FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
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- María Josefa Agüero Lara
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1 FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL Las funciones con las que se ha abajado hasa el momeno son funciones eales de una vaiable eal (su ango es un subconjuno de los eales. Se esudiaán en ese capíulo funciones de una vaiable eal peo cuyo ango es un conjuno de vecoes. Ese ipo de funciones son las que se uilizan paa descibi la ayecoia de un objeo.. Funciones vecoiales.. Definición Una función vecoial de una vaiable eal en el espacio es una función cuyo dominio es un conjuno de númeos eales y cuyo ango es un conjuno de vecoes del espacio, es deci, es una función del ipo I R V : ( f ( i + g ( j + h ( k ( f (, g (, h( donde f, g y h son funciones eales de vaiable eal, llamadas funciones componenes de. Noa: Si la función vecoial descibe el movimieno de una paícula, el veco ( ( f (, g (, h ( señala su posición en el insane, en esos casos epesena la vaiable iempo. Ejemplo : : R V / ( ( i + j + ( + k Ejemplo : : R V / ( (, sen, cos. Dominio de una función vecoial Esa dado po la inesección de los dominios de sus funciones componenes, es deci, si ( ( f (, g (, h ( enonces Ejemplo: Si ( ( +,, ln I Dom ( Dom ( f Dom ( g Dom ( h el dominio de seá I { R / > 0 }. Límie y coninuidad de una función vecoial Sea la función vecoial : I R V / ( ( f (, g (, h ( se define lim ( lim f (, lim g (,lim h ( a a a a siempe que exisan los límies de las funciones componenes. Ejemplo: Si ( ( +, sen, e enonces Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página
2 lim ( 0 lim (+, lim sen 0 0, lim ( 0 e (,0, Si a I se dice que es coninua en a si lim ( ( a Teniendo en cuena las definiciones de límie y coninuidad esula: La función vecoial ( ( f (, g (, h ( es coninua en a si y solo si sus funciones componenes f, g y h son coninuas en a a.4 Repesenación gáfica de una función vecoial Sea la función vecoial : I R V / ( ( f (, g (, h ( Paa cada I se obiene un veco (, que es el veco posición del puno P ( f (, g (, h (. Si la función vecoial es coninua en I, es deci sus funciones componenes f, g y h son coninuas en I, define una cuva C en el espacio fomada po los exemos del veco ( donde vaía de a a b. z P (f (,g(,h( C ( y Enonces la cuva C es el conjuno de odos los punos P ( x, y, z del espacio al que x f ( y g ( z h ( con I de la cuva C y es el paámeo., a esas ecuaciones se las llama ecuaciones paaméicas Cuando se gafica una cuva descia po una función vecoial (, cada puno de la misma (exemo del veco ( queda deeminado po un valo elegido paa el paámeo. Al aza los punos esulanes de valoes cecienes de, la cuva se va azando en una diección específica, en ese caso se dice que la cuva esá oienada posiivamene. x Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página
3 Ejemplo : Sea ( (, +,+ con R, cómo es coninua en R define una cuva C en el espacio. Las ecuaciones paaméicas de C son x y + z + con I Esas son las ecuaciones paaméicas de una eca que coniene al puno P (,, y es paalela al veco u (.,,. 0 Ejemplo : Sea ( ( cos, sen, con R, cómo es coninua en R define una cuva C en el espacio, x cos y sen z con R (* cuyas ecuaciones paaméicas son Veamos cual es la cuva C definida po la función vecoial. Paa ello consideemos las dos pimeas igualdades de las ecuaciones (* x y cos sen x, de donde y cos sen y sumando miembo a miembo esula x + y, esa ecuación en el espacio es la de un cilindo cicula cuyo eje es el eje z, enonces la cuva C esá conenida en dicho cilindo. La cuva que se obiene es un espial alededo del cilindo y se la llama hélice. Noa: se ha definido función vecoial de una vaiable eal en el espacio, en foma simila se puede defini función vecoial de un vaiable eal en el plano y ambién en el espacio n-dimensional V n. Paa esas funciones vecoiales ambién se definen los concepos de límie y coninuidad en foma simila a las definiciones dadas paa funciones vecoiales en el espacio. Paa el caso paicula de una función vecoial en el plano, si la misma es coninua en un inevalo I R su epesenación gáfica es una cuva plana C deeminada po los punos exemos de los vecoes ( que se obienen al vaia en I. Si ( ( f (, g ( f ( i+ g ( j con I, las ecuaciones paaméicas de la cuva C son x f ( y g ( con I Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página
4 Ejemplo : Sea ( ( cos, sen con [ 0,π ] define una cuva C en el plano, x cos y sen con 0, [ π], cómo es coninua en R cuyas ecuaciones paaméicas son Paa deemina cuál es la cuva C, elevando ambos miembos de las ecuaciones paaméicas al cuadado y sumando miembo a miembo obenemos la ecuación caesiana x + y, que en el plano epesena una cicunfeencia con ceno en ( 0, 0 y adio..- Deivada de una función vecoial. Definición Sea una función vecoial, se define su deivada ' como ( + ( '( lim 0 siempe que ese límie exisa.. Inepeación geoméica de la deivada de una función vecoial Supongamos que ( sea el veco posición del puno P y ( + el veco posición del puno Q, enonces z P ( Q ( (+ ( + ( PQ se puede considea como un veco secane a la cuva C. Si > 0 el veco iene ( ( + ( PQ la misma diección y senido que el veco PQ, enonces cuando 0 el veco PQ se apoxima a un x veco que esá en la eca angene a la cuva C en el puno P. Si < 0 con + un azonamieno simila se llega a la misma conclusión. Po lo que al veco '( se lo denomina veco angene a la cuva C en el puno P, siempe que '( exisa y '( 0. y C La eca angene a la cuva C en el puno P es la eca que coniene a P y iene la diección del veco '(. Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página 4
5 También se puede considea el veco angene uniaio '( T (. '(. Teoema: Fómula de cálculo de '( Sea la función vecoial ( f ( i+ g ( j+ h( k ( f (, g (, h( con I al que f, g y h son funciones deivables en I enonces '( f '( i+ g '( j+ h'( k ( f '(, g '(, h'( Demosación: ( + ( '( lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 [( f ( +, g ( +, h( + ( f (, g (, h ( ] [ f ( + f (, g ( + g (, h ( + h ( ] f ( + f (, lim ( f '(, g '(, h '( 0 g ( + g (, lim 0 h ( + h ( (* La igualdad (* es válida pues po hipóesis f, g y h son funciones deivables. Ejemplo: Sea ( ( cos, sen, gáfica es una hélice. con R, vimos que su epesenación '( ( sen, cos, '(0 ( sen 0, cos0, ( 0,, '(0 T (0 0,, '(0 Las ecuaciones paaméicas de la eca angene a la hélice en el puno P (,0, 0 son x y z con R.4 Reglas de deivación Sean y funciones vecoiales deivables, c un escala y f una función eal deivable. Enonces a. d d [ ] ( ( ( + ( + Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página 5
6 d d c ( b. [ c ( ] d d f ( d f ( ( + ( d d ( ( ( ( ( + ( d d ( ( ( ( ( + ( d d ( f ( ( f ( f '( c. [ f ( ( ] d. [ ] e. [ ] f. [ ] Obsevación: en c. indica el poduco ene una función eal y una función vecoial; en d indica poduco escala ene funciones vecoiales y en e x es el poduco vecoial ene funciones vecoiales.. Definición de disinos ipos de cuvas Sea una cuva C la epesenación gáfica de la función vecoial ( con I [ a, b] C es una cuva simple si, ( a, b al que esula ( ( cuvas simples cuvas no simples Es deci una cuva C es simple si no se cuza a si mismo al vaia en ( a, b. C es una cuva ceada si ( a ( b. cuva ceada cuva no ceada C es una cuva suave si '( una cuva suave no posee punos angulosos. es coninua en ( a, b y '( 0 ( a, b, es deci Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página 6
7 C es una cuva seccionalmene suave (suave a ozos o suave po paes si esá fomada po un númeo finio de acos de cuva suave. Cuva seccionalmene suave C C C C C4 C C C C 4 4. Longiud de un aco de cuva Sea C un aco de cuva suave y simple, la epesenación gáfica de la función vecoial ( con [ a, b] I. Se puede poba que la longiud del aco de cuva C viene dada po: a b L '( Ejemplo: Calcula la longiud del aco de cuva C definido po la función vecoial ( ( cos, sen con [ 0,π ] C es un aco se cuva suave y simple (veificalo!!. ( sen cos '(, '( ( sen + ( cos π L π 0 d Noa: Una cuva puede se descia po más de una función vecoial. Po ejemplo las funciones vecoiales ( ( cos, sen con [ 0,π ] y ( u ( cos u, sen u con u [ 0, π ] definen la misma cuva, una cicunfeencia con ceno en ( 0,0 y adio. Enonces paa una misma cuva se ienen disinas paameizaciones. Se puede poba que el cálculo de la longiud de un aco de cuva suave y simple es independiene de la paameización que se uilice. 5. Movimienos en el espacio: velocidad y aceleación Supongamos una paícula que se mueve en el espacio de manea que su posición en cada insane de iempo esá dado po el veco (. Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página 7
8 El cociene iempo de longiud ( + (. nos da la velocidad pomedio en un inevalo de ( + ( El veco velocidad v ( en el iempo seá v ( lim '( 0 La apidez de la paícula en el iempo es v ( '( El veco aceleación a( en el iempo seá a ( v '( ''(. Análisis Maemáico II Angélica Anulfo Página 8
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