Modelización Tareas Clases Evaluación Reflexión. Clases

Transcripción

1 Modelización Tareas Evaluación Reflexión

2 Modelización Tareas Evaluación Reflexión

3 Sesión 1 Sesión 2 Gracias a: 3

4 Sesión 1 4

5 Objetivos Estudiarás: las sub-competencias que necesitan los alumnos cuando modelizan cómo diseñar clases que apoyen a los alumnos en el desarrollo de competencias de modelización específicas cómo apoyar las competencias de razonamiento de los alumnos. 5

6 Resultados Tú: desarrollarás algunas tareas que fomenten competencias de modelización específicas y planificarás cómo utilizarlas 6

7 Informar sobre el trabajo Problema del mundo real Validar y 5 reflexionar Establecer 1 2 el modelo 3 Problema matemático Trabajar con 4 precisión Solución real Interpretación 5 Solución matemática «Mundo real» «Mundo matemático» 7

8 La modelización requiere sub-competencias y competencias relacionadas con el proceso global Informar sobre el trabajo Problema del mundo real Validar y 5 reflexionar Solución real Establecer 1 2 el modelo 3 Interpretación 5 Problema matemático Trabajar con 4 precisión Solución matemática «Mundo real» «Mundo matemático» 8

9 El ciclo de modelización (PISA, 2003) Del «problema del mundo real» al «problema matemático» (1, 2, 3) (matematización horizontal, De Lange, 1987) identificar las matemáticas relevantes respecto a un problema situado en la realidad; representar el problema de manera distinta, lo que incluye organizarlo según conceptos matemáticos y haciendo suposiciones apropiadas; comprender las relaciones entre el lenguaje del problema y el lenguaje simbólico y formal que es necesario para entenderlo matemáticamente; encontrar regularidades, relaciones y patrones; reconocer aspectos que sean isomorfos a problemas conocidos; traducir el problema a las matemáticas: por ejemplo, a un modelo matemático. Establecer el modelo Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39 9

10 El ciclo de modelización (PISA, 2003) Trabajar en el «mundo matemático» (4) (matematización horizontal, De Lange, 1987) utilizar distintas representaciones e ir cambiando de una a otra; utilizar lenguaje y operaciones simbólicos, formales y técnicos; refinar y ajustar modelos matemáticos; combinar e interpretar modelos; argumentar; generalizar. Trabajar con precisión Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39 10

11 El ciclo de modelización (PISA, 2003) Volver a la situación del mundo real (5) (interpretar y validar tanto la solución como el modelo) comprender la extensión y límites de los conceptos matemáticos; reflexionar sobre argumentos matemáticos, y explicar y justificar resultados; expresar el proceso y la solución; criticar el modelo y sus límites. Proceso de modelización (matematización): Marco PISA 2003, página 39 Validar y reflexionar Interpretación Vuelta a la presentación 11

12 Debate Estos comentarios proceden de profesores que ya habían trabajado con modelización en sus clases: «Para mejorar el desarrollo de las competencias de modelización, los alumnos necesitan practicar primero los pasos individuales del proceso de modelización. Sólo cuando ya son capaces de llevar a cabo los pasos individuales, se les pueden asignar tareas que requieran llevar a cabo todo el proceso». 12

13 Actividad 1: Imagina que estás utilizando la tarea de la «recogida de firmas» que viste en «Qué es la modelización?» con un grupo de alumnos. Quieres ayudarles a «establecer el modelo». Ahora imagínate que tú eres el alumno. Vas a recibir unas tarjetas. Distribúyelas en tres grupos. Las que contengan: datos que necesitas utilizar. datos que no necesitas utilizar. suposiciones que necesitas hacer. 13

14 Tarea 1: «Firmar contra una nueva ley» Hace poco, el 25 de abril de 2006, el partido español en la oposición presentó en el Congreso firmas contra una nueva ley promulgada por el gobierno. Todos los periódicos españoles publicaron fotos de las grandes cajas y las 10 furgonetas que se habían necesitado para transportar las hojas de papel al Congreso. Crees que esta puesta en escena tenía una intención política o que todas estas cajas y furgonetas eran realmente necesarias para transportar los cuatro millones de firmas? 14

15 Actividad 2: Trabaja con un compañero en la siguiente tarea. Viaje Consulte su mapa. Cuál es la distancia entre Madrid y Paris si vas en coche?... en línea recta? Si sabes una de ellas, puedes predecir la otra? 15

16 Continuación de la actividad 2 Ahora consultad con otra pareja que haya estado trabajando con datos distintos. Estudiad la validez de vuestras soluciones. Algunas cuestiones que estudiar: Es una solución mejor que la otra para distancias largas? Es una solución mejor que la otra para distancias cortas? Si sólo pudieras recomendar una de ellas, cuál sería? 16

17 Actividad 2 Echa un vistazo a la siguiente tarea: Hasta qué altura hay que llenar la copa para obtener una cerveza de tercio (33 cl)? Hasta qué altura hay que llenar la copa para obtener una cerveza de medio litro (50 cl)? Puedes encontrar algunos datos en la tabla. Altura Circunferencia cm cm 0,0 0,0 0,3 8,7 1,0 16,6 2,0 22,6 3,0 26,4 4,0 29,8 5,0 32,0 6,0 33,3 7,0 32,0 17

18 Una posible solución para esta tarea 8,7 cm Copa esférica R = 5,30 cm V h 2 (3R 3 h) Altura Circunferencia Radio cm cm cm 0,0 0,0 0,00 0,3 8,7 1,38 1,0 16,6 2,64 2,0 22,6 3,60 3,0 26,4 4,20 4,0 29,8 4,74 5,0 32,0 5,09 6,0 33,3 5,30 7,0 32,0 5,09 8,0 30,0 4,77 8,7 27,3 4,35 Altura (cm) Capacidad (cm 3 ) 1 15, , , , , , , ,19 Altura Capacidad (cm) (cm 3 ) 5 285,22 5,5 329, , ,45 7,5 494, ,19 18

19 Actividad 2 (continuación) Trabajad en grupos de 4-6. Cada grupo se divide en dos subgrupos (A y B) que recibirá una solución diferente para la tarea anterior. 1º Estudiad detenidamente la solución. Preparad una explicación para el otro grupo. 2º Explicad vuestra solución al otro grupo. Discutid sobre posibles formas de mejorar estas soluciones. 19

20 Solución para los grupos A Cilindros internos Volumen cilindros Volumen acumulado Altura Circunferencia Radio cm cm cm cm 3 cm 3 0,0 0,0 0,00 0,3 8,7 1,38 0,60 0,60 1,0 16,6 2,64 4,21 4,82 2,0 22,6 3,60 21,92 26,73 3,0 26,4 4,20 40,63 67,36 4,0 29,8 4,74 55,44 122,80 5,0 32,0 5,09 70,64 193,44 6,0 33,3 5,30 81,45 274,89 7,0 32,0 5,09 88,20 363,09 8,0 30,0 4,77 81,45 444,54 8,7 27,3 4,35 50,11 494,65 Solución: Copa de 33 cl menos de 7 cm Copa de 50 cl Imposible!!!! 20

21 Solución para los grupos B Cilindros externos Volumen cilindros Volumen acumulado Altura Circunferencia Radio cm cm cm cm 3 cm 3 0,0 0,0 0,00 0,3 8,7 1,38 0,60 0,60 1,0 16,6 2,64 15, ,95 2,0 22,6 3,60 40, ,57 3,0 26,4 4,20 55, ,01 4,0 29,8 4,74 70, ,65 5,0 32,0 5,09 81, ,10 6,0 33,3 5,30 88, ,30 7,0 32,0 5,09 81, ,75 8,0 30,0 4,77 71, ,34 8,7 27,3 4,35 41, ,84 Solución: Copa de 33 cl menos de 6 cm Copa de 50 cl aprox. 8 cm 21

22 Solución mejorada (1) Media aritmética entre cilindros exteriores e interiores Altura Circunf. Radio Volum Cint Volum Ac Int Volum Cext Volum Ac Ex Media CI/E cm cm cm cm 3 cm 3 cm 3 cm 3 0,0 0,0 0,00 0,3 8,7 1,38 0,60 0,60 0,60 0,60 1,0 16,6 2,64 4,21 4,82 15, ,95 10, ,0 22,6 3,60 21,92 26,73 40, ,57 41, ,0 26,4 4,20 40,63 67,36 55, ,01 89, ,0 29,8 4,74 55,44 122,80 70, ,65 152,7224 5,0 32,0 5,09 70,64 193,44 81, ,10 228,766 6,0 33,3 5,30 81,45 274,89 88, ,30 313,593 7,0 32,0 5,09 88,20 363,09 81, ,75 398,4199 8,0 30,0 4,77 81,45 444,54 71, ,34 474,9392 8,7 27,3 4,35 50,11 494,65 41, ,84 520,

23 Solución mejorada (2) Troncos de cono interiores V TC h ( R 2 r 3 2 R r) Altura Circunferencia Radio Volumen C Volum. Ac. cm cm cm cm 3 cm 3 0,0 0,0 0,00 0,3 8,7 1,38 0,60 0,60 1,0 16,6 2,64 9,20 9,80 2,0 22,6 3,60 30,80 40,60 3,0 26,4 4,20 47,84 88,44 4,0 29,8 4,74 62,88 151,32 5,0 32,0 5,09 75,98 227,30 6,0 33,3 5,30 84,80 312,11 7,0 32,0 5,09 84,80 396,91 8,0 30,0 4,77 76,47 473,38 8,7 27,3 4,35 45,74 519,11 23

24 Actividad 3 (opcional) Intenta desarrollar o adaptar una tarea para centrarla en una sub-competencia concreta del proceso de modelización. Informar sobre el trabajo Problema del mundo real Validar y 5 reflexionar Solución real Establecer 1 2 el modelo 3 Interpretación 5 Problema matemático Trabajar con 4 precisión Solución matemática «Mundo real» «Mundo matemático» 24

25 de modelización para llevar a cabo los pasos individuales del proceso de modelización para llevar a cabo todo el proceso de modelización para razonar o justificar decisiones relacionadas con el proceso de modelización de modelización metacognitivas 25

26 Actividad 4: En Europa Park quieres entrar a una atracción en la que hay 70 metros de cola. Cuánto tiempo tendrás que esperar? 26

27 Actividad 4: Haz un póster con tu solución. En cada paso razona por qué has tomado cada decisión. Justifica tus elecciones! Problema del mundo real Validar 5 y reflexionar Solución real «Mundo real» Establecer 1 2 el modelo 3 Interpretación 5 Problema matemático Trabajar 4 con precisión Solución matemática «Mundo matemático» Pregunta «por qué?» Informar sobre el trabajo 27

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29 Debate plenario Cómo pueden aprender los alumnos a razonar en matemáticas? «Razonar es un tema fundamental en otras asignaturas pero no en matemáticas». «Los alumnos o bien saben razonar o no saben. No hay manera de ayudarles con esta competencia en clase de matemáticas». 29

30 Debate plenario «He intentado que los alumnos pongan por escrito las razones de las decisiones que toman, pero simplemente no saben hacerlo. Así que me he rendido». «Los alumnos pueden validar tareas cuando se les pide en 'tareas de validación', pero siempre se olvidan cuando llevan a cabo todo el proceso de modelización, así que esas tareas no tienen sentido». «Si los alumnos presentan sus métodos a los compañeros de clase y los resultados se debaten y revisan críticamente, aprenden a razonar y justificar sus métodos». 30

31 Objetivos Estudiarás: las sub-competencias que necesitan los alumnos cuando modelizan. Cómo diseñar clases que apoyen a los alumnos en el desarrollo de competencias de modelización específicas. Cómo apoyar las competencias de razonamiento de los alumnos. 31

32 Resultados Tú: desarrollarás algunas tareas para promocionar competencias de modelización específicas y planificarás cómo utilizarlas: hazlo en tu Diario del profesor. 32

33 Sesión 2 Metacognición 33

34 de modelización para llevar a cabo los pasos individuales del proceso de modelización para llevar a cabo todo el proceso de modelización para razonar o justificar decisiones relacionadas con el proceso de modelización de modelización metacognitivas 34

35 Objetivos En este módulo estudiarás: por qué tener una visión global del ciclo de modelización es importante para tus alumnos cómo apoyar a los alumnos en el desarrollo de estrategias metacognitivas. 35

36 Resultados Diseñarás o adaptarás un esquema del ciclo de modelización o información sobre modelización a un meta-nivel para alumnos de distintas edades. Desarrollarás ideas (directrices) sobre cómo presentar el meta-conocimiento sobre modelización en tus clases. 36

37 de modelización para llevar a cabo los pasos individuales del proceso de modelización para llevar a cabo todo el proceso de modelización para razonar o justificar decisiones relacionadas con el proceso de modelización de modelización metacognitivas 37

38 Metacognición La metacognición es el pensamiento sobre el pensamiento de uno mismo y la gestión del pensamiento de uno mismo. Implica: conocimiento diagnóstico sobre el pensamiento de uno mismo. pensamiento crítico sobre tareas y conocimiento estratégico sobre maneras de resolver problemas. planificación, control y decisión, lo que incluye observar tus propias acciones. motivación y fuerza de voluntad para usar la metacognición. (Sjuts 2003, S. 18) 38

39 Actividad 1: Trabaja en la nueva tarea hasta llegar a una solución. Dibuja un cuadrilátero. Encuentra el punto medio de cada uno de los lados. Une los puntos para formar un nuevo cuadrilátero. Qué relación tienen las áreas entre sí? En Europa Park quieres entrar a una atracción en la que hay 70 metros de cola. Cuánto tiempo tendrás que esperar? 39

40 Continuación de la actividad 1 En grupos: reflexiona sobre los procesos que habéis utilizado para resolver los dos problemas (quizá queráis comenzar por confirmar cómo el esquema del ciclo de modelización se aplica a la tarea de modelización, y después pensar cómo podríais adaptar esto para la tarea de no-modelización) Cuáles son los aspectos importantes y distintivos de la modelización? Haced un minipóster 40

41 Actividad 2: Desarrollad un esquema o diagrama de un ciclo de modelización o información para los alumnos sobre modelización a un meta-nivel para alumnos de las siguientes edades: 7 / 8 13 / / 18 41

42 Debate Cómo de importante es que los alumnos tengan conocimientos sobre el proceso de modelización a un meta-nivel? Argumenta a favor y en contra de la introducción de conocimientos sobre el proceso de modelización. 42

43 Metacognición: argumentos «a favor» Los alumnos tienen directrices sobre cómo proceder cuando modelan La metacognición puede reducir la ansiedad de los alumnos cuando modelan La metacognición ayuda a los alumnos a ver el mundo a través de «gafas matemáticas» 43

44 Metacognición: argumentos «en contra» El proceso completo puede ser difícil de entender para los alumnos Esto no son «matemáticas de verdad» No hay tiempo para trabajar en estrategias metacognitivas (debido a presiones del programa de la asignatura) 44

45 Continuación del debate Se te ocurren maneras con las que puedas animar a tus alumnos en clase a que piensen sobre la modelización a un meta-nivel? 45

46 de modelización para llevar a cabo los pasos individuales del proceso de modelización para llevar a cabo todo el proceso de modelización para razonar o justificar decisiones relacionadas con el proceso de modelización de modelización metacognitivas 46

47 Objetivos En este módulo estudiarás: por qué tener una visión global del ciclo de modelización es importante para tus alumnos. cómo apoyar a los alumnos en el desarrollo de estrategias metacognitivas. 47

48 Resultados Tú: desarrollarás algunas tareas para promocionar competencias de modelización específicas y planificarás cómo utilizarlas: hazlo en tu Diario del profesor. 48