TÉCNICAS MODERNAS DE OPTIMIZACIÓN - Simulación Aplicada -

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1 Escuela de Estudios Idustriales y Empresariales Igeiería Idustrial Facultad de Igeierías Físico-Mecáicas CONSTRUIMOS FUTURO TÉCNICAS MODERNAS DE OPTIMIZACIÓN - Simulació Aplicada - NÚMEROS Y VARIABLES ALEATORIAS Ig. Edwi Alberto Garavito Herádez Igeiería Idustrial lues, 22 de juio de 2015 CONSTRUIMOS FUTURO 1

2 3 QUÉ ES UN NUMERO ALEATORIO? 4 es u úmero aleatorio? SECUENCIA DE NÚMEROS ALEATORIOS Idepedietes: cada úmero es obteido por casualidad y o tiee igua relació co otros úmeros de la serie Distribució específica: cada úmero tiee ua probabilidad específica de perteecer a u rago de valores determiado. 4 Para qué las secuecias de úmeros aleatorios? Simulació: La reproducció de feómeos aturales ecesita úmeros aleatorios. E procesos productivos, el comportamieto del tiempo de servicio o de operació, la tasa de llegadas de clietes a u sistema, la demada de u producto. Muestreo: Muchas veces es poco práctico examiar todos los casos posibles. U muestreo aleatorio puede revelar u comportamieto típico. Aálisis Numérico: Técicas uméricas ecesita úmeros aleatorios Programació de computadores: Tests de efectividad de algoritmos Toma de decisioes: Modelos de aálisis de escearios. Estética: U toque de aleatoriedad puede resultar agradable Juegos: De aquí proviee el propio método lues, 22 de juio de

3 5 Métodos para geerar úmeros aleatorios Maual Lazamieto de dados Destapar Cartas Extraer bolas de u ura Girar ua rueda Métodos uméricos Algoritmo de Vo Newma (1940) Producto medio Multiplicador costate Geeradores Cogrueciales lieales. 6 Números pseudo-aleatorios U úmero pseudo-aleatorio es u úmero geerado e u proceso que parece producir úmeros al azar, pero o lo hace realmete. Las secuecias de úmeros pseudo-aleatorios o muestra igú patró o regularidad aparete desde u puto de vista estadístico, a pesar de haber sido geeradas por u algoritmo completamete determiista, e el que las mismas codicioes iiciales produce siempre el mismo resultado. 3

4 7 Que sigifica u bue geerador? Período Largo Cumple co alguas pruebas estadísticas Velocidad / eficiecia Portabilidad - se puede implemetar fácilmete co diferetes leguajes y computadores Repetibilidad - debe ser capaz de geerar la misma secuecia de uevo 8 Estructura Básica. Dada ua fució de trasició, f, el estado e el paso viee dado por x = f ( x ), 1 1 La fució de salida, g, produce resultados como u ( ) = g x La secuecia de salida { u, 1} 4

5 9 Semilla: X0 X0 *X0= ## #### ## Vo Newma X1 *X1= ## #### ## X2 *X2= ## #### ## Ej. Xo=6375 Ro= Xo*Xo = X1 = 6406, R1 = X1*X1 = X2 = 0368, R2 = X2*X2 = X3 = 1354, R3 = Producto Medio Semillas: Xo, Xo P1= Xo, Xo= ## #### ## X1, R1 = 0,X1 Pi= Xi-2 * Xi-1= ## #### ## i=2,3,4 Xi, Ri = 0,Xi Semillas: Xo =3721, Xo= 6375 P1= , X1= 7213, R1= P2=Xo*X1= , X2= 9828, R2= P3=X1*X2= , X3= 8893, R2=

6 11 Multiplicador Costate K=costate Xo= semilla Pi=K*Xi-1 = ## #### ## Xi, Ri = 0,Xi i=1, 2, 3.. K= 3721 Xo= 6375 P1=K*Xo = , X1= 7213, R1= P2=K*X1 = , X2= 8395, R2= Geerador de Fiboacci Suma o diferecia de elemetos predecesores El retardo usa dos úmeros de la secuecia previa x = x + x m o d m ( ) p r u = x / m p, q a re th e la g s (MRGs) defiidos por: = + L + k k Multiple Recursive Geerators x ( a1x 1 a x ) mod m u = x / m dóde a i to {0,1,,m 1} m es primo y requiere ua adecuada selecció de valores a i para que el máximo periodo sea m k -1 Geeradores o lieales. Usa fució de trasició lieal, y ua fució de salida o lieal Ejemplo: explicit iversive geerator x = a + c m ( ) z = a + c 2 mod m u = z / m 6

7 13 Geeradores Lieales Cogrueciales (Prime modulus multiplicative liear cogruetial geerator PMMLCG) Lehmer X R i + 1 i + 1 = ( a * X ) mod m X i + = m 1 i Xo = semilla a = multiplicador m = módulo Ejercicio: a=5, m=16, Xo= 7, 10, Geeradores Lieales Cogrueciales (Mixtos) Thomso hacia 1958 X R i + 1 i + 1 = ( a * X X i + = m 1 i + c ) mod m Xo = semilla a = multiplicador c = icremeto m = módulo Ejercicio: a=23, c=6, m=18 7

8 15 Observacioes: Período: Logitud del ciclo Si el período es m, el GLC es de período completo (Full period) La semilla o cambia la secuecia, lo que cambia es dode iicia. Ej.: a=5, c=3, m=16 GLC(s,a,c,m) a=7, c=5, m=48 semilla 8 GLC(8,7,5,48) SI a y m o so primos relativos la serie se degeera ej. GLC(8,6,5,48) 16 lues, 22 de juio de

9 TEOREMA 17 U GLC es de período completo, si y solamete si cumple las siguietes codicioes: El úico etero positivo que divide exactamete a m y c es 1 (Primos relativos) Todos los úmeros primos que divide a m tambié divide a a-1 (Raíz Primitiva) Si 4 divide a m, etoces tambié divide a a-1 GLC(##,25,21,47) GLC(##, 485, 121, 256) GLC(##, 106, 1283, 6075) Todas estas codicioes se cumple si m = 2 k, a = 4c + 1, y c es impar, dode c, b, y k so eteros positivos GLC(#, , , ) GENERADORES EN APLICACIONES COMUNES MATLAB: Versioes ateriores a 5: GLC co 5 31 a = 7 = 16807; c = 0; m = 2 1 = Versios 5 & 6: Fiboacci geerator combiado co u u geerador de desplazamieto etero aleatorio co P ~ 2 EXCEL: u = fractioal part (9821 u ); period 23 SAS (v6): LCG with period ~ 2 SIMMAN: a= 7 5, c=0, m= ARENA:a=16807 m = PROMODEL: Z i = Z i-1 mod (2 31-1) FLEXSIM: (PMMLCG): a= y m*=2^

10 19 Recomedacioes para la selecció de las semillas 1. No use cero. 2. Evite valores pares. Si u geerador o es de periodo completo (por ejemplo GCL multiplicativo co modulo m = 2 k ) la semilla debe ser impar. E otros casos o importa. 3. No subdivida ua secuecia. Usar ua úica secuecia para todas las variables es u error comú. 4. Use secuecias que o se solapa. Cada secuecia requiere su semilla. 5. Reuse semillas e replicas sucesivas. Usar para la siguiete réplica como semilla el valor de fial de la secuecia previa 6. No usar semillas aleatorias. No se puede reproducir el experimeto y o garatiza cumplimieto de codicioes 20 PRUEBAS DE ALEATORIEDAD Pruebas de corridas (presució de idepedecia) Tedecias Corridas arriba / debajo de la media Logitud de la corrida. Pruebas de frecuecia Kolmogorov Smirov Chi-cuadrado 10

11 21 Hipótesis para uiformidad Hipótesis para idepedecia Nivel de cofiaza 22 Tedecias Eveto(i)= si Rd(i) < Rd(i-1) Eveto(i)= + si Rd(i) > Rd(i-1) Ej corridas (3 desceso, 3 asceso) µ A σ 2 A (2 1) A ~ N ; 3 90 A=Número de corridas =Número de datos 11

12 23 E(A)=16.33, Var(A)= lues, 22 de juio de

13 25 26 Arriba / abajo de la media Eveto(i)= si Rd(i) < 0.5 Eveto(i)= + si Rd(i) > 0.5 B 2 1 N ~ (2 1 2 ) ; ( ( 1)) B=Número de cambios =Número de datos 1=Número de datos debajo de la media 2=úmero de datos arriba de la media 13

14 27 E(B)=12.82, V(B)=5.88, B=

15 29.OTRAS PRUEBAS PARA HIPÓTESIS DE INDEPENDENCIA Correlació serial Logitud de rachas Prueba de brechas Prueba de Poker lues, 22 de juio de Chi-cuadrado Si 2 x < 2 0 x α, g < No hay evidecia suficiete para rechazar la Ho P-value > α, prueba. chi. iv ( α, gl ) 2 x α g > 15

16 31 Kolmogorov-smirov Para ~U(0,1) Fució empírica S (x) Estadísticos: 32 {D +,D - } <D(α,) 16

17 33 EJERCICIO Dado u GLC co: X0 = 5 a = 255 c = 100 m = 1032 Aplicar pruebas de idepedecia y de frecuecia 34 GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS Factores a cosiderar para selecció del algoritmo Exactitud: se ha de obteer valores de ua variable co ua precisió dada. A veces se tiee suficiete co obteer ua aproximació y otras o. Eficiecia: el algoritmo que implemeta el método de geeració tiee asociado u tiempo de ejecució y u gasto de memoria. Elegiremos u método que sea eficiete e cuato al tiempo y a la catidad de memoria requeridos. 17

18 35 GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS Factores a cosiderar para selecció del algoritmo Complejidad: Buscamos métodos que tega complejidad míima, siempre y cuado se garatice cierta exactitud. Robustez: el método tiee que ser eficiete para cualquier valor que tome los parámetros de la distribució que siga la variable aleatoria. Facilidad de implemetació. 36 GENERACION DE VARIABLES ALEATORIAS Trasformació iversa Aceptació-Rechazo, Composició Covolució 18

19 37 Iverso de la fució 38 Trasformació iversa 19

20 39 lues, 22 de juio de Trasformació iversa ~U[0,1] x Geerar u~u[0,1] x F -1 (u) 20

21 41 Distribució Uiforme Cotiua 42 Trasformació iversa Distribució Uiforme discreta e el itervalo [a,b] lues, 22 de juio de

22 43 Trasformació iversa Distribució Weibull 44 Trasformació iversa Distribució Expoecial 22

23 45 Trasformació iversa Distribució Triagular 46 Trasformació iversa Distribució Triagular 23

24 47 EJERCICIO Se ecesita simular el tiempo de servicio de u sistema de ateció a clietes, el cual se rige por ua distribució triagular co míimo 2 miutos, máximo 10 y moda de 5 miutos. Usar Trasformació iversa, geerádolos e EXCEL y Aplicar pruebas de Frecuecia para verificar su ajuste. 48 EJERCICIO Para simular el comportamieto del tiempo de operació de ua máquia, se requiere geerar 200 datos que siga el siguiete comportamieto e su distribució de probabilidad TIEMPO (mi) PROBABILIDAD Usar Trasformació iversa, geerádolos e EXCEL y Aplicar pruebas de Frecuecia para verificar su ajuste. 24

25 49 Aceptació rechazo Vo Neuma Cosiste e muestrear ua variable aleatoria respecto a ua fució de distribució apropiada y someter a dicha variable a u test para determiar si se acepta o o. Se puede usar si existe otra fució de desidad g(x) tal que c*g(x) supera la fució de desidad f(x), es decir, c*g(x) > f(x) para todos los valores de x. Si esta fució existe, etoces se puede aplicar los siguietes pasos: 1. Geere ~U(0,1) 2. Geere y co h(y), idepediete de U 3. Si f(y) > U*C*h(y), devuelva x=y, y retore. De lo cotrario repita desde el paso Aceptació - rechazo ~Tria(a=0, b=c=1) h(x)=2x 25

26 51 Aceptació - rechazo Covolució Si la V.A. x se puede expresar como ua combiació de k v.a s 52 Ej. ormal, biomial, poisso, gamma, erlag,, Geerar k.a. ~U (u1, u2,, u k ) Geerar k v.a. (x i ) a partir de U k Geerar X co x i i = 1 Ej: Para N~(µ,σ) x = 26

27 53 Caracterizació Box-Muller Z 1, Z 2, ~N(0,1) Z 1 = B*cos(θ) Z 2 =B*se(θ) B 2 =Z 12 +Z 2 2 ~X 2 (2gl) ~E media=2 θ ~ U(0,2π), B y θ so idep. 54 Composició Este método se puede usar si la FDA F(x) deseada se puede expresar como ua suma poderada de otras FDA: F1 (x),..., F (x): E cualquier caso, los pasos a seguir so: 1. Geere u etero aleatorio I tal que P(I = i ) = pi. Esto puede ser hecho co el método de trasformació iversa. 2. Geere x co la i-esima desidad fi (x) y retore. 27

28 55 Composició Esta desidad es ua composició de dos desidades expoeciales. La probabilidad de que x sea positiva es 1/2, y de que sea egativa tambié es 1/2. Usado la técica de composició podemos geerar variables de Laplace de la siguiete forma: 1. Geere u1 ~ U(0,1), y u2 ~ U(0,1). 2. Si u1 < 0.5, retore x = -a l u2, de lo cotrario retore x = a l u2. FIN lues, 22 de juio de 2015 CONSTRUIMOS FUTURO 28

29 Escuela de Estudios Idustriales y Empresariales Igeiería Idustrial Facultad de Igeierías Físico-Mecáicas CONSTRUIMOS FUTURO 29