METODOS NUMERICOS CATEDRA 1 3. Ingeniería Civil ING.CRISTIANCASTROP. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
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- Jesús Salvador Piñeiro Sáez
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1 CATEDRA Fcultd de Igeierí de Mis Geologí y Civil Deprtmeto cdémico de igeierí de mis y civil METODOS NUMERICOS Igeierí Civil ING.CRISTIANCASTROP.
2 Cpitulo XIII Aproimció Fuciol & Iterpolció ING.CRISTIANCASTROP.
3 CNTENIDO... INTRODUCCIÓN... APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE... DIFERENCIAS DIVIDIDAS..4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON..5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS..6. ESTRUCTURA DEL POLINOMIO DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS HACIA ATRÁS DE GRADO EN..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA
4 ... INTRODUCCIÓN... INTRODUCCIÓN E el cmpo de l mtemátic plicd es de gr importci l mer como determir u ució o ucioes prtir de u cojuto de dtos discretos i.e. putos tbuldos situció que siempre se eret culquier ivestigdor pr decir geerlmete u Igeiero siempre tiee l rete est problemátic eómeo que será el objetivo de este ítem. Pues es comú ecotrr dtos co vlores discretos y si embrgo osotros queremos ecotrr vlores etre estos putos discretos y esto es lo que lo llmmos juste de curvs y geerlmete se us el procedimieto de míimos cudrdos. Cudo eiste u cojuto de dtos muy precisos e este cso se us lo que se llm iterpolció. 4
5 ... INTRODUCCIÓN Ls ucioes de proimció geerlmete es obteid por combició liel de ucioes elemetles que tom l orm de: E dode: g g... g g : i i : So costtes que desemos ecotrr i=... g i : So ucioes elemetles especíics i=... 5
6 ... INTRODUCCIÓN Ejemplo:.g i : Puede ser l mili de moomios e luego teemos l combició liel: p :... i... i.... L mili de ucioes elemetles de Fourier e ució de secosse cos se cos.. L combició liel que geer proimcioes de l orm: i cos i bi se i i i 6
7 ... INTRODUCCIÓN Observció:. De ls tres milis observds podemos decir que l primer es l más utilizd y l más secill e su mejo.. Qué buscmos e est uidd? Buscmos u ució prtir de u tbulció uciol : Puto... Vrible... Fució... 7
8 ... INTRODUCCIÓN Es decir queremos proimr por medio de l mili elemetl de moomios es decir p i i... i... que se puede relizr por medio de los siguietes criterios: Ajuste ecto Míimos cudrdos 8
9 ... INTRODUCCIÓN Ajuste Ecto: Cosiste e determir u ució poliomil que pse por los putos proporciodos tubulrmete. Esto es: 9
10 ... INTRODUCCIÓN Míimos Cudrdos: Cosiste e determir u ució poliomil que pse por los putos y que cumpl l codició de miimizr l sum de ls desvicioes d i elevdos l cudrdo. i.e.; d i = míimo i Ecotrdo el poliomio de proimció podemos utilizrlo pr determir otros putos que o está e l tbl medite u evlució eómeo que se llm Iterpolció sí mismo se puede derivr o itegrr co l ilidd de buscr lgu otr iormció diciol de l ució tbulr. :
11 ... APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL Podemos decir que l iterpolció liel es el eje pr mucos métodos uméricos y de gr relevci e l igeierí puesto que u gr iormció se ecuetr e su orm tbulr como veremos más delte y es usdo por u diversidd de métodos uméricos por ejemplo si itegrmos este método tedremos el método de itegrció trpezoidl. E qué cosiste este método? Supogmos que teemos los siguietes cudros: :
12 ... APROXIMACIÓN POLINOMIAL Cudro SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL Putos X 5 4 Cudro Putos 56 -? 8 4 X 5 4 Cudro
13 ... APROXIMACIÓN POLINOMIAL Cudro SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL Supogmos por u istte que sólo se dispoe del cudro y que queremos el vlor de l vrible y= cudo tiee u vlor de uiddes. U mer muy comú es cosiderr l ecució de u líe rect sí: y sustituirlos vlores de los putos y obteiedo dos ecucioes p co vribles y Puto = 56; puto : 5;
14 ... APROXIMACIÓN POLINOMIAL Cudro SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL Luego l ecució de l ució liel: p = Est ecució puede ser usdo pr clculr cudo =
15 ... APROXIMACIÓN POLINOMIAL Cudro SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL Observció: Si queremos u mejor proimció pr uestr ució deberímos cosiderr otro puto más y tedremos: p E geerl tedremos l siguiete proimció poliomil. p i... i... 5
16 ... APROXIMACIÓN POLINOMIAL Cudro SIMPLE E INTERPOLACIÓN LINEAL POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON E est oportuidd presetremos los poliomios de llmdos de Newto como previos l proceso recursivo p ;p ;p ;...; p e dode cd p k se obtiee simplemete ñdiedo u térmio p k- y l il del proceso p se ecuetr ormdo por u sum de térmios 6
17 ... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE Cometrios: El método terior tiee su puto débil e l proimció ect l relizr l iterpolció pues se teí que solucior u sistem de ecucioes que su orde depedí de l ectitud de l proimció co l ilidd de slvr estos icoveietes surge otros métodos de proimció poliomil que relice cálculos directos si desrrollr tles sistems de ecucioes que evuelve ciert diicultd e su solució. Etre estos métodos tedremos l proimció poliomil de LGrge. El método que cosiste e: 7
18 ... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE Primero: Supogmos u ució descoocid dd e orm tbulr y se sume u poliomio de primer grdo es decir u líe rect el cul se puede escribir de l siguiete mer:. Supogmos que l ecució de u rect se escribe sí: P 8
19 E dode: : So vlores de l ució e putos coocidos [ ] [ ] : Coeicietes por determir y lo ecotrmos ciedo ls cosidercioes siguietes: Determido pr ello cosidermos Determido pr ello cemos: 9... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE P P P P
20 Luego:. Supogmos u poliomio de segudo grdo... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE L L P P P P
21 E dode: so los vlores de los putos coocidos [ ] [ ] [ ] Si Si Si... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE P P P
22 Luego: E dode:. Podemos supoer u poliomio de grdo :... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE L L L P ; ; L L L i i L L L L P
23 E dode: Que e geerl el poliomio se puede escribir: poliomio LGrge... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE i i i i i i i i i i i L L L i i i L P
24 ... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE E dode: L i j i j ji j L proimció poliomil de LGrge es l combició liel de i y de los coeicietes L i X. 4
25 ... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE Ejemplo: Supogmos que teemos l ució tbulr i FX i X i 6 Determir l proimció poliomil de LGrge usdo todos los putos b Determir el vlor proimdo de pr =. 5
26 Solució: Debemos destcr que l tbl preset cutro putos lo que iduce l eisteci de u poliomio de tercer orde 6... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE L L L L L L L L P L L L L P
27 ... POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE LAGRANGE Operdo teemos: P 46 5 El vlor proimdo de l ució cudo = P
28 ... DIFERENCIAS DIVIDIDAS Así como podemos proimr u ució medite l proimció poliomil de LGrge tmbié podemos proimr l derivd y l itegrl de u ució co dierecis dividids. L derivd y l itegrl respectivmete el poliomio de iterpolció que e relidd es el pricipio básico pr l dierecició e itegrció de los métodos uméricos. Supogmos u ució co derivd e el puto líticmete est ddo por: lim ' 8
29 ... DIFERENCIAS DIVIDIDAS Pero cudo l ució es dd de mer tbulr se tiee. Puto... i i i
30 L derivd sólo puede obteerse de mer proimd por ejemplo si se dese clculr l derivd de e el puto tl que < < Esto se determi sí: L epresió de l derec se llm primer diereci dividid de respecto los vlores de y yse deot geerlmete [ ] esto es... DIFERENCIAS DIVIDIDAS '
31 ... DIFERENCIAS DIVIDIDAS Observció:. Se debe destcr que l relció etre l primer diereci dividid y l primer derivd est dd por el teorem del vlor medio. ' c c Siempre que cumpl co ls codicioes del teorem del vlor medio.. Podemos geerlizr pr u orde más lto e dode el rgumeto es se llm diereci dividid de orde cero:
32 i.e... DIFERENCIAS DIVIDIDAS i i i i Tercero Segudo Primero
33 ... DIFERENCIAS DIVIDIDAS Observció: Pr ormr l epresió se requiere i + putos. El umerdor es l rect de dos dierecis de orde i. El deomidor es l rect de los rgumetos o comues e el umerdor. Ejemplo: Supogmos que teemos l siguiete iormció Putos
34 Obteido del poliomio L primer diereci dividid e los putos y L segud diereci dividid pr y 4... DIFERENCIAS DIVIDIDAS `
35 ... DIFERENCIAS DIVIDIDAS De est mer costruimos l tbl de dierecis dividids Putos X º orde º orde º rde 4º orde
36 ... DIFERENCIAS DIVIDIDAS Observemos que: Tods ls dierecis dividids de tercer orde tiee el mismo vlor idepediete del vlor de ls que se use pr clculrse. Ls dierecis de curto orde todos tiee el vlor de cero lo que tiee iidd co el criterio que l derivd de tercer orde es u costte y l de curto orde es cero pr culquier vlor de. El rzomieto terior os iduce decir que si l costruir u tbl de dierecis dividids e lgu colum el vlor es costte y l siguiete colum es cero l iormció proviee de u poliomio de grdo igul l orde de ls dierecis que teg vlores costtes. 6
37 El rzomieto terior os iduce irmr que uestro poliomio es de grdo es decir mi poliomio será: E uestro ejemplo se tiee: DIFERENCIAS DIVIDIDAS p k j j k k p 5 8 p p
38 ..4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON Supogmos que teemos u ució tbulr y que queremos proimr medite u poliomio de primer grdo:. Aproimció por u Poliomio de Primer Grdo APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON i i i Putos P
39 E dode: : Es l bscis del puto : Costtes por determir Si Cosecuetemete tedremos: APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON P P P P
40 ..4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON. Aproimció por u Poliomio de Segudo Grdo P E dode: : So ls bsciss de los putos y : Costtes que debemos ecotrr Si: 4
41 4..4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON P P P
42 Luego teemos: GENERALIZACIÓN E dode: : So ls bsciss de los putos : So coeicietes por determir y está ddos por APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON P P ;...; ; ;
43 Esto es tedremos l siguiete proimció poliomil Poliomio de proimció de Newto APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON P i j i j j P
44 ..4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON Ejemplo: Determir l proimció poliomil de Newto pr l iormció tbulr e iterpolr pr = DIFERENCIAS DIVIDIDAS Dierecis dividids Puto X [] º dividid º dividid º dividid s
45 i.e Observció: APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON P P P P P
46 ..4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON i.e P Pero: Si = 56; 4.; ; P P
47 ..4. APROXIMACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON Ejemplo. Clculr l tbl de dierecis dividids iits co los siguietes dtos: Y utilizr l iormció de dic tbl pr costruir el poliomio de iterpolció de Newto. Solució. 47
48 ..5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS Supogmos que l distci etre dos rgumetos bsciss cosecutivs culquier es igul e tod l ució tbulr y se. El poliomio de proimció de Newto se puede escribir de mer más simple pr uestro propósito cosideremos otro puto S; deiido por: s : Es el vlor que se quiere iterpolr. Pero:... i i i... 48
49 Que ocurre si restmos i e mbos miembros Si cosidermos el desrrollo geerl del poliomio de Newto i.e.: POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS ;... ; ; ;... ; s s s s i Pr i s i s i s i i P s s s s s s s s s s s s s P
50 ..5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS O P s i k k k k i Observemos que l últim relció de proimció se puede simpliicr si cemos igresr los operdores lieles y coocidos como: : Operdor liel e dierecis ci delte : Operdor liel e dierecis ci trás E dode Primer Diereci 5
51 L segud diereci L tercer diereci E geerl: POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS i i
52 De mer álog pr el operdor liel de diereci ci trás Primer Diereci Segud Diereci E geerl: POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS i i
53 Que ocurre si plicmos l primer vlor uciol [ ] de u tbl proporciod POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS! : pr Pr ie
54 ..5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS E geerl:...! De mer álog pr el operdor de dierecis ci trás...! Cosecuetemete l sustituir... i... s s s s s... s P s!! Es coocido como el poliomio de Newto e diereci iit ci delte. e s... 54
55 ..5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS Ejemplo: Supogmos que tiee ls siguietes tbulcioes: Putos Aproimr l ució tbuld usdo el poliomio de Newto e dierecis iits ci delte e iterpole pr 64 Solució E este cojuto de dtos teemos que = el vlor por iterpolres 64 El vlor de s es s S.4 55
56 PARA UN POLINOMIO DE PRIMER ORDEN Pr = E dode POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS s P Puto i i i i i i
57 ..5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS Es preciso destcr que e relidd se est etrpoldo pues el vlor de qued uer del itervlo de los putos que se us pr ormr el poliomio de proimció. Debemos observr que el poliomio de proimció descrit e ue estructurdo cosiderdo como pivote y luego si queremos plicr pr los putos y debemos modiicr sí: s s s s... s P i!! s s... s P s
58 ..5. POLINOMIO DE APROXIMACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS: HACIA DELANTE HACIA ATRÁS Debemos resltr que si desemos proimr co u poliomio de segudo grdo se requiere tres putos tedrímos dos ltertivs tomr como putos y ó y e este cso tomrí l primer serie por que el vlor iterpolr está más l cetro luego tedrímos: P P s s s! ! ;.77 s
59 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA E los ítems teriores pr iterpolr etre + putos se usro poliomios de grdo pr decir pr u cojuto de 8 putos se puede obteer u poliomio de grdo 7 precerá que se llevb todo correctmete pero si embrgo se teí resultdos erróeos como errores de redodeo y los putos lejos. U ltertiv pr mitigr estos errores ue pesr cosiderr poliomios de grdo ierior e subcojuto de dtos y tles poliomios se llmr ucioes segmetris. 59
60 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Por ejemplo ls curvs de tercer grdo usds pr uir cd pr de putos se llm segmetris cubics. Tles ucioes d se puede costruir de tl mer que ls coeioes etre ls ecucioes cubics dycetes se suves precier que ls proimcioes de tercer grdo de ls segmetris seri ierior l proimció de séptimo grdo. Vemos lguos gráicos que ilustr mejor l ide. 6
61 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA. Cso Cso b Cso c Cso d 6
62 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA E deiitiv ls igurs plsm mejor l ide de l proimció segmetri ls igurs de st c represet ls oscilcioes de u ució suve Debemos destcr que est proimció tmbié se le llm proimció splie e igles pr dibujr curvs suves trvés de u cojuto de putos. 6
63 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA LINEAL L uió ms simple etre dos putos es u rect ls segmetris de primer grdo pr u grupo de dtos ordedos se deie como u cojuto de ucioes lieles. 6
64 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA De dode l pediete m i de l líe rect que ue los putos. Est relció se us pr evlur l ució de culquier puto etre y Ejemplo Ddo el siguiete cojuto de dtos Ajuste co segmetrs de primer orde y evlué l ució e =
65 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Solució Primero. Usr los dtos pr determir ls pedietes etre los putos Pr decir e el itervlo [4.5 7] l pediete clculmos usdo el modelo pltedo. El vlor e =5 es.. 65
66 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA. Segmetri de primer orde Segmetri de Segudo orde Segmetri de Tercer orde Iterpolcio cubic 66
67 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA CUADRÁTICA E est oportuidd el objetivo de ls segmetris cudrátic es obteer u poliomio de segudo grdo pr cd itervlo e el cojuto de dtos e Geerl el poliomio e cd itervlo se represet sí 67
68 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA E dode b y c so tres costtes descoocids y se requiere tres ecucioes e el cso que se teg + dtos eiste itervlos y por cd itervlo se requiere tres ecucioes es decir se debe teer e cosiderció los siguietes criterios.. Los vlores de l ució de poliomios dycetes debe de ser gules e los odos iteriores est codició lo represetmos de l siguiete mer. 68
69 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Pr i= como solo se emple dos odos iteriores cd ecució proporcio - codicioes e totl -.. L primer y l ultim ució debe de psr trvés de los putos etremos esto greg dos ecucioes ms 69
70 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA. Ls primers derivds e los odos iteriores debe de ser igules es decir E cosecueci e geerl teemos pr i= esto proporcio otrs - codicioes. 4. Supog que e el primer puto de l derivd es cero est codició se represet sí =. Esto quiere decir que los dos primeros putos se uirá co u líe rect. 7
71 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Ejemplo. Cosiderdo el cojuto de dtos Ajuste usdo segmetris de segudo grdo y estime el vlor de =5 Solució E este problem teemos cutro dtos y = itervlos por lo tto =9 icógits que debe de determirse cosider ls dos codicioes del primer criterio es decir -=4 codicioes 7
72 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Evludo ls dos codicioes del segudo criterio se tiee ecucioes 7
73 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA A seguir cosidermos l cotiuidd de ls derivds l cul cre -= ecucioes esto del tercer criterio. Por ultimo cosidermos el curto criterio que determi que = como est relció os dice de mer ect que tiee como vlor cero etoces se reduce determir oco ecucioes simultes. 7
74 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Este sistem se puede resolver usdo culquier técic lizdo y teemos: = b =- c =5.5 =.64 b =-6.76 c =8.465 =-.6 b =4.6 c =-9. 74
75 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Cosecuetemete teemos ls siguietes relcioes pr cd itervlo. Como =5 usmos pr determir su proimció 75
76 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA INTERPOLACIÓN POR SEGMENTARÍAS CUBICAS E est oportuidd teemos como objetivo de ecotrr u poliomio de iterpolció de tercer grdo pr cd itervlo etre los odos. Pr + dtos eiste itervlos e cosecueci 4 icógits que debemos evlur requiriédose 4 codicioes pr evlur. Ls cules se obtiee de ls siguietes cosidercioes: Los vlores de l ució debe de ser igules e los odos iteriores - codicioes 76
77 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA L primer y l ultim ució debe psr trvés de los putos etremos codicioes Ls primers derivds e los putos iteriores debe de ser gules - codicioes Ls seguds derivds e los odos iteriores debe de ser igules - codicioes Ls seguds derivds e los odos etremos so ceros codicioes est codició dice que l ució e los etremos se vuelve e u líe rect lo que iduce que se le llme segmetr turl o liel. 77
78 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Ls cico codicioes teriores permite obteer 4 ecucioes requerids pr obteer los 4 coeicietes. Pr determir ls ecucioes de l segmetri cubic teemos l siguiete relció vlid pr cd itervlo. 78
79 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Est ecució solo cotiee dos icógits ls seguds derivds e los etremos de cd itervlo. Ls icógits se evlú usdo l siguiete relció. Si escribimos est relció pr todos los odos iteriores result - ecucioes simultáes co - icógits. No debemos olvidr que ls seguds derivds e los putos etremos so ceros. 79
80 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Ejemplo. Cosiderdo el cojuto de dtos Ajuste usdo segmetris de tercer grdo y estime el vlor de =5 Solució Primero: Usremos l ultim relció co l ilidd de obteer u cojuto de ecucioes pr ls seguds derivds e los odos. 8
81 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA pero como por ser segmetri turl De mer álog se plic l segudo puto iterior y obteemos Ests dos ecucioes se resuelve simultáemete teemos y 8
82 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Vlores que será sustituidos e & juto co los vlores de ls y ls Est ecució es l segmetri cubic pr el primer itervlo de igul mer se obtiee pr el segudo y tercer itervlo 8
83 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA O Ls tres ecucioes se puede usr pr clculr vlores detro de cd itervlo. Por ejemplo =5 se ecuetr detro del segudo itervlo se clcul como sigue 8
84 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA EJERCICIOS Y APLICACIONES SOBRE INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN FUNCIONAL Determie el poliomio que iterpol los siguietes cojutos de dtos: Primer grdo segudo grdo tercer grdo y curto grdo. I 4 i i I 4 i 5 5 i 4 /7/5 84
85 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA. I 4 i i 5 5 I 4 i - 4 i 6 9 I i 7 i 5 - I i 46 i 7 85
86 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA. I i 46 i 7 I i 5 55 i 7 86
87 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA II Ecuetre u poliomio de Iterpolció de Lgrge Dierecis Dividids y Newto. I i -4 5 i I i 7 8 i 87
88 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA II Ecuetre u poliomio de Iterpolció de LGrge Dierecis Dividids y Newto. I i - i - I i 5 i 88
89 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA III Determir l iterpolció e los putos ddos usdo los dos poliomios : Pr el cso X= -; X =.5; X =.: X=.5; X= 4 Pr el cso bx= -; X =.5; X =.: X=.5; X= 4 Pr el cso cx= -; X =.5; X =.: X=.5; X= IV: Solucior ls siguietes problemátics.- Se cooce que l desidd del crboto eutro de potsio e solució cuos vri e tempertur y e su cocetrció de cuerdo l siguiete ivestigció: /7/5 89
90 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA. TºC c%
91 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Clculr l desidd 4ºC y 5% de cocetrció b Clculr l desidd 5º Cy 8% de cocetrció c Clculr l cocetrció que tiee u solució de desidd.9 u tempertur 6ºC.- Supogmos que se tiee u cojuto de dtos dode e represet los voltios y p los kilowtios e u curv de pérdid e el úcleo pr u motor eléctrico: Costruir u tbl de dierecis dividids b Usdo el poliomio de Newto de segudo grdo proime el vlor correspodiete e = 9 voltios. 9
92 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA. I E P Se tiee los siguietes dtos tbuldos Putos = l/r y = p/
93 ..7. APROXIMACIÓN POLINOMIAL SEGMENTARIA Dode y = p/ es l crg e lb/pul que cus l ruptur de u colum de ierro dulce co etremos redodedos y es l rzó de l logitud de l colum l míimo rdio de giro e su secció trsversl = l/r Determir el poliomio de tercer grdo que ps por estos putos e sus distits orms p Aproimció poliomil simple b Formul de LGrge c Aproimció de Newto y Dierecis Dividids. 9
94 Mucs Grcis
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Ejemplo: 5. Cambio de base: Ejemplo: No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo.
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FORMULARIO PSU He preprdo este formulrio como u últim ctividd pr relizr tes de efretr l Prueb de Selecció Uiversitri P.S.U. E él se ecuetr l myorí de ls fórmuls utilizr e l Prueb y pr u myor compresió