ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía. Probabilidad, variables aleatorias y distribuciones EVALUACIÓN CONTINUA

Transcripción

1 robabilidad, variables aleatorias y distribuciones EVALUACIÓN CONTINUA -XII- Grupo B.- Tres máquinas de una planta de montaje producen el %, 5% y 5% de productos, respectivamente. Se sabe que el %, %, y el % de los productos de cada máquina tienen defectos. Seleccionado un producto al azar, cuál es la probabilidad de esté defectuoso? Seleccionado un producto al azar resulta defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina? Consideramos los siguientes sucesos: D = producto defectuoso B = producido en la máquina B = producido en la máquina B = producido en la máquina Datos: B,; (D/B ), B,5; (D/B ), B,5 ; (D/B ), or el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori) (D) D D D ) ) ),,,5,,5, B B B,8 or el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori) D ) B B D B,, D (D) D D D,8 ) ) ) B B B, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

2 .- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad para x=,,, X x x!( x)! en el resto de valores Calcular para que efectivamente sea una función de probabilidad. Obtener la función de distribución c) Calcular la mediana d) Hallar la esperanza matemática ara que sea una función de probabilidad se tiene que cumplir que: i X i X X X X!( )!!( )!!( )!!( )! 6 6 or tanto, / para x=,,, X x x!( x)! en el resto de valores Función de distribución x F(x) X x i i!(i)! Resultando si x< si x< 8 Fx si x< 7 si x< 8 si x c) La mediana es cualquier valor x i tal que F(x i) F(x i) En nuestro caso se cumple para [,), diremos que la mediana es el punto medio:, 5 d) Esperanza matemática E X i X i X X X X i 6 6 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

3 .- Un centralita de emergencias recibe una media de llamadas al minuto. Se pide: Calcular la probabilidad de que reciba más de llamadas en un minuto. robabilidad de que en un minuto reciban exactamente llamadas. c) Varianza de la distribución. Distribución de oisson de parámetro λ= en minuto: (X ) e = e!! (X ) (X ) e.5768! (X ) e!.876 c) La varianza coincide con la media λ=..- Sabiendo que la media de los errores de observación de una determinada magnitud siguen una distribución N(,.5), calcular: robabilidad de que la media de esas observaciones tenga un error mayor que,5. El valor x tal que X x.95 Sea X la media de los errores. Sabemos que la distribución es N(,.5). Así pues: X,5X,5F N(,.5) (,5),8,587 Nos dicen que X x =,95. X x ( x X x).95f(x) (X x).975 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

4 robabilidad, variables aleatorias y distribuciones EVALUACIÓN CONTINUA -XII- Grupo A.- En una carretera existen cuatro puntos con radar que funcionan el %, %, % y % de tiempo. Si un conductor supera el límite de velocidad con probabilidad de,,,,,5 y, cuando pasa por cada uno de los puntos con radar. Cuál es la probabilidad de que reciba una multa? Sabiendo que ha recibido una multa, cuál es la probabilidad de que proceda del primer radar? Consideramos los siguientes sucesos: M = multa por exceso de velocidad B = radar B = radar B = radar B = radar Datos: B, ; (M/B ), B,; (M/B ), B,5; (M/B ), B, ; (M/B ), or el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori) (M) M ) M M M ) ) ) B B B B,,,,,,5,,, 7 or el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori) M ) B M B B,, 8 M (M) (M),7 7 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

5 .- Sea una variable aleatoria X con la siguiente función de distribución: si x< si x< 8 Fx si x< 7 si x< 8 si x Obtener la función de probabilida o la función de densidad según proceda. Calcular la mediana c) Tiene moda? d) Hallar la esperanza matemática X es una variable aleatoria discreta y la probabilidad corresponde a los saltos de discontinuidad de la función de distribución x i F(x). (X=x) x i (X=x i ) /8 /8 / /8 /8 7/8 /8 6/8 /8 /8 Sumas / La mediana es cualquier valor x i tal que F(x i) F(x i) En nuestro caso se cumple para [,), diremos que la mediana es el punto medio:, 5 c) Tiene dos modas: los valores {,} d) Esperanza matemática E X i X i X X X X i.- La media del número de errores de ortografía por página es. Calcular la probabilidad de que: En una página existan exactamente dos errores. En una página existan al menos dos errores. c) En cinco páginas existan exactamente doce errores. Distribución de oisson de parámetro λ= en página: (X ) e = e!! (X ) e.876! (X ) (X ) e ! U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

6 c) Distribución de oisson de parámetro λ=5x=5: 5 (Y ) e = e!! 5 5 (Y ) e.88596! 5.- Sabiendo que los errores de observación, X, de una determinada magnitud siguen una distribución N(,.5), calcular: La probabilidad de que al hacer una observación el error sea mayor que.5. X x.95 El error x tal que Sea X la observación que tiene la misma distribución que la población. cuya función de distribución es: (t ) (t x ) x.5 F(x) (X x) e dt e dt.5 Así pues: X,5 X,5F(,5) X x ( x X x).95 F(x) (X x).975 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

7 robabilidad, variables aleatorias y distribuciones EVALUACIÓN CONTINUA -XII- Grupo C.- En un pueblo existen hoteles que dan servicio al %, 5%, % de los turistas. Se sabe que la probabilidad de no encontrar habitación es:,5,,8 y, respectivamente. Cuál es la probabilidad de encontrar habitación? Sabiendo que ha encontrado habitación, cuál es la probabilidad de que sea en el primer hotel? Consideramos los siguientes sucesos: H = encontrar habitación B = Hotel B = Hotel B = Hotel Datos: B, ; (H/B ),95 B,5 ; (H/B ),9 B,; (H/B ),97 or el Teorema de la probabilidad total (probabilidad a priori) (H) H H H ) ) ),,95,5,9,,97 B B B,9 or el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori) H ) B B H B,,95 H (H) H H H,9 ) ) ) B B B, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

8 .- Si la función de densidad de una v. a. continua es: x si x 7 f(x) si x, Se pide: en el resto La función de distribución. X c) El percentil 7 d) La moda Si x<, entonces F(x)= x x si <x</, entonces F(x) f (t)dt tdt x x x si /<x<7/, entonces F(x) f (t)dt tdt dt x x 8 si 7/<x, entonces F(x)= si x x si x F(x) (X x) 7 x si x 8 si x 7 7 X f (x)dx dx c) 8 F(x) (X x), 7 F(x) x, 7 x, 8 d) Buscaremos el máximo de la función de densidad que en este caso corresponde al / U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8

9 .- Un examen consta de problemas, la probabilidad de que un alumno resuelva bien cualquier problema es,8. Obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria X= número de problemas resueltos bien. Hallar la probabilidad de realizar bien, al menos, dos problemas. c) Cuál será la moda? Tenemos una distribución B(,.8) n n p p.8.8 (X = ) = (X = ) = (X = ) = (X = ) = (X = ) = (X = ) = (X ) (X ) F().8.8 c) Resulta una distribución bimodal {,} La longitud L en milimitros de las piezas fabricadas en un proceso es una variable aleatoria que se distribuye según una N(,.). Se pide: (9.5<L<.5) El valor x tal que (L<x)= L.5 L.5 L 9.5 F(.5) F(9.5) F(x) (L x).975 x = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9

10 robabilidad, variables aleatorias y distribuciones EVALUACIÓN CONTINUA -XII- Grupo D.- Se está experimentando con tres tipos de semillas de trigo A, B, C. Se sembró una parcela en la que germinará un 6% de plantas de tipo A, 5% del tipo B, y un 5% del tipo C. La probabilidad de que una espiga tenga más de 5 granos de trigo es. para el tipo A,.9 para el tipo B, y.5 para el tipo C. Si se elige una espiga al azar, Cuál es la probabilidad de que tenga más de 5 granos? Sabiendo que una esiga tiene más de 5 granos cuál es la probabilidad de que sea en de tipo A? Tenemos una partición de la parcela en tres grupos con las correspondientes probabilidades de pertenecer a uno de ellos: (A)=,6; )=,5; (C)=,5. El suceso X= más de 5 granos y las probabilidades condicionadas a cada grupo: (X/A)=,; (X/B)=,9; (X/C)=,5 A X (X / A)(A),,6, BX (X / B)),9,5,5 CX (X / C)(C),5,5,5 Teorema de la probabilidad total: (X) (X / A)(A) (X / B)) (X / B)),,5,5,575 or el Teorema de Bayes (probabilidad a posteriori) X (A) A A X, A,6 X (X) X (A) X ) X (C), 575 A B C.- Si la función de distribución de una v. a. continua es: si x x si x F(x) 7, Se pide: x si x 8 7 si x La función de densidad. X c) El primer cuartil d) La varianza U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

11 x si x 7 f(x) F'(x) si x en el resto X F() F() 8 c) 8 F(x) (X x), 5 F(x) x, 5 8 x d) Media / 7/ / 7/ x x 9 x f (x) dx x xdx x dx / 8 / Varianza / 9 7/ 9 Vx (x ) f(x)dx x xdx x dx / 88.- En la fabricación de un cierto tipo de piezas se sabe que el % son defectuosas. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de piezas haya: defectuosas? ninguna defectuosa? c) menos de defectuosas? Tenemos una distribución B(,.) n n p p.. (X = ) =...57 (X = ) = c) (X ) (X = ) = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA

12 .- El coeficiente de inteligencia de los universiarios tiene de media y la desviación típica 5. Si la distribución se considera normal, calcular: orcentaje de estudiantes con coeficiente mayor de y menor de. El coeficiente mínimo, para que un estudiante sea superdotado. Se denomina superdotados a aquellos que poseen un cociente intelectual que se encuentran por encima del 98% de la población. La variable aleatoria peso X N(,5) cuya función de distribución es: (t ) (t ) x 5 x F(x) (X x) e dt e dt 5 ( X ) (X ) (X ) F() F().7576 Aproximadamente,75% F(x) (X x).98 x =.868 A partir de ublicación de calificaciones el 8 de enero de Revisión el 9 de enero de de h m a h m U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA