Introducción Vectores - Operaciones con vectores - Propiedades Ortogonalidad Matrices - Operaciones con matrices - Propiedades Multiplicación de

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1 Uso de MtLb

2 Introducción Vectores - Operciones con vectores - Propieddes Ortogonlidd Mtrices - Operciones con mtrices - Propieddes Multiplicción de mtrices - Regls Sistem de ecuciones en form mtricil Mtriz identidd - Trnspuest Simétric Determinntes - Mtriz invers

3 Supongmos un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits: 11x x nxn = b1 21x1 + 22x nxn = b2. m1x1 + m2x2 + + mnxn = bm Donde, 11 12,, mn son los coeficientes del sistem y ls b b,, son los términos independientes. 1, 2 b m

4 DEFINICION: Conjunto ordendo de números que se distingue no sólo por los elementos que contiene sino por el orden en que se colocn (, ) =,, ' 1 2 Vector fil n Vector column = n

5 Sum de vectores: Si y b son dos n-vectores +b se obtiene: (,, ) + ( b, b,, b ) = ( + b, + b,, + b ) 1, 2 n 1 2 n Multiplicción por un esclr: Si es un n-vector y t un número rel: (,, ) ( t, t ) t,, 1, 2 n = 1 2 t n n n

6 Combinción linel: Combinción linel: Combinción linel: Combinción linel: sb t + Si y b son dos n-vectores y t y s son esclres: Se llm combinción linel de y b = + n n n n sb t sb t sb t b b b s t

7 Si, b y c son n-vectores y α es un esclr, entonces: 1). b = b. 2). (b + c) =. b +. c 3) (α ). b =. (αb) = α(. b) 4). > 0 0 L longitud o norm de un vector, que se design es: = 2 2 = n

8 Se define l distnci eucliden entre dos n-vectores como: b = 2 ( b ) + ( b ) ( ) 2 n b n Ortogonlidd: Dos vectores son ortogonles si formn un ángulo de 90º: b b = 0

9 DEFINICION: Arreglo rectngulr de números ordendos en fils y columns = A : : : m1 m2 Se dice que l mtriz tiene orden n n mn m n

10 Los m n números que formn A se llmn elementos ij design el elemento en l fil i-ésim y en l column j-ésim Por simplicidd l mtriz m n se indic por: ( ) ij m n Mtriz identidd:

11 Iguldd de mtrices: B b ij ( ) Si A = ( ) ij m n m n Se dice que son igules cundo = ; A = B ij + b ij ( ) Sum de mtrices: m n Multiplicción por un esclr: α = ij es rel, b ij αa ( ) = ( ) ij m n ij m n = α α

12 = ( ) ( ) ij p q = b ( ) ij p q C = c ij p q Sen A, B y 1) (A+B)+C = A+(B+C) 2) A+B = B+A 3) A+O = A 4) A+(-A) = O 5) (α+β)a = αa+βa 6) α(a+b) = αa+αb

13 Se obtiene de intercmbir ls fils por ls columns: A = n n2 1n 2n Propieddes: (A ) =A (A+B) =A +B (αa) =αa (AB) =B A A' = n 2n 1 nn nn n1 n2

14 Ejemplos: Mtriz cudrd con l propiedd de ser simétric respecto l digonl principl: f e c e d b c b ; ;

15 Decimos que un mtriz rel es ortogonl si se cumple que: A.A=A.A A = A -1 A 0 Decimos que un mtriz rel es norml si se cumple que: A.A=A.A

16 MATRIZ SIMETRICA Decimos que un mtriz es simétric si: A = A Decimos que un mtriz es ntisimétric si: A = A

17 Multiplicción de mtrices: ( ) n Sen A = ij y B = ( b m ij ) n p. El producto C=AB es l mtriz cuyo elemento en l fil i-ésim y en l column j-ésim es el producto esclr de l fil i-ésim de A por l column j-ésim de B c + + ij = i 1b1 j + i2b2 j in b nj ii i1 m1 1k ik mk 1n in mn b11 bk1 bn1 b b b 1 j kj nj b b b 1p kp np = c11 ci 1 cm1 c c c 1 j ij mj c c c 1p ip mp

18 Sen A, B y C mtrices con dimensiones decuds (conformbles pr el producto) pr que estén definids ls operciones que se indicn 1) (A.B).C = A.(B.C) 2) A.(B+C) = A.B+A.C 3) (A+B).C = A.C+B.C

19 El determinnte de un mtriz cudrd A, denotd por o por, es un esclr relciondo con es mtriz. det(a) A Se obtiene l sumr todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formr con los elementos de dich mtriz, de modo que en cd producto figuren un elemento de cd fil y uno de cd column, cd producto se le sign el signo (+) si l permutción de los subíndices de fils es del mismo orden que l permutción de los subíndices de columns, y signo (-) si son de distinto orden.

20 ) det( A = = ) det( A + + = = Regl de Srrus ) det( A + + = =

21 decimos que X es un mtriz invers de A Sólo ls mtrices cudrds pueden tener invers, pero no tods ls mtrices cudrds tienen invers. Un mtriz A cudrd tiene invers A 0 Definición: A 1 = dj( A) A

22 Sen A y B mtrices invertibles n x n: 1. A -1 es invertible y (A -1 ) -1 =A 2. A.B es invertible y (AB) -1 =B -1 A A es invertible y (A ) -1 =(A -1 ) 4. (ca) -1 =c -1 A -1 si c es un esclr 0

23 Expresdo en form mtricil: m m2 1 n x1 b1 2n x2 = b2 mn xn bm A x = b Si n=m x = A 1 b A 0

24 Introducción El entorno de trbjo de MtLb El Escritorio de Mtlb (Mtlb Desktop) El menú inicio Commnd Window Commnd History Browser

25 MtLb es un sistente mtemático de grn cpcidd pr el cálculo y l visulizción. Su nombre proviene de ls plbrs Mtrix- Lbortory. Aunque fue desrrolldo inicilmente (1984) pr el trbjo exclusivo con mtrices tmbién puede trbjr con esclres (reles y complejos) sí como con cdens de crcteres.

26

27 Menú principl

28 Menú de cceso rápido

29

30 Ventn de comndos

31 Espcio y directorio de trbjo

32 Ls mtrices se opern trvés de operdores o funciones: + Sum / División (derech) - Rest * Multiplicción Trspuest ^ Potenci \ División (izquierd).* y.^./ y.\ Mult. y Potencición elemento elemento Div. (derech y izquierd) elemento elemento

33 < Menor que <= Menor o igul > Myor que >= Myor o igul == Igul ~= Distinto de

34 Ls mtrices son un tipo común de vrible que se emple en l myorí de los lengujes de progrmción. Por convención empleremos myúscul pr representr mtrices y minúscul pr vectores y esclres.

35 Ls mtrices se definen por fils, los elementos de l fil se seprn por espcios o coms (,) mientrs que ls fils vn seprds por punto y com (;) Ejemplos: A=[1,2,3; 4,5,6; 7,8,9] B=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] Se ve en pntll:

36 Los vectores son csos prticulres de mtrices donde el número de fils o columns es igul 1. Ejemplos: Vector fil Vector column

37 El producto esclr de dos n-vectores se define por l expresión: Ejemplo:. b = 1 b1 + 2b2 + + >> =[1,2,1] = >> b=[-3,0,2] b = >> *b' ns = -1 n b n = n i = 1 i b i

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41 Si A y B son dos mtrices de orden mxn, se define l sum como: Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ij + b mxn ij = mxn ij bij mxn A + B = + >> A=[1,2,3;5,-3,1] A = >> B=[0,1,2;1,0,2] B = >> A+B ns =

42 Si A es un mtriz de orden mxn y t es un esclr, se define t.a como: Ejemplo: ( ) ( ) ij t mxn ij mxn t. A = t = A = >> t=3 t = 3 >> t*a ns =

43

44 MATRIZ INVERSA >> A=[8 6;-15 0] A = >> inv(a) ns =

45 Si A es un mtriz de nxn, decimos que el esclr λ es un vlor crcterístico de A si existe un vector no nulo x R n tl que Ax= λx Cálculo: ( A λ I ) x = 0 Este sistem tiene un solución no trivil x 0 si y sólo si l mtriz de los coeficientes tiene determinnte igul 0 A - λi = 0

46 Ejemplo >> A=[ ; ; ; ] A = >> [X,D]=eig(A) X = D =

47 Ching, Alph: Métodos Fundmentles de ECONOMIA MATEMATICA 4 ED. Sydseter, K; Hmmond, P. MATEMÁTICAS PARA EL ANÁLISIS ECONÓMICO

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