Síntesis de señales periódicas empleando las series trigonométrica y exponencial de Fourier

Transcripción

1 Sítesis de señales periódicas empleado las series trigoométrica y expoecial de Fourier Propuesta de práctica para el laboratorio de las asigaturas: ANÁLISIS DE SISEMAS Y SEÑALES y SEÑALES Y SISEMAS Hecha por Atoio Salvá Calleja Octubre de 016 1

2 Coteido Objetivo geeral de apredizaje 3 1. eoría Básica acerca de la serie trigoométrica de Fourier (SF) Codicioes para que ua SF coverja 3 1. Obteció de los coeficietes de ua SF Valor de ua SF para los putos e los que f(t) tiee ua 5 discotiuidad fiita 1.4 Serie expoecial de Fourier 6. Descripció geeral de la práctica 7.1 Feómeo de Gibbs rabajo para el estudiate Equipo básico requerido para la realizació de esta práctica Referecias 18

3 Objetivo geeral de apredizaje: Que el alumo asimile que la represetació de ua señal periódica usado las series trigoométrica y expoecial de Fourier, so ua aproximacioes a la señal origial, y se percate de lo que sucede e las discotiuidades fiitas que pudiera presetar la señal que se aproxime mediate ua de las series e u mometo dado. 1. eoría Básica acerca de la serie trigoométrica de Fourier (SF) La serie trigoométrica de Fourier (SF), es ua etidad matemática que se defie frecuetemete de la siguiete maera: SF ( t) 1 a0 a cos( wt) bse( wt) (1) 1 Dode se aprecia que ua SF es ua señal periódica co periodo, coformada por la suma de compoetes seoidales cuyas frecuecias so múltiplos de ua frecuecia cuyo valor es: w () A las compoetes seoidales implicadas se les deomia armóicas. E la práctica u uso frecuete para la SF es el aproximar ua señal periódica co periodo. Si a dicha señal se le deota como f(t), se tedrá: f ( t) 1 a0 a cos( wt) bse( wt) (3) 1 Dode se aprecia que la señal f(t) es aproximada mediate la suma de compoetes armóicos seoidales, cuyas frecuecias so múltiplos de la frecuecia correspodiete al periodo. 1.1 Codicioes para que ua SF coverja Dado que la SF es ua serie ifiita, para que ésta coverja, se requiere que para cualquier puto del periodo de la señal que se pretede aproximar, se satisfaga codicioes matemáticas que para ua SF, se ha probado que so las siguietes tres: 1. f ( t) dt. f(t) tiee u úmero fiito de máximos y míimos detro del periodo 3. f(t) tiee u úmero fiito de discotiuidades detro del periodo 3

4 A las cuales e la literatura sobre el tema, se les deomia como codicioes de Dirichlet. Es importate señalar que e la práctica de Igeiería, las señales co las que se trabaja por lo regular satisface las tres codicioes ates mecioadas; esto es, cualquier señal periódica geerada e u laboratorio o e situacioes de aplicacioes prácticas de Igeiería, podrá ser aproximada co ua SF. E la práctica, para fies de la aproximació de la señal f(t) se usa u úmero fiito de compoetes armóicos, esto es, se trabaja co ua SF trucada. Al úmero de armóicas a cosiderar e u mometo dado se le deota aquí co la literal c. Apreciádose que coforme el úmero de compoetes aumeta, la aproximació a la señal f(t) empleado u determiado úmero de compoetes c, es mejor que la obteida empleado u úmero de compoetes meor que c. 1. Obteció de los coeficietes de ua SF Los coeficietes de ua SF puede obteerse empleado las siguietes ecuacioes: a b f ( t)cos( wt) dt (4) f ( t) se( wt) dt (5) Si se aproximara la señal f(t) mediate ua SF trucada tomado c compoetes armóicos, dicha aproximació puede expresarse como: f ( t) K cd c 1 a cos( wt) b se( wt) (6) Dode Kcd represeta a la compoete de directa de la señal f(t), que viee siedo el valor promedio asociado co ésta. Cosidérese ahora el siguiete ídice de desempeño: ECM [ f ( t) K c cd 1 a cos( wt) b se( wt)] dt (7) Que es el error cuadrático medio etre la señal f(t) y la aproximació de ésta empleado ua SF trucada. Se aprecia que este ídice de desempeño es ua fució de c + 1 variables. Aplicado la teoría de máximos y míimos para fucioes de varias variables idepedietes [5], puede verse que los c + 1 valores que miimiza a la fució 4

5 ECM so: para los coeficietes a y b co = 1,,.c, los que se obtiee empleado las ecuacioes (4) y (5), y que el valor de la variable Kcd es: K cd 1 f ( t)cos( wt) dt (8) Que es la mitad del valor de ao, obteido mediate la ecuació (4) co =0. Esto es: K cd a 0 (9) Además, puede verse que a medida que aumeta el valor del úmero de armóicas empleadas e ua determiada aproximació, el valor míimo presetado para el ECM expresado e la ecuació (7) dismiuye, tediedo a cero coforme c. 1.3 Valor de ua SF para los putos e los que f(t) tiee ua discotiuidad fiita Acorde co (1), ua SF es la suma de fucioes cotiuas; por lo tato, si ésta coverge implica que e igú puto del periodo la SF presetará discotiuidades, aú cuado la señal f(t) que se pretede aproximar, si las tega e uo o varios putos detro del periodo. Por lo aterior es claro que e los putos dode f(t) tega discotiuidades, la SF presetará u valor determiado. Está probado que para los putos del periodo dode la f(t) preseta ua discotiuidad, la SF asociada coverge al valor medio de la discotiuidad. Esto se expresa mediate las siguietes ecuacioes, e las cuales se deota co la literal to a ua determiada abscisa para la cual f(t) preseta ua discotiuidad fiita. 1 1 a0 a cos( ) ( ) ( ( wt bse wt f t0 ) f ( t0 )) (10) 1 Dode: f ( t0 ) lim f ( t) (11) tt 0 f ( t0 ) lim f ( t) (1) t t 0 5

6 1.4 Serie expoecial de Fourier Empleado la idetidad de Euler se puede expresar ua SF de ua forma altera deomiada serie expoecial de Fourier (SEF), esto sabiedo que: cos( wt) e jwt e jwt (13) jwt jwt e e se( wt) (14) j Sustituyedo (13) y (14) e la expresió geeral para ua SF dada e (1), y agrupado térmios, la forma geérica de la SEF es: SEF ( t ) c e jwt (15) Dode: c a jb (16) c a jb (17) Sustituyedo (4) y (5) e (16) y cosiderado la idetidad de Euler, fácilmete se puede ver que los coeficietes de la SEF estaría dados por: c 1 f ( t) e jwt dt (18) De esta maera si se aproximara ua determiada señal periódica empleado ua SEF trucada a c armóicas, esto se expresaría como: c c Y la serie tedría c + 1 compoetes. f ( t ) c e jwt (19) 6

7 . Descripció geeral de la práctica Para la realizació de las experiecias asociadas co esta práctica se emplea u sistema itegrado por software y hardware deomiado: Sistema para la Ilustració y Apredizaje de Coceptos de la eoría de Sistemas y Señales (SIACSS), desarrollado e el Departameto de Cotrol y Robótica de la Facultad de Igeiería de la UNAM. E la figura 1 se muestra los compoetes del SIACSS. SISEMA PARA LA ILUSRACIÓN Y APRENDIZAJE DE CONCEPOS DE LA EORÍA DE SISEMAS Y SEÑALES (SIACSS) INERFAZ DE USUARIO (IU_SIACSS) ENLACE SERIE (CABLE RS3 O ADAPADOR USB-SERIE) INERFAZ DE HARDWARE DEL SIACSS (IH_SIACSS) SALIDA (SIH) DE LA IH_SIACSS PC COMPUADORA ANFIRIONA EJECUANDO LA INERFAZ DE USUARIO IU_SIACSS Fig 1. Compoetes del sistema SIACSS Para fies de los coceptos propios de esta práctica, mediate el SIACSS se puede efectuar diversas accioes, las cuales se ejemplifica a cotiuació, apoyádose para ello e ua forma de oda defiida previamete e la IU_SIACSS. 1. Especificar, e la patalla virtual de la IU_SIACSS, los vértices que delimita tramos rectos que itegra la forma del periodo de ua señal para la cual se desea calcular los coeficietes de las series trigoométrica y/o expoecial de Fourier. El úmero posible de vértices está compredido etre y 100. E la figura se muestra, e la vetaa pricipal de la IU_SIACSS, la especificació de ua señal periódica de 9 vértices, co u periodo de 10 ms y domiio especificado etre -5 y +5 ms.. Guardar e u archivo sfp, la señal especificada e el paso aterior, para el caso aquí ilustrado oda35.sfp, es el ombre del archivo dode se almaceó la señal mostrada e la figura. 3. Especificar el úmero de muestras por periodo a utilizar e el procesamieto de la señal periódica presete e la patalla virtual de la IU_SIACSS. E el ejemplo de la figura se ha predetermiado el utilizar 400 muestras/periodo. 4. Especificar el úmero de armóicas cuyos coeficietes se va a calcular. 7

8 Fig. Señal periódica de ueve vértices a procesar por la IU_SIACSS 5. Obteer, para el úmero de compoetes defiido e el paso aterior, los coeficietes asociados de las series trigoométrica y expoecial de Fourier. Estos será visibles uo a uo e la vetaa pricipal de la IU_SIACSS. Para avazar e su despliegue el usuario deberá oprimir el botó [>>], presete e la esquia iferior derecha de la vetaa de iterfaz; para retroceder e el despliegue el usuario deberá oprimir el botó [<<], presete a la izquierda del botó de avace. Ua vez que se ha obteido los coeficietes, el software preseta, e rojo e la patalla virtual, la forma de oda correspodiete a la aproximació a la señal presete dada por la serie trigoométrica de Fourier trucada hasta el úmero de compoetes armóicos cuyos coeficietes recié se ha calculado. E la figura 3 se muestra la aproximació de la señal mostrada e la figura empleado sólo cico compoetes armóicos de la serie trigoométrica y, la compoete de directa asociada. Ahí se aprecia los coeficietes a5 y b5 de la SF y la magitud y el águlo correspodietes al coeficiete C5 de la serie expoecial. 6. Graficar e la patalla virtual de la IU_SIACSS la magitud de los coeficietes Ci (i= -c,, -, -1, 0, 1,,.,c) de la serie expoecial de Fourier, dode c es el úmero de compoetes utilizados para fies de la aproximació de la señal que se esté aalizado e u mometo dado. E la figura 4 se muestra esto para los coeficietes Ci (i= -5, -, -1, 0, 1,..,5) de la aproximació de la señal de la figura. 8

9 Fig 3. Aproximació de Fourier a la señal mostrada e la figura empleado cico armóicas Fig 4 Magitud de los coeficietes C para de -5 a 5 de la SEF asociada co la señal de la figura 9

10 7. Bajar la señal origial a la IH_SIACSS, de modo que ésta aparezca e la salida SIH de dicha iterfaz. E la figura 5 se muestra la salida mecioada vista e la patalla de u osciloscopio, cuado se ha bajado a la IH_SIACSS la señal mostrada e la figura. Fig 5. Señal defiida e la figura y geerada físicamete e la salida SIH de la IH_SIACSS. EV 5 V/div, EH ms/div. 8. Bajar a la IH_SIACSS la señal geerada al tomar sólo u cierto úmero de armóicas de la SF, asociada co la señal que se procese e u mometo dado; de modo que ésta aparezca e la salida SIH de dicha iterfaz. E la figura 6 se muestra la salida mecioada vista e la patalla de u osciloscopio, cuado se ha bajado a la IH_SIACSS la señal producida por la SF cuado sólo se ha cosiderado cico armóicas e ésta. (Señal e rojo de la figura 3). Cabe señalar aquí que, para la versió actual del hardware de la IH_SIACSS, las señales geeradas e la salida SIH de ésta, siempre tedrá media cero y u valor Vpp de 0 volts. Para que dichas señales aparezca co el Vpp y valor promedio ilustrados e la patalla virtual de la IU_SIACSS, habría que agregar a la IH_SIACSS hardware de procesamieto aalógico cotrolado por el MCU que gobiera el fucioamieto de ésta. Además, para que ua determiada señal pueda ser geerada e la salida de la IH_SIACSS su periodo s e segudos, deberá satisfacer la siguiete desigualdad: s mp Dode mp represeta el úmero de muestras por periodo, que se ha especificado para fies del aálisis de ua señal determiada. E caso de que el periodo de la señal presete e la patalla virtual o satisfaga la desigualdad aterior, se otifica esto al usuario y se deshabilita las facilidades propias del bajado de señales a la IH_SIACSS. Si embargo, esto o deshabilita el que para la señal presete se pueda 10

11 obteer los coeficietes de sus series trigoométrica y expoecial de Fourier, y se pueda usar las facilidades de graficació e la patalla virtual de la IU_SIACSS. Fig 6. Aproximació de cico armóicas de la SF asociada co la señal de la figura, presete e la SIH de la IH_SIACSS. EV 5 V/div, EH ms/div. Fig 7. Aproximació de Fourier a la señal mostrada e la figura empleado 30 armóicas 11

12 E la figura 7 se muestra la aproximació a la señal de la figura, cuado se ha empleado 30 compoetes armóicas e la SF asociada. Ahí se aprecia que e los putos dode hay discotiuidades e la señal por aproximar, la SF coverge al valor medio de la discotiuidad de cada caso, tal como se prevé e la teoría. E la figura 8 se aprecia el despliegue de la magitud de los 61 compoetes asociados co la SEF trucada a30 armóicas. Fig 8. Magitud de los coeficietes C para de -30 a 30 de la SEF asociada co la señal de la figura E la figura 9 se muestra la salida de la SIH de la IH_SIACSS, cuado se ha bajado a ésta la señal que aproxima a la mostrada e la figura, empleado para ello ua SF trucada de 30 armóicas. Para aclarar ideas se muestra a cotiuació el procesamieto mediate el SIACSS, de dos señales clásicas cuyas compoetes asociadas co la SF que las aproxima, so bie coocidas e la literatura. La primera de estas señales es ua oda cuadrada par co media diferete de cero. E la figura 10 se muestra esta señal, ahí se aprecia que el periodo es de 9 ms y se emplea 500 muestras/periodo para su aálisis. E la figura 11 se muestra la aproximació a la señal empleado para ello a ua SF trucada a cico armóicas; e la figura 1 se muestra la aproximació a la misma señal pero ahora empleado 30 armóicas. Al desplegar los coeficietes de la serie e la IU_SIACSS, se aprecia como es coocido para esta señal, que la SF solo cotiee armóicas impares; además, se puede ver que e los dos putos dode hay discotiuidad la SF coverge al valor medio de éstas tal como lo predice la teoría. 1

13 Fig 9. Aproximació de cico armóicas de la SF asociada co la señal de la figura, presete e la SIH de la IH_SIACSS. EV 5 V/div, EH ms/div. Fig 10. Oda cuadrada par co periodo de 9 ms y valor tope de 7 uidades 13

14 Fig 11. Aproximació de la señal de la figura 10 cuado se emplea ua SF trucada a cico armóicas. Fig 1. Aproximació de la señal de la figura 10 cuado se emplea ua SF trucada a treita armóicas. 14

15 .1 Feómeo de Gibbs E las aproximacioes para la señal de la figura 10 mostradas e las figuras (11) y (1), se aprecia que la SF trucada preseta odulacioes ates y después de las discotiuidades, observádose el que éstas tiede a ser de periodo cada vez más corto, coforme el úmero de compoetes armóicos aumeta. A este hecho se le cooce e la literatura como feómeo de Gibbs, y se sabe que siempre estará presete alrededor de los putos de discotiuidad de tipo salto, para ua SF trucada que aproxime ua señal co estas características. Además, es bie coocido que, coforme el úmero de armóicas cosideradas tiede a ifiito, el valor máximo del sobrepaso de las odulacioes tiede a ser el 8.949% de la magitud de la discotiuidad implicada. Ua prueba elegate de lo aterior puede verse e la referecia [3], que se basa ampliamete e la referecia [4]. La seguda señal, mostrada e la figura 13, es ua oda diete de sierra que tiee u periodo 5 ms y se emplea 500 muestras/periodo para fies de su procesamieto co el SIACSS. E las figuras 14 y 15 se muestra respectivamete las aproximacioes para cico y treita armóicas e la SF asociada. Fig 13. Oda diete de sierra para procesar co el SIACSS 15

16 Fig 14. Aproximació de la señal de la figura 13 cuado se emplea ua SF trucada a cico armóicas. Fig 15. Aproximació de la señal de la figura 13 cuado se emplea ua SF trucada a treita armóicas. 16

17 Nótese que dado que la señal de la figura 13 o preseta discotiuidades, el feómeo de Gibbs o está presete e las SF que aproxima a esta señal mostradas e las figuras 14 y rabajo para el estudiate Empleado la IU_SIACSS, el trabajo para el alumo podría ser: 1. Empleado la IU_SIACSS, especificar la forma del periodo básico propio de ua determiada señal periódica. La señal e cuestió podría ser defiida por el propio estudiate, o bie, por el profesor del laboratorio.. Empleado la IU_SIACSS, obteer ua aproximació de la señal defiida e el paso aterior, empleado para ello ua SF trucada a u determiado úmero de armóicas. 3. Apreciar e la patalla virtual de la IU_SIACSS que ta buea o mala es la aproximació. 4. Repetir el paso dos empleado ahora u úmero mayor de armóicas, y apreciar la mejora e la aproximació. 5. omar ota de los valores de los coeficietes de la SF y la SEF calculados por la IU_SIACSS. 6. Empleado las ecuacioes (4), (5), (9) y (19); corroborar los valores de los coeficietes capturados e el paso aterior. 7. Si se tiee dispoible la IH_SIACSS, bajar a ésta las señales origiales co las que se experimete e u mometo dado. Para su uso bajo la istacia que sea coveiete. 8. Si se tiee dispoible la IH_SIACSS, bajar a ésta las SF que aproxime a las señales origiales co las que se experimete e u mometo dado. Para su uso bajo la istacia que sea coveiete. 4. Equipo básico requerido para la realizació de esta práctica 1. Computadora PC co el software istalado que valida a la IU_SIACSS. Es deseable que dicha computadora tega puerto serie físico; si o es el caso, habría que emplear u adaptador USB - SERIE comercial.. Iterfaz de hardware del SIACSS (IH_SIACSS). 3. Osciloscopio 17

18 5. Referecias [1] C. L. Liu, Jae W. S., Liu, Liear Systems Aalysis. McGraw Hill, [] MAA, G. H., et al. Aálisis de sistemas y señales co cómputo avazado odos 1era edició México Facultad de Igeiería, UNAM, 00 [3] Documeto Gibbs_almira.pdf. Este documeto está basado ampliamete e el libro de texto. Matemáticas para la recuperació de señales Ver referecia [4]. [4] Almira J. M., Matemáticas para la recuperació de señales, Grupo Editorial Uiversitario, España 005. [5] Salvá A, Justificació de las expresioes para los coeficietes de ua Serie rigoométrica de Fourier empleado la teoría de máximos y míimos para fucioes de varias variables idepedietes. Documeto jus_coef_fourier.pdf 18