recta numérica U Figura 1.1

Transcripción

1 Cpítulo 1 Rect numéric L rect numéric es un objeto mtemático que formliz l cint de medir o ls regls. En un rect ilimitd se elige un punto que se llm origen y un unidd, es decir decimos que el segmento U mide 1. Tmbién se incluye un flech que indic el sentido de crecimiento, como se indic en l figur 1.1: U Figur 1.1 En l figur 1.2, desboblmos l rect en un rect geométric, donde hy puntos, y un rect numéric donde ubicremos los números. l punto hremos corresponder el número 0, l punto U hremos corresponder el número 1 puesto que, l elegir U como unidd, ese segmento medirá 1. Si tommos V l derech de U de mner que el segmento UV mid lo mismo que el segmento U, entonces l punto V corresponderá el número 2. Tommos culquier punto l derech del origen en l rect geométric y le hcemos corresponder el número en l rect numéric. Esto signific que el segmento mide cundo tommos U como unidd. rect geométric W U V rect numéric 2 w Figur 1.2 1

2 2 CPÍTUL 1. RECT NUMÉRIC Tomemos hor el punto sobre l rect geométric simétrico l punto V con respecto l origen. Entonces el segmento mide 2 uniddes. El número que socimos es 2. Pr un punto W que se encuentr l izquierd de, signmos un número negtivo w. Por lo tnto el segmento W mide w. De est mner socimos cd punto sobre l rect un número. Definición 1.1: Números reles Llmmos número rel todos los números que se obtienen de est mner. los puntos situdos l derech de se signn números positivos, los puntos situdos l izquierd de se signn números negtivos. Señlemos de nuevo que en l rect hy dos puntos especiles: l que signmos el número 0; U l que signmos el número 1. Dd unlongitud l, hy dos puntosy en lrect demnerquelos segmentos y tienen longitud l : Ellos están situdos simétricmente con respecto l origen sobrel rect numéric. Enl figur1.3 hemos puesto ejemplos de est situción Figur 1.3 Ejemplo 1.1 Si l punto P le corresponde el número 2 y l = 3, encontrr los puntos X sobre l rect pr los cules el segmento PX mide 2. Solución Comenzmos nlizndo l situción en l figur 1.4

3 3 U P Figur 1.4 Hy dos puntos sobre l rect que cumplen con est condición: uno l derech de P y uno l izquierd. Pr obtener el punto l derech debemos movernos 3 uniddes l derech, y de mner semejnte, pr obtener el que está l izquierd debemos movernos 3 uniddes l izquierd: R 0 1 Figur 1.5 P 2 S Ls soluciones son los puntos R y S los que corresponden,respectivmente, los números 1 y 5. En l rect numéric se interpretn ls propieddes y ls operciones de los números. Ejemplo 1.2 Si l punto le corresponde el número 2 y está situdo l izquierd de, qué número le corresponde si l longitud del segmento es 3? Solución Podemos referirnos solmente l figur 1.6: Ubicmos el punto y después contmos 3 uniddes l izquierd pr loclizr b 0 2 Figur 1.6 btenemos que b = 1.

4 4 CPÍTUL 1. RECT NUMÉRIC 1.1 rden en l rect númeric L rect numéric está orientd l rect. En lo que hemos hecho vmos de izquierd derech, y representmos esto por l flech de crecimiento. Esto signific que si es un númeroen l rect que se encuentr l derech de b, entonces b es má chico que. Vemos qué sucede cundo los puntos están l derech del origen y está l derech de. 0 b Figur 1.7 Por lo que dijimos nteriormente, mide l longitud del segmento mientrs que b mide l longitud del segmento. Como el segmento está incluído (contenido) en el segmento, b es menor que y escribimos b <. todo punto l izquierd del origen le corresponde un número negtivo. Todo número negtivo es menor que todo número positivo. Cundo está l derech de y mbos l izquierd del origen, l situción es l siguiente, b 0 Figur 1.8 b Tomemos y los simétricos con respecto l origen de y respectivmente. Entonces = y b = b

5 1.2. SUM GEMÉTRIC DE NÚMERS RELES 5 y hor está l derech de. Por lo tnto b < equivle que < b. bservemos que si es el simétrico de, con respecto l origen, igulmente se tiene que es el simétrico de con respecto l origen. Usndo ls notciones de l figur 1.8, tenemos que = y = es decir Propieddes del orden = ( ) = ( ). Con lo que hemos construido hst el momento tenemos ls siguientes propieddes del orden; Todo número distinto de 0 o bien es positivo o bien es negtivo; si < b y b < c entonces < c. Más delnte veremos cómo se comport el orden con respecto ls operciones. Pr notener quehcer cd vez l observción si está l derech o l izquierd del origen pr clculr l longitud del segmento definimos Definición 1.2: Vlor bsoluto El vlor bsoluto de un número se escribe y se clcul medinte l regl si > 0 = 0 si = 0 si < 0 Por lo tnto el segmento que une con tiene longitud (o mgnitud). Denotmos por l longitud del segmento. bservemos que = 1.2 Sum geométric de números reles Tommos dos puntos sobre l rect numéric y l derech del origen, es decir los números y b son positivos. Nos proponemos definir +b.

6 6 CPÍTUL 1. RECT NUMÉRIC 0 Figur 1.9 b Lo que hcemos es deslizr el segmento hst que el extremo izquierdo coincid con. El extremo derecho, que llmmos C, es tl que l mgnitid del segmento C es igul +b, C = + C = +. C 0 b +b Figur 1.10 Cundo queremos sumr culquier pr de números debemos tener en cuent l orientción. Si está l izquierd de entonces el número que corresponde es negtivo ( < 0). Interpretmos lo que hicimos pr l sum de l mner siguiente: Pusimos continución de. Si está l izquierd de y mbos l izquierd de, l situción se ve en ls figurs 1.10 y 1.11 C Figur 1.11 b 0 y hcemos lomismoquentes, es decir deslizmos el segmento hst que el extremo izquierdo coincid con y sí obtenemos un punto C l izquierd de de mner que C = y C = + C = +,

7 1.2. SUM GEMÉTRIC DE NÚMERS RELES 7 C +b C +b b 0 b 0 Figur 1.12 Ejemplo 1.3 Encontrr de mner geométric l sum de 3 con 2. Solución Comencemos con l figur 1.13 b 0 Figur 1.13 Ponemos continución de 3 0 Figur Por lo tnto, geométricmente hemos llegdo que ( 3)+2 = 1 Tommos dos puntos sobre l rect numéric y con l izquierd de (es decir el númeroes más chico queel númerob) el segmento queune con b mide b sin importr dónde está situdo el origen con respecto esos puntos.

8 8 CPÍTUL 1. RECT NUMÉRIC b Figur 1.15 El lector se puede entretener viendo esto ubicndo el origen en tods ls posibles posiciones (hy 5). Si es más chico que b, es decir cundo se locliz l izquierd de b, el segmento que los une mide b. Usndo l definición 1.2, l longitud del segmento que une los puntos y b de l rect numéric es b. Esto permite resolver el ejemplo 1.3 de mner purmente lgebric: Tenemos que = 2. Como el punto se encuentr l izquierd de entonces l longitud del segmento está dd por b. btenemos l ecución l resolverl obtenemos que 3 = b = 2 b. b = 2 3 = 1. Ejercicios Resuelv los siguientes ejercicios geométric y lgebricmente. 1. Si l punto le corresponde el número 1 y está situdo l derech de, qué número le corresponde si l longitud del segmento es 4? 2. Silpuntolecorrespondeelnúmero 1y estásitudolderech de, qué número le corresponde si l longitud del segmento es 5? 3. Si l punto le corresponde el número 1 y está situdo l izquierd de, qué número le corresponde si l longitud del segmento es 2? 4. Silpuntolecorrespondeelnúmero 2y estásitudolderech de, qué número le corresponde si l longitud del segmento es 2?

9 1.2. SUM GEMÉTRIC DE NÚMERS RELES 9 En lo que sigue identificremos el punto geométrico con el número que signmos. Est es l versión geométric de los números. Se dice geométric porque hemos signdo cd punto de l rect, que es un objeto geométrico, un número. Vle l pen recordr ls propieddes lgebrics de los números. Ests propieddes precerán múltiples veces en lo que sigue: Propieddes de l sum de números reles L sum es conmuttiv. Ddos dos números reles y b siempre se tiene que +b = b+ L sum es socitiv. Ddos tres números reles, b y c siempre se tiene que (+b)+c = +(b+c). Notemos que l sum se define entre dos números. L socitividd nos permite no tener que especificr cuáles de ls posibles sums se hcen primero. Existenci de elemento neutro pr l sum. Ddo un número rel siempre se tiene que +0 = 0+ =. Notemos que 0 es l longitud de un segmento que se reduce un punto (es decir, un segmento que tiene el mismo extremo izquierdo y extremo derecho). Existenci de un inverso ditivo. Ddo un número rel existe un único número rel b que hce que +b = 0. Notemos que cundo tenemos un número rel ubicdo en l rect numéric, el inverso ditivo es el número sobre l rect simétrico con respecto l origen. El inverso ditivo de se denot por

10 10 CPÍTUL 1. RECT NUMÉRIC 0 b 0 b Figur Multiplicción geométric de dos números Ddosdosnúmerosrelespositivosybdemnernturlsuproductobes el áre del rectángulo de ldos y b. Si queremos un número que represente el producto, l mner de conseguirlo es obteniendo un rectángulo de ldo 1 con áre b. Con esto en mente, consideremos el rectángulo CD de l figur 1.6. Sobre l digonl C tommos un punto P y trzmos el segmento RR que es perpendiculr l segmento QQ. R D Q P Q R Figur 1.6 C Vemos que los rectángulos QR P y RPQ C tienen l mism áre. Los triángulos determindos por un digonl de un rectángulo son congruentes y tienen l mism áre. Esto nos dice que el áre del triángulo D es igul l del triángulo CD. Tmbién lo son ls de los triángulos QP y RP y ls de los triángulos PR D y PQ D. Como el áre del triángiulo D se descompone como l sum del áre del triángulo QP, l del triángulo PR D y l del rectángulo QR P y l del triángulo DC se descompone omo l sum del áre del triángulo PR, l del triángulo PDQ y l del rectángulo RPQ C, concluímos que, en efecto, los rectángulos QR P y RPQ C tienen l mism áre.

11 1.3. MULTIPLICCIÓN GEMÉTRIC DE DS NÚMERS 11 Si el segmento Q mide, el segmento QP mide b y el segmento Q mide 1, y RC midde C, entonces el áre del rectángulo QR P es b(uniddes cudrds) y l del rectángulo RPQ C es c = c 1 (uniddes cudrds). R D Q b P Q 1 1 R c C Figur 1.7 Propieddes del producto de números reles El producto entre número rel fijo tiene que ver con l noción de proporcionlidd y pr su interpretción gemétric requerimos usr el plno crtesino y l bordremos más delnte. El producto es conmuttivo. Ddos dos números reles y b siempre se tiene que b = b El producto es socitivo. Ddos tres números reles, b y c siempre se tiene que (b)c = (bc). l igul que l sum, el producto se define entre dos números y, de nuevo, l socitividd nos permite no tener que especificr cuáles de los posibles productos se efectún primero. Existenci de elemento neutro pr el producto. Ddo un número rel siempre se tiene que 1 = 1 =

12 12 CPÍTUL 1. RECT NUMÉRIC Existenci de un inverso multiplictivo. Ddo un número rel no nulo (esto se escribe: 0) existe un único número rel b que hce que b = 1. El inverso ditivo de se denot por 1 o bien 1 Propiedd que vincul l sum y el producto de números L sum distribuye con respecto l producto. Ddos tres números reles, b y c siempre se tiene que Tmbién (+b)c = c+bc. (b+c) = b+c. Hcemos explícit est últim propiedd,unque se puede derivr de l primer, debido l conmuttividd de l sum y del producto Propieddes que relcionn el orden y ls operciones Si > 0 y b > 0 entonces Si > 0 y b > 0 entonces Si < 0 y b < 0 entonces +b > 0 b > 0 b > 0 Vemos que, prtir de ests propieddes, podemos concluir otrs propieddes de ls operciones de los números. Ls deducciones que siguen tienen por objetivo dr un ide de l mner como funcion un sistem deductivo. Ejemplo 1.4 Pr todo número rel,

13 1.3. MULTIPLICCIÓN GEMÉTRIC DE DS NÚMERS 13 0 = 0. Solución Como 0+0 = 0 Entonces 0 = (0+0) Por l distributividd del producto con respecto l sum (0+0) = 0+0. Por lo tnto 0 = (0+0) = 0+0. Summos mbos ldos de l iguldd el inverso ditivo de 0 y obtenemos 0 = 0+( 0) = (0+0)+( 0) = 0+(0+( 0)) = 0. Cundo juntmos ls igulddes nteriores, obtenemos Ejemplo 1.5 Si b = 0 y 0 entonces b = 0. 0 = 0. Solución Como 0, tiene inverso multiplictivo. Entonces 1 (b) = 1 (0) ( ) Por l socitividd del producto 1 (b) = ( 1 )b y por l propiedd que define el inverso, ( 1 )b = 1(b) = b. Hemos mostrdo que el ldo izquierdo de (*) es igul b. Y vimos que el ldo derecho es igul 0. por lo tnto b = 0.

14 14 CPÍTUL 1. RECT NUMÉRIC Propieddes del Vlor bsoluto Si = 0 entonces = 0. demás si = 0 entonces = 0. Desiguldd del triángulo +b + b. demás +b = + b signific que y b tienen el mismo signo. El vlor bsoluto se comport de mner más simple con el producto: b = b. trs propieddes de los números reles. = ( 1). Si 0 entonces 2 > 0. 2 = 2.