para cualquier a y b, entonces f(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X.

Transcripción

1 Conceptos de Probabldad A contnuacón se presenta una revsón no ehaustva y a manera ntroductora de conceptos báscos de la teoría de probabldades. Un estudo proundo y ormal de estos se puede hacer en Mood et al (1963). S es una uncón que le asna a cada uno de los resultados de un epermento aleatoro (aquel cuya respuesta no puede ser establecda de antemano) un número real, entonces se llama una Varable Aleatora. stas pueden ser dscretas o contnuas. Funcón de Probabldad S es una varable aleatora dscreta. Se llamará a () = P ( = ) uncón de probabldad de la varable aleatora, s satsace las suentes propedades:. ( ) 0 R. ( ) = 1. S este una uncón () tal que:. ( ) 0, < <. ( ) d = 1 b. P( a < b) = ( )d a para cualquer a y b, entonces () es la uncón de densdad de probabldad de la varable aleatora contnua. La uncón de probabldad acumulada, notada como F(), es ual a P( ) y se evalúa a través de una sumatora o de una nteral dependendo de s es dscreta o contnua. Valor sperado y Varanza S es una varable aleatora, el valor esperado de una uncón de la varable aleatora, ( ) está dado por: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) d dscreta contnua como caso partcular,

2 ( ) = µ ( ) ( ) d dscreta contnua La varanza de la varable aleatora está denda como: V( ) = σ = ( µ ) ( µ ) ( ) ( µ ) ( ) d dscreta contnua La raíz cuadrada de la varanza se denomna desvacón estándar y se denota por σ. Se cumple que: 1. ( a ) = a( ), con a constante. ( a + b) = a( ) + b, con a y b constantes 3. V ( a ) = a V ( ) y a constante 4. V ( ) = ( ) [ ( )] Funcón de Probabldad Bnomal y Normal. Modelo Bnomal Supona que hay un epermento que consste en eamnar n ndvduos y evaluar o medr en cada uno de ellos s tenen o no una característca dada (sólo hay dos posbles resultados).sea p la probabldad de éto y q = 1-p la de racaso en cada uno de los n ensayos. Se asume que esta probabldad es constante en cada uno de ellos. Sea = Número de étos en los n ensayos, entonces asumendo conocdo p entonces es posble establecer las probabldades de ocurrenca de cada evento medante la suente ecuacón, denomnada modelo de probabldad bnomal: n n P( = ) = p (1 p) = 0,1,,..., n n este modelo: µ = ( ) = np σ = V ( ) = np(1 p) Modelo Normal l modelo de probabldad normal (Gaussano) es útl para encontrar las probabldades asocadas a eventos de varables aleatoras cuyas dstrbucones de recuencas son smétrcas alrededor del valor promedo. Alunos ejemplos de este tpo de varables aleatoras son los suentes:

3 Sea µ el valor promedo de la varable (()) y σ su correspondente varanza (V()), entonces las probabldades de ocurrenca de eventos asocados a los posbles resultados de la varable estudada pueden ser encontrados usando la suente epresón, llamada modelo de probabldad normal: P b 1 ( a b) e 1/ σ = d. a π σ µ Obvamente resultaría muy dspendoso tener que calcular estas nterales para cada valor de a, b, µ y σ. Por esta razón se acude a un procedmento llamado estandarzacón, el cuál consste en hacer la transormacón µ. La varable anteror tendrá (s la dstrbucón Z = σ de recuencas de se ajusta a un modelo de probabldad normal con meda µ y varanza σ ) una dstrbucón de recuencas que se ajusta a un modelo de probabldad normal con meda cero y varanza uno, es decr que: a µ b µ P( a b ) = Z = σ σ z 1 1 z 1 = e z π 1 ( z < Z < z ) La ecuacón anteror tambén puede resultar dícl de evaluar, sn embaro para cualquer valor de a, b, µ y σ las correspondentes probabldades pueden hallarse, sn necesdad de resolver la nteral, empleando la tabla de dstrbucón acumulada normal estándar que aparece en los tetos de estadístca. Funcón de Probabldad Bvarada. S y son dos varables aleatoras dscretas. La probabldad de = y = y está determnada por la uncón de probabldad bvarada (, y) = P[ =, = y] donde :. (, y ) 0,, y R, R. (, y) = 1 y S este una uncón (, y) tal que la probabldad conjunta: b d [ < < b,c < < d ] = (, y)dyd a c P a para cualquer valor de a, b, c y d en donde (, y) 0, <, y < y (, y) dyd = 1 entonces (, y) es la uncón de probabldad bvarada de y., La uncón de probabldad acumulada F (, y) es ual a P[, y] y se evalúa a través de una doble sumatora o de una doble nteral dependendo de s las varables aleatoras son dscretas o contnuas, respectvamente. Funcón de Probabldad Marnal S y son dos varables aleatoras con uncón de probabldad conjunta (, y). Las uncones de probabldad marnales de y están dadas por

4 ( ) = (, y) y ( y) = (, y) s y son varables aleatoras dscretas ó por ( ) = (, y) dy ( y) = (, yd) s y son varables aleatoras contnuas Funcón de Probabldad Condconal Sean y dos varables aleatoras con uncón de densdad conjunta (, y). La uncón de probabldad condconal de la varable aleatora, denotada por ( / y), para un valor jo y de, está denda por: ( ) (, y) / y =, donde ( y) es la uncón de probabldad marnal de de manera tal que ( y) ( y) > 0. De manera análoa, la uncón de probabldad condconal de para un valor jo de se dene como: ( ) (, y) y / =, donde ( ) es la uncón de probabldad marnal de de manera tal que ( ) ( ) > 0. Independenca stadístca. Sean y dos varables aleatoras con uncón de densdad conjunta (, y). y son ndependentes s y sólo s: (, y) ( ) ( y) = donde ( ) y ( y) son las uncones de probabldad marnales.

5 Valor sperado, Varanza y Covaranza Sean y dos varables aleatoras que se dstrbuyen conjuntamente. l valor esperado de una uncón de y, (, y), se dene como: ( (, )) y (, y) (, y) (, y) (, y) dyd s y son dscretas s y son contnuas La covaranza entre y, denotada por Cov (, ), se dene como: [( µ )( µ )] = ( µ µ + µ µ ) = ( ) ( ) ( ) donde µ y µ representan los valores esperados de y respectvamente. S la covaranza de y se dvde por el producto de las desvacones estándar de y, el resultado es una cantdad sn dmensones que recbe el nombre de coecente de correlacón y se denota por ρ (, ). (, ) Cov ρ (, ) = σ σ Propedades del Valor sperado y la Varanza. S y son dos varables aleatoras con densdad conjunta, entonces se cumple que: 1. ( + ) = ( ) + ( ). V ( ± ) = V ( ) + V ( ) ± Cov(, ) n n n 3. a = aajcov(, j ) V. = 1 = 1 j = 1 Observacón: (, ) Cov(, ) Como caso partcular: Cov = y Cov (, ) = V ( ) j ( a ± a ) = a V ( ) + a V ( ) Cov(, ) V ± S ( ) = ( ), entonces ( ) j 1 1 [ ] = V ( ) + V ( ) Cov(, ) 1.