Otra vuelta de tuerca a la recursividad: Problemas combinatorios relacionados con números de Fibonacci

Transcripción

1 Otra vuelta de tuerca a la recursividad: Problemas combinatorios relacionados con números de Fibonacci Manuel Rubio Sánchez Grupo de Visualización y Documentación Electrónica Universidad Rey Juan Carlos Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos c/ Tulipán s/n, 8-9 Madrid, España manuel.rubio@urjc.es de marzo de 007 Seminario de Investigación e Innovación en Tecnologías del Software Universidad Rey Juan Carlos, 007

2 Índice Enseñanza de la recursividad Problemas y ejemplos recursivos Ejemplos básicos Problemas combinatorios Problemas asociados a números de Fibonacci Sencillos Problema de la población de conejos Difíciles Generales Basados en recursividad mutua Conclusiones c 007 Manuel Rubio Sánchez

3 Enseñanza de la recursividad c 007 Manuel Rubio Sánchez

4 Importancia de la recursividad Programación imperativa Programación funcional Lenguajes de programación (gramáticas) Análisis de algoritmos (complejidad algorítmica) Diseño de algoritmos (divide y vencerás, vuelta atrás, memoización, programación dinámica, algoritmos voraces) Estructuras de datos (definición, operaciones sobre éstas) c 007 Manuel Rubio Sánchez 4

5 Enseñanza de la recursividad Tema especialmente complejo para alumnos noveles Temario: Definiciones básicas (inducción, seguimiento del flujo de ejecución) Ejemplos básicos: traducción de fórmulas matemáticas a código Tipos de recursividad: lineal final, lineal no-final, múltiple, mutua, anidada... Otros problemas Listas, vectores o cifras de números enteros Implementación de algoritmos iterativos previamente vistos Problemas más complejos: Torres de Hanoi c 007 Manuel Rubio Sánchez 5

6 Intentos por mejorar la enseñanza Enfoques orientados hacia la comprensión del flujo de ejecución Pila de control Traza Árbol de recursión Árbol de Activación (también ilustra el concepto de inducción) Enfoques orientados a ofrecer diferentes variantes para resolver un problema Hasta 9 formas diferentes de calcular números de Fibonacci (sin recursividad mutua) Enfoques orientados a fortalecer el concepto de inducción Método inductivo Problemas específicos (p.e., Torres de Hanoi) Metáforas (Matrioskas - muñecas rusas) c 007 Manuel Rubio Sánchez 6

7 Traza de ejecución c 007 Manuel Rubio Sánchez 7

8 Árbol de activación Ventajas del árbol de recursión, y el método inductivo c 007 Manuel Rubio Sánchez 8

9 Matrioskas c 007 Manuel Rubio Sánchez 9

10 Problemas y ejemplos recursivos Ejemplos básicos y problemas combinatorios c 007 Manuel Rubio Sánchez 0

11 Ejemplos básicos, de implementación trivial Factorial n! = { si n = 0 n (n )! si n > 0 Potencia p n = { si n = 0 p p n si n > 0 Coeficiente Binomial ( ) { n si n = p ó p = 0 = ( p n ) ( p + n ) p en caso contrario Números de Fibonacci F n = { si n =, F n + F n si n > c 007 Manuel Rubio Sánchez

12 Problemas donde es necesario construir la solución Cuántos posibles caminos existen para llegar desde el origen (0,0) hasta la coordenada (x,y), x, y N, si únicamente se pueden dar pasos de longitud hacia la derecha o hacia arriba? (0,0) (x,y) f x,y = 0 si x < 0 ó y < 0 si x = 0 y y = 0 f x,y + f x,y en caso contrario Se puede demostrar que: f x,y (x + y)! x! y! = ( n ) n x = ( n ) n y donde n = x + y c 007 Manuel Rubio Sánchez

13 Relación con la combinatoria Factorial n! P n Potencia ( n p V Rn p Coeficiente Binomial n p) (x+y)! x! y! Problema de los caminos P Rn x,y, Vn x y Vn y n = x + y n/ ( ) n k Números de Fibonacci F n+ k k=0 C p n c 007 Manuel Rubio Sánchez

14 Aplicación a la docencia Se propone completar el estudio de la recursividad con problemas cuya solución sea un número combinatorio Los problemas complementan a los ejercicios básicos, en los cuales los alumnos sólo debían fijarse en la manipulación algebraica de expresiones En los problemas es necesario resolver un problema cotidiano Puede ayudar a ilustrar el concepto de inducción, fundamental para descomponer problemas en subproblemas similares Los problemas, aún con la misma expresión recursiva que las funciones básicas, toman nuevo significado Las matemáticas en este caso la combinatoria vuelven a ser útiles para explicar conceptos de programación (si se conoce algo la combinatoria) c 007 Manuel Rubio Sánchez 4

15 Permutaciones Hallar de cuántas maneras pueden ordenarse n elementos distintos. º º Ordenar n distintos nº Ordenar n- distintos c 007 Manuel Rubio Sánchez 5

16 Permutaciones Hallar de cuántas maneras pueden ordenarse n elementos distintos. f(n) = { si n = n f(n ) si n > 0 El caso base es trivial (para que coincida con la función factorial f(0) debe ser interpretado como ). Fijando un elemento en la primera posición, habrá f(n ) formas de ordenar n elementos. Como hay n formas de escoger el primer elemento, es necesario sumar todas, por tanto: f(n) = n f(n ). c 007 Manuel Rubio Sánchez 6

17 Variaciones con repetición Hallar cuántas hojas tiene un árbol de altura n cuyos nodos padre siempre tienen p hijos. Altura n p veces p Altura n- Número de hojas Árbol de altura n Número de hojas Árbol de altura n- p subárboles c 007 Manuel Rubio Sánchez 7

18 Variaciones con repetición Hallar cuántas hojas tiene un árbol de altura n cuyos nodos padre siempre tienen p hijos. f(p, n) = { si n = 0 p f(p, n ) si n > 0 El caso base es trivial. Si el nodo raíz tiene p hijos, esto significa que tiene p subárboles de altura n. Como las hojas del árbol de altura n es igual a la suma de las hojas de los subárboles, tenemos: f(p, n) = p f(p, n ). c 007 Manuel Rubio Sánchez 8

19 Combinaciones En una clase con n alumnos, p alumnos van a salir a la pizarra a resolver un ejercicio. Calcular cuántas maneras diferentes existen de escoger a esos p alumnos, sin importar el orden. p p p- n n- + n- c 007 Manuel Rubio Sánchez 9

20 Combinaciones En una clase con n alumnos, p alumnos van a salir a la pizarra a resolver un ejercicio. Calcular cuántas maneras diferentes existen de escoger a esos p alumnos, sin importar el orden. f(n, p) = { si n = p ó p = 0 f(n, p) + f(n, p ) en caso contrario Los casos base son triviales (si consideramos que f(n, 0) = ). Para hallar f(n, p) podemos pensar en dos situaciones. Suponiendo que elegimos a un alumno al azar, si no sale a la pizarra habría f(n, p) formas diferentes de elegir al resto de alumnos. Si sale a la pizarra, habrá f(n, p ) formas distintas de elegirlos. El resultado, naturalmente es la suma de estas cantidades. c 007 Manuel Rubio Sánchez 0

21 Problemas asociados a números de Fibonacci Problemas Sencillos c 007 Manuel Rubio Sánchez

22 Problemas en Internet Al buscar Fibonacci numbers por Internet, la primera página web encontrada por el buscador de google es: cuyo propietario es Dr. Ron Knott. Desde dicha página hay dos enlaces a páginas con problemas: fáciles y difíciles Se resolvieron prácticamente todos los problemas de ambas páginas, con dos objetivos: Analizar las diferencias entre los enfoques utilizados por matemáticos (normalmente descritos en la literatura) e informáticos, para poder hallar demostraciones innovadoras Hallar una explicación sencilla a por qué los problemas difíciles tienen como resultado un número de Fibonacci (cuestión propuesta por el propio autor de la página) c 007 Manuel Rubio Sánchez

23 Problemas sencillos Se caracterizan porque los problemas pueden descomponerse fácilmente según la fórmula: F n = F n + F n Número de formas de romper una tableta delgada de chocolate con n onzas, en piezas de una o dos onzas Son las formas de romper n onzas (si previamente has roto una), más las formas de romper n onzas (si previamente has roto dos) c 007 Manuel Rubio Sánchez

24 Problemas sencillos Otros problemas c 007 Manuel Rubio Sánchez 4

25 Problemas asociados a números de Fibonacci Problema de la población de conejos de Fibonacci c 007 Manuel Rubio Sánchez 5

26 Problema de la población de conejos de Fibonacci Resolver el problema de la población de conejos de Fibonacci, que consiste en calcular el tamaño de una población de conejos después de n meses en condiciones ideales, bajo las siguientes reglas: Inicialmente, una pareja de conejos recién nacidos, un macho y una hembra, son colocados en un prado; los conejos tardan un mes en madurar; los conejos maduros tardan otro mes en producir una nueva pareja de conejos recién nacidos; los conejos nunca mueren; la hembra siembre da a luz a un macho y una hembra, desde el segundo mes en adelante. c 007 Manuel Rubio Sánchez 6

27 Proceso de crecimiento de la población El proceso se puede ver, por ejemplo, mediante un árbol o una tabla Mes = Conejos Bebés Pares Bebés Pares Adultos Pares Totales 0 = Conejos Adultos c 007 Manuel Rubio Sánchez 7

28 Problema de la población de conejos de Fibonacci Modelado: B i = { si i = A i si i A i = { 0 si i = A i + B i si i donde B i y A i son el número de parejas de conejos Bebés y Adultos en el mes i-ésimo, respectivamente. Se puede demostrar que: F i = A i + B i = A i+ = B i+ donde F i es el i-ésimo número de Fibonacci. c 007 Manuel Rubio Sánchez 8

29 Problema de la población de conejos de Fibonacci Se trata de un problema donde el objetivo es calcular la cardinalidad de un conjunto de hojas del árbol de recursión: i i = = B i A i B i = F i c 007 Manuel Rubio Sánchez 9

30 Variantes B i = { 0 si i = A i si i A i = { si i = A i + B i si i i i = = B i A i B i = F i c 007 Manuel Rubio Sánchez 0

31 Variantes Parejas de conejos vivas en un mes i determinado { { si i = si i = B i = A i = A i si i A i + B i si i i = B i 8 i = A i B i = F i c 007 Manuel Rubio Sánchez

32 Variantes: otra forma de modelar el problema Número total de bebés en cada uno de los i meses { { si i = 0 si i = B i = A i = + A i si i A i + B i si i i = B i 8 i = A i B i = F i c 007 Manuel Rubio Sánchez

33 Generalización B i = { β b si i = β r + A i si i A i = { α b si i = α r + A i + B i si i i i = = B i A i 4 4 i i B n+ = β b F n + (β r + α b )F n+ + α r F n+ α r c 007 Manuel Rubio Sánchez

34 Árbol genealógico puro mes mes mes 4 mes 5 mes 6 mes 7 mes 5 mes 6 mes 7 mes 6 mes 7 mes 7 mes 7 F n = n i= F i + F i = si i =, i + F j si i > j= c 007 Manuel Rubio Sánchez 4

35 Problemas asociados a números de Fibonacci Problemas Difíciles c 007 Manuel Rubio Sánchez 5

36 Cuál es el auténtico problema? A pesar de la relativa dificultad de estos problemas, el auténtico problema es proporcionar una explicación sencilla de por qué las soluciones son números de Fibonacci: For these puzzles, I do not know of any simple explanations of why the Fibonacci numbers occur - and that s the real puzzle - can you supply a simple reason why?? The explanation of why the Fibonacci numbers are the answer is the real puzzle!! This page contains the second set where it is not so simple to explain why their answers involve the Fibonacci numbers. Does a simple explanation exist? If you find a simple explanation please me (click on my name at the foot of the page) and let me know as I d like to share the simpler solutions on these pages. c 007 Manuel Rubio Sánchez 6

37 Problema de configuraciones de monedas El problema consiste en determinar el número de configuraciones de monedas que podemos formar, en filas horizontales, de acuerdo a las siguientes reglas:. Todas las monedas en una fila se están tocando (no hay huecos entre ellas). Cada moneda situada en una fila que no se la inferior, está tocando a dos monedas por debajo de ella La siguientes configuraciones no serían válidas: La siguientes configuraciones no serían válidas: c 007 Manuel Rubio Sánchez 7

38 Primera variante: n monedas totales El problema de hallar el número de configuraciones C n, para n monedas, puede descomponerse de la siguiente manera: hallar el número de configuraciones S(n, j), de n monedas que contengan j monedas en la fila de abajo. Por ejemplo, S(8, 5) = 5: S(8, 5) = S(, ) + S(, ) c 007 Manuel Rubio Sánchez 8

39 Primera variante: n monedas totales Calculando los límites adecuados, se obtiene el siguiente algoritmo/fórmula: n C n = S(n, j) S n,j = i= + +8(n j) j= + +8n si n = j 0 si n > j(j + )/ n (j i) S(n j, i) en otro caso No son números de Fibonacci, es una falsificación de Fibonacci. La secuencia es:,,,,5,8,,8,6,8... c 007 Manuel Rubio Sánchez 9

40 Primera variante: n monedas totales La fórmula parece complicada, así que busque la secuencia en la enciclopedia de secuencias de enteros, buscando la fórmula recursiva. Lo que encuentras como solución/algoritmo es muy diferente: S = + 50 n= Z n(n+) cuyo desarrollo en serie, o función generatriz es: ( Z) n[ n i= ( Zi ) ] S = n 0 f(n)z n = + Z + Z + Z + Z 4 + 5Z 5 + 8Z 6 + Z 7 + 8Z 8... Una vez determinada, la función generatriz suele permite extraer toda las formas anteriores de expresar f(n). Además, las diversas operaciones naturales con funciones generatrices, tales como la adición, multiplicación, derivación, etc., tienen significado combinatorio, y esto permite extender los resultados de un problema combinatorio con el fin de resolver otros (Wikipedia: combinatoria). c 007 Manuel Rubio Sánchez 40

41 Segunda variante, primera solución Demostración tradicional A n = A n + A n + A n + + (n ) A = F n c 007 Manuel Rubio Sánchez 4

42 Segunda variante, segunda solución Demostración alternativa ( será publicable??) En este caso se divide el problema en configuraciones de una altura determinada c 007 Manuel Rubio Sánchez 4

43 Segunda variante, segunda solución Sea P h,n el número total de configuraciones de altura h, que tienen n monedas en la fila de abajo, entonces para n, h > 0: 0 si h > n si h = n ó h = P h,n = n h+ i P h,n i en otro caso por lo que la solución es: i= A n = n P h,n = F n h= c 007 Manuel Rubio Sánchez 4

44 Segunda variante, segunda solución Se puede demostrar que: P h,n = ( ) n + h n h c 007 Manuel Rubio Sánchez 44

45 Segunda variante, segunda solución Otro resultado hallado para realizar la demostración: una identidad relacionada con coeficientes binomiales: ( ) n k = k+ i= ( ) n i i k i + n k + La cual se puede deducir aplicando dos veces la conocida fórmula: m ( ) a + k k=0 k = ( ) a + + m m a 0 c 007 Manuel Rubio Sánchez 45

46 Segunda variante, segunda solución ( ) 8 4 = 5 i i= ( ) 7 i 5 i = ( ) ( ) 5 + ( ) ( ) + 5 ( ) 0 ( 6 ) ( 5 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( 6 0 ) ( 4 ) ( ) ( ) ( 5 0 ) ( ) ( ) ( 4 0 ) ( ) ( 0 0) ( 8 4) c 007 Manuel Rubio Sánchez 46

47 Escalera de resistencias Hallar una expresión recursiva R AB (r, n) para la resistencia entre A y B, dado el circuito mostrado con exactamente n resistencias verticales cuyo valor es r ohmios Un circuito con una sola resistencia de valor R AB (r, n) entre dos extremos A y B sería equivalente al circuito en escalera completo con n peldaños B r r r B r B R AB (r,n) r r r r R AB (r,n-) r A n- n A n- n A R AB (r, ) = r R AB (r, n) = r + r + R AB (r, n ) = r F n F n c 007 Manuel Rubio Sánchez 47

48 Control de aguas residuales Determinar el número de formas diferentes de verter el agua residual al rio Ciudad Ciudad Ciudad Ciudad N depuradora depuradora depuradora depuradora N Río Supongamos que tenemos n ciudades localizadas en una orilla de un río. Cada ciudad genera aguas residuales que deben ser tratadas en depuradoras antes de ser vertidas al río por una cañería. Cada ciudad dispone de una depuradora, pero no siempre la utiliza. En otras palabras, las aguas residuales de una ciudad pueden ser tratadas en la depuradora de la propia ciudad, pero también pueden enviarse a otras ciudades (donde pueden enviarse de nuevo a otras ciudades) por medio de otras cañerías que sólo conectan ciudades vecinas. El siguiente diagrama ilustra la disposición de las ciudades (depuradoras) y las cañerías. c 007 Manuel Rubio Sánchez 48

49 Control de aguas residuales En cada ciudad hay tres opciones para tratar las aguas:. Tratar su agua, y la que llegue por las cañerías de sus vecinas, en su depuradora y verterla al río. Denotamos esta situación mediante el símbolo V.. Enviar su agua, y la que llegue por la cañería de la ciudad a su derecha, por la cañería a su izquierda, siempre que no reciba agua por la cañería de la izquierda. Denotamos esta situación mediante el símbolo <.. Enviar su agua, y la que llegue por la cañería de la ciudad a su izquierda, por la cañería a su derecha, siempre que no reciba agua por la cañería de la derecha. Denotamos esta situación mediante el símbolo >. Las opciones aseguran que:. El agua de cada ciudad debe ser tratada en alguna depuradora. Por lo menos una ciudad debe verter el agua al río c 007 Manuel Rubio Sánchez 49

50 Control de aguas residuales, primera solución Solución en el artículo original: Modela las transiciones de agua entre las ciudades: 0, no hay transición; de izquierda a derecha; de derecha a izquierda. Posibilidades entre ciudades: no es posible A n A n+ A n+ A n+ = A n+ A n = F n c 007 Manuel Rubio Sánchez 50

51 Control de aguas residuales, segunda solución Solución basada en recursividad mutua: Modela las descargas de agua entre las ciudades: V, hacia el rio; > de izquierda a derecha; < de derecha a izquierda. Posibilidades entre ciudades: VVV, VV<, V<<, V<V, V>V, >VV, >V<, >>V >< no es válida tampoco puede enviar agua a la izquierda la ciudad más a la izquierda idem, con la derecha c 007 Manuel Rubio Sánchez 5

52 Control de aguas residuales, segunda solución Hallamos las configuraciones posibles fijando la ciudad más a la izquierda V n > n < n { si n = f v (n) = f v (n ) + f > (n ) + f < (n ) si n > { si n = f > (n) = f v (n ) + f > (n ) si n > { si n = f < (n) = f v (n ) + f > (n ) + f < (n ) si n > c 007 Manuel Rubio Sánchez 5

53 Control de aguas residuales, segunda solución En realidad sólo tenemos dos funciones, ya que f v (n) = f < (n) La solución al problema para n ciudades es: A n = f v (n ) + f > (n ) = f < (n) = F n c 007 Manuel Rubio Sánchez 5

54 Problema de las secuencias de paridad alternante Sea α = {a, a,..., a k } un subconjunto de los primeros n enters positivos que han sido configurados en orden ascendente: a < a < < a k n Cuántos α existen que empiezan en un número impar y posteriormente alternan en paridad?: α = {impar, par, impar, par,...} Sea t n ese número, se demuestra que t n = t n + t n = F n+ t = para α =, {} c 007 Manuel Rubio Sánchez 54

55 Problema de las secuencias de paridad alternante Demostración en la literatura: Claramente t n = (número de α que contienen n) + (número de α que no contienen n) = t n + (número de α que no contienen n) Queda por demostrar que t n = (número de α que no contienen n) Supongamos que n es par. Ahora hay dos tipos de α que contienen n (y por tanto terminan en n), y dos secuencias de paridad alternante β que son contadas por t n (i) α = {a, a,..., par, n, n}, acabado en una pareja impar-par (ii) α = {a, a,..., impar, n}, donde el último impar es n (iii) β = {a, a,..., par}, donde el último par es n (iv) β = {a, a,..., impar}, donde el último impar es n c 007 Manuel Rubio Sánchez 55

56 Problema de las secuencias de paridad alternante Claramente, eliminando el n y el n de una α del tipo (i) da una β de tipo (iii), y a la inversa Análogamente, eliminando el n de una α del tipo (ii) da una β de tipo (iv), y a la inversa La solución es inmediata c 007 Manuel Rubio Sánchez 56

57 Problema de las secuencias de paridad alternante Solución basada en recursividad mutua Se simula el proceso de creación de un α, desde n hasta { si n < Decide(n) = Coloca(n) + Decide(n ) si n { si n = Coloca(n) = Decide(n ) si n Se demuestra que Decide(n) = F n+ c 007 Manuel Rubio Sánchez 57

58 Problemas no tan sencillos c 007 Manuel Rubio Sánchez 58

59 Problemas no tan sencillos c 007 Manuel Rubio Sánchez 59

60 Conclusiones c 007 Manuel Rubio Sánchez 60

61 Principales Conclusiones Existe una relación muy estrecha entre la recursividad y la combinatoria Los problemas combinatorios podrían incorporarse en clases de programación para fortalecer conceptos asociados a la recursividad La recursividad mutua puede ser una herramienta potente para modelar problemas Se da una respuesta a la pregunta de Dr. Ron Knott: los problemas difíciles no se modelan mediante la relación F n = F n + F n, sino mediante otras, cuyo resultado sigue siendo un número de Fibonacci, pero que también pueden ser intuitivas c 007 Manuel Rubio Sánchez 6

62 Otra vuelta de tuerca a la recursividad: Problemas combinatorios relacionados con números de Fibonacci Manuel Rubio Sánchez Grupo de Visualización y Documentación Electrónica Universidad Rey Juan Carlos Departamento de Lenguajes y Sistemas Informáticos c/ Tulipán s/n, 8-9 Madrid, España manuel.rubio@urjc.es Gracias por su tiempo! c 007 Manuel Rubio Sánchez 6