QUÉ BACHILLERATO ES EL MEJOR PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES?

Transcripción

1 QUÉ BACHILLERATO ES EL MEJOR PARA EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES? Álvarez Martínez, Pedro Corcho Sánchez, Paula Guerrero Manzano, Mª del Mar Facultad de Ciencias. Económicas y Empresariales Universidad de Extremadura Avda. de Elvas s/n Badajoz palvarez@unex.es, pcorcho@unex.es y marguerm@unex.es ABSTRACT: En los últimos años los profesores de Matemáticas de las Facultades de CC. EE y Empresariales (LADE, LE,...) venimos observando una discordancia entre los niveles de Matemáticas exigidos en estas titulaciones y la formación matemática que han adquirido estos alumnos en los centros de Enseñanza de Secundaria. La existencia de tres tipos de bachilleratos (CC. Sociales, CC. de la Naturaleza y de la Salud, y Tecnológico) suscita el interrogante de cuál de ellos es el más idóneo para cursar estudios universitarios en las ramas de economía. Los contenidos de las matemáticas de los tres Bachilleratos que se imparten en la Comunidad Autónoma de Extremadura, recogidos en el decreto 86/2002, sirven de base para analizar el impacto de los mencionados contenidos con los del programa de Matemáticas impartido en la Facultad de CC EE y Empresariales de la Uex, considerando el término impacto como la coincidencia de ambos contenidos. Este trabajo muestra que el Bachillerato de mayor impacto es el de CC. De la Naturaleza y de la Salud, seguido del de CC. Sociales y por último el Tecnológico. Palabras clave: Bachillerato, Ciencias Económicas y Empresa, Comparación, Contenidos, Matemáticas.

2 1. INTRODUCCIÓN La adquisición de conocimientos matemáticos es un proceso lento, laborioso, cuyo comienzo debe ser una prolongada actividad sobre elementos concretos, con objeto de crear intuiciones que son un proceso previo al proceso de formalización. Este proceso, de carácter continuado, se lleva a cabo en todas las etapas educativas. El estudio de las matemáticas se inicia en Primaria, y se continúa en algunas modalidades de Secundaria, y posteriormente, en algunas carreras universitarias. En este trabajo vamos a analizar la relación existente entre los contenidos matemáticos del bachillerato con los contenidos de Matemáticas en las titulaciones vinculadas a la Economía en el ámbito de la Comunidad Autónoma extremeña. La etapa del bachillerato comprende el intervalo de edad entre los 16 y los 18 años, por lo general coincidente con el final de la adolescencia y el tránsito a la juventud, que permite encauzar los gustos y los intereses de cada alumno con una adecuada orientación. Como etapa educativa que forma parte de la educación secundaria, el bachillerato requiere una conexión con la Educación Secundaria Obligatoria (E.S.O). que le precede, y, al mismo tiempo, culminar el proceso formativo de los jóvenes para afrontar los retos académicos y profesionales de una sociedad en continua evolución. En la E.S.O. los alumnos se han aproximado a varios campos del conocimiento matemático que cuando accedan al Bachillerato están en condiciones de asentar y utilizar. Ésta será la base sobre la que se apoyará el desarrollo de capacidades tan importantes como la abstracción, la de razonamiento en todas sus vertientes, la de resolución de problemas de cualquier tipo, la de investigación y la de analizar y comprender la realidad. Es pues el momento, al acabar este ciclo, de introducir el conocimiento de nuevas herramientas matemáticas necesarias para el aprendizaje científico que el alumno necesita en el bachillerato y para sus posteriores estudios técnicos o científicos. Las Matemáticas en bachillerato desempeñan un triple papel: - instrumental - formativo y - de fundamentación teórica En su papel instrumental, proporcionan técnicas y estrategias básicas, tanto para otras materias de estudio como la actividad profesional. Es preciso pues, atender a esta dimensión, proporcionando a los alumnos instrumentos matemáticos básicos a la vez que versátiles y adaptables a diferentes contextos y a necesidades cambiantes. En su papel formativo, las Matemáticas contribuyen a la mejora de estructuras mentales y a la adquisición de aptitudes cuya utilidad y alcance trasciende el ámbito de las propias Matemáticas. En particular, forman al alumno en la resolución de problemas cuya dificultad está en encuadrarlos y en establecer una estrategia de resolución adecuada, generando en él actitudes y hábitos de investigación, a la vez que proporcionándoles técnicas útiles para enfrentarse a situaciones nuevas. El conocimiento matemático en el bachillerato debe tener un cierto respaldo teórico. Las definiciones, demostraciones y los encadenamientos conceptuales y lógicos,

3 en tanto que dan validez a las intuiciones y confieren solidez y sentido a las técnicas aplicadas, deben ser introducidos en estas asignaturas. Sin embargo, éste es el primer momento en que el alumno se enfrenta con cierta seriedad a la fundamentación teórica de las Matemáticas, y el aprendizaje por tanto, debe ser equilibrado y gradual. El Bachillerato tiene cuatro modalidades diferentes, que se han establecido para atender tanto a la diversidad de estudios posteriores como a la variedad de intereses, capacidades y actitudes que poseen los jóvenes de estas edades. Las cuatro modalidades son las siguientes: Artes Ciencias de la Naturaleza y de la Salud Humanidades y Ciencias Sociales Tecnología Dentro de las modalidades hay opciones, y en algunos casos la opción permite la elección alternativa entre dos asignaturas. El conjunto de asignaturas de los diversos tipos que el alumno cursa constituye su itinerario propio. Los centros ofrecen, normalmente, un número elevado de itinerarios como combinaciones razonables del conjunto de asignaturas que en ellos se imparten. Las materias que se cursan en cada una de las modalidades son de tres tipos: o Materias Comunes: Para todos los alumnos con independencia de la modalidad elegida. Pretenden contribuir a la formación general del alumnado. o Materias Propias: Caracterizan a cada una de las modalidades establecidas y contribuyen por ello, a conseguir que el alumno obtenga una formación específica ligada a la modalidad elegida. Dada su importancia, el alumno ha de cursar necesariamente, seis materias propias. o Materias optativas: Amplían la posibilidad de elección del alumno que ha de cursar, obligatoriamente una materia optativa en primero y dos en segundo. Todo lo expuesto anteriormente justifica la importancia que tiene el bachillerato en el proceso educativo, y en futuro profesional de los jóvenes. Dentro de éste, de las cuatro modalidades existentes, las Matemáticas aparecen en tres de ellas: Ciencias de la Naturaleza y la Salud, Ciencias Sociales y Tecnológico. Por lo tanto, la asignatura de Matemáticas tiene su relevancia en el bachillerato y en la formación universitaria. En las siguientes secciones, se va a efectuar la comparación entre las Matemáticas del bachillerato con las que se imparten en las Titulaciones en Economía y Empresa de la Universidad de Extremadura, para ver cuál de las modalidades del bachillerato es más idóneo para los alumnos que vayan a estudiar estas carreras.

4 Este trabajo tiene la siguiente estructura: la sección 2 presenta brevemente la regulación del bachillerato en Extremadura, describiendo las matemáticas impartidas en las respectivas modalidades. La sección 3 presenta los programas de Matemáticas de cada modalidad de bachillerato y los que se imparten en la Facultad de Ciencias Económicas y empresariales de la Universidad de Extremadura, comparándolos. Por último la sección 4 recoge las conclusiones del análisis realizado. 2. EL BACHILLERATO EN EXTREMADURA La Ley Orgánica 1/1983, de 25 de febrero, de Estatuto de Autonomía de Extremadura, en su artículo 12.1 establece que corresponde a la Comunidad Autónoma la competencia de desarrollo legislativo y ejecución de la enseñanza en toda su extensión, niveles y grados, modalidades y especialidades, de acuerdo con lo dispuesto en el artículo 27 de la Constitución y Leyes Orgánicas que conforme al apartado 1 del artículo 81 de la misma lo desarrollen, y sin perjuicio de las facultades que atribuye al Estado el número 30 del artículo 149, y de la Alta Inspección para su cumplimiento y garantía. El artículo cuarto de la Ley Orgánica 1/1990 de 3 de octubre, de Ordenación General del Sistema Educativo establece que los objetivos, contenidos, métodos pedagógicos y criterios de evaluación de cada uno de los niveles, etapas, ciclos, grados y modalidades en los que se organiza la práctica educativa, constituyen elementos integrantes del currículo. Dispone también que corresponde al Gobierno fijar los aspectos básicos del currículo que constituirán las enseñanzas mínimas para todo el Estado, mientras que corresponde a las administraciones educativas competentes establecer el currículo del que formarán parte, en todo caso, las enseñanzas mínimas. El bachillerato, de acuerdo con lo establecido en el Título I, Capítulo III de la Ley Orgánica 1/1990, forma parte de la educación secundaria, junto a la etapa de secundaria obligatoria y la formación profesional específica. En desarrollo de la Sección Segunda del Capítulo III, Título Primero de la citada Ley Orgánica, el Real Decreto 1.700/1991, de 29 de noviembre, determina la estructura del bachillerato, mientras que, por su parte, el Real Decreto 1.178/1992, de 2 de octubre, establece las enseñanzas mínimas del bachillerato, señalando en su artículo 5º la responsabilidad de las administraciones educativas competentes en el establecimiento del currículo, y en su artículo 11º la responsabilidad de establecer las materias optativas y su número. El Real Decreto 3.474/2000, de 29 de diciembre, ha modificado el Real Decreto 1.700/1991, de 29 de noviembre, relativo a la estructura del bachillerato, y el Real Decreto 1.178/1992, de 2 de octubre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas del bachillerato. Por otra parte, el Artículo 12 del Estatuto de Autonomía de Extremadura asigna a la comunidad autónoma la competencia de desarrollo legislativo y ejecución de la enseñanza en toda su extensión, niveles y grados, modalidades y especialidades. En vista de todo lo expuesto, una vez traspasadas a la Comunidad Autónoma de Extremadura, funciones y servicios en materia de enseñanza no universitaria, por Real Decreto 1.801/1999, de 26 de noviembre, procede establecer el currículo y demás elementos relativos a la estructura del bachillerato, al que deberán ajustar sus enseñanzas todos los centros educativos de la Comunidad Autónoma de Extremadura que impartan esta etapa educativa.

5 El modelo educativo que plantea la Junta de Extremadura se basa en un desarrollo adecuado de las enseñanzas reguladas en la L.O.G.S.E., adaptado a las peculiaridades de nuestra comunidad autónoma. El bachillerato se estructura atendiendo a diferentes ámbitos de saber y de profesionalización en las cuatro modalidades ya comentadas: Artes, Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, Humanidades y Ciencias Sociales y Tecnología. Centrándonos en la asignatura de Matemáticas, vamos a ubicarla dentro de cada modalidad. Así, en la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, aparecen las matemáticas como materias propias en: a.- Primer curso: Matemáticas I b.- Segundo curso: - Opción de Ciencias e Ingeniería: Matemáticas II - Opción de Ciencias de la Salud: Matemáticas II. En la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales: a.- Primer curso: - Opción de Ciencias Sociales: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I. b.- Segundo curso: - Opción de Ciencias Sociales: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. - Opción de Ciencias Sociales, Administración y Gestión: Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II. En la modalidad de Tecnología: a.- Primer curso: Matemáticas I. b.- Segundo curso: - Opción de Ciencias e Ingeniería: Matemáticas II. En la modalidad de Artes no hay asignatura de matemáticas por lo que no la consideramos en nuestro estudio. Los contenidos de todas estas asignaturas corresponden a los campos de Aritmética y Álgebra y Análisis. Como nuestro objetivo es efectuar la comparación entre los contenidos de estas asignaturas, por modalidad, con la que se viene impartiendo en las titulaciones de carácter económico y empresarial en la Universidad de la misma Comunidad Autónoma, los resultados obtenidos nos proporcionarán información para ver si realmente el bachillerato recomendado 1 (Ciencias sociales) es el más idóneo para estudiar estas carreras. 3. COMPARACIÓN BACHILLERATO-TITULACIONES ECONÓMICAS

6 En las siguientes tablas 2 aparecen en la columna izquierda el programa de Matemáticas de cada modalidad de bachillerato, y en la columna derecha, aparece el programa de Matemáticas que se imparte en primer curso de las titulaciones relativas a Economía y Empresa. Tabla 1: CC. De la naturaleza y la Salud CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y DE LA SALUD. MATEMÁTICAS I y II I. ÁLGEBRA LINEAL - Matrices de números reales. Operaciones con matrices. - Rango de una matriz. Matriz inversa. Obtención por el método de Gauss. - Determinantes. Cálculo de determinantes. Propiedades. - Sistemas de ecuaciones lineales. Expresión matricial. - Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones (Méto de Gauss y Teorema de Rouché Frobenius). - Resolución e interpretación geométrica de inecuaciones primer y segundo grado. - Sucesiones numéricas. Límite de una sucesión. El número e. II. FUNCIONES - Funciones reales de variable real. Clasificación y características básicas. Dominio, recorrido, simetrías, periodicidad. Operaciones con funciones. Función inversa. - Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites en el infinito. Cálculo de límites sencillos. Asíntotas horizontales y verticales. - Continuidad de una función. Estudio de discontinuidades. - Derivabilidad de una función. Cálculo de derivadas. Propiedades de funciones derivables. Función derivada. - Crecimiento y decrecimiento de una función. Optimización. Máximos y mínimos. FACULTAD CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES I. ÁLGEBRA. SUCESIONES Y SERIES - Matrices: Concepto, clasificación, operaciones con matrices. Determinantes: Concepto y propiedades. Cálculo simplificado. Dependencia e independencia lineal. Matriz ortogonal. - Sistemas de ecuaciones lineales: Concepto y cálculo de rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales: discusión, teorema de Rouché-Frobenius y resolución. Sistemas lineales homogéneos. Inecuaciones: Sistemas de inecuaciones. Conjuntos convexos. - Diagonalización de matrices: Matrices semejantes. Valores y vectores propios. Propiedades. Diagonalización de matrices cuadradas. - Formas cuadráticas. Concepto y clasificación. Signo. Diagonalización de las formas cuadráticas. - Sucesiones de números reales. Concepto. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Límite de una sucesión de números reales. Sucesiones convergentes y divergentes. Infinitésimos e infinitos. El número e. - Series numéricas. Concepto. Condición necesaria suficiente de convergencia. Series de términos positiv series alternadas. Suma de series. II FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES - Función real de variable real. Límites y continuidad: Funciones reales de una variable real. Dominio. Límite de una función: límites laterales. Funciones continuas: requisitos y clases de discontinuidad. Funciones reales de varias variables reales. Dominio. Superficies y curvas de nivel. Límites y continuidad. - Cálculo diferencial de una y varias variables: Concepto e interpretación de la derivada. Tasa de variación. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivadas de orden superior. Elasticidad. Continuidad y derivabilidad. Diferencial, reglas de diferenciación. Regla de L'Hopital. Derivadas parciales. Interpretación gráfica. Diferenciales. Gradiente. - Desarrollos de Taylor: Series de potencias. Teorema de Taylor, desarrollos y aplicaciones. - Optimización: Definiciones básicas: máximos y mínimos. - Cálculo de máximos y mínimos absolutos y relativos.

7 Funciones convexas y cóncavas. Puntos de inflexión. Máximos y mínimos de funciones de varias variables independientes. Condiciones necesarias y suficientes. Extremos condicionados: condiciones necesarias y suficientes. Método de los multiplicadores de Lagrange. - Funciones compuestas, implícitas y homogéneas: Definiciones y propiedades. Derivadas y diferenciales de funciones compuestas y de funciones implícitas. Funciones homogéneas: Teorema de Euler. - Primitiva de una función. Cálculo de integrales indefinid- Cálculo integral. Definición de integral indefinida, inmediatas por cambio de variable, por partes o p Funciones primitivas y métodos de integración. métodos sencillos. Definición de integral definida, propiedades, teorema - Integrales definidas. Regla de Barrow. Cálculo de fundamental del cálculo y reglas de integración. áreas de regiones planas. Integrales impropias. Integración múltiple. III. DINÁMICA ECONÓMICA - Ecuaciones diferenciales. Concepto. Clases de ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio. - Ecuaciones en diferencias finitas. Concepto. Clases de ecuaciones en diferencias finitas. Métodos de resolución. Sistemas de ecuaciones lineales en diferencias. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio. Tabla 2: Tecnológico TECNOLÓGICO. MATEMÁTICAS I y II I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA - Sistemas de ecuaciones lineales con más de dos incógnitas. Método de Gauss. - Resolución e interpretación geométrica de inecuaciones de primer y segundo grado. - Sucesiones numéricas. El número e. II. FUNCIONES FACULTAD CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES I. ÁLGEBRA. SUCESIONES Y SERIES - Matrices: Concepto, clasificación, operaciones con matrices. Determinantes: Concepto y propiedades. Cálculo simplificado. Dependencia e independencia lineal. Matriz ortogonal. - Sistemas de ecuaciones lineales: Concepto y cálculo de rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales: discusión, teorema de Rouché-Frobenius y resolución. Sistemas lineales homogéneos. Inecuaciones: Sistemas de inecuaciones. Conjuntos convexos. - Diagonalización de matrices: Matrices semejantes. Valores y vectores propios. Propiedades. Diagonalización de matrices cuadradas. - Formas cuadráticas. Concepto y clasificación. Signo. Diagonalización de las formas cuadráticas. - Sucesiones de números reales. Concepto. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Límite de una sucesión de números reales. Sucesiones convergentes y divergentes. Infinitésimos e infinitos. El número e. - Series numéricas. Concepto. Condición necesaria suficiente de convergencia. Series de términos positiv series alternadas. Suma de series. II FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES - Función real de variable real. Límites y continuidad:

8 - Funciones reales de variable real. Clasificación y características básicas. Dominio, recorrido, simetrías, periodicidad. Operaciones con funciones. Función inversa. - Límite de una función en un punto. Límites laterales. Límites en el infinito. Cálculo de límites sencillos. Asíntotas horizontales y verticales. - Continuidad de una función. Estudio de discontinuidades. - Derivada de una función en un punto. Aplicaciones geométricas y físicas. Función derivada. Introducción al cálculo de derivadas. - Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos. Funciones reales de una variable real. Dominio. Límite de una función: límites laterales. Funciones continuas: requisitos y clases de discontinuidad. Funciones reales de varias variables reales. Dominio. Superficies y curvas de nivel. Límites y continuidad. - Cálculo diferencial de una y varias variables: Concepto e interpretación de la derivada. Función derivada. Cálculo de derivadas. Tasa de variación. Derivadas de orden superior. Elasticidad. Continuidad y derivabilidad. Diferencial, reglas de diferenciación. Regla de L'Hopital. Derivadas parciales. Interpretación gráfica. Diferenciales. Gradiente. - Desarrollos de Taylor: Series de potencias. Teorema de Taylor, desarrollos y aplicaciones. - Optimización: Definiciones básicas: máximos y mínimos. Cálculo de máximos y mínimos absolutos y relativos. Funciones convexas y cóncavas. Puntos de inflexión. Máximos y mínimos de funciones de varias variables independientes. Condiciones necesarias y suficientes. Extremos condicionados: condiciones necesarias y suficientes. Método de los multiplicadores de Lagrange. - Funciones compuestas, implícitas y homogéneas: Definiciones y propiedades. Derivadas y diferenciales de funciones compuestas y de funciones implícitas. Funciones homogéneas: Teorema de Euler. - Cálculo integral. Definición de integral indefinida, Funciones primitivas y métodos de integración. Definición de integral definida, propiedades, teorema fundamental del cálculo y reglas de integración. Integrales impropias. Integración múltiple. III. DINÁMICA ECONÓMICA - Ecuaciones diferenciales. Concepto. Clases de ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio. - Ecuaciones en diferencias finitas. Concepto. Clases de ecuaciones en diferencias finitas. Métodos de resolución. Sistemas de ecuaciones lineales en diferencias. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio. Tabla 3: CC. Sociales MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I y II I. ÁLGEBRA - Las matrices como forma de representación de tablas y grafos. Clasificación. Operaciones con matrices. Matriz inversa. Obtención de matrices inversas sencillas por el método de Gauss. Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones matriciales sencillos. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en el contexto de problemas extraídos de la realidad. FACULTAD CC. ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES I. ÁLGEBRA. SUCESIONES Y SERIES - Matrices: Concepto, clasificación, operaciones con matrices. Matriz inversa. Determinantes: Concepto y propiedades. Cálculo simplificado. Dependencia e independencia lineal. Matriz ortogonal.

9 - Sistemas de ecuaciones lineales. Utilización del método Gauss en la discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales. Resolución de problemas con enunciados relativos a las Ciencias Sociales y a la Economía. - Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Iniciación a la programación lineal bidimensional por métodos gráficos. Aplicación de la programación lineal bidimensional a la resolución de problemas de contexto real. II. FUNCIONES Y GRÁFICAS. ANÁLISIS - Funciones reales de variable real. - Límite y continuidad de una función en un punto. Ideas intuitivas. - Tasa de variación media. Derivada de una función en un punto. Aproximación al concepto e interpretación geométrica como pendiente de una curva y como variación de una función. Cálculo de derivadas de funciones conocidas. - Aplicación del cálculo de derivadas elementales a problemas de optimización relacionados con las Ciencias Sociales y la Economía. - Sistemas de ecuaciones lineales: Concepto y cálculo de rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales: discusión, teorema de Rouché-Frobenius y resolución. Sistemas lineales homogéneos. Inecuaciones: Sistemas de inecuaciones. Conjuntos convexos. - Diagonalización de matrices: Matrices semejantes. Valores y vectores propios. Propiedades. Diagonalización de matrices cuadradas. - Formas cuadráticas. Concepto y clasificación. Signo. Diagonalización de las formas cuadráticas. - Sucesiones de números reales. Concepto. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Límite de una sucesión de números reales. Sucesiones convergentes y divergentes. Infinitésimos e infinitos. El número e. - Series numéricas. Concepto. Condición necesaria suficiente de convergencia. Series de términos positiv series alternadas. Suma de series. II FUNCIONES REALES DE VARIABLES REALES - Función real de variable real. Límites y continuidad: Funciones reales de una variable real. Dominio. Límite de una función: límites laterales. Funciones continuas: requisitos y clases de discontinuidad. Funciones reales de varias variables reales. Dominio. Superficies y curvas de nivel. Límites y continuidad. - Cálculo diferencial de una y varias variables: Concepto e interpretación de la derivada. Tasa de variación. Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivadas de orden superior. Elasticidad. Continuidad y derivabilidad. Diferencial, reglas de diferenciación. Regla de L'Hopital. Derivadas parciales. Interpretación gráfica. Diferenciales. Gradiente. - Desarrollos de Taylor: Series de potencias. Teorema de Taylor, desarrollos y aplicaciones. - Optimización: Definiciones básicas: máximos y mínimos. Cálculo de máximos y mínimos absolutos y relativos. Funciones convexas y cóncavas. Puntos de inflexión. Máximos y mínimos de funciones de varias variables independientes. Condiciones necesarias y suficientes. Extremos condicionados: condiciones necesarias y suficientes. Método de los multiplicadores de Lagrange. - Funciones compuestas, implícitas y homogéneas: Definiciones y propiedades. Derivadas y diferenciales de funciones compuestas y de funciones implícitas. Funciones homogéneas: Teorema de Euler. - Cálculo integral. Definición de integral indefinida, Funciones primitivas y métodos de integración. Definición de integral definida, propiedades, teorema fundamental del cálculo y reglas de integración.

10 Integrales impropias. Integración múltiple. III. DINÁMICA ECONÓMICA - Ecuaciones diferenciales. Concepto. Clases de ecuaciones diferenciales. Métodos de resolución. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio. - Ecuaciones en diferencias finitas. Concepto. Clases de ecuaciones en diferencias finitas. Métodos de resolución. Sistemas de ecuaciones lineales en diferencias. Soluciones. Estabilidad y Equilibrio. Analizado el contenido de estas tablas, se observa que la modalidad de Bachillerato 3 de mayor coincidencia para los posteriores estudios económicos y empresariales es el que corresponde al Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud. Gráficamente, estos resultados los podemos representar de la siguiente forma: GRÁFICO 1: CONTENIDO MATEMÁTICO DE LOS BACHILLERATOS CC. Naturaleza y la Salud CC. Sociales Tecnológico Artes El gráfico 1 hace referencia a la cuantificación de los contenidos matemáticos impartidos en cada modalidad de bachillerato. En él se observa que el bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud es el que mayor número de conocimientos matemáticos aporta al alumnado. GRAFICO 2: COINCIDENCIA DE LAS MATEMÁTICAS DEL BACHILLERATO CON LAS DE LADE Y LE 23% 32% 45% CC. Naturaleza y Salud CC. Sociales Tecnológico El gráfico 2 muestra que el bachillerato que posee mayor grado de coincidencia con las matemáticas que se imparten en las Licenciaturas (LE y LADE) es el de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, un 45%, es decir, cuando accedan a cualquiera de estas carreras, en la asignatura de Matemáticas, gran parte del programa ya lo conocen, con el consiguiente beneficio en su aprendizaje.

11 Le sigue en segundo lugar, el bachillerato de Ciencias Sociales con un 32%, lo cual sorprende en cuanto a que es la opción recomendada para estas titulaciones, y por último, la modalidad de bachillerato Tecnológico con un 23%. No se ha incluido el bachillerato en la modalidad de Artes, ya que en éste no se imparten matemáticas. 4. CONCLUSIONES La aportación de las matemáticas al área económico-empresarial le cataloga como una asignatura que presta su servicio a las disciplinas que componen el mencionado área 4. Esta contribución ha experimentado un crecimiento espectacular en los últimos años. Como consecuencia los contenidos de Matemáticas en los programas de la Diplomatura de Empresariales (DCCEE), Licenciatura de Administración y Dirección de Empresas (LADE) y de la Licenciatura de Economía (LE), en los primeros cursos, presentan una falta de adecuación con los contenidos matemáticos del Bachillerato de CC. Sociales, recomendado para cursar posteriormente en la Universidad los estudios de Economía y Empresa. Por tanto, la formación matemática de los alumnos procedentes de este Bachillerato no es la adecuada para matricularse en las titulaciones de DCCEE, LADE y LE, como se refleja en la existencia de un tapón de alumnos repetidores de matemáticas en los primeros años en dichas titulaciones 5. Esta experiencia ha sido constatada y tratada a escala nacional en el foro de ASEPUMA (Asociación Española de Profesores de Universidad de Matemáticas en la Economía y la Empresa). Analizado el contenido de estas tablas, se observa que la modalidad de Bachillerato 3 de mayor coincidencia para los posteriores estudios económicos y empresariales es el que corresponde al Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud. Esta falta de información provoca un fracaso escolar en las asignatura de Matemáticas para los alumnos que vayan a realizar estudios universitarios en el área económica-empresarial y hayan cursado el bachillerato en la modalidad de Ciencias Sociales, que teóricamente es la opción recomendada. La conclusión a la que hemos llegado no es la proposición de reivindicar un nuevo bachillerato para los estudios universitarios referentes a la economía y empresa, sino considerar la terminología económico-empresarial como un área de conocimiento con entidad propia, que engloba a todas las titulaciones identificadas con esta rama del saber, al igual que se ha hecho con la terminología de Naturaleza, Salud, Ciencia y Tecnología que aparece en los distintos bachilleratos. De esta forma este bachillerato también sería opción para aquellos alumnos que teniendo la intención de realizar estudios universitarios en economía o empresa, adquieran la formación matemática adecuada e imprescindible, y evitar así un futuro fracaso escolar. 1 Cuando decimos bachillerato recomendado, nos estamos refiriendo realmente a las matemáticas que se imparten en dicha modalidad. 2 En color rojo y cursiva aparecen los contenidos que no son coincidentes entre los programas comparados. 3 Ver nota a pie de página 1. Las Matemáticas que se imparten en Ciencias de la Salud son las que deberían impartirse en la modalidad de Ciencias Sociales. 4 Introducir asepuma 2000 y asepuma 2002

12 3 Ver nota a pie de página 1. Las Matemáticas que se imparten en Ciencias de la Salud son las que deberían impartirse en la modalidad de Ciencias Sociales. BIBLIOGRAFÍA Real Decreto 86/2002 de 25 de junio, por el que se establece el currículo de Bachillerato en Extremadura. ÁLVAREZ, P. et al. (2000): Determinación de los contenidos docentes matemáticos en económicas. Ed. ASEPUMA, (pp 3 13). Sevilla, ÁLVAREZ, P., CORCHO, P. y GUERRERO, M. (2001): Una forma eficiente de elaborar un programa de matemáticas en LADE y LE. Ed. ASEPUMA, (pp 53). Las Palmas de Gran Canaria. ÁLVAREZ, P., CORTÉS, G. y GUERRERO, M. (2002): El rendimiento académico de las Matemáticas en las titulaciones en Economía y Empresa. Ed. ASEPUMA, Madrid, 2002.