Medidas de Variabilidad

Transcripción

1 Meddas de Varabldad Una medda de varabldad es un ndcador del grado de dspersón de un conjunto de observacones de una varable, en torno a la meda o centro físco de la msma. S la dspersón es poca, entonces la medda de varabldad es pequeña y esto sgnfca que los datos están muy apñados en torno a su centro físco, s la medda de varabldad es grande, entonces hay mucha dspersón entre los datos y esto sgnfca que los datos están muy alejados o dspersos en torno su centro físco. Por otro lado, s todos los datos son guales, entonces la medda de varabldad es cero.

2 La mportanca de una medda de varabldad radca en que s se tene una poblacón muy poco dspersa u homogénea, entonces se requerrá tomar muestras más pequeñas para explcar el comportamento de la msma, pero s se tene una poblacón muy dspersa o heterogénea, entonces el tamaño de la muestra a tomar para explcar el comportamento de la msma deberá ser más grande y aplcando una buena estratega de muestreo. En este capítulo se estudarán varas meddas de dspersón, pero ha de recalcarse aquí, que la medda de dspersón más mportante, es la varanza. Esta medda es un ndcador mportante de la forma como se dstrbuyen los datos en torno a la meda o centro físco de los msmos. 6.1 Ampltud o Rango Es una medda que descrbe la longtud del recorrdo de la varable. En este recorrdo están todos los valores que puede tomar la varable en estudo. La ampltud descrbe la dstanca exstente entre la menor observacón y la mayor observacón. Esta medda se defne como la dferenca entre el mayor valor y el menor valor de una coleccón de datos. Esta medda, se usa para descrbr el alcance de las varacones extremas. A contnuacón se lustran algunas: Tempo máxmo Tempo mínmo. Preco Máxmo de accones Preco Mínmo de Accones. Calfcacón Mayor Calfcacón Menor. Para calcular la ampltud, se usa la ecuacón: A = VM Vm VM: Mayor valor de la dstrbucón de datos. Vm: Menor valor de la dstrbucón de datos.

3 El rango sólo da nformacón respecto a la dstanca que hay entre los valores extremos del conjunto de observacones en estudo, más no da nformacón respecto a la dspersón exstente entre ellas 6. Desvacón Meda Absoluta Se defne como el promedo de los valores absolutos de las desvacones de cada observacón con respecto a la meda (tambén se puede calcular con respecto a la medana). La desvacón meda absoluta es un promedo de la dspersón de las observacones con respecto a la meda. 1.) Cálculo en Datos no Agrupados: Se utlza la ecuacón adjunta. DM = n 1 x X n.) Cálculo en datos Agrupados en Clases o Categorías: Se utlza la ecuacón adjunta. DM = k 1 f. d n d : Desvío de la marca de clase (X) con respecto a la meda ( X ) d = X X

4 S la dstrbucón de datos tene forma aproxmadamente smétrca o de campana, entonces aproxmadamente el 57.5% de las observacones se encuentran comprenddas entre X DM y X + DM. A contnuacón se lustra teórcamente el hecho anteror: 6.3 Varanza y Desvacón Estándar La varanza es otra alternatva a la desvacón meda absoluta que tambén nos proporcona un ndcatvo de la forma como se dstrbuyen los datos en torno a la meda. Ésta se calcula a través del promedo de los cuadrados de las desvacones con respecto a la meda (tambén se puede calcular con respecto a la medana). La varanza de forma smlar a la desvacón meda absoluta, representa otra forma de promedo de la dspersón de las observacones con respecto a la meda

5 1.) Cálculo en Datos no Agrupados: Se defne por la ecuacón adjunta. S = n n n x x n ) Cálculo en Datos Agrupados en Clases o Categorías: Se utlza la ecuacón adjunta. S = k k n X f X f n La varanza se llama estadístca o estmador poblaconal (se denota S ), s se calcula a partr de los datos de una muestra y se llama parámetro poblaconal (se denota ), s se calcula a partr de los datos de toda la poblacón en cuestón La Desvacón Estándar es la raíz cuadrada de la varanza. S = S 3.) Relacón entre la Ampltud y la Desvacón Estándar: Se dce que exste una relacón entre la ampltud y la desvacón estándar; esta relacón es válda en dstrbucones aproxmadamente smétrcas. La msma consste en que la ampltud es aproxmadamente gual a cuatro veces la desvacón estándar. Es decr:

6 A 4S Por otro lado, la desvacón estándar es nterpretada a través de una curva aproxmadamente smétrca como sgue: 6.4 Rango Sem Intercuartílco y Rango Percentlar 1.) El Rango Sem Intercuartílco: Es la dstanca promedo desde los cuartles Q1 y Q3 hasta la medana. Se calcula a través de la ecuacón: Q = Q3 Q 1 El 50% central de las observacones de la varable en estudo, están entre Q1 y Q3

7 Relacón entre el Rango Sem Intercuartílco y la Desvacón Estándar Se dce que exste una relacón entre el rango sem ntercuartílco y la desvacón estándar, válda en dstrbucones aproxmadamente smétrcas. Esta relacón consste en que, el rango sem ntercuartílco es aproxmadamente gual a dos tercos la desvacón estándar. Es decr: Q S 3.) El Rango Percentlar: es el recorrdo de la varable desde el percentl hasta el percentl P10. Se calcula a través de la ecuacón: P90 P = P90 P10 El 80% central de las observacones están entre P10 y P90 Ejemplo 45 : Consdérese la coleccón de observacones dadas en el Ejemplo 41 que corresponden al puntaje obtendo por un grupo de (n = ) estudantes de Estadístca: Puntajes (Observacones) X 1 X X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 1 X Calcule la ampltud, la desvacón meda absoluta, la varanza, la desvacón estándar, el rango sem ntercuartílco y el rango percentlar. Desarrollo La Ampltud A = VM Vm = 0 10 = 10

8 Se concluye que el recorrdo de la varable es de 10 puntos. La Desvacón Meda Absoluta Se calcula la Meda: x 11 X = = =.6 Se calcula la Desvacón Meda Absoluta: 17.6 = = = = = = = = = = = =.38.6 = 0.6 DM = 1 x X DM =. 45 Se concluye que la desvacón meda es de.45 puntos.

9 La Varanza S = 1 1 x 1 x Se calcula la fórmula por separado: 1 * 11 x = = 519 * 11 x = = 174 Luego : S = 519 = Se concluye que la varanza es de puntos cuadrados. La Desvacón Estándar S = = 3.98

10 Se concluye que la desvacón estándar es de 3.98 puntos. Rango SemIntercuartílco Q = Q3 Q 1 = =.5 Se concluye que es la dstanca promedo desde los cuartles Q1 hasta la medana es de.5 puntos. y Q3 Rango Percentlar P = P90 P10 P10 = D1 = 10 P90 = D9 = 0 P = 0 10 = 10 Se concluye que el recorrdo de la varable desde el percentl P10 hasta el percentl P90 es de 10 puntos. Ejemplo 46 : Consdérese los datos tabulados en la Tabla A del Ejemplo 6 para calcular: la ampltud, la desvacón meda absoluta, la varanza, la desvacón estándar, el rango sem ntercuartílco y el rango percentlar.

11 Desarrollo Estaturas de los 50 estudantes de estadístca de la UNET La Ampltud A = VM Vm = 7 53 = 19 Se concluye que el recorrdo de la varable es de 19 pulgadas. La Desvacón Meda Absoluta d Clases Intervalos f X X X f.d f.d Clase Clase Clase Clase Clase Clase Clase Se sabe que la meda es: X = DM = 7 1 f. d = 3. 50

12 Se concluye que el promedo de las desvacones con respecto a la meda es de 3. pulgadas. Supóngase que los datos consderados, fueron extraídos de una dstrbucón aproxmadamente smétrca, de este hecho, se puede nterpretar la desvacón meda absoluta como sgue: La Varanza

13 S = f. X 7 1 f. X 50 Se calculan las partes de la fórmula por separado: 7 *. X 11 f = = *. X 11 f = = 3159 Luego : S = = Se concluye que la varanza es de pulgadas cuadradas. La Desvacón Estándar S = = 4. Se concluye que la desvacón estándar es de 4. pulgadas.

14 Supóngase que los datos consderados, fueron extraídos de una dstrbucón aproxmadamente smétrca, de éste hecho, se puede nterpretar la desvacón estándar como sgue: Rango SemIntercuartílco Q = Q3 Q 1 = = 3.0 Se concluye que es la dstanca promedo desde los cuartles Q1 hasta la medana es de 3.0 pulgadas. y Q3

15 Rango Percentlar P = P90 P10 P10 = D1 = 57 P90 = D9 = 69 P = = 1 Se concluye que el recorrdo de la varable desde el percentl P10 el percentl P90 es de 1 pulgadas. hasta Ejemplo 47 : Consdérese los datos tabulados en la Tabla A del Ejemplo 6. Compruebe s se cumplen aproxmadamente las aproxmacones A 4S y Q (/3)S Desarrollo que: En el prmer caso se tene que A = 19 y S = 4.. Luego, se tene A 4 x (4.) = Se concluye la ampltud es aproxmadamente gual a pulgadas. En el segundo caso se tene que Q = 3.0 y S = 4.. Luego, se tene que: Q.(4.) =.81 3 Se concluye la el rango nter cuartílco es aproxmadamente gual a.81 pulgadas. En ambos casos la aproxmacón no es muy buena dado que la dstrbucón no es smétrca

16 6.5 Coefcente de Varacón Es una medda que permte comparar las varacones proporconales o dspersones entre dos o más conjuntos de datos. Esta medda no es afectada por los dferentes sstemas de undades de medda de donde fueron extraídos los datos de las muestras a comparar. Este coefcente se defne por la ecuacón: S C.V. =.100% X Ejemplo 48 : Se tenen dos muestras de pesos; una de pesos de elefantes y otra de peso de ratones. Se calculó el promedo del peso de los elefantes en donde se obtuvo un peso de lbras con una desvacón estándar de 185 lbras. Por otro lado se calculó el promedo del peso de los ratones en donde se obtuvo un peso de 1,05 lbras con una desvacón estándar de 0,16 lbras. Quén presenta una mayor varacón en los pesos, los elefantes o los ratones? Desarrollo Se calcula el coefcente de varacón de cada uno de ellos: 185 C.V. Elefantes = 100% 4000 = 5,4% 0,16 C.V. Ratones = 100% 1,05 = 15,% Se concluye que se presenta mayor varacón en los pesos de los ratones.

17 6.6 Estandarzacón de una Varable Supóngase que se consderan los datos de dos varables dferentes X1 y X, las cuales están expresadas en dferentes undades, o smplemente sus centros físcos y sus varanzas no son los msmos. Se plantea la nterrogante: Cómo comparar dos elementos x1 y x, tomados respectvamente, de cada una de estas varables menconadas? La respuesta es, estandarzando las varables para llevarlas a un msmo sstema, con una escala de medda común. Esto es, la varable X se puede estandarzar convrténdose en una varable estandarzada Z. La varable Z no tene undades y se utlza para realzar comparacones relatvas entre los elementos partculares de una dstrbucón. El valor de Z esta dado por la ecuacón: Z = x X S Ejemplo 49 : Se sabe que Alejandra obtuvo 84 puntos en un examen de estadístca donde el promedo del curso fue 76 puntos con una desvacón estándar de 10 puntos. En matemátca Alejandra obtuvo una calfcacón de 90 puntos donde el promedo del curso fue de 8 puntos con una desvacón estándar de 16 puntos. En qué asgnatura, Alejandra obtuvo una puntuacón relatvamente más alta? Desarrollo Se tene que las calfcacones de Alejandra son: xestadístca = 84 puntos xmatemátca = 90 puntos

18 Se calculan los valores estandarzados Z que corresponden a las calfcacones relatvas obtendas en cada asgnatura. Z Estadístca = x X S = = 0.80 Z Matemátca = x X S = = 0.50 Gráfcamente, estos resultados se pueden lustrar a través de una curva normal: Se concluye que la calfcacón de Alejandra en estadístca, estuvo relatvamente mejor que su la calfcacón que obtuvo en matemátca.