PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS FINANCIEROS

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1 PORTAFOLIO DE TRES ACTIVOS FINANCIEROS Contendo:. Introduccón.. Fondos Mutuos. Rendmento y Resgo.. Parámetros estadístcos de un Portafolo de Tres Actvos. a) El Retorno de un Portafolo. b) El Resgo de un Portafolo. c) Esquema Generalzado del cálculo del Resgo de un Portafolo. d) Determnacón práctca del Resgo de un Portafolo de Tres Actvos. 4. La Frontera Efcente para un Portafolo de Tres Actvos. 5. Línea de Mercado y el Retorno del Mercado. 6. Determnacón del Punto Tangente del Portafolo. 7. Determnacón del Punto de Mínma Vara nza. Sergo Bravo Orellana Profesor ESAN

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3 RESÚMEN En el documento Determnacón de Portafolos de Actvos Fnanceros, la Frontera Efcente y la Línea de Mercado se presentaron los conceptos y técncas para la conformacón de portafolos en un mercado de dos accones. Ese documento permtó conocer las herramentas que se utlzan para la formacón de portafolos de actvos fnanceros con resgo, y la combnacón de éstos con actvos lbre de resgo. Tambén se vo la conformacón de la Frontera Efcente y la Línea de Mercado y la determnacón del punto T (punto tangente defndo por la nterseccón entre la Línea de Mercado y la Frontera Efcente). En este documento se generalzará los conceptos para la conformacón de portafolos de n actvos fnanceros y se detallará el procedmento para el caso partcular de un portafolo de actvos.. Introduccón. En el mercado fnancero exsten undades económcas que tenen superavt de efectvo y otras que necestan estos recursos. Entre las prmeras se pueden contar a nversonstas ndvduales (empresas o ahorrstas) e nversonstas nsttuconales como los fondos de pensones o los fondos mutuos, que captan los excedentes o el ahorro de los ndvduos y admnstran por ellos los recursos fnanceros. Todos ellos tenen captal que desean colocar en alguna alternatva de nversón. Las empresa tenen por momentos las dos poscones, cuando nverten tene necesdades de fnancamento y cuando sus proyectos maduran y no están nmersos en otros procesos de nversón pueden tener poscones de nversonstas fnanceros colocando sus excedentes en el Mercado de Captales. En el documento Determnacón de Portafolos de Actvos Fnanceros, la Frontera Efcente y la Línea de Mercado presentamos el benefco de la dversfcacón del resgo, que supone que el nversonsta optmza su combnacón de rentabldad y resgo de acuerdo a sus preferencas ndvduales. La dversfcacón permte formar portafolos con mayor rentabldad y/o menor resgo que los actvos fnanceros tomados ndvdualmente. Sn embargo, como se vo en el documento referdo la tarea es especalzada y compleja por los conceptos nvolucrados. En el presente documento se recogen datos del mercado y supondremos la sguente stuacón: un gerente fnancero de una empresa prevé que tendrá excedentes por un perodo extenso hasta que se programe una nversón de grandes dmensones, los acconstas le han encargado que busque comparatvamente la mejor alternatva de nversón temporal, sn asumr mayores resgos, los actvos fnanceros deben ser sufcentemente líqudos de modo que puedan ser cancelados una vez que se programe la nversón. El gerente fnancero tratará de maxmzar el rendmento para un determnado nvel de resgo de dcho captal nvertdo establecendo un portafolo de actvos fnanceros. Para ello debe estudar las alternatvas que ofrece le mercado fnancero y defnr cuales son los nstrumentos fnanceros en que la empresa está apta para nvertr. El mercado ofrece una varedad de actvos fnanceros en los cuales nvertr como por ejemplo nstrumentos de renta fja o de renta varable, nstrumentos en moneda naconal o

4 moneda extranjera, nstrumentos locales, naconales o nternaconales, todos con dstntas combnacones de rentabldad y resgo. Esta ampla varedad es la que permte a la empresa reducr el resgo total de sus colocacones al nvertr en un portafolo de actvos fnanceros dversfcado, en el que el nvel de resgo sea aceptable para los acconstas de la empresa dada una rentabldad esperada, o en el que la rentabldad esperada sea aceptable dado un determnado nvel de resgo. Podríamos hacer un ensayo de la conformacón de un Portafolo de las dferentes alternatvas de nversón. No obstante, con fnes de presentacón asumremos que el gerente tene la sguente poscón:. Los admnstradores de los fondos mutuos son profesonales que se dedcan a la optmzacón de los Rendmentos y Resgo de Portafolo de Actvos Fnanceros.. Podría elegr un fondo y cumplr su objetvo, pero por mayor segurdad elge una combnacón tres de los fondos de mayor tamaño para optmzar su nversón en dólares, que es la moneda de sus excedentes (lo cual evta exponerse a un resgo adconal de tpo de cambo) /.. Fondos Mutuos. Rendmento y Resgo. Dada la poscón asumda por el gerente de la empresa, el análss se concentra a los tres fondos mutuos en moneda extranjera cuyos valor cuota se muestran en el cuadro sguente. Fondo 0/09/999 /0/999 0//999 //999 /0/000 9/0/000 /0/000 0/04/000 /05/000 0/06/000 /07/000 CREDIFONDO RF - $ 4,0677 5,07 5,745 6,50 7,984 7,8849 8,59 9,977 0,00 0,6585,545 WIESE R PREMIUM,854,957,0497,468,56,49,49,584,609,7,800 SANTANDER HR $ 0,095 0,7544,4779,779,988,5 4,8 4,954 5,7089 6,49 7,05 Esto no consttuye una contradccón con la dea general de la cartera dversfcada ya que el resultado será una combnacón óptma de nversón en cada fondo mutuo, la cual será consderada como un nuevo actvo, que a su vez podrá ser combnado con otros hasta formar eventualmente el portafolo total. En base al valor cuota de los últmos días de cada mes se calcula el rendmento mensual de la nversón para los doce últmos perodos que se tenen datos dsponbles por la CONSASEV. En este ejemplo se trabaja con datos mensuales, sn embargo para trabajos de mayor envergadura se debería trabajar con los valores semanales correspondentes a por lo menos tres años. Esto tene una mplcanca adconal: al aumentar el número de datos, el / A pesar de la dversdad de la oferta de nstrumentos fnanceros en el mercado, una empresa puede estar lmtada a nvertr en certos tpo de actvos fnanceros, en vrtud de la polítca de la empresa fjada por los acconstas a través del Drectoro, por una autorzacón del ente regulador, (por ejemplo, según el Reglamento de la Ley del Sstema Prvado de Pensones Decreto Supremo Nº EF, las AFP pueden nvertr como máxmo tres por cento (%) del valor del Fondo en cuotas de partcpacón de un determnado fondo mutuo y qunce por cento (5%) del valor de cada emsón o sere de accones emtdos por una empresa determnada) o por otras lmtacones como son el acceso a los mercados, el tamaño de las operacones fnanceras o la experenca y capacdad de sus gerentes. 4

5 tratamento estadístco corresponde al de una poblacón (como se segurá aquí) más que al de una muestra /. En el sguente cuadro y en el gráfco se muestra el rendmento mensual de cada uno de los tres fondos mutuos analzados para los últmos doce meses dsponbles. Fondo Oct-99 Nov-99 Dc-99 Ene-00 Feb-00 Mar-00 Abr-00 May-00 Jun-00 Jul-00 Ago-00 CREDIFONDO RF - $ 0,765% 0,580% 0,60% 0,55% 0,540% 0,55% 0,549% 0,544% 0,506% 0,5% 0,549% WIESE R PREMIUM 0,776% 0,74% 0,744% 0,8% 0,70% 0,676% 0,664% 0,684% 0,66% 0,65% 0,648% SANTANDER HR $ 0,668% 0,65% 0,68% 0,660% 0,54% 0,6% 0,66% 0,657% 0,6% 0,577% 0,60%,00% RETORNO DE FONDOS MUTUOS DE RENTA FIJA - DOLARES 0,75% 0,50% Retorno de Inversón en CREDIFONDO RF - $ 0,5% Retorno de Inversón WIESE R PREMIUM Retorno de Inversón SANTANDER HR $ 0,00% Oct-99 Nov-99 Dc-99 Ene-00 Feb-00 Mar-00 Abr-00 May-00 Jun-00 Jul-00 Ago-00 Sep-00 Los parámetros estadístcos báscos de estas seres de retornos de los fondos mutuos, son el retorno medo y la desvacón estándar que representa el resgo ndvdual. Sn embargo, para portafolos de actvos, los térmnos de Retorno Prom. Desvacón Std. R s CREDIFONDO RF - $ 0,569% 0,06% WIESE R PREMIUM 0,700% 0,056% SANTANDER HR $ 0,6% 0,05% las covaranzas son más mportantes para determnar su resgo que las varanzas de los actvos ndvduales. Con una rápda observacón de estos resultados se puede llegar conclusones smples y drectas: s sólo se nverte en CREDIFONDO RF - $ y en SANTANDER HR $. Por tener mayor rentabldad promedo y menor resgo, la nversón debería ser 00% en SANTANDER HR $. La eleccón entre WIESE R PREMIUM y SANTANDER HR $ no es tan clara ya que el prmero tene mayor rentabldad pero tambén presenta un mayor resgo. Los parámetros de rentabldad y resgo de los actvos fnanceros son nsufcentes para estructurar un portafolo, se necesta tener la herramenta que nos permta ver el resultado de nvertr en los tres o más actvos. / Para fnes práctcos, la dferenca está en el denomnador de la desvacón estándar, con lo que se logra parámetros nsezgados, con tendenca a no ser m mayores n menores que el valor verdadero lo que afecta los valores de las varanzas y covaranzas (para una muestra el denomnador es n- y para una poblacón es n ). 5

6 . Parámetros estadístcos de un Portafolo de Tres Actvos. Los parámetros estadístcos que se necestan para trabajar con más de una sere de datos al msmo tempo son los Coefcentes de Correlacón (r j ), tomando las seres de datos de dos en dos. Los Coefcentes de Correlacón, presentados en el sguente cuadro (Matrz de Correlacones), se utlzan para determnar la forma como covarían los retornos de un actvo frente a otro. S los retornos de la Accón y la Accón ascenden y descenden al msmo tempo se dce que tenen una correlacón postva o covarían postvamente. S cuando una ascende la otra descende, se dce que tenen una correlacón negatva o covarían negatvamente. Sucede que los retornos de la accón frente a la accón varían sn nngún orden observable, entonces se dce que tenen un índce de correlacón cero o no tenen covaranza. La matrz de correlacón se establece según la estructura mostrada por una lógca de trabajo. Como se observa en la prmera columna y la prmera fla se j = j señalan los retornos del actvo, y respectvamente. En la nterseccón de la = accón por ejemplo (fla) y (columna) se tendrá el índce de correlacón, que es smlar al índce encontrado en la fla y columna,. Así el es gual a porque está ndcando el índce de correlacón del actvo frente a sí msmo y es gual a. En térmnos generales denotamos el índce de correlacón como r j, donde representa la fla y j la columna /. Matrz de correlacones r r r r r r r r r r r r r r r CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM 0,58848 SANTANDER HR $ 0, , Adconalmente la Herramenta de Análss de Datos puede producr una Matrz de Covaranzas de las poblacones. La Covaranza (s j ) tambén es una medda de la relacón entre dos rangos de j j = = = j j j r r r r s s s r s s s datos y se calcula como el r s s s promedo del producto de desvacones de puntos de datos de las medas respectvas. La prncpal dferenca entre el Coefcente de Correlacón y la Covaranza está en que la prmera es ndependente de la undad de medda. La relacón entre el Coefcente de Correlacón y la Covaranza se muestra en el cuadro, junto con dos propedades útles de la Covaranza. Matrz de covaranzas CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ CREDIFONDO RF - $ 4,009E-07 WIESE R PREMIUM,844E-07,085E-07 SANTANDER HR $,0097E-07 9,76E-08,55E-07 / En MS Excel 000 se cuenta con una Herramenta de Análss de Datos que produce drectamente una Matrz de Correlacón como la que se, a partr de s eres de datos. 6

7 Dada una partcpacón relatva de actvos fnanceros, el portafolo resultante tene sus propos parámetros estadístcos calculados a partr de los parámetros ndvduales de cada actvo y los coefcentes de correlacón (y/o covaranzas). a) El Retorno de un Portafolo. El retorno esperado del portafolo, (Rp) resulta del promedo ponderado, por las partcpacones relatvas ( ), de los retornos ndvduales (R ). Retorno de un portafolo de n actvos: n Rp = = R Retorno de un portafolo de tres actvos: Rp = R + R + R = = R El cuadro sguente lustra el cálculo para un portafolo de tres actvos con partcpacones relatvas de 0%, 5% y 55%. R x R CREDIFONDO RF - $ 55,0% 0,569% 0,% WIESE R PREMIUM 0,0% 0,700% 0,40% SANTANDER HR $ 5,0% 0,6% 0,56% Rp 0,609% b) El Resgo de un Portafolo. El cálculo de la desvacón estándar del portafolo ( p ) es un poco más complcado que el cálculo del retorno y obedece a la sguente fórmula general para un Portafolo de n Actvos: P = n n = j= j j j Para este caso de un Portafolo de tres Actvos (n=), la desvacón estándar es: P = equvalente a: P = = j= j, j j c) Esquema Generalzado del cálculo del Resgo de un Portafolo. La varanza de los retornos del portafolo es el cuadrado de la desvacón estándar y en valor es la suma de los térmnos de la matrz de covaranzas ponderada por las poscones relatvas de cada actvo del portafolo. La matrz de covaranzas ponderada se puede obtener de: P = W W donde W es la matrz de las poscones relatvas (nx: n flas por una columna), W es la matrz de poscones relatvas transpuesta (xn: una fla por n columnas) y Σ es la matrz de covaranzas del portafolo. 7

8 W = [ ] Para el caso de tres actvos: ; = y W = de donde P = [ ] Es decr, multplcando: y smplfcando se obtene: P = P = La matrz de covaranzas ponderadas, para el caso de tres actvos, se puede obtener práctcamente en la sguente tabla multplcando cada elemento de la matrz de correlacones por los correspondentes elementos de las dos s s s s r r r s r r r s r r r prmeras flas y de las dos prmeras columnas, donde se encuentran los valores de las partcpacones relatvas y las desvacones estándar de cada actvo del portafolo. Alternatvamente, la matrz de covaranzas ponderadas, para el caso de tres actvos, se puede obtener práctcamente en la sguente tabla multplcando cada elemento de la matrz de covaranzas por el correspondente elemento de la prmera fla y de la prmera columna, donde se encuentran los valores de las partcpacones relatvas. s s s s s s s s s d) Determnacón práctca del Resgo de un Portafolo de Tres Actvos. A contnuacón se lustra cómo los dos métodos práctcos explcados anterormente para obtener la matrz de correlacones ponderada para un portafolo de tres actvos fnanceros, dada la partcpacón relatva de cada uno y conocdas las desvacones estándar. Cada método parte de la matrz completada, ya sea de la matrz de correlacones o la matrz de covaranzas para llegar a un msmo resultado la matrz de covaranzas ponderadas: 55,0% 0,0% 5,0% s 0,06% 0,056% 0,05% s CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ 55,0% 0,06% CREDIFONDO RF - $ 0,58 0,4648 0,0% 0,056% WIESE R PREMIUM 0,58 0,4769 5,0% 0,05% SANTANDER HR $ 0,4648 0,4769 8

9 55,0% 0,0% 5,0% CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ 55,0% CREDIFONDO RF - $ 4,009E-07,844E-07,0097E-07 0,0% WIESE R PREMIUM,844E-07,085E-07 9,76E-08 5,0% SANTANDER HR $,0097E-07 9,76E-08,55E-07 Matrz de covaranzas ponderadas CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ CREDIFONDO RF - $,8E-07,0059E-08,4084E-08 WIESE R PREMIUM,0059E-08,E-08 4,6088E-09 SANTANDER HR $,4084E-08 4,6088E-09 7,59706E-09 Como se ndcó, la suma de todos los térmnos de la matrz de covaranzas ponderada es la varanza de los retornos de portafolo y su raíz cuadrada es la desvacón estándar, ambos son ndcadores de resgo. Varanza del Portafolo (Sp) Desv. Std. Portafolo (Sp) 0,00009% 0,0468% 4. La Frontera Efcente para un Portafolo de Tres Actvos. Se ha obtendo hasta el momento la rentabldad y resgo de una determnada combnacón de los tres actvos fnanceros que conforman este portafolo partcular. Cada combnacón da lugar a un portafolo posble con su propo retorno promedo y desvacón estándar. Las combnacones son lmtadas. Una de esas combnacones dará lugar al portafolo óptmo y otra combnacón dará el portafolo de mínma varanza. Ambos portafolos están formados por partcpacones relatvas (aún desconocdas) de los tres actvos fnanceros. Para encontrar la totaldad de los portafolos posbles, bastaría con varar aleatoramente las poscones relatvas de las nversones en cada uno de los tres actvos, asegurándose que el total sume 00%, y calcular los parámetros para cada portafolo: la rentabldad (retorno esperado) y el resgo (desvacón estándar) con los métodos explcados anterormente. Sn embargo esta técnca crearía un gran caos y montañas de data nútl. Recordando que en el caso de dos actvos fnanceros, el conjunto de portafolos posbles se representaba por una curva de rentabldad y resgo llamada la Frontera Efcente, se puede llegar ala conclusón que en este caso de un portafolo de tres actvos, la Frontera Efcente toma la forma de la envolvente a una Famla de curvas de rentabldad y resgo. Sobre la parte superor de dcha envolvente todavía hay una nfndad de portafolos en los que la rentabldad aumenta con el resgo y cualquera de ellos podría ser aceptable para dstntos nversonstas. Se puede obtener una magen gráfca de dcha la famla de curvas procedendo de la sguente manera: se mantene constante la partcpacón de uno de los actvos en el portafolo hacendo varar los otros dos de tal manera que se obtendrá una de las curvas, luego se toma un nuevo valor para la constante obtenendo otra curva y así sucesvamente. 9

10 En los cuadros y gráfcos sguentes se presentan dos elementos de la famla de curvas que corresponden a los casos partculares en los que la partcpacón relatva de la nversón en uno de los fondos mutuos permanece prmero en 5% y luego en 75% del total del portafolo mentras que la partcpacón de los otros dos actvos varía 4 /. % Inversón WIESE R PREMIUM 0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 40,0% % Inversón en CREDIFONDO RF - $ 55% 75% 70% 65% 60% 55% 50% 45% 40% 5% % Inversón SANTANDER HR $ 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% Desv. Std. Portafolo (Sp) 0,0468% 0,05% 0,0506% 0,049% 0,0479% 0,0468% 0,0458% 0,0450% 0,0444% 0,0440% Retorno Promedo del Portafolo (Rp) 0,609% 0,58% 0,589% 0,596% 0,60% 0,609% 0,65% 0,6% 0,68% 0,65% 45,0% 50,0% 55,0% 60,0% 65,0% 70,0% 75,0% 80,0% 85,0% 90,0% 95,0% 00,0% 0% 5% 0% 5% 0% 5% 0% -5% -0% -5% -0% -5% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 5,0% 0,047% 0,047% 0,049% 0,044% 0,0448% 0,0455% 0,0464% 0,0475% 0,0487% 0,050% 0,056% 0,05% 0,64% 0,648% 0,655% 0,66% 0,668% 0,674% 0,68% 0,687% 0,694% 0,700% 0,707% 0,7% % Inversón WIESE R PREMIUM 0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 0,0% 5,0% 40,0% % Inversón en CREDIFONDO RF - $ 5% 5% 0% 5% 0% 5% 0% -5% -0% -5% % Inversón SANTANDER HR $ 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% Desv. Std. Portafolo (Sp) 0,047% 0,06% 0,055% 0,050% 0,048% 0,047% 0,050% 0,054% 0,06% 0,070% Retorno Promedo del Portafolo (Rp) 0,66% 0,609% 0,66% 0,6% 0,69% 0,66% 0,64% 0,649% 0,655% 0,66% 45,0% 50,0% 55,0% 60,0% 65,0% 70,0% 75,0% 80,0% 85,0% 90,0% 95,0% 00,0% -0% -5% -0% -5% -40% -45% -50% -55% -60% -65% -70% -75% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 75,0% 0,08% 0,095% 0,040% 0,046% 0,044% 0,046% 0,048% 0,050% 0,055% 0,0547% 0,0570% 0,0594% 0,668% 0,675% 0,68% 0,688% 0,694% 0,70% 0,708% 0,74% 0,7% 0,77% 0,74% 0,740% Dagrama de Rentabldad y Resgo (SANTANDER HR $ : Fjo) 0,75% Retorno Promedo portafolo (Rp) 0,7% 0,7% 0,69% 0,67% 0,65% 0,6% 0,6% 0,59% SANTANDER HR $ : 75% SANTANDER HR $ : 5% 0,57% 0,04% 0,09% 0,044% 0,049% 0,054% 0,059% Desv. Std. Portafolo (Sp) 4 / MS excel 000 ofrece el comando Tabla del menú Datos, que permte llenar una tabla de resultados en funcón de la varacón de uno de los datos. La extensón y detalle de la tabla de resultados sólo está lmtada por la ampltud de la varacón del dato orgnal. En este caso la partcpacón relatva de la nversón en uno de los actvos se ha varado desde 0 hasta 00% en tramos de 5% 0

11 5. La Línea de Mercado y el Retorno de Mercado. = R x( ) Rf Un portafolo formado por un actvo lbre de resgo y un actvo con resgo tene un ntercambo lneal de rentabldad y resgo, como se vo en documento anteror. Suponendo que la Rp = nversón en uno de los actvos es excluyente, se puede formar con cada uno de los tres actvos fnanceros (fondos mutuos) y el actvo lbre de resgo un portafolo cuya rentabldad esperada y su desvacón estándar cumplen las fórmulas ndcadas en el cuadro adjunto. La sguente gráfca se construye usando los datos presentados anterormente y una tasa lbre de resgo (Rf) que es consderada en este caso en 5,56% efectva anual o 0,45% Retorno Prom. Desvacón Std. R s CREDIFONDO RF - $ 0,569% 0,06% WIESE R PREMIUM 0,700% 0,056% SANTANDER HR $ 0,6% 0,05% Rf 0,45% 0,000% Rp mensual. Cada punto de una msma recta representa una combnacón dferente de las partcpacones relatvas de un actvo con resgo y del actvo lbre de resgo. Dagrama de Rentabldad y Resgo Portafolos de un actvo con Resgo y un Actvo Lbre de Resgo Retorno Promedo Portafolo (Rp) 0,70% 0,65% 0,60% 0,55% 0,50% 0,45% CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ Portafolo ,40% 0,000% 0,005% 0,00% 0,05% 0,00% 0,05% 0,00% 0,05% 0,040% Desv. Std. Portafolo (Sp) Se observa que la recta del portafolo formado con nversones en SANTANDER HR $ y en el actvo lbre de resgo tene mayor pendente que las rectas de los otros dos portafolos. Esta sería la mejor decsón de nversón ndependente porque para un msmo nvel de resgo el portafolo ofrece mayor rentabldad y para una determnada rentabldad, el resgo es menor (para todas las partcpacones relatvas del actvo con resgo en el portafolo). En el msmo gráfco se observa sn embargo, una recta de mayor pendente: la recta que representa el portafolo formado por el actvo lbre de resgo y un actvo con resgo formado a su vez por una determnada combnacón de las partcpacones relatvas de los tres actvos con resgo en las proporcones de 55%, 0% y 5%. De aquí se puede deducr que otros portafolos (dstntas combnacones de los tres actvos) podrán tener mayor pendente y por lo tanto ser una mejor alternatva de nversón.

12 Pero, en el acápte anteror se llegó a la conclusón que el portafolo óptmo pertenecía a la Frontera Efcente. Por lo tanto, para que tambén pertenezca a la recta de máxma pendente (que parte del punto de resgo cero y rentabldad Rf) el portafolo óptmo deberá estar representado por el punto tangente entre una recta (llamada la Línea de Mercado) y la parte superor de la envolvente a la famla de curvas de rentabldad y resgo (la Frontera Efcente). A dcho punto se le conoce como el Retorno del Mercado y representa la mejor combnacón de rentabldad y resgo para un portafolo formado por una combnacón de partcpacones relatvas de los tres actvos con resgo y un actvo lbre de resgo. El Retorno del Mercado representa la nversón más efcente que el mercado puede escoger realzando un balance de rentabldad y resgo. El concepto es el msmo que para el caso de un portafolo de dos actvos fnanceros. Retorno Promedo Portafolo (Rp) 0,80% 0,75% 0,70% 0,65% 0,60% 0,55% 0,50% Punto Tangente: Retorno del Mercado Dagrama de Rentabldad y Resgo Línea de Mercado Envolvente: Frontera Efcente 0,45% Rf SANTANDER HR $ : 75% 0,40% SANTANDER HR $ : 5% 0,000% 0,00% 0,00% 0,00% 0,040% CREDIFONDO 0,050% RF - $ 0,060% Desv. Std. Portafolo (Sp) WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ Portafolo Una vez determnado el punto T, y por lo tanto conocdas las partcpacones relatvas de cada actvo con resgo en el portafolo optmo y la pendente de la Línea de Mercado, el nversonsta podrá escoger, de acuerdo a sus preferencas de rentabldad y resgo, cualquer combnacón de ese portafolo optmo y del actvo lbre de resgo, prestando o pdendo prestado a la tasa lbre de resgo (desplazándose sobre la Línea de mercado). 6. Determnacón del Punto Tangente del Portafolo. Recordando que la Línea de Mercado está formada por la nversón en un actvo lbre de resgo y un actvo con resgo (en este caso el portafolo de tres actvos), se puede demostrar que el Retorno del Mercado se encontrará al determnar las poscones relatvas de + + = R R f cada actvo fnancero del portafolo = R = R R R f f

13 óptmo con la solucón smultánea del sguente juego de ecuacones: En este sstema de tres ecuacones, las tres ncógntas son las partcpacones relatvas. Los coefcentes de las ncógntas se encuentran en la matrz de covaranzas Σ del portafolo y los térmnos de la derecha de las ecuacones son las restas de las rentabldades promedo de los actvos fnanceros y la tasa lbre de resgo (Rf) que es consderada en este caso en 5,56% efectva anual o 0,45% mensual. Matrz de covaranzas CREDIFONDO RF - $ WIESE R PREMIUM SANTANDER HR $ CREDIFONDO RF - $ 4,009E-07,844E-07,0097E-07 WIESE R PREMIUM,844E-07,085E-07 9,76E-08 SANTANDER HR $,0097E-07 9,76E-08,55E-07 Sstema de Ecuacones: 4,009E-07 +,844E-07 +,0097E-07 = 0,569% - 0,45% = 0,7%,84E-07 +,085E ,76E-08 = 0,700% - 0,45% = 0,48%,0E ,76E-08 +,55E-07 = 0,6% - 0,45% = 0,7% El sstema de tres ecuacones con tres ncógntas se podría resolver por el método de susttucón, pero resuelve más efcentemente por el método de los determnantes, que en pocas líneas consste en armar las tres matrces adconales que se muestran a contnuacón, reemplazando sucesvamente en la matrz de covaranzas, los térmnos de la derecha del sstema de ecuacones por los coefcentes de cada ncógnta. La determnante 5 / de una matrz de tercer grado se calcula de acuerdo a la formula sguente: a a a b b b c c = a c ( b c b c ) a ( b c b c ) + a ( b c b c ) Matrz de covaranzas 4,009E-07,844E-07,0097E-07,844E-07,085E-07 9,76E-08,0097E-07 9,76E-08,55E-07 Matrz 0,7%,844E-07,0097E-07 0,48%,085E-07 9,76E-08 0,7% 9,76E-08,55E-07 Matrz 4,009E-07 0,7%,0097E-07,844E-07 0,48% 9,76E-08,0097E-07 0,7%,55E-07 Matrz 4,009E-07,844E-07 0,7%,844E-07,085E-07 0,48%,0097E-07 9,76E-08 0,7% Determnante MC Determnante Determnante Determnante 7,798E- -,6997E-7 4,875E-7 9,7097E-7 Dvdendo cada determnante por la determnante de la matrz de covaranzas se obtene los pesos relatvos de cada actvo fnancero en el portafolo más efcente en cuanto a balance de rentabldad y resgo. Para llevar estos resultados a porcentajes se dvden por la suma y se multplca por cen. = -90, ,8% = 649, ,9% = 760,90 77,89% 5098, % 5 / MS Excel 000 ofrece la fórmula MDETERM(matrz) para soluconar este paso numérco.

14 Con esto nuevos valores de la partcpacón relatva se calcula el retorno y la desvacón estándar del portafolo óptmo. R x R CREDIFONDO RF - $ -9,% 0,569% -0,0% WIESE R PREMIUM 4,4% 0,700% 0,90% SANTANDER HR $ 77,9% 0,6% 0,485% Rp 0,665% Varanza del Portafolo (Sp) 0,00008% Desv. Std. Portafolo (Sp) 0,04% El prmer actvo (en este caso resulta ser el de menor rentabldad y resgo ntermedo) tene una partcpacón relatva negatva, lo que sgnfca que se toma una poscón corta (se vende un actvo que no se posee para nvertr en los otros dos, para lo cual es necesaro prestarse los valores de alguen más; para cerrar la poscón corta, se deberá recomprar el actvo y devolverlo al dueño orgnal). Se produce un efecto de apalancamento al vender en corto el actvo con menor rentabldad para comprara actvos de mayor rentabldad.el segundo actvo de mayor rentabldad tene una partcpacón menor que el tercer actvo, lo que aparentemente sería un resultado sorprendente, pero debemos recordar que en este caso el segundo actvo tambén es el de mayor resgo. 7. Determnacón del Punto de Mínma Varanza. Cabe resaltar que el portafolo óptmo hallado no es el portafolo de mínma varanza (mínmo resgo) el cual se encuentra resolvendo el sguente sstema de + + ecuacones, en el que los térmnos de la derecha son + + una msma constante para cada ecuacón. En este caso se ha asgnado al valor de la constante. Esta constante no es muy mportante en sí msmo ya que luego los pesos relatvos se llevarán a un porcentaje. + + = = = Determnante MC 7,798E- Determnante,56089E-5 W = 0057,6946,6% Determnante 7,4E-5 W = 9600,7757 0,9% Determnante 5,7685E-4 W = 75656,4 86,7% ,6 00% R x R CREDIFONDO RF - $,4% 0,569% 0,0% WIESE R PREMIUM 0,9% 0,700% 0,076% SANTANDER HR $ 86,7% 0,6% 0,540% Rp 0,60% Varanza del Portafolo (Sp) 0,00004% Desv. Std. Portafolo (Sp) 0,076% Los nversonsta que son extremadamente adversos al resgo puede selecconar el portafolo de mínma varanza cuando el actvo lbre de resgo no se encuentran dsponble para nvertr en él resgo (actualmente esta stuacón se da cada vez con menor frecuenca dada la tendenca mundal de lbre movmento de captales). 4

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