UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA MATERIA: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LA INGENIERÍA CUADERNO DE PRÁCTICAS DE INGENIERÍA MECÁNICA CURSO 009/0. (Segudo cuatrimestre) Prof. Pedro Luís Gómez Sáchez Prof. Fracisco A. Graados García.

2 Práctica 7. Sucesioes series uméricas 7. Sucesioes de úmeros reales. Para defiir sucesioes co Mathematica es suficiete utilizar la misma omeclatura que cuado se defiía fucioes. Así por ejemplo si queremos defiir la sucesió (a) de térmio geeral a = / basta co escribir a[_] = /(). Si queremos calcular el térmio a0 basta co que ejecutemos la setecia a[0] Para calcular los 0 primeros térmios de la sucesió bastaría co que escribiéramos Table[a[] { 0}] Ejemplo 7. Teclear las siguietes setecias:. b[_] = ( )/; c[_] = ˆ/( );. b[4]. c[0] 4. b[] c[] 5. Together[%] 6. Table[b[] { 00}] 7. N[Table[c[] { 0 50}]] 8. Table[N[( 00)/(0 )] { 00}] Ejercicio 7. Defiir las sucesioes de térmio geeral d = e = log( 5) s = se(π/ ) calcular sus 50 primeros térmios. E los casos e los que los úmeros o salga eteros hacerlo tambié de modo umérico aproimado. Tambié es posible costruir sucesioes recurretes. Por ejemplo la sucesió de Fiboacci que es b =; b =; b = b b. Ejemplo 7. La sucesió de Fiboacci se escribirá co Mathematica como sigue b[]:=; b[]:=; b[_] := b[-] b[-]. Para coseguir 0 térmios de la sucesió teemos N[Table[b[] { 0}]] Ejercicio 7.4. Defiir la sucesió recurrete b = b = b = b b obteer ua tabla co los 0 primeros valores. b = 7. Visualizació gráfica Co Mathematica es posible ver e ua gráfica ua represetació de cualquier cojuto discreto de datos. Podemos por tato represetar gráficamete u úmero fiito de térmios de ua sucesió. Para ello utilizamos la orde ListPlot[S] El gráfico es iteresate a que podemos teer rápidamete ua idea del comportamieto de la sucesió e cuato a su covergecia.

3 Si queremos itroducir color e la gráfica o modificar el grosor podemos escribir: grafs := ListPlot[S PlotStle -> {RGBColor[00]} Prolog -> AbsolutePoitSize[5]] grafs. Ejercicio 7.5 Represeta gráficamete las sucesioes del ejercicio Ua represetació gráfica cojuta de dos sucesioes defiidas previamete mediate ListPlot se cosigue mediate el comado Show de la maera siguiete: Show[graf a graf b] Por tato para visualizar cojutamete dos sucesioes tedremos que dar los pasos siguietes:. Defiir las sucesioes. Costruir dos tablas de m térmios. Costruir las gráficas correspodietes a las tablas ateriores 4. Visualizar cojutamete mediate Show. Ejercicio 7.6 Obteer ua represetació cojuta de los pares de sucesioes siguietes: a) b) g h l j = = log = e = se ( e ) g00 j00 Calcular ua aproimació de de e los dos casos. h00 l00 Qué coclusioes podemos etraer? Se cofirma la situació mediate ua represetació gráfica? 7. Limites de sucesioes reales.- Para calcular el límite de ua sucesió lo podemos hacer usado el comado Limt que tiee la sitais siguiete: Limit[a[] > Ifiit] Así para la sucesió aterior de térmio geeral a = / su límite se podría calcular tecleado el comado Limit[a[] > Ifiit] Ejemplo 7.6 Teclear las siguietes setecias:. Clear[d]; d[ ] = ( )/( ); Limit[d[] > Ifiit]. Limit[ˆ > Ifiit]

4 Ejercicio 7.7 Para las sucesioes ateriores (d) (e) (s) calcular sus límites si eiste. Ejercicio 7.8 Calcula los límites siguietes: 5 lim > 5 5 lim > 5 lim e > lim > 5 lim > Cálculo de sumas productos. Suma de series Los comados Sum Product so los que utilizaremos para sumar o multiplicar listas de úmeros. La sitais es: Sum[a[k]{k kmi kma}] Product[a[k]{k kmi kma}] Ejemplo Sum[ˆ { 6}] os da la suma La setecia Sum[ˆ/() { 9 }] os da la suma La setecia Product[ { 8}] os da 8 = = 8! 4.- La setecia Product[( )ˆ { 6 4}] os da ( ) 7.5 Sumas de series. 6 = Ahora bie si queremos sumar ifiitos úmeros? Mediate la setecia Sum[a[] { 0 Ifiit}] podemos calcular la suma ifiita 0 a (esto o es más que la suma de la serie). Ejemplo 7.0 Teclear las siguietes setecias:. Sum[ { 0}]. Sum[/ˆ { 0}]. Sum[jˆ {j }] 4. Sum[( )/ { 0}] 5. Together[%] 4

5 6. Sum[ˆ/Factorial[] { 0 Ifiit}] 7. Product[/( ) { 0}] 8. Product[Eˆ(/ˆ) { Ifiit}] Ejercicio 7. Calcular las siguietes sumas productos co Mathematica.. 5. j j= 4 5. = 0 4. ( ) = 5. = 7 6. ( a) = 7. 5 =! 8. = ( ) Ejercicio 7. Para cada ua de las sucesioes k ak = k 5 b 4 = k ( k )( k 6) se pide: a.- Obteer el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales S para a k b k b.- Defiir e dos tablas los 60 primeros térmios de S e cada caso c.- Represetar e dos gráficas los valores de las tablas ateriores d.- Qué podemos ituir acerca de las sumas a k b k? k = k = e.- Calcular dichas sumas mediate el comado Sum. f.- Calcular lim > S e cada caso comprobar que coicide co lo obteido e el apartado aterior. Ejercicio 7. Cosideremos las sucesioes de térmios geerales k bk =. Realiza los apartados del ejercicio aterior. k! ak = k 5

6 Práctica 8: Fucioes de varias variables (límites) Recordemos que para defiir fucioes de varias variables se sigue el mismo procedimieto que para defiir las de ua variable. Así al teclear f[ ] := estaremos defiiedo la fució f : R R dada por f( ) =. Y si ejecutamos la epresió g[ z_ ] := { Si[ z] 0Eˆz } estaremos defiiedo la fució g : R R4 dada por g( z) = ( se( z) 0 ez ) para evaluar estas fucioes e los putos ( ) (0 ) respectivamete basta co poer f[ ] g[0 ] respectivamete (para más detalles ejemplos ver prácticas --). Ejemplo 8. Teclear las siguietes setecias:. f[ ] := ˆ/( ); g[_ ] := f[ ]; g[_ ] := f[ 0]. f[ ] := Eˆ( ); h[ _] := f[ ]; h[_ ] := f[ 0]. f[ ] := f[ ] f[ ] 4. Clear[ ]; {f[ ] f[ ] f[ ] g[] g[] h[] h[]} 8. LIMITES DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES. Co Mathematica podemos calcular direccioales. Limites direccioales Por ejemplo para hallar los límites direccioales e el orige ()->(00) de la fució f 4( ) = tedríamos que elegir ua curva = g() que cumpla lim( g( )) = 0 hacer el límite a lo largo de esa curva es decir lim( f 4( g( ))). > 0 Si ecotramos dos curvas que de distito límite diremos que el límite iicial o eiste. Lo ormal es itetar el cálculo co familias de fucioes del tipo = m ó = etc E uestro ejemplo vamos a utilizar fucioes del tipo = m Limit[f4[m ] > 0] que represeta el límite > 0 lim ( m ) ( m ) ( m ) ( ) > (00) = m = lim 0 lim > = > 0 = ( m ) ( m ) ( m ) Como depede de la pediete ese límite o eiste. Ejemplo 8. Las siguietes setecias. Clear[f6]; f6[ ] = (ˆ ˆ)/(ˆ ˆ). Limit[f6[ m ( )] > ] calcula los límites direccioales de la fució f 6( ) = e el puto ( ). 6

7 Ejercicio 8.4 Calcular los límites direccioales de las fucioes siguietes e todo puto de su domiio:. f ( ) =. f ( ) = (e este caso realizar tambié el estudio e el puto ( )) Ejercicio 8.5 Hallar los siguietes límites:. De la fució f ( ) = e el orige a través del cojuto = e. De la fució f 4 ( ) = e el puto ( ) a través del cojuto ² =.. De la fució f 5( ) = e el orige a través de los cojutos de la forma = m² para todo m. 4. De la fució f 6( ) = e el orige a través de los cojutos de la forma = m³ para todo m. 5. De la fució f 7( ) = e el orige a través de los cojutos de la forma 4 4 = m para todo m. Para defiir fucioes a trozos puede usarse el comado If (a ser verá su fucioamieto al fial e la prácticas de PROGRAMACIÓN). Veamos cómo ejecutado las siguietes setecias: ) f[ ] := If[ <= 0 5 ] ) f[0] ) f[] 4) f[t] Esto defie la fució que vale -5 si 0 e caso cotrario. Observemos que la salida correspodiete al valor f[t] es la propia defiició de la fució. Esto es así porque t o tiee u valor cocreto que el programa pueda determiar si es <= 0 o o. Para evitar esto se podría hacer algo como lo que viee a cotiuació para la fució g ) g[ ] : If[ <= 0 5 Prit[ El valor de o está totalmete determiado ]] ) g[0] ) g[] 4) g[t] Ejercicio. Supogamos que teemos la siguiete fució.. si..( ) (00) f ( ) = 0... si...( ) = (00) Defiirla co el Mathematica (e todos sus putos icluido el orige (0 0)). Hallar los valores de f e los putos (0 0) ( ) (0). 7

8 Práctica 9. Cálculo diferecial de fucioes de varias variables I Para las derivadas parciales de fucioes de varias variables podemos utilizar el mismo comado que usamos para derivar fucioes de ua variable: D Ejemplo 9. Ejecutar las siguietes setecias. D[ ˆ ]. D[ ˆ ]. D[(ˆ ˆ)/( ) ] 4. D[(ˆ ˆ)/( ) ] 5. Clear[f]; f[ ] := Cos[] Si[] 6. D[f[u v] u] 7. D[f[u v] v] 8. Clear[g]; g[z_] := f[z z] 9. D[g[z] z] Podemos calcular tambié derivadas parciales de orde superior: Ejemplo 9. Ejecutar las siguietes setecias. D[ ˆ { }]. D[ ˆ { }]. D[ ˆ { } { }] 4. Clear[h]; h[ ] := Cos[] Si[] 5. D[h[ ] { 0} { 5}] 6. Clear[hh]; hh[ ] := ˆ4 Eˆ() 7. D[hh[ ] ] Ejercicio 9. Calcular las siguietes derivadas parciales:. De la fució f ( ) = calcular f.. De la fució f ( ) = Ta calcular f f.. De la fució segudo orde. f ( ) = Log e calcular las derivadas parciales de 8

9 4. De la fució f 4( ) = se( ) cos( ) calcular f 4 ( π π ) f 4 (0 π ). Ejercicio 9.4 Calcular las siguietes epresioes que ivolucra derivadas parciales:. Dada la fució g ( ) = se( se( se))).cos(cos(cos ))) calcular g g.. Dada la fució g ( ) = cos calcular g g g 4g 5g. se Podemos calcular tambié derivadas direccioales utilizado la defiició a que su formulació depede del cálculo de límites de ua variable. Por ejemplo para hallar la derivada direccioal de la fució f( ) = e el puto ( ) e la direcció del vector ( ) podemos defiir la fució así f[ ] := ˆˆ resolver el correspodiete límite así Limit[(f[tt]f[ ])/t t > 0] (solució: 54). Ejercicio 9.5 Calcular las siguietes derivadas direccioales:. De la fució f ( ) = e el puto ( ) e la direcció del vector ( 5) (solució: No eiste la derivada direccioal).. De la fució f ( ) = z e el puto (0 ) e la direcció del vector ( 0 ) (solució ). Ejercicio 9.6 Hallar las derivadas parciales de las siguietes fucioes e todo puto de su domiio:.. si..( ) (00). f ( ) = 0... si...( ) = (00) (Solució: ( ) f.. si..( ) (00) ( ) = ( ) 0... si...( ) = (00) ( ) f.. si..( ) (00) ( ) = ( ) 0... si...( ) = (00). g( ) = (log e arcta se( ) e ). Podemos calcular la matriz jacobiaa de ua fució e u puto si más que distribuir adecuadamete las derivadas parciales de la fució e el puto e forma matricial. Y a partir de ella podemos hallar la epresió aalítica de la diferecial e dicho puto. Por ejemplo la matriz jacobiaa de la fució g del ejercicio aterior se obtedría así: Teiedo e cueta que 9

10 0 )0) cos(.( )0) cos( ( ) ( e e g = = que )0) cos( 9.( )0) cos( 9 ) ( ( ) ( e e g = = La matriz requerida es = 0 0 cos( 9 cos( ) ( e e Jg La cual puede hallarse ( visualizarse) co el Mathematica mediate las siguietes setecias: g[ ] = {Log[] Ep[ ] ArcTa[/] Si[ˆ ˆ]E } MatriForm[Traspose[{D[g[ ] ]D[g[ ] ]}]] Si quisiéramos la matriz e algú puto cocreto etoces tedríamos que evaluar las derivadas parciales e tal puto. Ejercicio 9.7 Hallar la matriz jacobiaa la epresió aalítica de la diferecial de las siguietes fucioes e los putos que se idica:. De la fució ) ( z z f = e el puto ( ).. De la fució )) log( cos ( ) ( f = e el puto (0 ). Puede hallarse tambié la ecuació del plao tagete a ua superficie. Veamos algú ejemplo. Ejemplo 9.8 Hallar el plao tagete a la superficie z = e el puto (0 0 0) hacer ua represetació gráfica de la superficie del plao tagete de forma cojuta e u rectágulo adecuado alrededor del puto. E primer lugar debemos defiir la fució que os da la superficie. E este caso podemos teclear Clear[f];f[ ]=^^ Como la ecuació es 0) (00)( 0) (00)( 0 = f f z basta co defiir las derivadas parciales del siguiete modo f[ ]=D[f[]];f[ ]=D[f[]] Etoces la ecuació sería z = f[0 0]f[0 0] es decir z = 00 el plao z = 0. Para realizar la represetació gráfica cojuta (por ejemplo e el rectágulo {( ) : }) basta utilizar el comado ParametricPlotD del siguete modo: ParametricPlotD[{{^^}{0}}{-}{-}]

11 Ejercicio 9.9 Hacer lo propio co las siguietes superficies e los putos que se da:. z = e el puto (0 0 0).. z = e el puto ( ).

12 Práctica 0. Poliomios de Talor de fucioes de varias variables. Máimos míimos. Mediate el Mathematica puede calcularse poliomios de Talor de fucioes de varias variables. Lo que ocurre es que la forma e la que Mathematica lo calcula es distita a la uestra. Por ejemplo ejecutado la setecia Series[f [ ] { a } { bm}] Mathematica os da del poliomio de Talor de la fució f depediete de las variables e los térmios cua potecia e ( a) es meor o igual a cua potecia e ( b) es meor o igual que m (además la forma e que se da los térmios es distita de la habitual uestra: es como si se ordeara los térmios segú las potecias de ( a) los coeficietes de cada ua de estas potecias fuera poliomios e potecias de ( b)). Si osotros ecesitamos el poliomio de grado k deberemos teclear la setecia aterior para m = = k solamete quedaros co los térmios de grado meor o igual que k. Ejemplo 0. Teclear la siguiete setecia Series[Cos[ ] { 0 } { 0 }] El resultado que da Mathematica es ( O[ ] ) ( O[ ] ) ( O[ ] ) O[ ] 6 4 Observemos que lo que hace el programa es obteer u desarrollo de Talor e la variable de grado siedo sus coeficietes desarrollos de Talor e la variable de grado. Si osotros ecesitáramos calcular por ejemplo el poliomio de Talor de grado de la fució cos( ) e el puto (0 0) tedríamos de lo aterior (cogiedo solamete los térmios cuo grado es o superior a ) que éste es p( ) =. Ejemplo 0. Teclear las siguietes setecias observar el resultado:. Series[Ep[ ] { 4} { }]. Series[Si[ z] { π } { 0 } {z π/ }] Ejercicio 0. Calcular los poliomios de Talor de las siguietes fucioes e los putos que se idica:. De la fució log( e ) ( cos( )) de grado e el puto (0 0).. De la fució e cos( ) de grado e el puto ( 0). 0. Etremos relativos. Cuado queremos determiar los etremos relativos de fucioes de dos variables os aparece u sistema de ecuacioes que os proporcioa los putos críticos. Para itetar resolver dicho sistema puede utilizarse los comados a coocidos (como Solve NSolve Reduce LiearSolve etc.) pero o queda garatizada la correcta resolució. Es por ello que a veces se hace ecesaria ua resolució maual de dichos sistemas. Ejemplo 0.4 Para calcular los etremos relativos de la fució 4 4 f ( ) = debemos hallar sus derivadas parciales e igualarlas a

13 cero. Nos sale respectivamete las ecuacioes 8 = = 0. Al itetar resolver el sistema co el comado Solve observamos que os sale epresioes complicadas. Por ello empleamos la versió umérica de este comado: NSolve. Co este comado observamos que os sale 7 solucioes de las cuáles 4 so úmeros complejos o los queremos. Nos quedamos co las solucioes reales que so P = (0 0) Q = ( ) R = ( ). 4 La matriz hessiaa sale Hf ( ) = co los que.6 Hf (P) = Hf ( Q) = Hf ( R) = 8.8 De este modo Q R so míimos relativos si bie P es u caso dudoso. Esta duda se puede itetar despejar aalizado e u etoro del puto pues f(0 0) = 0 para putos ( ) cercaos al orige se tiee que si tomamos putos de la forma = la fució vale 4 > 0 para putos de la forma = la fució vale 4 4 = ( 4) < 0 por lo que e coclusió e P o se alcaza i máimo i míimo relativo. Observació 0.5 Puede ser útil represetar la fució e etoros pequeños de los putos para ver el comportamieto de la fució alrededor del puto. Ejercicio 0.6 Estudiar los etremos relativos de la fució 4. Igualmete de la fució 0 Ejercicio 0.7 Ua caja rectagular si tapa ha de teer u volume de uidades cúbicas. Cuáles ha de ser sus dimesioes para que la superficie total sea míima?.

14 Práctica. Ecuacioes difereciales.. Ecuacioes difereciales Co Mathematica puede resolverse tambié ecuacioes difereciales sistemas de ecuacioes difereciales así como problemas de codicioes iiciales. El comado pricipal a utilizar es DSolve Su omeclatura básica es la siguiete DSolve[ec [] ] Esta líea de comado resuelve la ecuació ec e la que la icógita es la cual es ua fució que depede de la variable idepediete. (El aceto de derivada es el que ha co el sigo iterrogació?) Ejemplo.0 Comprobar si las fucioes que se da so solucioes de la ecuació diferecial correspodiete: a) ( ) = e e ( ) = e de la ecuació '' ' = 0 b) ( ) = e e ( ) = Cosh de la ecuació '' = 0 c) ( ) = e ( ) = cos se de la ecuació ''' ' = 0 d) ( ) = e ( ) = de la ecuació ( ) ' = 0 Ejemplo. Teclear las siguietes setecias:. DSolve[ [] == [] ]. DSolve[z [] z[] == Eˆ z[] ]. DSolve[ [t] [t] 8[t] == 0 [t] t] 4. DSolve[s [] == Eˆ() s[] ] 5. DSolve[ [] [] [] [] == 0 [] ] Ejercicio. Resolver las siguietes ecuacioes difereciales:. =. = 5. = ' = Si lo que pretedemos es resolver u sistema de ecuacioes difereciales como el siguiete: = z = z debemos teclear DSolve[{ [] == [] z [] == [] z[] } {[] z[]} ] Ejemplo. Teclear la siguiete setecia DSolve[{ [] == [] z[] z [] == [] z[] ˆ} {[] z[]} ] Ejercicio.4 Resolver los siguietes de ecuacioes difereciales: = z = z.. z = z = 6 z cos 4

15 Tambié puede resolverse problemas de codicioes iiciales co este comado. Así para resolver el problema de codicioes iiciales = habría que teclear lo siguiete (0) = 4 DSolve[{ [] == [] [0] == 4} [] ] Observació.5 Si o fucioa bie el comado puede probarse a deomiar a la fució co otro ombre o utilizado hasta ahora. Si lo que pretedemos es resolver el problema de codicioes iiciales = e () = 0 () = e habría que teclear lo siguiete DSolve[{ [] [] [] == Eˆ [] == 0 [] == E} [] ] Y para u problema de codicioes iiciales asociado a u sistema de ecuacioes = z difereciales del estilo z = habría que teclear lo siguiete () = e z(0) = DSolve[{ [] == z[] z [] == [] [] == E z[0] == } {[] z[]} ] Ejemplo.6 Teclear las siguietes setecias. DSolve[{ [] [] == Cos[] [0] == [0] == 0 [0] == [0] == } [] ]. DSolve[{ [] == [] z[] z [] Eˆ z [] == z[] Cos[] [] == E z[] == 0 [] == z [] == } {[] z[]} ] Ejercicio.7 Resolver los siguietes problemas de codicioes iiciales:.. = se() = z e z = z 4 () = () = 0 () = (0) = 5 z() = 5

16 Práctica. Programació Mathematica tambié es u leguaje de programació co órdees que puede ser utilizadas para costruir algoritmos. Veamos alguas de estas órdees: Prit Se utiliza para mostrar e la patalla u mesaje. Ejecutar la siguiete setecia se verá el fucioamieto de esta orde = ; = 4;Prit[ el valor de es el valor de es ] Observemos que lo que figura etre comillas aparece literalmete. If La sitais de este comado es If[a b c d] Lo que se hace es evaluar a; si es verdadero se ejecuta b si es falso se ejecuta c si o es i verdadero i falso (o o puede comprobarse) se ejecuta d. Puede omitirse d o tambié c d. E estos casos cuado o ha codició alterativa el programa o hace ada. Ejecutar las siguietes setecias para observar el fucioamieto es esta orde: ) z = 4; If[z == 4 z = 0 z = z = ]; Prit[ el valor de z es z] ) z = 5; If[z == 4 z = 0 z = z = ]; Prit[ el valor de z es z] ) z = w; If[z == 4 z = 0 z = z = ];Prit[ el valor de z es z] 4) z = 5; If[z == 4 z = 0];Prit[ el valor de z es z] 5) z = w; If[z == 4 z = 0 z = ];Prit[ el valor de z es z] El comado If puede ser usado tambié para defiir fucioes a trozos. Veamos cómo ejecutado las siguietes setecias ) f[ ] := If[ <= 0 5 ] ) f[0] ) f[] 4) f[t] Observemos que la salida correspodiete al valor f[t] es la propia defiició de la fució. Esto es así porque t o tiee u valor cocreto que el programa pueda determiar si es <= 0 o o. Para evitar esto se podría hacer algo como lo que viee a cotiuació para la fució g ) g[ ] : If[ <= 0 5 Prit[ El valor de o está totalmete determiado ]] ) g[0] ) g[] 4) g[t] Ejercicio. Supogamos que teemos la siguiete fució.. si..( ) (00) f ( ) = 0... si...( ) = (00) Defiirla co el Mathematica (e todos sus putos icluido el orige (0 0)). Hallar los valores de f e los putos (0 0) ( ) (0). Which La sitais de este comado es Which[a b a b... ak bk] Lo que se hace es evaluar las codicioes a a... hasta que ecuetra ua verdadera (la primera de la lista que sea verdadera). Etoces ejecuta la codició correspodiete b o sigue evaluado las demás codicioes. Si igua es verdadera o pasa ada. Ejecutar cada ua de las setecias ( observar después de cada ua cuál es el valor de a) 6

17 ) a = ;Which[a == a = 0 a == a = 0 a == a = 0]; a ) a = ;Which[a == a = 0 a == a = 0 a == a = 0]; a ) a = 5;Which[a == a = 0 a == a = 0 a == a = 0]; a 4) a = 5;Which[a == a = 0 a == a = 0 a == a = 0 Truea = 0]; a Observemos que e la última setecia hemos puesto al fial True (que siempre es verdad) co el objeto de que si igua de las ateriores codicioes so verdaderas que se ejecute la última setecia: a = 0 While La sitais de este comado es While[a b] Lo que se hace e primer lugar es evaluar a; si su valor es verdadero se ejecuta b se vuelve a evaluar a; si sigue siedo verdadero se vuelve a ejecutar b. El proceso cotiua mietras que a siga siedo verdadero deteiédose cuado a es falso. Veamos la siguiete setecia: i = ;While[i <= 0 i = i] El programa doblará el valor de i (i = i) mietras que este valor o supere a 0. E cuato esto o suceda el programa se detedrá. El valor fial de i deberá ser 6. Debido al carácter recurrete de este comado es posible que depediedo de la líea de comados itroducida e algua ocasió siempre se verifique a; si esto sucede uca se detedrá el programa deberemos abortar el cálculo (co la opció Abort Evaluatio del Meú Kerel de la parte superior de la patalla). Así sucedería por ejemplo co la setecia i = ;While[i <= 0 i = i] Ejecutar tambié la siguiete setecia: i = ;While[i <= 0 i = i] Ejercicio. Hallar el primer úmero cuo cuadrado sea maor que For La sitais de este comado es For[a b c d] Lo que se hace es ejecutar e primer lugar a; después se evalúa b si es verdadera se ejecuta c d. Después se vuelve a evaluar b si sigue siedo verdadera de uevo se ejecuta c d. Esto acabará cuado b sea falso. Setecias como ésta debe costruirse de maera que llegue el mometo e que b sea falso termie su ejecució. E caso de que esté mal diseñada la setecia habría que abortar el cálculo. Esto puede realizarse seleccioado Abort Evaluatio del meú Kerel. Ejecutar la siguiete setecia (e dode la setecia primera a es j = ; = ) For[j = ; = <= 0 j = j =./j] Observar bie el fucioamieto de la setecia aterior: realiza sumas parciales (e forma decimal o fraccioaria) de la serie umérica (que es divergete) hasta j j que su valor es maor que 0. Si tecleamos fialmete j observaremos que ha sido ecesarios 455 térmios de la serie para llegar a sumar co la serie más de 0 uidades. Do La sitais de este comado es Do[epresió {variable mi ma salto}] Lo que se hace es realizar los cálculos que aparece e epresió co el valor de variable compredido etre mi ma aumetado lo que marca salto. Veamos como 00 aplicació el cálculo de la suma i. Para ello podemos teclear la setecia i= suma = 0;Do[suma = sumaj {j 00 }]; suma El valor de suma debe dar 850 7

18 Observació. Para hallar sumas es mejor el comado Sum que a vimos e su mometo. Así por ejemplo para hallar la suma de la serie bastaría teclear la i= j setecia Sum[/j^ {j Ifiit}] auque podríamos hallar ua aproimació hallado el valor de las sumas parciales de orde grade por ejemplo de orde 000 tecleado suma = 0;Do[suma = suma /j^ {j 000}];N[suma] Tambié puede hallarse la aproimació (sobre todo iteresa cuado el valor total de la serie o es factible de calcular) co el propio comado Sum poiedo Sum[/j {j 000}] Ejercicio.4 Hallar el valor aproimado de la suma de la serie cosi usado el comado Sum de otro modo usado el comado Do i i= Iput Es ua orde utilizada para pedir datos eteros. Su sitais es ombredeldato = Iput[ cometario ] Ejemplo.5 Ejecutar la siguiete orde (itroduciedo el ombre cuado la patalla muestre la salida Cómo te llamas? ) ombre = Iput[ Cómo te llamas? ];Prit[ Qué tal ombre? ] Ejercicio.6 Utilizado los comados vistos hasta el mometo elaborar u cojuto de setecias que te pida itroducir dos úmeros eteros de a lo sumo 0 cifras que al dividir el maor etre el meor te imprima dichos úmeros la parte etera de dicha divisió Nota: Puede resultar útil el comado (a visto) ItegerPart 8

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