Resumen. Recordemos que una cópula es una función C : I 2 I tal que: C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 ) + C(u 1, v 1 ) 0. (2)

Transcripción

1 Contenido Cópula Empírica Cópula Kernel

2 Resumen Recordemos que una cópula es una función C : I 2 I tal que: 1 Para cualesquiera u, v en I := [0, 1] C(u, 0) = 0 = C(0, v), C(u, 1) = u, C(1, v) = v. (1) 2 Para u 1, u 2, v 1, v 2 en I tales que u 1 u 2 y v 1 v 2 C(u 2, v 2 ) C(u 2, v 1 ) C(u 1, v 2 ) + C(u 1, v 1 ) 0. (2)

3 Resumen Teorema Sea H una distribución conjunta bivariada con marginales F y G. Entonces existe una cópula C tal que x, y en R H(x, y) = C(F(x), G(y)). (3) Si F y G son continuas, entonces C es única; en otro caso, C es única sobre el conjunto RanF RanG. Observación C(u, v) = H(F 1 (u), G 1 (u))

4 Resumen Ejercicio Determina las marginales y la cópula asociada a la función de distribución (x+1)(e y 1) x+2e y 1 (x, y) [ 1, 1] [0, + ) H(x, y) = 1 e y (x, y) (1, + ) [0, + ) 0 o.c.

5 Resumen Solución Las funciones de distribución marginales son 0 x < 1 x+1 F(x) = 2 x [ 1, 1] 1 x > 1 { 0 y < 0 G(y) = 1 e y y 0 y cópula asociada C(u, v) = uv u + v uv

6 Resumen Determina las marginales y la cópula asociada a la función de distribución Gumbel { 1 e H θ (x, y) = x e y + e (x+y+θxy) x 0, y 0 0 o.c.

7 Las distribuciones marginales son F (x) = 1 e x, G(y) = 1 e y y la respectiva copula es θ ln(1 u)(1 v) C θ (u, v) = u + v 1 + (1 u)(1 v)e

8 Cópulas arquimedianas Recordemos que Si ϕ : [0, 1] [0, + ) una función continua y estríctamente decreciente tal que ϕ(1) = 0 y pseudo inversa ϕ ( 1), entonces la función C(u, v) = ϕ ( 1) (ϕ(u) + ϕ(v)) (4) es una cópula. Mas aún, si ϕ es dos veces derivable, con ϕ < 0 y ϕ > 0 entonces la inversa ϕ 1 existe. A ϕ se le conoce como el generador. Algunos ejemplos de generadores son: ϕ(t) = ln(t), ϕ(t) = (1 t) θ, ϕ(t) = t θ, ϕ(t) = (t θ) 1)θ 1 y ϕ(t) = ( ln t) θ.

9 Resumen Si un modelo es especificado via cópula, la estimación de sus parámetros se puede realizar por máxima verosimilitud (MLE). Debido a que muy probablemente, el modelo está especificado mediante un número considerablemente grande de parámetros, el método MLE requiere de un trabajo de cómputo intensivo o un desarrollo matemático complejo.

10 El problema Los datos Los datos consisten de n realizaciones de un vector bidimensional X, es decir {X i = (X 1i, X 2i ) : i = 1, 2,..., n}. (5) El vector X tiene función de distribución conjunta F y densidad f, así como distribución y densidad marginales F i y f i,i = 1, 2 respectivamente.

11 1 2 3 Cópula Empírica Cópula Kernel

12 Método MLE MLE Que necesitas para aplicar el método MLE? Cual es el procedimiento?

13 Método MLE MLE Que necesitas para aplicar el método MLE? Cual es el procedimiento?

14 Recordemos que F(x, y) = C(F 1 (x), F 2 (y)). Derivando la ecuación anterior, f (x, y) = c(f 1 (x), F 2 (y))f 1 (x)f 2 (x) (6) donde c(u, v) = 2 C(u, v) u v y la ecuación (7) se puede obtener de la igualdad (7) C(u, v) = F(F (u), F2 (v)).

15 Supongamos que los parámetros a estimar son θ = ( β, α ), donde β comprende los parámetros de las marginales y α son los parámetros de la cópula. La función Log- verosimilitud es de la forma L( θ ) = n log c(f 1 (X 1i, X 2i ; α ) + i=1 y el estimador de máxima verosimilitud es: donde Θ es el espacio de parámetros. n i=1 j=1 2 log f j (X ji ; β ) θ = argmax θ Θ L(θ) (8)

16 Ejemplo Se tiene una muestra de tamaño n, de una función de distribución con cópula gumbel C(u, v) = exp{ [( ln u) α + ( ln v) α ] 1/α } Determinar la función de verosimilitud cuando las marginales son: 1 Exp(λ 1 ) y Exp(λ 2 ) 2 N(µ 1, σ 2 1 ) y N(µ 2, σ 2 2 ).

17 Condiciones de regularidad, caso real 1 Los X 1,..., X n son i.i.d, con densidad f (x θ). 2 El parámetro es identificable; es decir si θ θ entonces f (x θ) f (x θ ). 3 Las densidades f (x θ) tienen soporte común y son diferenciables en θ. 4 El espacio Θ contiene un conjunto abierto W y el verdadero valor del parámetro, θ 0 es un punto interior. 5 x X, donde X es el espacio de los valores posibles de la v.a. X, f (x θ) es tres veces diferenciable con respecto a θ, además la tercera derivada es continua en θ y f (x θ)dx es tres veces diferenciable bajo la integral. 6 Para θ 0 Θ existe c > 0 y una función M(x), tales que 2 θ θ T logl(θ x) M(x) para todo x X y θ B(θ0, c) donde E[M(x)] <.

18 Si las condiciones de regularidad se satisfacen, entonces el estimador de máxima verosimilitud tiene las siguientes propiedades: 1 Si U es un estadístico suficiente para θ entonces el estimador de máxima verosimilitud es función de U. 2 Si el estimador de máxima verosimilitud existe, entonces es asintóticamente insesgado y asintóticamente de mínima varianza. 3 Si ˆθ es el estimador de máxima verosimilitud de θ y t(θ) es una función uno a uno, el estimador de máxima verosimilitud de t(θ) está dado por t(ˆθ), a esta propiedad se le conoce como la propiedad de invarianza. 4 El estimador de máxima verosimilitud es consistente, es decir, converge en probabilidad al valor real del parámetro.

19 Normalidad Bajo las condiciones de regularidad, el estimador MLE es asintoticamente normal, es decir, T ( θ θ0 ) N(0, I 1 (θ 0 )) (9) donde I(θ 0 ) es la matriz de Información de Fisher evaluada en el verdadero valor θ 0 del parámetro θ. Definición La matriz de información de Fisher se define como: [ ( ) ( ) ] ln L(θ) ln L(θ) t I(θ) = E θ θ (10) donde E denota el valor esperado con respecto a X.

20 Bajo ciertas condiciones ( Cuáles?) se tiene la siguiente igualdad: [ ( ) ( ) ] ln L(θ) ln L(θ) t [ 2 ] ln L(θ) I(θ) = E = E θ θ θ 2 En una aplicación, Cómo se obtiene la matriz de información de Fisher muestral?

21 Bajo ciertas condiciones ( Cuáles?) se tiene la siguiente igualdad: [ ( ) ( ) ] ln L(θ) ln L(θ) t [ 2 ] ln L(θ) I(θ) = E = E θ θ θ 2 En una aplicación, Cómo se obtiene la matriz de información de Fisher muestral?

22 1 2 3 Cópula Empírica Cópula Kernel

23 Inference for the margins (IFM) Cuando la obtención por ML implica un trabajo computacional intensivo, por ejemplo cuando el número de parámetros a estimar es muy grande, se puede aplicar el método IFM: 1 Se estiman los parámetros de las marginales: β = ArgMax n i=1 j=1 2 ln f j (x jt ; β ) (11) 2 Dada la estimación β, se obtienen los estimadores de los parámetros de la cópula: α = ArgMax n ln c( F 1 (x 1i ; α ), F 2 (x 2i ; α )) (12) i=1

24 El estimador obtenido mediante el método IFM es igual a θ IFM = ( β, α ) t.

25 Bajo las condiciones de regularidad, el estimador IFM satisface la propiedad de normalidad asintótica, es decir, ( ) T (θifm θ 0 ) N 0, G 1 (θ 0 ) (13) donde G(θ 0 ) es la matrix de Información de Godambe definida como G(θ 0 ) = D 1 M(D 1 ) t (14) [ ] con D = E g(θ) t, M = E [ g(θ) t g(θ) ] y g es la función score. θ

26 1 2 3 Cópula Empírica Cópula Kernel

27 : Canonical Maximum Likelihood Method Este método se utiliza cuando es de interés principal estimar los parámetros de una cópula sin especificar las distribuciones marginales, entonces

28 Procedimiento: 1 Estima las distribuciones marginales mediante las distribuciones empíricas. 2 Transforma cada uno de los datos X i1, X i2,..., X in en una muestra con distribución Uniforme[0, 1], U i1, U i2,..., U in utilizando la Función de distribución empírica correspondiente. 3 Estima mediante el MLE los parámetros de la cópula como sigue: α = ArgMax n ln c(u 1i, U 2i ; α ) i=1

29 Cópula Empírica Cópula Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel

30 La cópula empírica Cópula Empírica Cópula Kernel Recordemos que los datos son de la forma {X t = (X 1t, X 2t,..., X nt ) : t = 1, 2,..., T }. con X it = (x 1t, x 2t,..., x nt ). Una forma de definir la cópula empírica es por medio de cualquier cópula asociada a la función de distribución empírica, pero esta no es única. Deheuvels (1981) propone la siguiente definición: Sean {x (t) 1, x (t) 2,..., x (t) n } y {r1 t, r 2 t,..., r n} t los estadísticos de orden y rango de la muestra. Estos satisfacen la relación x (r t n ) n = x nt

31 Cópula Empírica Cópula Empírica Cópula Kernel Definición Cópula empírica de Deheuvels: Está definida sobre el látice (es decir, tiene saltos en): L = {( t1 T, t 2 T,..., t ) } n : 1 j n, t j = 0, 1, 2,..., T T (15) mediante la función ( t1 Ĉ T T, t 2 T,..., t ) n = 1 T T T n t=1 j=1 1(r t j t j ) (16)

32 Cópula Empírica Cópula Empírica Cópula Kernel Propiedades de ĈT 1 La función de distribución empírica F esta determinada en forma única por Las funciones de distribución empíricas Los valores de la cópula empírica ĈT en el conjunto L. 2 La cópula empírica ĈT definida en L es independiente de las marginales de F

33 Cópula Empírica Cópula Empírica Cópula Kernel Propiedades asintóticas Es uniformemente consistente, es decir, la cópula empírica converge uniformemente a la cópula verdadera (Dehuevels, 1979) El proceso empírico { n(ĉn C)(u, v) : 0 u, v 1} converge a un proceso Gaussiano (Fermanian et.al, 2004) Ejercicio Para el caso bivariado, expresa la cópula empírica en términos de las distribuciones conjunta y marginales empíricas.

34 Cópula Empírica Cópula Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel

35 Estimador de densidad Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Suponga que se tiene una muestra {X 1, X 2,..., X n } de una densidad f. Si es de interés estimar f, Que estimador o aproximación conoces? Que es un histograma? Para que se utiliza?

36 Estimador de densidad Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Suponga que se tiene una muestra {X 1, X 2,..., X n } de una densidad f. Si es de interés estimar f, Que estimador o aproximación conoces? Que es un histograma? Para que se utiliza?

37 Estimador de densidad Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Este estimador generaliza el concepto de histograma como "estimador" de la densidad de una variable aleatoria. El problema Suponga que se tiene una muestra {X 1, X 2,..., X n } de una densidad f, y se desea estimar f en forma no-paramétrica.

38 Estimador de densidad Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Definición Un Kernel es una función real acotada y simétrica K tal que K (x)dx = 1 R Nota: El kernel mas utilizado es la densidad normal estándar. Definición El estimador kernel de la densidad f se define como fk (x) = 1 n ( ) x xi K nh h i=1 donde h > 0 es llamado el ancho de banda. (17)

39 Estimador de densidad Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Ejercicio Expresa la fórmula para el estimador kernel de la densidad, cuando utilza el kernel definido como: K (x) = 1 [ x 1/2] (18) Observación Si el ancho de banda es muy grande, se sobre-suaviza la densidad y se esconde la estructura de los datos Si el ancho de banda es pequeño, la densidad estimada tiene demasiados picos y por tanto es dificil de interpretar.

40 Cópula Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Recordemos la siguiente relación entre la cópula C y las funciones de distribución conjunta y marginales: C(u 1, u 2,..., u n ) = F(F 1 1 (u 1), F 1 2 (u 2),..., F 1 n (u n )). (19) Un estimador kernel de la cópula C, se obtiene estimando las densidades marginales y conjuntas mediante un estimador kernel y despues estimar las respectivas funciones de distribución marginales y conjunta.

41 Cópula Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Sean k 1, k 2,..., k n funciones kernel Las respectivas densidades marginales estimadas via kernel son: fi (x) = 1 Th i T t=1 ( ) x Xit k i h i y la estimación kernel de la densidad conjunta es: f (x) = 1 h 1 h 2 h n T n t=1 i=1 ( ) xi X it k i h i con x = (x 1, x 2,..., x n ). Note que el estimador (21) se obtiene utilizando el kernel multivariado k(x) = k 1 (x 1 )k 2 (x 2 ) k n (x n ). (20) (21)

42 Cópula Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Aplicando las relaciones teóricas muy conocidas F(x) = F i (x) = x1 x x2 f i (t)dt xn f (t)dt a los estimadores kernel (20) y (21) se obtienen estimadores de las distribuciones marginales y conjunta respectivamente. Estos estimadores se insertan en la expresión (19) para obtener la cópula kernel.

43 Cópula Kernel Cópula Empírica Cópula Kernel Observación Utilizando el mismo kernel univariado, normal estandar, se obtiene un kernel multivariado, el correspondiente a normales independientes. Una generalización del estimador anterior es utilizando un kernel multivariado, no necesariamente producto de funciones kernel univariados.

44 Bibliografía Cópula Empírica Cópula Kernel Joe, H., Xu, J. (1996) The Estimation Method of Inference Functions for Margins for Multivariate Models. Technical Report 166, Department of Statistics, University of British Columbia. Nelsen, Roger B. (1999). An introduction to copulas, Springer-Verlag, New York. Trivedi, P. and Zimmer, D. (2007) Copula Modeling: An Introduction for Practitioners, Foundations and Trends in Econometrics Vol 1, No 1, pp