DESARROLLANDO TÉCNICAS Y RUTINAS DE PROGRAMACIÓN EN EL GEÓMETRA.

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1 IV CIEMAC J.J Fallas, J. Chavarría 1 DESARROLLANDO TÉCNICAS Y RUTINAS DE PROGRAMACIÓN EN EL GEÓMETRA. Juan José Fallas Monge 1 Jeffry Chavarría Molina. Resumen Frecuentemente al Geómetra se le relaciona con construcciones geométricas, sin embargo, existen muchas otras posibilidades y aplicaciones más avanzadas, que se pueden aprovechar, para el desarrollo de algunos otros contenidos matemáticos, como el caso de: estudio de funciones (funciones a trozos, régimen de variación, ámbito), recursividad, elementos de programación (comportamientos condicionados y aleatoriedad), entre otras. El objetivo de este taller, es mostrar y explotar esta otra faceta de este interesante software, que no siempre es conocida por sus usuarios. I Sesión: Análisis de funciones Actividad 1 Objetivo: Construir una aplicación que dado el criterio de una función grafique en colores diferentes, la parte donde la función es positiva y donde la función es negativa. Conocimientos previos: Dado el criterio de una función, construir su gráfica. Función signo: El Geómetra cuenta con la función signo, que se denota sgn( x ), y se puede utilizar para determinar el signo de una expresión, y viene definida por: sgn : IR y además: { 1,,1 } 1 si x > sgn( x) = si x = 1 si x < Por ejemplo: sgn( 3) = 1, sgn(5) = 1. 1 Escuela de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica,

2 2 Desarrollando técnicas y rutinas de programación en el Geómetra. Guía para la actividad: 1. Abra una hoja de trabajo y grafique la función ( x) x 3 x 2. Abra una hoja nueva de trabajo. f = 3, minimícela. 3. Muestre la cuadrícula, para ello seleccione Gráfica mostrar cuadrícula 4. Defina la función x 3 3x Nueva función =, sin graficarla, para ello seleccione Graficar 5. Analice en papel, qué comportamiento tiene la expresión casos que >, < y =. 6. Defina una nueva función g( x) ( x) ( x) 2, en los sgn 1 ( f ) 2 = y grafíquela. Cambie el estilo de sgn( f ) 1 línea a grueso y escoja un nuevo color para esa gráfica. Compare el resultado obtenido, con la gráfica de la función realizada al inicio, en la otra hoja de trabajo. 7. Defina una nueva función ( x) para esta gráfica. ( x) 8. Oculte los criterios de las funciones g y h. 2 h = y grafíquela. Escoja un nuevo color sgn( f ) Por último cambie el criterio de la función f. Esto se logra dando doble clic sobre el criterio y reeditando la función. Observe que para todas se cumple el resultado deseado. En particular pruebe con: = sen( x), = tan( x), = x, f x 2 ( ) x 4 = +. Comentario: Note que cuando ( ) f x es positiva la función ( x) ( x) 2 g = se indefine. El sgn( f ) 1 Géometra en casos donde la función no esté definida no genera ningún error, sino simplemente no se realiza ningún trazo en el intervalo de indefinición. Actividad 2

3 IV CIEMAC J.J Fallas, J. Chavarría 3 Objetivo: Construir una aplicación que dado el criterio de una función grafique en colores diferentes, la parte donde la función es creciente y donde la función es decreciente. Conocimientos previos: Al igual que la actividad anterior, se requiere conocimientos sobre graficación de funciones y la función signo. Criterio de la primera derivada y cálculo de la misma en el Géometra. Recordemos que: Dada una función f derivable en un intervalo I = ] a, b[ I. f es creciente en I si y sólo si f '( x) > x I. II. f es decreciente en I si y sólo si f '( x) < x I. Es decir, para determinar la monotonía de una función, basta analizar el signo de su primera derivada. Guía para la actividad: 1. Abra una hoja nueva de trabajo. 2. Muestre la cuadrícula. Gráficar mostrar cuadrícula. 3. Defina la función ( ) 5 función. f x = x 4x sin graficarla, haciendo Graficar Nueva 4. Calcule la derivada de la función anterior, para esto marque el criterio de la función f y seleccione Graficar Derivada 5. Defina una nueva función g( x) = sgn 2 ( f '( x) ) + 1 línea a grueso y escoja un nuevo color para esa gráfica. 6. Defina una nueva función h( x) color. 7. Oculte las funciones g ( x) y ( x) h. ( x) 2 = sgn ' 1 ( f ) y grafíquela. Cambie el estilo de y grafíquela. Escoja un nuevo 8. Por último cambie el criterio de la función f. En particular pruebe con: = cos( x), = sec( x), = x, 2 = x 2x 3.

4 4 Desarrollando técnicas y rutinas de programación en el Geómetra. Reto del día Objetivo: Graficar una función a trozos utilizando el Geómetra. Descripción: Implemente una aplicación en el Geómetra, que dadas tres funciones f, g y h, y dos parámetros t 1 y t 2, permita graficar la función a trozos: si x < t1 m( x) = g( x) si t < x < t h( x) si x > t2 1 2 Sugerencia: Utilice la técnica empleada en las actividades anteriores, para indefinir la o las funciones en los intervalos donde no nos interesa que se realiza el trazo de alguna de las gráficas. II y III Sesión: Procesos iterativos en el Geómetra Comúnmente en la Matemática se realizan muchos procesos donde se repite un mismo patrón, por ejemplo, en secundaria, a la hora de justificar que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso, decimos que dados dos números racionales, siempre es posible encontrar otro racional entre ellos. A estos procesos, se les denomina procesos iterativos. Gráficamente uno de los procesos iterativos más comunes lo constituyen los fractales. La idea básica de un fractal, es una figura que exhibe recursividad o autosimilitud: cuando observamos cualquier parte de ella, vemos el patrón original de la figura completa. Por su parte las iteraciones numéricas, tienen muchas aplicaciones en la resolución de problemas en matemática. Nuestro objetivo es mostrar algunas de ellas, pero primero iniciemos con la construcción de un fractal. Actividad 1 Construyamos el siguiente fractal:

5 IV CIEMAC J.J Fallas, J. Chavarría 5 Pasos: 1. Coloque dos puntos A y B, y construya el segmento AB. 2. Con base en el segmento anterior, construya un cuadrado, en donde el segmento AB quede como lado de éste. 3. Triseque cada uno de los lados del cuadrado anterior, y trace segmentos paralelos a los lados, separando el cuadrado original en nueve cuadrados. Comentario: Para trisecar los lados, calcule la medida del segmento AB y utilice la calculadora para determinar el valor de la tercera parte de dicha medida. Utilice los vértices del cuadrado y la medida anterior para construir círculos, y de ese modo trisecar el segmento. 4. Construya los puntos de intersección de los segmentos construidos en el paso anterior. 5. Construya los interiores de los cuadrados que se encuentran en las esquinas y en el centro del cuadrado original, cámbieles el color por alguno que prefiera. 6. Marque los puntos A y B, y vaya al menú Transformar Iterar... Al hacer esto se mostrará el siguiente formulario: complételo con los puntos de una de las bases de los cuadrados más pequeños, siempre en la misma dirección en que fueron seleccionados. En el botón Estructura. del formulario anterior, seleccione Agregar nueva transformación. Llene los datos con los puntos de otro cuadrado. Repita el procedimiento anterior para todos los cuadrados de la figura. Finalmente seleccione en el botón Presentar la opción sólo iteración final. Presione Iterar.

6 6 Desarrollando técnicas y rutinas de programación en el Geómetra. 7. arque la figura anterior y presione en el teclado + ó para incrementar o disminuir el número de iteraciones. 8. Oculte todas las rectas iniciales, incluyendo los lados del cuadrado original, además oculte los interiores de los cuadrados. 9. Repita el paso 7. Ya tienes un fractal. Reto: Construya el siguiente árbol en forma recursiva. 157º Actividad 2 Objetivo: Implementar el método de Newton, para aproximar una solución de una ecuación de la forma f ( x ) =, dada una aproximación inicial. Motivación: En el caso de ecuaciones cuadráticas existe una fórmula bien conocida para encontrar las raíces. Para las ecuaciones de tercero y cuarto grado también existen fórmulas, aunque muy complejas (fórmulas de Cardano). El matemático francés Evariste Galois probó que es imposible hallar una fórmula general para las raíces de una ecuación de grado n (en términos de operaciones algebraicas sobre los coeficientes), para n 4. Podemos, utilizando algún método de iteración, particularmente en el Geómetra, encontrar una solución aproximada de una ecuación. Como la mayoría de buscadores numéricos de raíces lo hacen, utilizaremos el método de Newton, para generar esta aproximación.

7 IV CIEMAC J.J Fallas, J. Chavarría 7 Recordemos que: El método de Newton empieza con una aproximación inicial x, la cual se obtiene por tanteo, o a partir de un bosquejo aproximado de la gráfica de la función, o bien realizando la gráfica de la función utilizando algún paquete de computadora, que en nuestro caso emplearemos el mismo Geómetra. Luego se genera una sucesión de aproximaciones x1, x2, x3,..., x n,..., de manera que la n ésima aproximación x n, viene dada por: x n = x n 1 f ( xn 1) f '( x ) n 1 siempre y cuando f '( xn 1). Conocimientos previos: Además de las ideas expuestas sobre el método de Newton, se requiere: dominar el cálculo de la derivada de una función en el Geómetra. nociones básicas de secuencias y series numéricas. Guía para la actividad: Encontraremos, utilizando el método de Newton, una solución de la ecuación cos( x) = x, tomando en cuenta que este proceso es equivalente a encontrar un cero de la función = cos( x) x. 1. Defina y grafique en el Geómetra la función = cos( x) x, haciendo Graficar Graficar nueva función Comentario: Tenga el cuidado de seleccionar cambiar las unidades de ángulos de grados a radianes. Lo puede hacer seleccionando sí, cuando el Geómetra lo pregunte o bien utilizando la opción Editar Preferencias para luego en la viñeta unidades seleccionar radianes, como se figura: muestra en la siguiente

8 8 Desarrollando técnicas y rutinas de programación en el Geómetra. 2. Por inspección rápidamente podemos determinar que existe una solución en el intervalo [,2 ]. 3. Oculte o borre la gráfica anterior, junto con el sistema de coordenadas. 4. Tome como aproximación inicial, para generar el método de Newton, un valor arbitrario en el intervalo anterior y defínalo como un nuevo parámetro, haciendo Graficar Nuevo parámetro llámelo x y asígnele como valor, el que escogió anteriormente. lo anterior con la intención de tener la facilidad de modificarlo posteriormente. 5. Calcule la derivada de la función f. 6. Antes de comenzar a realizar los cálculos, cambiemos la precisión, que por defecto el Geómetra viene en centésimas, a su máxima capacidad en cienmilésimas. Para realizarlo proceda de forma análoga al paso 1. En el formulario de preferencias cambie las tres opciones de precisión a cienmilésimas. 7. Calcularemos, utilizando la opción Medir Calcular el valor de la primera x aproximación x 1, digitando, según el método de Newton: f ( x ) f '( x ) Comentario:

9 IV CIEMAC J.J Fallas, J. Chavarría 9 Las demás iteraciones (cálculos de cada uno de las aproximaciones), el Geómetra las genera automáticamente, como se explica en el siguiente paso. 8. Seleccione el parámetro x y formulario: proceda Transformar Iterar esto generará el f ( x ) Ahora dé clic sobre la expresión x f '( x ) y presione Iterar. El Geómetra despliega una tabla que contiene una columna con el número de iteración y otra columna con el valor de la iteración correspondiente. Comentarios: Para incrementar la cantidad de iteraciones generadas en la tabla, selecciónela y utilice la tecla de + para incrementar y la de para disminuir. De modo que utilicemos mayor cantidad de iteraciones, los valores obtenidos en la tabla nos aproximan la raíz buscada. El número de iteraciones depende qué tan cerca se encuentre la aproximación inicial tomada, del valor real, pero en general el método de Newton converge muy rápidamente a la solución. Una desventaja clara del Geómetra para este tipo de aplicación, es que su nivel máximo de precisión es muy bajo, esto provoca que visualmente los valores se tiendan a estabilizar rápidamente y por lo tanto no nos permite realizar un análisis minucioso del comportamiento de las expansiones decimales de cada una de las aproximaciones.

10 1 Desarrollando técnicas y rutinas de programación en el Geómetra. 9. Cambie el parámetro (condición inicial), tomando valores más cercanos y más alejados del valor real (inclusive fuera del intervalo [,2 ] ), y observe cómo varía la cantidad de iteraciones necesarias para precisar la solución. Ejercicios: x Encuentre todas las soluciones de la ecuación e x sen( x) Recordemos que la sucesión de Fibonacci, viene dada por: = en el intervalo [ 1,] f = f1 = 1 f = f + f n n 1 n 2 genere esta sucesión en el Geómetra, utilizando procesos iterativos. Aproxime 1, utilizando procesos iterativos. Bibliografía: o o Stewart James. Cálculo en una variable. Cuarta edición. Folleto Proceso para el aprovechamiento y el uso de tecnología aplicada. ITCR- PROMECE.

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