 + 1) : ( ) Quocient + 1 Residu Quocient Residu 6 6 Quocient 1 Residu Quocient + 5 Residu 15 1 El divisor d una divisió de polinomis és Q() 7, el quocient és C() i el residu és R(). Calcula el dividend. P() Q() C() + R() ( 7) ( ) + ( ) ( ) + ( )

5 SOLUCIONARI 007 El dividend d una divisió de polinomis és P() 5, el quocient és C() i el residu és R(). Quin és el divisor? P() Q() C() + R() 5 Q() ( ) 5 + Q() ( ) Q() ( 5 + ) : ( ) Determina el quocient i el residu mitjançant la regla de Ruffini: ( + ) : ( 1) ( + 9) : ( ) ( + 10) : ( 5) ( 5 + 7) : ( + ) e) ( ) : ( + ) C() + 1; R() C() ; R() C() ; R() C() ; R() 199 e) C() ; R() Si dividim entre +, quins seran el residu i el quocient? Hi podem aplicar la regla de Ruffini? Quocient: ; Residu: 19 8

6 Polinomis i fraccions algebraiques 010 Calcula el valor de m perquè la divisió sigui eacta: ( m + ) : ( ) m m m 10 + m 10 + m 0 m Calcula les arrels d aquests polinomis: P() + R() 5 6 Q() + 1 S() és arrel, 1+ i 1 són arrels. també és arrel doble. No té arrels racionals; quan provem amb els divisors del denominador, mai no dóna zero és arrel. Són les dues arrels del polinomi. 7 és arrel. 01 Quant val a perquè sigui una arrel del polinomi + a? 1 a a 8 a 8 0 a 8 01 Determina a i b perquè el polinomi P() a + b tingui com a arrels i. a 0 b a a a a b + a a 0 b a a a a b + a Com que b a, qualsevol parell de nombres que ho verifiqui formarà un polinomi amb aquestes arrels; per eemple, a 1, i b. 8

7 SOLUCIONARI 01 Calcula el desenvolupament d aquestes potències mitjançant el triangle de Tartaglia: ( + y) 5 ( ) e) ( y) g) ( y ) 5 ( + 1) ( ) f) ( y) 5 h) ( + y) Els coeficients són 1, 5, 10, 10, 5 i 1. ( + y) y + 10 y + 10 y + 5y + y 5 Els coeficients són 1,, 6, i 1. ( + 1) Els coeficients són 1,, i 1. ( ) 8 y + 8 Els coeficients són 1,, 6, i 1. ( ) e) Els coeficients són 1,, 6, i 1. ( y) ( ) + ( ) ( y) + 6 ( ) ( y) + ( ) ( y) + + ( y) y + 5 y 1 y + y f) Els coeficients són 1, 5, 10, 10, 5 i 1. ( y) 5 ( ) ( ) ( y) + 10 ( ) ( y) + 10 ( ) ( y) ( ) ( y) + ( y) y y 10 y y y 5 g) Els coeficients són 1, 5, 10, 10, 5 i 1. ( y ) 5 ( ) ( ) ( y ) + 10 ( ) ( y ) ( ) ( y ) + 5 ( ) ( y ) + ( y ) y y 10 y y 8 y 10 h) Els coeficients són 1,, i 1. ( + y) ( ) + ( ) y + ( ) (y) + (y) 9 y 7y + 9y Completa el triangle de Tartaglia fins a la desena fila Quin és el volum d aquest cub? Volum: (a + a + a b + ab + b a + b 85

8 Polinomis i fraccions algebraiques 017 Troba un divisor d aquests polinomis: P() + 6 Q() + R() ( ) és divisor de P() ( + 1) és divisor de Q() ( 1) és divisor de R(). 018 Calcula a perquè 1 sigui divisor de + + a. 1 a a + a + 0 a 019 Són correctes els càlculs? Aií doncs, tenim que: ( 1) ( + ) Els càlculs no són correctes ( + 1) ( + ) 00 Descompon en factors aquests polinomis: P() 8 P() P() + + e) P() 5 1 P() + + f) P() 5 9 P() 8 ( + + ) ( ) P() ( + + ) ( + ) P() ( + 1) ( ) P() ( ) ( + 1) ( ) ( + ) e) P() ( + 1) ( + ) ( 7) f) P() ( 9) ( + ) ( ) 86

9 SOLUCIONARI 01 Factoritza els polinomis següents i eplica com ho fas: ( 1) ( + + 1) ( 1) ( ) 6 1 ( 1) ( + 1) ( 1) ( + + 1) + 1 ( + 1) ( + 1) 6 1 ( 1) ( + + 1) ( + 1) ( + 1) 0 Raona si aquestes igualtats són certes: + 9 ( + ) ( + ) ( + 1) [ ( + 1)] És falsa, perquè ( + ) ( + ) És falsa, perquè [ ( + 1)] ( + + 1). 0 Opera quan calgui i simplifica. 1 e) f) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( + ) + ( 1) ( + ) ( + )( + ) ( + 1)

10 Polinomis i fraccions algebraiques e) + 1 ( + ) ( 1) + f) ( ) 1 ( + 1) Troba dues fraccions equivalents i eplica com ho fas: 1 Multipliquem o dividim el numerador i el denominador pel matei factor Per quina fracció algebraica s ha de multiplicar + 7 perquè doni? ( 7) ( + ) S ha de multiplicar per ACTIVITATS 06 Troba el valor numèric del polinomi P() per a: 0 e) 1 f),5 P(0) P P() () + 5 () 7 () + 8 () 8 P( ) ( ) + 5 ( ) 7 ( ) + 8 ( ) 10 e) P( ) ( ) + 5 ( ) 7 ( ) + 8 ( ) 07 f) P(,5) (,5) + 5 (,5) 7 (,5) + 8 (,5) 11,15 88

11 SOLUCIONARI 07 Raona si les igualtats següents són certes o falses: ( + ) ( ) e) + 5 f) 5 5 g) h) ( ) 6 Falsa, perquè +. Certa ( ). ( ) Certa ( ), ja que es verifica que 16. Falsa, perquè ( ) +. e) Falsa, ja que en la suma de potències no se sumen els eponents. f) Falsa, perquè 6 5. g) Falsa. h) Certa ( ). 08 Donats els polinomis: calcula. P() + Q() + R() P() Q() P() Q() [P() Q()] R() e) [P() R()] Q() P() Q() 5 + R() P() + Q() + R() P() Q() P() Q() [P() Q()] R() ( ) ( ) e) [P() R()] Q() ( ) ( 5 + )

12 Polinomis i fraccions algebraiques 09 Opera i agrupa els termes del matei grau: ( ) + ( ) ( ) Efectua les operacions següents amb aquests polinomis: P() + 6 Q() + R() P() + Q() R() P() [Q() R()] [P() [Q() + R()]] P() + Q() R() P() [Q() R()] ( + 6) ( 5 + ) ( ) [P() [Q() + R()]] [( + 6) ( )] Calcula. ( 7 ) (6 + 7 ) 7 ( 5 ) ( + 5) ( 7) e) (5 6 : ) ( ) + (6 5 5 ) : ( ) f) (10 10 ) : (5 ) ( 7 ) (6 + 7 ) 1 16 ( + 5) ( 7) 9 ( 5) 5 (6 5 5 ) : ( ) 5 : ( 5 ) e) (5 6 : ) ( ) f) (10 10 ) : (5 ) 10 1 :

13 SOLUCIONARI Determina el valor de a, b, c i d perquè els polinomis P() i Q() siguin iguals. P() (a + ) + (9 + 1 d + 1 d P ( ) ( 9+ c ) ( a+ ) + Q ( ) 1 ( 9 + d+ 1 8 c b + ( a + ) a 5 1 b + b Efectua aquestes operacions: ( + 5) ( + ) + ( ) ( + 5) [(1 ) ( 1) )] (8 + 7) e) [ ( )] (5 10) ( 1) (8 7) Fes les divisions següents: Q ( ) b d e) ( ) Quocient: Quocient: Residu: 6 Residu: Quocient: e) Quocient: + Residu: Quocient: Residu: Residu:

14 Polinomis i fraccions algebraiques 05 Troba el polinomi Q() pel qual hem de dividir a P() +, perquè el quocient sigui C() + i el residu sigui R() Q() [P() R()] : C() ( + 7 ) : ( + ) Si en una divisió de polinomis el grau del dividend és 6 i el del divisor és, quin és el grau del quocient i del residu? Raona la resposta. El grau del quocient és la diferència que hi ha entre el grau del dividend i el grau del divisor, i el grau del residu sempre és més petit que el grau del divisor. Quocient: grau Residu: grau més petit que 07 Efectua aplicant la regla de Ruffini: ( ) : ( ) ( + ) : ( + 1) ( + + ) : ( ) ( 8 + 7) : ( + ) e) ( + 6 9) : ( + ) Quocient: Residu: Quocient: + Residu: Quocient: Residu: Quocient: 6 Residu: 5 e) Quocient: Residu: 161 9

15 SOLUCIONARI 08 Completa aquestes divisions i escriu els polinomis dividend, divisor, quocient i residu Dividend: Dividend: + Divisor: + 1 Divisor: Quocient: + 1 Quocient: + + Residu: Residu: Dividend: Dividend: Divisor: + 1 Divisor: + Quocient: + Quocient: + 8 Residu: Residu: Donats els algoritmes següents: Escriu-ne els polinomis dividend, divisor, quocient i residu. Dividend: Divisor: + Quocient: Residu: Dividend: Divisor: Quocient: + 18 Residu: 9

16 Polinomis i fraccions algebraiques 00 Escriu el polinomi quocient i el residu de les divisions següents mitjançant la regla de Ruffini. ( + 8) : ( + 1) ( ) : ( ) ( ) : ( + ) ( ) : ( ) e) ( ) : ( + 1) Dividend: + 8 Divisor: + 1 Quocient: + Residu: Dividend: Divisor: Quocient: Residu: Dividend: Divisor: + Quocient: Residu: Dividend: Divisor: Quocient: Residu: 5 9

17 SOLUCIONARI e) Dividend: Divisor: + 1 Quocient: Residu: Donat el polinomi P() + a + b, calcula el valor de a i b si saps que: és una arrel de P(), i el residu de dividir P() entre + 1 és 17. Si és una arrel, aleshores: 1 a b + + a a + a + b Apliquem Ruffini: 1 a b 1 1 a 1 + a a + b Resolem el sistema que hem obtingut: a + b 17 a ; b a + b 1 + a + b 0 a + b a + b 17 a + b 1 0 Troba un polinomi de grau les arrels del qual siguin i. P() k ( + ) ( + ) k ( k ) P() Troba un polinomi de grau que sigui divisible entre + i que el residu de dividir-lo entre sigui 10. Sigui el polinomi P() a + b + c. Fem a 1 P() + b + c A partir de les dues condicions obtenim: 1 b c b + 1 b b + c + 1 b c + b b + b + c + 9 Resolem el sistema: b + c + 0 b 1; c b + c P() + 95

18 Polinomis i fraccions algebraiques 0 Troba un polinomi de grau sabent que és divisible entre, que 1 és una arrel i que en dividir-lo entre + el residu és +. Si el polinomi és divisible per, vol dir que n és una arrel. Com que 1 també n és una arrel, el polinomi és de la forma: P() a + b a 1 + c + d P() + b + c + d A partir d aquestes condicions: + 1 b c d + b + b + c b b + c + b + c + d b c d 1 1 b + 1 b c 1 1 b 1 b + c + 1 b c + d b c d b + 9 9b + c 7 1 b b + c + 9 9b c + d 7 Resolem el sistema format per les tres equacions: 11 b b + c + d b c + d c P ( ) 9b c + d d 5 05 Troba el valor de m perquè les divisions siguin eactes: ( 1 + m) : ( + ) ( m) : ( ) ( + m 1) : ( 6) ( (m + 1) + m) : ( + 1) e) ( + m + 10) : ( 5) f) ( m + ) : ( ) g) ( 5 + m ) : ( + 5) 1 1 m m + 6 m m m m + m + 0 m 96

19 SOLUCIONARI 1 1 m m m + 0 1m m m 1 1 (m + 1) 0 m 1 1 m + m 1 m m + m m 0 m e) f) g) 1 m m + 5 5m m + 5 5m + 7 5m m 15 m m + 15 m m m 5 5 m m m m m m m.95 m 10 5m + 5 5m m m.75 65m.75 0 m 7 06 Calcula el valor de m perquè les divisions tinguin el residu que s indica: ( m + 17) : ( + 1) Residu (m m + 8m) : ( ) Residu ( m + 0) : ( 1) Residu 10 ( m + ) : ( + 6) Residu m m m + 7 m + 10 m + 10 m 8 m m 0 8m m m m m m m m 1m 1m m m m 1 m m + 18 m m m m m 660 6m m m

20 Polinomis i fraccions algebraiques 07 FES-HO AIXÍ COM APLIQUEM LA REGLA DE RUFFINI QUAN EL DIVISOR ÉS DEL TIPUS (a? Efectua aquesta divisió per la regla de Ruffini: ( + ) : ( 6) PRIMER. Se divide el polinomio divisor, a b, entre a. ( ( 6) : + ) : ( 6) ( + ) : ( ) SEGON. Apliquem la regla de Ruffini amb el divisor nou. C() + 5 TERCER. El quocient de la divisió inicial és el quocient d aquesta divisió dividit entre el nombre pel qual hem dividit el divisor inicial. Quocient: 5 El residu no varia. Residu: 1. : Calcula, mitjançant la regla de Ruffini, les divisions següents: ( 5 + 1) : ( + ) ( ) : ( ) ( 5 + ) : (5 10) ( ) : ( ) ( 5 + 1) : ( + ) ( + ) : ( 5 + 1) : ( + ) Quocient: + : Residu: 1 ( 5 (5 10) : 5 + ) : (5 10) ( 5 + ) : ( ) Quocient: + Residu: : Primer dividim el binomi entre i obtenim, que és el nou divisor / / / 9/8 1/16 75/6 1 1/ / 71/8 5/16 R 75/6 Per obtenir el quocient de la divisió inicial, hem de dividir entre : Quocient:

21 SOLUCIONARI 75 Residu: 6 ( 5 + ) : (5 10) (5 10) : 5 ( 5 + ) : ( ) / / 88/9 80/7 1/81.5/81 1 / 0/9 80/7 56/81 R.1/ : Quocient: Quocient: Residu: 09 Comprova si y són arrels del polinomi P() Com que P() 60, no és arrel del polinomi. Com que P() 0, és arrel del polinomi. 050 Comprova que una arrel de P() és 1. Com que P(1) 0, 1 és arrel del polinomi. 051 Calcula les arrels d aquests polinomis: e) f) g) h) + Arrels:,, e) Arrels: 1, Arrels: 0, 1, f) Arrels: 1, 0 Arrel: 1 g) Arrels: 0, 1 Arrels: 1,, h) Arrel doble: 05 Observa el dividend i el divisor i assenyala quines d aquestes divisions no són eactes: ( + 7 8) : ( + ) ( 9) : ( 5) ( + 5) : ( 7) ( ) : ( + ) Pots assegurar que les altres divisions són eactes? No són eactes les divisions dels apartats, i. Sense fer més operacions, no es pot assegurar si la divisió de l apartat és eacta o no. 99

22 Polinomis i fraccions algebraiques 05 FES-HO AIXÍ COM CALCULEM UN POLINOMI SI EN CONEIXEM LES ARRELS I EL COEFICIENT DEL TERME DE GRAU MÉS GRAN? Escriu el polinomi que té com a arrels 1, 1, i, i com a coeficient del terme de grau més gran 5. PRIMER. Els divisors del polinomi que busquem són de la forma, en què a és cadascuna de les arrels. Els divisors del polinomi són: ( 1), ( ) y ( + ) SEGON. Efectuem el producte dels monomis multiplicant cadascun tantes vegades com aparei l arrel. ( 1) ( 1) ( ) ( + ) TERCER. Multipliquem pel coeficient del terme de grau més gran. P() 5 ( 1) ( 1) ( ) ( + ) P() Quins polinomis tenen aquestes arrels i aquests coeficients de grau més gran? 1,, i coeficient. (arrel doble) i coeficient., i coeficient 1. P() ( 1) ( + ) ( ) P() ( ) P() 1 ( + ) ( + ) 5 6 Efectua. ( + ) ( ) ( ) Desenvolupa les potències següents: ( + + ) ( 1) ( + )

23 SOLUCIONARI 057 Efectua i reduei termes semblants: ( + ) + ( ) (5 6) + ( 1) ( ) ( + ) ( + 5) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Indica si les igualtats són certes o falses. Raona la resposta. (6 + 5) (6 + 5) (6 + 5) (6 + 5) 1 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (6 1) ( 5) ( ) 8 ( 1) e) (8 + ) ( + 1) (6 + 5) [(6 + 5) 1] (6 + 5) (6 + 5) 1 Falsa ( + ) [( + ) 1] ( + ) ( + ) Verdadera Verdadera ( ) ( 1) Verdadera e) () ( + 1) ( + 1) Falsa 059 Assenyala quins dels polinomis següents són el quadrat d un binomi i indica-ho: e) f) (5 7) ( ) ( ) e) No és el quadrat d un binomi. ( + ) f) No és el quadrat d un binomi. 060 Afegei els termes que calgui a cada polinomi perquè sigui el quadrat d un binomi: e) f) ± ± e) f)

24 Polinomis i fraccions algebraiques 061 Descompon en factors els polinomis següents amb l etracció de factor comú: e) f) ( 1) ( ) (9 + 7) e) ( + 7) ( + ) f) ( 1) 06 Factoritza aquests polinomis amb l aplicació de les igualtats notables: e) f) ( + 1) ( + ) ( ) ( + 5) e) ( + ) ( ) ( ) f) ( ) 06 Factoritza els polinomis següents: e) f) g) h) ( + ) ( + ) e) ( ) ( 1) ( + ) ( ) ( + ) f) ( 5) ( 1) ( + 1) ( + ) ( + 8) g) ( + ) ( ) ( + 5) ( + 6) ( ) h) No és possible. 06 Descompon factorialment: + 6 e) f) g) h) No és possible. ( + 1) ( 1) ( ) ( + ) e) ( + ) ( 1) ( ) f) ( + ) ( 5 + 1) g) ( + ) h) ( + 1) 10

25 SOLUCIONARI 065 Escriu com a producte de factors: ( + 1) ( ) ( ) [( + 1) + ( )] [( + 1) ( )] (6 ) ( + ) ( 1) ( + ) [( ) + ] [( ) ] ( + ) ( 6) 066 Escriu tres polinomis de grau i tres més de grau, que siguin divisors de: P() + 0 P() 6 7 P() ( + 6)( 5) Grau : Grau : P() ( + 1)( 7) Grau : Grau : Indica quines de les epressions següents són fraccions algebraiques: Són fraccions algebraiques les epressions,,, f) i i). 10

26 Polinomis i fraccions algebraiques 068 Escriu tres fraccions algebraiques que equivalguin a: e) + 6 f) e) f) ( ) ( + 1) ( + ) ( ) ( ) ( + 10) ( + ) Esbrina si els parells de fraccions algebraiques següents són equivalents: y y y y Només és equivalent el parell de fraccions de l apartat. 070 Calcula el valor de P() perquè aquestes fraccions siguin equivalents: + 1 P( ) P( ) P( ) P( ) P ( ) P ( ) ( + 1) ( ) ( + 1) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( 1) + + P ( ) ( 16) + P ( ) ( 10) ( )

27 SOLUCIONARI 071 Cuánto debe valer a para que las fracciones algebraicas sean equivalentes? 5 5 a a a a a 0 a 7 Sense solució a Simplifica les fraccions algebraiques següents: 8 6 yz 18y z ( ) ( y ) ( ) ( y ) 8 1 yz 18y z y ( ) 1 ( y ) 6 ( ) ( y ) y Simplifica aquestes fraccions algebraiques: e) f) g) h) e) f) g) h) 10 + ( )( + ) ( ) 105

28 Polinomis i fraccions algebraiques 07 FES-HO AIXÍ COM REDUÏM FRACCIONS ALGEBRAIQUES A COMÚ DENOMINADOR? Reduei a comú denominador aquestes fraccions algebraiques. PRIMER. Factoritzem els denominadors. ( + ) ( ) + + ( + ) SEGON. Calculem el mínim comú múltiple, que estarà format pels factors comuns i no comuns elevats a l eponent més gran. m.c.m. (,, + + ) ( + ) ( ) TERCER. Dividim el denominador entre el m.c.m. i multipliquem el resultat pel numerador. 8 8 ( + ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) Totes tres fraccions algebraiques tenen el matei denominador: ( + ) ( ). 075 Calcula el mínim comú múltiple d aquests polinomis:, 10 y, y 9 + 5, + 5 y , 1 y + e), y + f) + + 1, 1 y ( + ) ( ) ( + 5) ( + 1) ( 1) e) ( + 1) ( 1) f) ( + 1) ( 1) ( ) ( ) 106

29 SOLUCIONARI 076 Opera i simplifica: ( 1) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + ( 5 + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 077 Efectua aquestes operacions i simplifica: ( 1) ( + 1) ( 1) ( ) ( ) ( + 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) 5 ( + 1) ( ) ( + 1) ( ) ( ) ( + 1) ( + 1) + 17 ( + 1) ( 1) ( + ) 1 6 ( ) ( ) 6 ( + ) 6 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( + 1) ( + 1) ( 1) 107

30 Polinomis i fraccions algebraiques Efectua les operacions següents: ( 1) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) 1 ( + 5) ( + 5) ( 5) ( + 5) ( 5) ( + 5) + 5 Efectua aquests productes de fraccions algebraiques i simplifica el resultat: ( ) ( ) ( 7) ( + ) ( ) ( 7) ( + ) ( + 8) ( + 5) ( ) ( + 8) ( + 5) ( ) ( + 5) ( + 1) ( ) ( + 1) ( + ) ( + ) ( + 5) ( 8) ( + ) ( + ) ( 8) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( 1) ( ) ( 1) Fes aquestes divisions de fraccions algebraiques i simplifica el resultat: : : : + + ( 1) ( + 1) ( + 1) ( 1) ( + ) : ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + 1) ( + ) + + : ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 108

31 SOLUCIONARI Efectua les operacions següents: : : ( + ) ( ) + ( ) 10 ( ) 10 + ( ) ( ) : ( ) ( ) ( + 1) ( 1) ( ) ( ) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) : 1 ( + 1) + ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) + + ( 1) ( + + 1) ( + + 1) ( + 1) ( 1) ( ) ( ) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( 1) La torre d una església és un prisma de base quadrada d una altura 15 m més gran que l aresta de la base. Epressa, en llenguatge algebraic, quant fan la superfície lateral i el volum. Calcula els valors numèrics de la superfície i del volum per a una aresta de la base de 5, 6 i 7 m, respectivament. Aresta: Altura: + 15 A lateral ( + 15) + 60 V ( + 15) m 6 m 7 m A lateral m 50 m 616 m V m 756 m m 109

32 Polinomis i fraccions algebraiques 08 La pàgina d un llibre té el doble d alçada que d amplada, els marges laterals són de cm i els marges superior i inferior, de cm. Epressa en llenguatge algebraic la superfície total de la pàgina. Fes el matei amb la superfície útil de paper (l espai que queda dins dels marges). Amplada: Amplada: Alçada: Alçada: 6 A A ( ) ( 6) Hem fet construir un dipòsit d aigua amb forma cilíndrica que té com a àrea de la base la cinquena part del cub de l altura. Epressa el volum del dipòsit. Quants metres cúbics d aigua hi caben si té 1 m d altura? Altura: A base 1 V () 1 0, m 5 5 V El diàmetre de la base d una sitja cilíndrica fa de la longitud de l altura. Epressa la capacitat de la sitja d acord amb el diàmetre de la base. Volem pintar la sitja i ens cal 1 kg de pintura per cada metre quadrat. Calcula quants quilograms de pintura necessitem si el diàmetre de la base fa m. Diàmetre: Altura: Diàmetre: Altura: Alateral π π Necessitem 16,75 kg de pintura. V π π A lateral π 16, 75 m 110

33 SOLUCIONARI Si el residu de la divisió d un polinomi P() entre ( ) és 1, i entre ( + ) és, quin és el residu de la divisió dep() entre ( )? Com que el residu de P() entre ( ) és 1: P() ( ) A() + 1 Com que el residu de P() entre ( + ) és : P() ( + ) B() + Pel teorema del residu: P() 1 Substituïm a la segona igualtat: P() 1 ( + ) B() + B() Com que el residu de B() entre ( ) és B() ( ) C() + Si substituïm: P() ( + ) B() + ( + ) [( ) C() + ] + ( + ) ( ) C() + ( + ) + ( ) ( + ) C() + ( + 8) El residu de dividir P() entre ( ) és + 8. Quin és el residu de la divisió de entre ( + 1)? El residu és P( 1) Demostra que el triangle ABC és rectangle per a qualsevol valor de C A (1 + ) + (5 + 10) (1 + 5 ) ( + ) 1 ( + ) (1 + 6) Es verifica el teorema de Pitàgores per a qualsevol valor de, i el triangle és equilàter. B 089 Calcula el perímetre i l àrea de la figura, i epressa els resultats mitjançant polinomis. + 5 m 0 m 50 m m 5 60 m 5 m 50 m 111

34 Polinomis i fraccions algebraiques 5 Perímetre m D E C A B 5 5 AA ( ) m A B m A C m A D 0 ( + 1) (0 + 0) m A E ( + 0) (50 5) (0 55) m A A A + A B + A C + A D + A E m 090 Troba els valors de A, B i C perquè es compleii la igualtat: (A 7) (5 + B) C 6 1 (A 7) (5 + B) 5A + (AB 5) 7B (A 7) (5 + B) C 6 1 7B 1 B AB 5 6 A 9 C 5A B A 9 C Troba un polinomi de segon grau que sigui divisible per ( 1) i que, si el dividim entre ( + 1) i entre ( ), obtinguem com a residu 10 i 5, respectivament. P() A + B + C P() 1 A + B + C 0 B 5 P( 1) A B + C 10 P() A + B + C 5 A + C 15 B 5 10 A i C P( 1) A B + C 10 A + C P ( ) 5 + B