Leyes básicas de la teoría electromagética

Transcripción

1 Divergencia = xî + y ĵ + z k Rotacional î ĵ k = x y z F x F y F z Leyes básicas de la teoría electromagética Ley de inducción de Faraday C d l =- d S Ley de Gauss d S = 1 ɛ V ρdv Ley de Gauss magnética d S = 0 Ley circuital de mpère [ J ] d l =µ + ɛ d S c Vamos a escribir estas ecuaciones en forma diferencial, que son las más prácticas. Usaremos dos teoremas de cálculo vectorial, el de divergencia de Gauss y el de Stokes. 1

2 Teorema de la Divergencia de Gauss F d S = V F dv Teorema de Stokes C F d l =- F d S. plicando el teorema de Stokes a la intensidad del campo eléctrico, tenemos d l = d S que al comparar con la ec. 1, se tiene que d l = d S = d S Válido para todas las supercies limitadas por la trayectoria C, lo que implica que se da si los integrandos son iguales entre sí: = Una aplicación similar del teorema de Stokes al campo da como resultado [ ] = µ J + ɛ l teorema de divergencia de Gauss aplicado a la intensidad del campo eléctrico sería d S = dv y la Ley de Gauss nos indica que dv = 1 ɛ V y como esto es válido para cualquier volumen, los integrandos deben ser iguales V = ρ/ɛ De la misma manera el teorema de la divergencia de Gauss aplicado al campo, resulta = 0 V ρdv 2

3 Leyes básicas de la teoría electromagética Ley de inducción de Faraday C d l =- d dt d S =-... Ley de Gauss d S = 1 ɛ V ρdv =ρ/ɛ... Ley de Gauss magnética d S = 0 =0...C Ley circuital de mpère [ J ] d l =µ + ɛ d S [ J =µ ] + ɛ...d c Como el campo dentro del material es afectado por la interacción de éste con el material mismo, debemos denir una nueva cantidad, el vector desplazamiento D: D = ɛo + P ɛ = + 4π P n un medio isótropo, homogéneo, lineal, en reposo, y P están en la misma dirección y son proporcionales y J = σ ley de Ohm. cuación de onda Tomando el rotacional de la ecuación D, = µ σ + µɛ = µσ + µɛ 2 y =- Por lo tanto, 2 = µσ µɛ 2 2 = µσ + µɛ

4 De igual manera, tomando el rotacional de, 2 = = µσ µɛ = µσ µɛ 2 ρ/ɛ 2 2 = µσ µɛ 2 n un medio no cargado y no conductor, ρ = 0, σ = 0, lo que reduce las ecuaciones anteriores a 2 2 = µɛ = µɛ 2. De manera similar, hay una ecuación de onda para H y D. n el espacio vacío, ρ = 0, σ = 0, κ e = 1, κ m = 1, con lo que µ µ 0, ɛ ɛ = µ0 ɛ = µ0 ɛ 0 2 Comparando con la ecuación de onda para una perturbación viajera, 2 Ψ = 1 2 Ψ v 2 2 serán iguales si v = 1/ ɛ 0 µ 0. Maxwell usó los valores medidos por Leipzig y Weber: ɛµ = 8.85x10 12 s 2 C 2 /m 3 Kg4πx10 7 mkg/c 2 ɛµ = 11.12x10 18 s 2 /m 2 v = 3x10 8 m/s, que coincide muy bien con lo medido por Fizeau

5 Figure 1: Onda plana viajando en +x La luz es una onda transversal Consideremos una onda plana, = x, t, viajando en la dirección positiva de x. Sabemos que = 0, en el vacío, sin cargas, ρ = 0. x x + y y + z z = ρ = 0 lo que implica que x x = 0, esto es x = constante, lo que no nos interesa, por lo tanto el campo es transversal. Deniendo a en la dirección de y = ĵ y x, t Como =-, î ĵ ˆk x y z x y = xî + yĵ + zˆk z y x x y = z z y y z = x = 0 z x x = y z entonces y x = z donde x, y son constantes, lo que no es de nuestro interés, por lo que = k z x, t = 0 5

6 sto es válido para cualquir onda plana, en particular para las ondas armónicas y x, t = oy cos [ωt x/c + ϕ 0 ] Dado que y x = z, y z = x dt = 0y c sen [ωt x/c + ϕ] dt, con lo que y = c z. z = 0y c cos [ωt x/c + ϕ] = y c 6

7 n medios conductores, hay que hacer la substitución de los parámetros: del vacío... al material µ 0 ɛ 0... µɛ c = 1/ ɛ 0 µ 0...v = 1/ ɛµ y se dene al índice de refracción n = c v = ɛµ ɛ 0µ 0 κ e κ m frecuencias muy altas, como la de la luz, Hz, κ m = 1 n ɛ ɛ 0 κ e Oscilador de Lorentz l movimiento de un electrón, sujeto a un campo eléctrico externo estará descrito por la ecuación m d2 r dt 2 + mγd r dt + mω2 0 r = e loc mγ d r dt es el amortiguamiento viscoso mω0 2 r es la ley de Hooke, la fuerza de restauración de un resorte. Se asume que la masa del electrón es despreciable comparada con la del núcleo. La fuerza magnética e v b /c se desprecia, ya que v c l campo local loc es armónico e iωt Si suponemos una solución del tipo r = r 0 cosωt, que substituimos en la ecuación de movimiento, la satisfará si Y el dipolo inducido es r = e loc /m ω 2 0 ω2 iγω p = e r = e 2 loc m 1 ω 2 0 ω2 iγω Se puede considerar que el desplazamiento r es tan pequeño que p y loc son proporcionales donde αω es la polarizabilidad p = αωloc αω = e2 m 1 ω0 2 ω2 iγω p puede diferir en fase respecto al campo local, loc. 7

8 Si hay N átomos por unidad de volumen, la polarización macroscópica es P = N p = N α loc = χ e 8