Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

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1 Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació de la asigatura. Tema 6. Sucesioes y Series. Teorema de Taylor 6.1. Coceptos elemetales sobre series uméricas Defiició Sucesió de úmeros compleos Se deomia sucesió de úmeros compleos a toda aplicació, f, del couto de los úmeros aturales e el coutos de los úmeros compleos. Dicha aplicació hace correspoder a cada 0 N u úmero compleo f ( 0 C, se deota, al úmero f ( por f ( = z = x + iy y, como sucede co sucesioes reales, ormalmete se expresa la sucesió dado el couto image de la aplicació f; es decir, mediate la expresió (z 0N o, simplemete, z. Defiició Límite de ua sucesió Se dice que ua sucesió, z, tiee como límite el úmero z 0 C, y se escribe limz ' z ó limz ' z 6 si para todo ε>0, existe p 0 N, tal que si >p se tiee que *z - z*< ε. Cuado ua sucesió tiee límite se dice que es covergete, deomiádose divergete e otro caso. La proposició siguiete os remite el estudio de sucesioes de úmeros compleos al de dos sucesioes de úmeros reales: Proposició Sea la sucesió z = x + iy y z = x + iy. etoces lim 6 z ' z ] lim 6 x ' x y limy ' y 6 Defiició 6.1. Sucesió acotada Se dice que ua sucesió, z, está acotada si existe u úmero real o egativo, M, tal que *z * # M para todo ε N.

2 Es fácil probar que ua sucesió está acotada si, y solo si, está acotadas las partes reales e imagiarias de esta sucesió, o que toda sucesió covergete está acotada (o así el recíproco. La oció de sucesió de Cauchy coicide co la de sucesioes reales, es decir, Defiició Sucesió de Cauchy Se dice que z es ua sucesió de Cauchy si para todo ε>0, existe p 0 N tal que si,m>p es *z - z m * < ε. Se verifica, si mas que aplicar el mismo teorema a cada ua de las sucesioes reales que compoe la sucesió, el Teorema de Cauchy para sucesioes; es decir, ua sucesió es covergete si, y solo si, es de Cauchy. El cocepto de serie umérica viee dado a través del de sucesió e la forma siguiete: Defiició Serie de úmeros compleos Dada ua sucesió, z, de úmeros compleos, se deomia serie complea a la sucesió cuyo térmio geeral es S = z 1 + z z. Cuado la sucesió S es covergete, se dice que la serie es covergete. E este caso, el límite de la sucesió, S, existe y se deota: z 'S'limS 'lim z k. Geeralmete, para dar ua serie se utiliza la otació expresió solamete tiee setido e el caso e que la serie sea covergete. z, aú sabiedo que tal Obsérvese que, puesto que z = x + iy, la serie, S, se puede descompoer e S = A + ib dode A y B so las dos series reales: A = x 1 + x x B = y 1 + y y. y, usado la proposició se obtiee imediatamete que: Proposició z La serie coverge, si, y solo si, coverge las dos series y x y Por tato, el estudio de ua serie de térmios compleos se puede hacer cosiderado el estudio de u par de series reales. Otra oció sobre series que precisaremos es la de covergecia absoluta:

3 Defiició Covergecia absoluta Se dice que la serie de úmeros compleos z es absolutamete covergete si la serie real de térmios positivos, *z *, es covergete. La importacia de esta defiició se sigue de la siguiete propiedad: Proposició Si ua serie es absolutamete covergete, etoces es covergete Series de fucioes Al igual que e el epígrafe aterior, os limitaremos a ampliar las defiicioes coocidas para el caso real y euciar los resultados que os será de utilidad. Sea H u subcouto del plao compleo C, y ua sucesió de fucioes, f (z, defiidas sobre H. Se deomia serie de fucioes a la serie f (z. Defiició Covergecia putual de ua serie Se dice que ua serie de fucioes, f (z, es covergete e H si para cada z 0 0 H, la serie umérica f (z 0 es covergete. Es decir, f (z es covergete e H hacia ua fució, f(z, si dado cualquier z 0 0 H se verifica que: œ ε > 0, p0n / > p Y * f k (z 0 &f(z 0 *<ε. A la expresió R (z 0 ' f k (z 0 se le deomia el resto de la serie e el puto z 0. k'%1 Proposició Ua serie de fucioes f (z cada puto, z 0 0 H, tiee de límite cero. coverge e H si, y solo si, el resto de dicha serie e Defiimos otros dos coceptos de covergecia de series de fucioes:

4 Defiició Covergecia absoluta de ua serie de fucioes La serie *f (z* f (z se dice que es absolutamete covergete si la serie de sus módulos, es covergete. Nótese que esta defiició difiere de la e que el úmero, p, o depede del z de H elegido, solamete se establece que p depede de ε. Si ua serie coverge uiformemete u couto H se verifica que: œ ε > 0, p 0 N / > p Y * f k (z & f k (z* '* k'%1 f k (z*'*r (z* < ε Defiició 6.2. Covergecia uiforme de ua serie de fucioes La serie f (z se dice que es uiformemete covergete e H hacia ua fució, f(z, si: œ ε > 0, p 0 N / > p Y *f (z & f k (z* < ε para todo z0h. De lo aterior se sigue que toda serie uiformemete covergete es covergete; el recíproco de este resultado o es cierto. Otros resultados que os será útiles so los siguietes: Proposició Toda serie de fucioes absolutamete covergete es covergete. Proposició Sea b ua serie real de térmios o egativos tal que *f (z*# b para todo úmero atural,, y todo z0h. Si coverge, etoces la serie f (z coverge absoluta y uiformemete e H. b

5 Proposició Si f (z so fucioes cotiuas e H y f (z coverge uiformemete e H hacia ua fució f(z, etoces f(z es, tambié, ua fució cotiua e H. Además, si C es ua curva coteida e H se tiee que f(zdz ' (. m C mc f (zdz ' f m (zdz C 6.3. Series de potecias Cuado e ua serie de fucioes, éstas tiee la forma f (z = a (z-z 0 para =0,1,2,..., la serie resultate se deomia serie de potecias. E estas series a 0 C y z 0 es u úmero compleo fio. Así, ua serie de potecias se escribe a. Evidetemete, todo lo dicho ateriormete para series de fucioes cualesquiera es válido para series de potecias. No obstate, e este tipo de series se obtiee alguos resultados adicioales importates que pasamos a describir. Proposició Lema de Abel. Sea a ua serie de potecias y supogamos que para u r 0 > 0 existe M>0 tal que *a *r 0 # M a para todo =0,1,2,... Etoces, para todo úmero, r, co 0 < r < r 0 la serie coverge absoluta y uiformemete e los discos *z - z 0 * # r. Proposició Sea r 0 > 0, si la serie a r coverge, etoces la serie a coverge absoluta y uiformemete e todo disco *z - z 0 *# r < r 0. Defiició Radio de covergecia Se deomia radio de covergecia de la serie a a: ρ = sup { r 0 R % / *a *r es covergete}.

6 E el caso e que el couto A o esté acotado diremos que la serie de potecias tiee de radio de covergecia ifiito. Proposició 6.3. Sea ρ 0 el radio de covergecia de la serie a, etoces dicha serie coverge para todo z 0 C tal que *z-z 0 *<ρ y diverge para todo z tal que *z-z 0 *>ρ Proposició Si ρ 0 es el radio de covergecia de ua serie de potecias, a, y 0 < r < ρ, etoces dicha serie coverge absoluta y uiformemete e todo el disco cerrado {z; *z - z 0 * # r} El cálculo del radio de covergecia de ua serie de potecias se realiza siguiedo métodos similares a los empleados e variable real, obteiédose, segú el criterio práctico de covergecia que se use que: Si existe cualquiera de los límites, lim *a * ' R 6 *a ó lim *, el radio de covergecia 6 *a &1 * ' R es ρ ' 1 R si R 0; y ρ ' si R'0 6.. Derivadas de las series de potecias g(z ' Dada la serie f(z ' a se llama serie derivada de esta a la serie a. E este apartado se trata de ver bao qué codicioes y para qué valores de "z" es cierto que f (z = g(z; es decir, cuádo, para derivar ua serie, se deriva térmio a térmio?. La respuesta a esta preguta os la da el siguiete resultado Teorema 6..1 Sea las series f(z ' a, g(z ' a co radios de covergecia ρ y ρ respectivamete. Etoces, se verifica: a ρ = ρ b Para todo z 0 C tal que *z - z 0 * < ρ es f (z = g(z. Así, vemos que toda serie de potecias cuyo radio de covergecia es distito a cero, defie ua fució aalítica e el circulo *z - z 0 * < ρ, cuya derivada se obtiee como suma de las derivadas de cada térmio de la serie. Además, aplicado este resultado a la ueva serie, g(z,

7 y reiterádolo, obteemos que la serie de potecias defie e el circulo abierto aterior ua fució idefiidamete derivable Teorema de Taylor Extederemos los resultados ya coocidos para fucioes de variable real, auque, obviamete para asegurar que ua fució se pueda desarrollar e series de Taylor o habrá que supoer que sea idefiidamete derivable pues ya hemos visto que si ua fució es aalítica e u puto, z 0, existe todas las derivadas de f(z e ese puto. Plateamos, por lo tato, el teorema Teorema Fórmula de Taylor Sea f(z ua fució aalítica e el disco {z; *z - z 0 * # R}. Etoces, para todo z tal que f ( (z *z-z 0 *<R es f(z ' 0 (z&z.! 0 *z - z 0 * # r. Además, si r < R la serie f ( (z 0 (z&z coverge absoluta y uiformemete e! 0 Proposició Uicidad del desarrollo e Series de Taylor de ua fució aalítica. Sea f(z = a y sea ρ el radio de covergecia de la serie. Etoces, f(z es aalítica e *z - z 0 * < ρ y a = f ( (z 0! Es decir, los coeficietes a so los mismos cotemplados e el teorema aterior, luego el desarrollo de ua fució aalítica e series de Taylor es úico. Aplicado todo lo obteido, hemos comprobado que si ua serie de potecias, a, tiee de radio de covergecia ρ co ρ > 0, etoces defie ua fució, f(z ' a, que es aalítica e *z - z 0 * < ρ y, recíprocamete, si f(z es ua fució aalítica e u etoro de z 0, B(z 0, ρ, etoces, para cada z 0 f ( (z f(z ' 0 (z&z.! 0 B(z 0, ρ es De acuerdo co esto, si por algú otro procedimieto podemos llegar a la coclusió de

8 asegurar la igualdad de ua fució aalítica e u etoro de z 0 co ua serie de potecias a tedremos que a ' f ( (z 0 (z&z! 0 detro de todo el campo de covergecia de dicha serie. A este respecto, podremos, al igual que ocurría co los desarrollos e series de fucioes reales, aplicar los métodos de coeficietes idetermiados o de divisió iversa para obteer desarrollos de fucioes racioales, o utilizar las propiedades respecto a derivació de series para obteer el desarrollo de ua fució coociedo el desarrollo de su fució itegral, etc. Por último, debemos resaltar que si ua fució se puede represetar por su desarrollo e series de potecias, etoces es aalítica (Teorema 6..1 y, el Teorema de Taylor os garatiza que toda fució aalítica es desarrollable e series de potecias. Por tato Proposició Ua fució, f(z, es aalítica e u disco, D, si, y sólo si, se puede desarrollar e series de potecias e ese disco.

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