En este tipo de relaciones siempre existe una variable que depende de la otra, es decir, una de ellas es independiente y la otra dependiente.

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1 I-MIP71_MAAL1_Cédula Funciones Por:SandraElviaPérez Relacionesyfunciones En la vida diaria es muy común encontrar variables que se relacionan entre sí, por ejemplo la longitud de un bebé con respecto al tiempo que lleva en gestación, el número de televidentes de algún canal con respecto al horario, la ganancia de un producto con respecto al número de ventas son sólo algunas de las relaciones que se pueden establecer. En este tipo de relaciones siempre existe una variable que depende de la otra, es decir, una de ellas es independiente y la otra dependiente. Por ejemplo, la longitud de un bebé depende del tiempo que se encuentre en gestación, para este caso el tiempo es una variable independiente, sin embargo, como la longitud del bebé depende del tiempo transcurrido entonces ésta será una variable dependiente. En la tabla 1 se observa la relación que existe entre el tiempo de gestación y la longitud aproximada de un bebé Mes de gestación Tamaño aproximado 1 1 cm 9 cm 3 1 cm 4 16 cm 5 3 cm 6 3 cm 7 37 cm 8 43 cm 9 5 cm Tabla1.Relaciónentretiempodegestaciónylongitudaproximadadeunbebé. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 1

2 I-MIP71_MAAL1_Cédula Para que puedas hacer una gráfica con estos datos, es necesario que los escribas como un conjunto de pares ordenados. Recuerda que para graficar un punto en una ecuación, se toma un valor de x que se denomina variable independiente y un valor de y que corresponde a la variable dependiente, de los que formas un par ordenado ( x, y) queindicalacoordenadadelpuntoque sevaagraficar. En el ejemplo del bebé, como el mes de gestación es la variable independiente, la que se tomará como la variable x y el tamaño del bebé será la variable y, debido a que corresponde a la variable dependiente. De esta forma, el conjunto de pares ordenados para graficar el crecimiento de un bebé en gestación con respecto al tiempo será: {( 1,1),(,9 ), ( 3,1 ), ( 4,16 ), ( 5,3 ), ( 6,3 ), ( 7,37 ), ( 8,43 ), ( 9,5) } UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

3 I-MIP71_MAAL1_Cédula Y graficando los pares ordenados en un sistema de ejes coordenados, tendrás la gráfica que se muestra en la figura 1: Figura1.Gráficadelejemplodelcrecimientodeunbebéengestación. En la figura 1 puedes observar cómo se lleva a cabo el crecimiento del bebé con respecto al tiempo y además con base en los 9 datos graficados, se puede predecir cuál será el tamaño del bebé en periodos no establecidos en la tabla, como por ejemplo, a los cuatro meses y medio el bebé medirá cm aproximadamente, dato que no estaba contemplado en la tabla. Como puedes darte cuenta en la vida diaria siempre existen diferentes tipos de relaciones, y dependiendo de cómo se lleven a cabo, te pueden ayudar a hacer predicciones en un momento determinado. Matemáticamente a este tipo de relaciones se le llaman funciones, pero es importante definir en qué momento se tiene una relación y cuándo una función. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 3

4 I-MIP71_MAAL1_Cédula Figura1.Fetusproposal.svg(Wikimedia,7). Siempre que dos variables se puedan relacionar y escribirse como un conjunto de pares ordenados para poderse graficar se dice que se tiene una relación. Sin embargo, una función es un caso especial de las relaciones donde a los valores que toma la variable independiente se les llama dominio y a los valores de la variable dependiente, se les llama rango. Para poder identificar si una relación también es una función, debe de cumplir con dos reglas: a) A todos los elementos del dominio les corresponde al menos un elemento del rango. b) Un elemento del dominio no puede relacionarse con más de un elemento del rango. Regresa al ejemplo del crecimiento de un bebé en gestación. Comienza por identificar el dominio y el rango. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 4

5 I-MIP71_MAAL1_Cédula En este caso como el dominio es el conjunto de valores que toma la variable independiente, entonces los 9 meses formarán el dominio y como el rango son los valores que toma la variable dependiente, entonces los valores de la longitud del bebé será el rango. Figura.Dominoyrangodelejemplodelcrecimientodeunbebéengestación. Como puedes observar, a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del rango, por lo tanto cumple también con la segunda regla que dice que un elemento del dominio no puede relacionarse con más de un elemento del rango. En consecuencia, la relación que existe entre la longitud del bebé con respecto al tiempo de gestación, además de ser una relación, es una función. Se le llama función a la forma en que se relacionan los elementos del dominio con los elementos del rango, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde un elemento del rango. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 5

6 I-MIP71_MAAL1_Cédula Una función puede representarse como: a) Una tabla. b) Un conjunto de pares ordenados. c) Una gráfica. d) Una ecuación. Ya que es la forma en que se pueden relacionar el dominio y el rango. Cómo se puede determinar que una relación es función? Cuando se tiene una tabla o un conjunto de pares ordenados, basta con observar que no se repita ningún elemento de la variable independiente (dominio), la cual corresponde al primer elemento en un par ordenado. Ve algunos ejemplos Determina si las siguientes relaciones son funciones. Ejemplo Clasificación Observación {(,4),(3,6),(4,8),( 5,1 ), ( 6,1) } Función {(,4 ),(, 4),(3,6), ( 3, 6 ), ( 4, 8 ),(4,8) } No es función Observa que el primer elemento en los pares ordenados no se repite, por lo tanto cumple con la condición de que un elemento del dominio no puede relacionarse con más de un elemento del rango. Observa que el primer elemento en algunos pares ordenados se repite, por lo tanto no cumple con la condición de que un elemento del dominio no puede relacionarse con más de un elemento del rango y aunque no es una función sigue siendo una relación. Tabla.Ejemplosparadeterminarsisonfuncionesono. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 6

7 I-MIP71_MAAL1_Cédula En el caso que tengas una gráfica, el método que utilizarás para determinar si una relación es una función es la prueba de la recta vertical que consiste en trazar una línea vertical a través de la gráfica y si ésta toca dos o más puntos, entonces la gráfica será de una relación y no de una función. Ve algunos ejemplos Determina en cada gráfica si es una función o una relación. Es función debido a que al trazar la línea vertical (azul) solamente toca un punto de la gráfica. Es función debido a que al trazar la línea vertical (azul) solamente toca un punto de la gráfica. Es relación debido que al trazar la línea vertical (azul) en todos los casos toca dos puntos de la gráfica. Tabla3.Ejemplosdefuncionesyderelación. Como puedes darte cuenta cualquier función es una relación, sin embargo no todas la relaciones son funciones. En matemáticas se trabajan diferentes funciones con características específicas. A continuación analizarás las funciones más utilizadas. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 7

8 I-MIP71_MAAL1_Cédula Tiposdefuncionesysusgráficas Recuerdasqueunafunciónpuederepresentarsecomo unatabla,unconjuntodeparesordenados,unagráfica ounaecuación? En este curso comenzarás a estudiar cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones, las cuales son una representación matemática de una función. Recuerda que las ecuaciones para poderlas graficar se tenían que tabular (dar valores), a fin de poder obtener los pares ordenados que más tarde graficarías. Una ecuación se define como una expresión matemática que contiene un símbolo de igualdad y en ambos lados de la igualdad existen términos, por ejemplo: y = x + 3 Este es un ejemplo de ecuación lineal y para poderla graficar necesitas tabularla, es decir, darle valores a la variable x para obtener valores de y. Valores de x -1 ( ) 1 y = x + 3 Valores de y = = y 1 = ( ) + 3 = 3 y 3 1 = ( 1) + 3 = 5 = ( ) + 3 = 7 y 5 y 7 Tabla4.Ejemplodeecuaciónlineal. En este caso como x es la variable a la que le das valores, entonces esta variable representa la variable independiente y al asignar los valores los sustituyes en la ecuación y obtienes los valores y, por lo tanto, esta es la variable dependiente, ya que depende de los valores que le asignas a la variable x. Al escribir las funciones, es común representar la variable dependiente y como (x) x. De esta forma, cuando te refieres a una función la puedes escribir como y = x + 3 o ( x) = x + 3 f que indica que es función de f. En esta actividad revisarás las funciones que aparecen con mayor frecuencia en situaciones de la vida cotidiana, así como sus características principales. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 8

9 I-MIP71_MAAL1_Cédula Estas funciones son: a) Funciones lineales. b) Funciones cuadráticas. c) Funciones cúbicas y de cuarto grado. d) Funciones exponenciales y logarítmicas. e) Funciones trigonométricas. Función Ecuación Gráfica Características principales Lineal = mx + b m = pendiente (inclinación) b = ordenadaal Origen (intersección con eje de las y ), + Dominio( ) Rango ( + ), Error! No se pueden crear objetos modificando códigosdecampo. 9 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

10 I-MIP71_MAAL1_Cédula Cuadrática = ax + bx + c Vértice b b, f a a Concavidad a > (abrehaciaarriba) Vérticepuntomínimo Dominio (, + ) Rango[ vértice, ) Concavidad a < (abrehaciaabajo) Vérticepuntomáximo Dominio (, + ) Rango (,vértice ] Lasinterseccionesconel ejexsonlasraícesdela ecuación Interseccionesconeleje yeselvalordela constanteenlaecuación c Cúbica f + 3 ( x) = a1x + ax + a3x a4 Lasinterseccionesconel ejexsonlasraícesdela ecuación Interseccionesconeleje yeselvalordela constanteenlaecuación a 4 Dominio (, + ) Rango ( + ), Error!No sepuedencrearobjetos modificandocódigosde campo. 1 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

11 I-MIP71_MAAL1_Cédula Cuarto grado f ( x) = a1x + ax + a3x + a4x a5 Lasinterseccionesconel ejexsonlas raícesdelaecuación Interseccionesconeleje yeselvalordela constanteenlaecuación a Dominio (, + ) Rango depende de la gráfica Error!Nosepueden crearobjetosmodificando códigosdecampo UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

12 I-MIP71_MAAL1_Cédula Exponenci al = b x + k Asíntotahorizontaleny=k Dominio (, + ) Rango[ k,+ ) Si b > la función es creciente. Si < b < 1 la función es decreciente Logarítmic a ( x h) k = log b + Asíntotaverticalenx=h Dominio[ h,+ ) Rango ( + ), Error!No sepuedencrearobjetos modificandocódigosde campo. 1 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

13 I-MIP71_MAAL1_Cédula Seno = asen( x h) + k Amplitud es el valor de la constantea Dominio (, + ) Rango se relaciona con amplitud Coseno = acos( x h) + k Amplitud es el valor de la constantea Dominio (, + ) Rango amplitud se relaciona con 13 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

14 I-MIP71_MAAL1_Cédula Tangente = tan( x h) + k Periodo Dominio periodo Rango (, + ) Tabla5.Tiposdefunciones. Funciónlineal Una función lineal es aquella que al graficarse se representa por una línea recta. Su forma matemática es: y = mx + b ó = mx + b Donde m Es la pendiente que representa la inclinación de la recta. b Es la ordenada al origen que representa el punto de intersección con el eje de las " y ". UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 14

15 I-MIP71_MAAL1_Cédula Con respecto a la pendiente m se pueden tener 3 casos: Tipo de pendiente m Gráfica Observación 1 Y Ejemplo: Pendiente cero m = y = 3 5 X En este caso observa que no existe el término x en la función y = = 3 por lo tanto la pendiente es cero, y como la pendiente indica la inclinación, nota que la gráfica es una línea horizontal que atraviesa el eje de las " y " en Pendiente positiva m > Y En este caso el coeficiente del término en x es positivo en la función y = = x + 3, observa cómo la recta se encuentra inclinada hacia la derecha Ejemplo: y = x X Cuando la pendiente m es positiva la recta se encuentra inclinada hacia la derecha -1 x UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 15

16 I-MIP71_MAAL1_Cédula Pendiente negativa m < y = x Y En este caso el coeficiente del término en x es negativo en la función y = = x + 3, observa cómo la recta se encuentra inclinada hacia la izquierda -5 X Cuando la pendiente m es negativa la recta se encuentra inclinada hacia la izquierda -1 -x Tabla6.Tiposdecasosdelapendienteenlasfuncioneslineales. Con respecto a la ordenada al origen b se pueden tener 3 casos: Ordenada al origen b Gráfica Observación Ordenada al origen Ejemplo: b = y = 3x 4 - Y X En este caso observa que no existe el término en b en la función: y = = 3x Por lo tanto, la intersección con el eje de las " y " es en cero, también llamado origen Cuando b= la recta pasa por el origen 3x UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 16

17 I-MIP71_MAAL1_Cédula 4 Y Observa que el valor de b = en Ordenada al origen positiva y = = 3x +. Ejemplo: b > y = 3 x + - X Por lo tanto, la intersección con eje de las y= Cuando b> la intersección con el eje de las y es arriba del eje de las x Ordenada al origen negativa b < 3x Y 4 Observa que el valor de b = en y = = 3x Ejemplo: y = 3x - X Por lo tanto, la intersección con eje de las y=- Cuando b< la intersección con el eje de las y es por debajo del eje de las x -4 3x Tabla7.Tiposdecasosdelaordenadaalorigenenlasfuncioneslineales. Como puedes observar, cuando se grafica una función lineal, los valores que puede tomar la variable independiente (x) van desde hasta +, por lo tanto el dominio de cualquier función lineal es (, ) De la misma forma, los valores que puede tomar la variable dependiente ) tanto el rango de cualquier función lineal es (, ) ( y van desde hasta +, por lo UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 17

18 I-MIP71_MAAL1_Cédula Ejemplo 1 En las siguientes funciones lineales determina sus características principales: a) Valor de la pendiente m b) Ordenada al origen b c) Dominio D d) Rango R e) Gráfica Función Características principales Gráfica Y y = x + Pendiente m = 1 D=( + ) Ordenada origen b =, R=(, + ) al 4 X x+ y = 4x 3 Pendiente m = 4 Ordenada al origen b = 3 D=(, + ) R=(, + ) Y.5 5 X x UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 18

19 I-MIP71_MAAL1_Cédula y x = Pendiente m = D=( + ) Ordenada origen b =, R=(, + ) al 5.5 Y X x y = 1 Pendiente m = Ordenada al origen b = 1 D=(, + ) R=(, + ) Y 1 X Tabla8.Ejemplodefuncioneslineales. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 19

20 I-MIP71_MAAL1_Cédula Funcióncuadrática Una función cuadrática es una función de segundo grado que al graficarse se representa por una parábola hacia arriba o hacia abajo. Su forma matemática es: y = ax + bx + c o = ax + bx + c Donde El valor de a (coeficiente del término cuadrático) indica la concavidad de la parábola. c (término constante) es la ordenada al origen que representa el punto de intersección con el eje de las " y ". Con respecto al valor de a (coeficiente del término cuadrático) se pueden tener dos casos: Coeficiente del término cuadrático a Gráfica Observación El valor de a positivo a > Ejemplo: y = x + 4x + 4 a) Si el valor del coeficiente cuadrático a es positivo, se forma una parábola que abre hacia arriba. Cóncava hacia arriba b) La intersección con el eje de las y, es igual a 4 c) La intersección con el eje de las x, son las soluciones o ceros de la ecuación En este caso x = con multiplici dad = UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

21 I-MIP71_MAAL1_Cédula El valor de a negativo a < Ejemplo: y = x + 4x + 4 a) Si el valor del coeficiente cuadrático a es negativo, se forma una parábola que abre hacia abajo. Cóncava hacia abajo b) La intersección con el eje de las y, es igual a 4 c) La intersección con el eje de las x, son las soluciones o ceros de la ecuación En este caso: x1 =.8 x = 4.8 Tabla9.Tiposdecasosdecoeficientedeltérminocuadráticodelafuncióncuadrática. y El vértice en una función cuadrática indica el punto máximo o punto mínimo en una gráfica y éste puede ser calculado por medio de la siguiente fórmula: b b V =, f a a Así, para los ejemplos anteriores se puede calcular el vértice: Pasos Ejemplo 1 y = = x + 4x + 4 Ejemplo y = = x + 4x + 4 Se determinan los valores de a =, b =, c = a = 1, b = 4, c = 4 a = 1, b = 4, c = 4 UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 1

22 I-MIP71_MAAL1_Cédula Como el vértice es una coordenada: b b V =, f a a Determina los valores de la coordenada sustituyendo los valores de los coeficientes de la función Para obtener los valores de la coordenada en x : b 4 4 = = = a (1) Para obtener los valores de la coordenada en y, se sustituye el valor encontrado en la función: b f = f ( ) = ( ) + 4( ) + 4 a f ( ) = = Para obtener los valores de la coordenada en x : b 4 4 = = = a ( 1) Para obtener los valores de la coordenada en y, se sustituye el valor encontrado en la función: b f = f () = ( ) + 4( ) + 4 a f ( ) = = 8 Las coordenadas del vértice representan el punto máximo si a > y el punto mínimo si a < Por lo tanto, la coordenada del vértice es: V (,) El cual se puede observar en la gráfica como el punto mínimo: Por lo tanto, la coordenada del vértice es: V (,8) El cual se puede observar en la gráfica como el punto máximo: Tabla1.Cálculodelvérticeparalosejemplosanteriores. El dominio en cualquier función cuadrática puede tomar valores desde que toma la variable independiente. hasta +, ya que son los valores En cuanto a los valores de la variable dependiente se toman como base dos situaciones: la concavidad, es decir, si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, el vértice indica el punto mínimo o máximo de la parábola. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato.

23 I-MIP71_MAAL1_Cédula Para a > Dominio= (, + ) Rango=[ vértice, ) Para a < Dominio= (, + ) Rango= (,vértice ] y = = x + 4x + 4 Dominio= (, + ) Rango=[, ) y = = x + 4x + 4 Dominio= (, + ) Rango= (,8] Tabla11.Elvérticeindicaelpuntomínimoomáximodelaparábola. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 3

24 I-MIP71_MAAL1_Cédula Funcióncúbicaodecuartogrado Una función cúbica, o de cuarto grado, se representa matemáticamente como: Donde n Representa el grado de la ecuación. a La intersección con el eje de las " y ". o = a a n n 1 n n x + an 1 x + an x +... a1x + En la actividad anterior resolviste ecuaciones de tercer y cuarto grado y conociste que las soluciones de las ecuaciones son las intersecciones con el eje de las x, cuando las raíces son reales y la intersección con el eje de las y, está dado por el término independiente. El dominio de cualquier función polinomial será de (, + ), esto incluye a las funciones de tercer y cuarto grado, sin embargo, con respecto al rango las funciones cúbicas o de tercer grado, el rango será de (, + ) y el rango de las funciones de cuarto grado dependen de la gráfica, ya que si existe un punto máximo o un punto mínimo, en ella se tienen que especificar los valores permitidos de la variable dependiente. Ve algunos ejemplos de funciones de tercer y cuarto grado. Función de tercer grado 3 = x 4x + x + 6 Función de cuarto grado 4 3 = x 3x 6x + 8x Dominio= (, + ) Rango= (, + ) Dominio= (, + ) Rango=[ 3,+ ) Tabla1.Ejemplosdefuncionesdetercerycuartogrado. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 4

25 I-MIP71_MAAL1_Cédula Funciónexponencialylogarítmica Una función exponencial se reconoce cuando existe una constante elevada a una variable: y = = b x + k Donde b x k Representa la base de la función exponencial (constante). Representa el exponente (variable independiente). Representa el movimiento vertical. Para valores de b, mayores que cero b >, la función es creciente, es decir, a medida que la variable independiente (valor de x) va tomando valores, los valores de la variable independiente (valores de y) van aumentando. Para valores de b, entre cero y uno < b < 1, la función es decreciente, es decir, a medida que la variable independiente (valor de x) va tomando valores, los valores de la variable independiente (valores de y) van disminuyendo. En una función exponencial la variable independiente puede tomar cualquier valor, es por ello que el dominio es de ( + ), y el rango depende de donde se encuentre el valor de k, en donde se dibuja una línea horizontal imaginaria llamada asíntota horizontal. Ve algunos ejemplos: Ejemplo Gráfica Observaciones Para K=yb> y = = x a) La función es creciente b) Hay una asíntota horizontal en y = c) El dominio de la función es (, + ) d) El rango de la función [,+ ) UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 5

26 I-MIP71_MAAL1_Cédula Para K>yb> x y = = + 3 a) La función es creciente b) Hay una asíntota horizontal en y = 3 c) El dominio de la función es (, + ) d) El rango de la función [ 3,+ ) Para K< y <b<1 a) La función es decreciente b) Hay una asíntota horizontal en y = 3 y = 1 = 3 x c) El dominio de la función es (, + ) d) El rango de la función [ 3,+ ) Tabla13.Ejemplosdefuncionesexponenciales. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 6

27 I-MIP71_MAAL1_Cédula Una función logarítmica se puede expresar matemáticamente como: Donde b Es la base del logaritmo. x Es la variable independiente. h Proporciona el movimiento horizontal. k Proporciona el movimiento vertical. El rango en una función logarítmica puede ir de y = = logb ( x h) + k a + La función tiene una línea imaginaria llamada asíntota vertical en y = h de donde parte la función logarítmica. Si b > la función es creciente, es decir, a medida que la variable independiente (valor de x) va tomando valores, los valores de la variable independiente (valoresdey) van aumentando. Para valores de b, entre cero y uno < b < 1, la función es decreciente, es decir, a medida que la variable independiente (valor de x) va tomando valores, los valores de la variable independiente (valores de y) van disminuyendo. Ve algunos ejemplos: Ejemplo Gráfica Observaciones Para K=,h=yb> y = f ( x ) = log1( x ) a) La función es creciente b) Hay una asíntota vertical en x = c) El dominio de la función es [,+ ) d) El rango de la función (, + ) UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 7

28 I-MIP71_MAAL1_Cédula Para K=,h=3yb> y = = log1( x 3) a) La función es creciente b) Hay una asíntota vertical en x = 3 c) El dominio de la función es [ 3,+ ) d) El rango de la función (, + ) Para K=,h=-3yb< y = = log. 5( x + 3) a) La función es decreciente b) Hay una asíntota vertical en x = 3 c) El dominio de la función es [ 3,+ ) d) El rango de la función (, + ) Tabla 13. Ejemplos de funciones logarítmicas. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 8

29 I-MIP71_MAAL1_Cédula Funcionestrigonométricas(seno,cosenoytangente) Las funciones trigonométricas más comunes son las siguientes: Función Forma matemática Donde Seno Coseno Tangente = asen( x h) + k a Es la amplitud que es la distancia del eje de referencia al punto máximo o al = a cos( x h) + k punto mínimo. h Representa el corrimiento horizontal. = tan( x h) + k k Representa el corrimiento vertical. Tabla 15. Funciones trigonométricas. Ve algunos ejemplos en las siguientes gráficas: Ejemplo Gráfica Observaciones Para a = 1 h = k = = sen( x) a) La amplitud es igual a uno, ya que la distancia que hay del eje de las x al punto máximo o al mínimo es uno b) No hay corrimiento horizontal, ni vertical c) El dominio de la función es: (, + ) d) El rango de la función [ 1,1 ] UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 9

30 I-MIP71_MAAL1_Cédula Para a = h = π k = = sen( x π ) + a) La amplitud es igual a dos, ya que la distancia que hay del eje de referencia al punto máximo o al mínimo es dos b) Hay un corrimiento hacia la derecha de π Y la gráfica subió dos unidades c) El dominio de la función es (, + ) d) El rango de la función [,4] a) La amplitud es igual a uno, ya que la distancia que hay del eje de las x al punto máximo o al mínimo es uno b) No hay corrimiento horizontal, ni vertical c) El dominio de la función es (, + ) Para a = 1 h = k = d) El rango de la función [ 1,1 ] = cos( x) Para a = 3 h = π k = = 3sen( x + π ) a) La amplitud es igual a tres, ya que la distancia que hay del eje de referencia al punto máximo o al mínimo es tres b) Hay un corrimiento hacia la izquierda de π UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 3

31 I-MIP71_MAAL1_Cédula Y la gráfica bajó dos unidades c) El dominio de la función es (, + ) d) El rango de la función [ 5,1 ] Para h = k = = tan( x) a) No hay corrimiento horizontal, ni vertical b) El dominio de la función es: π π π 3π,, c) El rango de la función (, + ) Para π h = k = a) Hay un corrimiento hacia la izquierda de π π = tan x + + Y la gráfica subió dos unidades b) El dominio de la función es: [ π, ] [,π ] c) El rango de la función (, + ) UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 31

32 I-MIP71_MAAL1_Cédula Tabla16.Ejemplosdefuncionestrigonométricas. Como te diste cuenta, cada una de las funciones matemáticas tienen características particulares que es importante tengas en mente, ya que si se te presenta una gráfica puedes determinar cuál será su comportamiento y puedes predecir de qué tipo de función se trata. De la misma forma, si tienes una función matemática puedes tener noción de cómo será su gráfica y puedes tener una idea de cómo será su comportamiento. Te invito a que practiques la identificación de gráficas, así como de sus características principales en la sección de ejercicios, a fin de que después puedas hacer tu tarea en forma correcta. UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 3

33 I-MIP71_MAAL1_Cédula Referencias HBeuchotM.(1995).Aristasdelafilosofíamedieval.Barcelona:Promocionesy PublicacionesUniversitarias,pp67-8. VerneauxR.(1981).Filosofíadelhombre.Barcelona:EditorialHerder,pp Referenciadeimagen Wikimedia.(7).Fetusproposal.svg.Recuperadade publicadabajolicenciadedominiopúblico,deacuerdoa: Bibliografía Angel,A.R.(4).Álgebraintermedia.México:PrenticeHall. Baldor,A.(1988).Álgebra.México:PublicacionesCultural. Barnett,R.,Ziegler,M.&Byleen,K.().Álgebra.México:McGraw-Hill Bello,I.(1999).Álgebraelemental.México:InternacionalThomsonEditores UVEG.Derechosreservados.Estaobranopuedeserreproducida,modificada,distribuida,nitransmitida,parcialototalmente,mediantecualquiermedio,métodoo sistemaimpreso,electrónico,magnético,incluyendoelfotocopiado,lafotografía,lagrabaciónounsistemaderecuperación delainformación,sinlaautorizaciónpor escritodelauniversidadvirtualdelestadodeguanajuato. 33