Sucesiones y series infinitas

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1 Sucesioes y series ifiitas E la última secció de este capítulo le pediremos que utilice ua serie para deducir ua fórmula para determiar la velocidad de ua oda oceáica. Epic Stock / Shutterstock E U previo de Cálculo, hicimos ua breve itroducció de las sucesioes y series e relació co las paradojas de Zeó y la represetació decimal de úmeros. Su importacia e el Cálculo se deriva de la idea de Newto de represetar fucioes como sumas de sucesioes ifiitas. Por ejemplo, para ecotrar áreas, co frecuecia itegraba ua fució epresádola primero como ua serie y después itegrado cada uo de sus térmios. E la secció.0 trataremos de seguir esta idea co el fi de itegrar fucioes como e. (Recuerde que ateriormete os vimos icapacitados para efretar esto.) Muchas de las fucioes que aparece e física matemática y química, tales como las fucioes de Bessel, está defiidas como sumas de series, así que es muy importate familiarizarse co los coceptos básicos de covergecia de sucesioes y series ifiitas. Los físicos tambié usa las series e otro modo, tal como veremos e la secció.. E el estudio de feómeos ta diversos como la óptica, relatividad especial y electromagetismo, los físicos aaliza los feómeos reemplazádolos primero por uos cuatos térmios de las series que los represeta. 689

2 690 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS. Sucesioes Ua sucesió se puede pesar como ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a, a, a 4,...,a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a es el segudo térmio y, e geeral, a es el -ésimo térmio. Aquí tratamos eclusivamete co sucesioes ifiitas, por lo que cada térmio a tiee u sucesor a. Observe que para todo etero positivo hay u úmero correspodiete a, por lo que ua sucesió se puede defiir como ua fució cuyo domiio es el cojuto de eteros positivos. Pero usualmete escribimos a e lugar de la otació de fució f () para el valor de la fució e el úmero. NOTACIÓN La sucesió a, a, a,... tambié se deota mediate a o a EJEMPLO Alguas sucesioes se puede defiir dado ua fórmula para el -ésimo térmio. E los ejemplos siguietes se ofrece tres descripcioes de la sucesió: ua e la que se aplica la otació aterior, e otra se aplica ua fórmula defiida y e la tercera se escribe los térmios de la sucesió. Observe que la o tiee que empezar e. a) a,, 4, 4 5,...,,... b) c) a, 9, 4 7, 5 8,...,,... {s } a s, {0,, s, s,..., s,...} d) cos p 6 0 a cos p s, 0, 6,, 0,..., cos p 6,... v EJEMPLO Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió 5, 4 5, 5 5, 6 65, 7 5,... y supoga que el patró de los primeros térmios cotiúa. SOLUCIÓN Sabemos que a 5 a 4 5 a 5 5 a a Observe que los umeradores de estas fraccioes empieza co y se icremeta ua uidad al pasar al siguiete térmio. El segudo térmio tiee umerador 4, el siguiete umerador es 5; e geeral, el -ésimo térmio tedrá como umerador. Los deomiadores so las potecias de 5, de modo que a tiee por deomiador 5. El

3 SECCIÓN. SUCESIONES 69 sigo de los térmios es alteradamete positivo y egativo, por lo que es ecesario multiplicar por ua potecia de. E el ejemplo b) el factor () sigifica que empieza co u térmio egativo. Como aquí se busca iiciar co u térmio positivo, usamos (), o bie (). Por tato a 5 EJEMPLO E este caso hay alguas sucesioes que o tiee ua ecuació que las defia e forma simple. a) La sucesió p, dode p es la població mudial el de eero del año. b) Sea a el -ésimo dígito e la epasió decimal del úmero e, etoces a es ua sucesió bie defiida cuyos primeros térmios so 7,, 8,, 8,, 8,, 8, 4, 5, c) Las codicioes siguietes defie e forma recursiva la sucesió de Fiboacci f f f f f f Cada uo de los térmios es la suma de los dos ateriores. Los primeros térmios so,,,, 5, 8,,, Esta sucesió surgió cuado el matemático italiao del siglo iii, a quie se cooce como Fiboacci, resolvió u problema que se relacioaba co la cría de coejos (véase ejercicio 8). 0 FIGURA a a a a Ua sucesió como la del ejemplo a), a ( ), se puede represetar dibujado sus térmios e ua recta umérica como e la figura, o trazado la gráfica como e la figura. Observe que, como ua sucesió es ua fució cuyo domiio es el cojuto de los eteros positivos, su gráfica costa de putos aislados co coordeadas, a, a, a..., a... a 7 a = 8 De acuerdo co las figuras o, parece que los térmios de la sucesió a ( ) se aproima a cuado es suficietemete grade. De hecho, la diferecia FIGURA se puede hacer ta pequeña como se quiera al icremetar suficietemete. Lo aterior se idica escribiedo lím l E geeral, la otació lím a L l sigifica que los térmios de la sucesió a se aproima a L cuado se icremeta suficietemete. Observe que la defiició siguiete del límite de ua sucesió es muy parecida a la defiició de límite de ua fució e el ifiito dada e la secció.6.

4 69 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Defiició Ua sucesió a tiee el límite L y lo epresamos como lím a L o a l L cuado l l si podemos hacer que los térmios a se aproime a L tato como se quiera tomado lo suficietemete grade. Si lím l a eiste, se dice que la sucesió coverge (o que es covergete). De lo cotrario, se dice que la sucesió diverge (o es divergete). E la figura se ilustra la defiició mostrado las gráficas de dos sucesioes que tiee como límite L. a a FIGURA Gráficas de dos sucesioes co lím a =L L 0 L 0 Ua versió más precisa de la defiició es como sigue. Defiició Ua sucesió a tiee el límite L y lo epresamos como Compare esta defiició co la defiició.6.7. lím a L l o bie a l L cuado l si para todo 0 hay u correspodiete etero N tal que si N etoces a L La defiició se ilustra mediate la figura 4, e la cual los térmios a, a, a, se localiza sobre ua recta umérica. No importa qué ta pequeño se elija u itervalo (L, L ), eiste ua N tal que todos los térmios de la sucesió desde a N e adelate debe estar e ese itervalo. FIGURA 4 Otra ilustració de la defiició es la figura 5. Los putos sobre la gráfica de a debe estar etre las rectas horizotales y L y y L si N. Esta image debe ser válida, si importar qué ta pequeño se haya escogido, pero usualmete se requiere u valor de mucho muy pequeño y u valor de N mucho muy grade. y L y=l+ y=l- FIGURA N

5 SECCIÓN. SUCESIONES 69 Si comparamos la defiició co la defiició.6.7 veremos que la úica diferecia etre lím l a L y lím l f L es que se requiere que sea u etero. E este setido se tiee el siguiete teorema, ilustrado e la figura 6. Teorema Si lím l f L y f a cuado es u etero, etoces lím l a L. y y=ƒ L FIGURA E particular, puesto que ya sabemos que lím l r 0, cuado r 0 (teorema.6.5), se tiee 4 lím si r 0 r 0 l Si a es muy grade cuado es muy grade, usamos la otació lím l siguiete defiició precisa es parecida a la defiició.6.9. a. La 5 Defiició lím l a etero N tal que sigifica que para todo úmero positivo M eiste u si N etoces a M Si lím l a, etoces la sucesió a es divergete pero de ua maera especial. Se dice que a diverge a. Las leyes de los límites dadas e la secció. tambié se cumple para los límites de sucesioes y sus demostracioes so similares. Leyes de los límites para las sucesioes Si a y b so sucesioes covergetes y c es ua costate, etoces lím a b lím a lím l l l lím a b lím a lím l l l b b lím ca c lím a lím c c l l l lím a b lím a lím l l l b lím l a b lím a l lím b l si lím b 0 l lím a p lím l l a p si p 0 ad a 0

6 694 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS El teorema de la compresió tambié se puede adaptar a las sucesioes como sigue (véase figura 7). El teorema de la compresió para sucesioes Si a b c para 0 y lím a lím c L, etoces lím b L. l l l c Otro hecho útil respecto a los límites de sucesioes se evidecia e el teorema siguiete cuya demostració se deja para el ejercicio 87. b a 0 FIGURA 7 La sucesió b está comprimida etre las sucesioes a y c. 6 Teorema Si lím a 0, etoces lím a 0. l l EJEMPLO 4 Determie lím l. SOLUCIÓN El método es similar al que usamos e la secció.6: dividir tato el umerador como el deomiador etre la potecia más alta de del deomiador y luego aplicar las leyes de los límites. lím l lím l lím l lím lím l l Esto demuestra que la cojetura que hicimos ates a partir de las figuras y era correcta. 0 Aquí usamos la ecuació 4 co r. EJEMPLO 5 La sucesió a s0, es covergete o divergete? SOLUCIÓN Como e el ejemplo 4, dividimos el umerador y el deomiador etre : lím l s0 lím l 0 porque el umerador es ua costate y el deomiador se aproima a cero, así que a es divergete. EJEMPLO 6 Determie lím l l. SOLUCIÓN Observe que tato el umerador como el deomiador tiede a ifiito cuado l. No se puede aplicar directamete la regla de l Hospital porque o se aplica a sucesioes, sio a fucioes de ua variable real. Si embargo, se puede aplicar la regla de l Hospital a la fució relacioada f () (l ) y obteer lím l l lím l 0 Por tato, de acuerdo co el teorema lím l l 0

7 SECCIÓN. SUCESIONES 695 a 0 4 _ FIGURA 8 La gráfica de la sucesió del ejemplo 8 se muestra e la figura 9 y apoya uestra respuesta. a _ 0 FIGURA 9 EJEMPLO 7 Determie si la sucesió a () es covergete o divergete. SOLUCIÓN Si escribimos alguos térmios de la sucesió obteemos,,,,,,, La gráfica de esta sucesió se muestra e la figura 8. Como los térmios oscila etre y e forma ifiita, a o se aproima a igú úmero. Por tato, lím l o eiste; la sucesió () es divergete. EJEMPLO 8 Evalúe lím l si éste eiste. SOLUCIÓN Primero calculamos el límite del valor absoluto: lím l Por tato, de acuerdo co el teorema 6, lím l lím l El siguiete teorema dice que si acoplamos ua fució cotiua a los térmios de ua sucesió covergete, el resultado tambié es covergete. La demostració se deja para el ejercicio Teorema Si lím a L y la fució f es cotiua e L, etoces l lím f a f L l Creado gráficas de sucesioes Alguos sistemas algebraicos computarizados cotiee comados especiales que permite crear sucesioes y dibujarlas directamete. Si embargo, co la mayoría de las calculadoras para trazar gráficas se puede dibujar sucesioes usado ecuacioes paramétricas. Por ejemplo, la sucesió del ejemplo 0 se puede dibujar itroduciedo las ecuacioes paramétricas t y t!t t y dibujado e el modo puto (dot mode), iiciado co t ; se establece el t-ésimo paso igual a. El resultado se muestra e la figura 0. EJEMPLO 9 Ecuetre lím se p. l SOLUCIÓN Como la fució seo es cotiua e 0, el teorema 7 os permite escribir lím se p se lím l l p se 0 0 v EJEMPLO 0 Aalice la covergecia de la sucesió a!, dode!????. SOLUCIÓN Tato umerador como deomiador se aproima al ifiito cuado l, pero o cabe utilizar la regla de l Hospital (! o está defiida cuado o es u úmero etero). Escribamos alguos térmios para ver si es posible ituir qué pasa co a cuado es muy grade: 8 a a a a 0 FIGURA 0 0 Esta epresió y la gráfica de la figura 0 sugiere que los térmios está decreciedo y parece aproimarse a cero. Para cofirmar esto, observe de la ecuació 8 que a

8 696 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Observe que la epresió etre parétesis es a lo más porque el umerador es meor que (o igual) al deomiador. Así que 0 a Sabemos que l 0 cuado l, así que a l 0 cuado l por el teorema de la compresió. v EJEMPLO Para qué valores de r es covergete la sucesió r? SOLUCIÓN Sabemos, por la secció.6 y las gráficas de las fucioes epoeciales de la secció.5, que lím l a para a y lím l a 0 para 0 a. Por tato, si hacemos a r y usamos el teorema teemos Es obvio que lím r l 0 lím y l si r si 0 r lím 0 0 l Si r 0, etoces 0 r, de modo que lím r lím r 0 l l y, por tato, lím l r 0 de acuerdo co el teorema 6. Si r, etoces r diverge como e el ejemplo 7. E la figura se ilustra las gráficas de varios valores de r. (El caso de r se muestra e la figura 8.) a a r> r= 0 _<r<0 FIGURA La sucesió a =r 0 0<r< r<_ Los resultados del ejemplo se resume para uso futuro como sigue: 9 La sucesió r es covergete si r y divergete para todos los otros valores de r. lím l r 0 si r si r 0 Defiició Ua sucesió a se llama creciete si a a, para toda, es decir, a a a. Si a a para toda se deomia decreciete. Ua sucesió es moótoa si es creciete o decreciete.

9 SECCIÓN. SUCESIONES 697 EJEMPLO La sucesió 5 es decreciete porque El lado derecho es meor porque tiee u deomiador mayor. 5 y, por tato, a a, para toda. 5 6 EJEMPLO Demuestre que la sucesió a SOLUCIÓN Debemos demostrar que a a, es decir, es decreciete. Esta desigualdad es equivalete a la obteida por multiplicació cruzada: &? &? &? Puesto que, sabemos que la desigualdad es verdadera. Por tato, a a y tambié que a es decreciete. SOLUCIÓN Cosidere la fució f : f 0 siempre que E estos térmios, f es decreciete sobre (, ) así que f () f ( ), por tato a es decreciete. Defiició Ua sucesió a está acotada por arriba si eiste u úmero M tal que a M para toda Está acotada por abajo si eiste u úmero m tal que m a para toda Si está acotada por arriba y por abajo, etoces a es ua sucesió acotada. Por ejemplo, la sucesió a está acotada por abajo (a 0), pero o por arriba. La sucesió a ( ) está acotada porque 0 a para toda. Sabemos que o toda sucesió acotada es covergete [por ejemplo, la sucesió a () satisface a, pero es divergete del ejemplo 7] y o toda

10 698 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS sucesió moótoa es covergete (a l ). Pero si ua sucesió es tato acotada como moótoa, etoces tiee que ser covergete. Este hecho se demuestra e la forma del teorema, pero ituitivamete se etiede por qué es cierto viedo la figura. Si a es creciete y a M para toda, etoces los térmios está forzados a jutarse y aproimarse a u úmero L. a M L FIGURA 0 La demostració del teorema se apoya e el aioma de completez para el cojuto de los úmeros reales, que dice que si S es u cojuto o vacío de úmeros reales que tiee ua cota superior M ( M para toda e S), etoces S tiee ua míima cota superior b. (Esto sigifica que b es ua cota superior para S, pero si M es cualquier otra cota superior, etoces b M.) El aioma de completez epresa el hecho de que la recta de los úmeros reales o tiee brechas o agujeros. Teorema de la sucesió moótoa Toda sucesió acotada y moótoa es covergete. DEMOSTRACIÓN Supoga que a es ua sucesió creciete. Puesto que a está acotada, el cojuto S a posee ua cota superior. De acuerdo co el aioma de completez, tiee ua míima cota superior L. Dado 0, L o es ua cota superior para S (puesto que L es la míima cota superior). Por tato, a N L para algú etero N Pero la sucesió es creciete de modo que a a N para toda N. E estos térmios, si N a L de maera que puesto que a L. Así que, 0 L a L a siempre que N así que lím l a L. Ua demostració similar (aplicado la máima cota iferior) fucioa si a es decreciete. La demostració del teorema demuestra que ua sucesió que es creciete y acotada por arriba es covergete. (De igual maera, ua sucesió decreciete que está acotada por abajo es covergete.) Este hecho se aplica muchas veces al trabajar co series ifiitas.

11 SECCIÓN. SUCESIONES 699 EJEMPLO 4 Ivestigue la sucesió a defiida por la relació recursiva a a a 6 para,,,... SOLUCIÓN Para empezar se calcula los primeros térmios: a a 6 4 a a a a a a a Co frecuecia, la iducció matemática se aplica cuado se trabaja co sucesioes recursivas. Véase págia 76 dode se ecuetra u aálisis del pricipio de iducció matemática. Estos térmios iiciales hace pesar que la sucesió es creciete y que los térmios se aproima a 6. Para cofirmar que la sucesió es creciete, utilizamos iducció matemática para demostrar que a a para toda. Esto es cierto para porque a 4 a. Si supoemos que se cumple para k, etoces teemos a k a k de modo que a k 6 a k 6 y a k 6 a k 6 Por esto a k a k Ya se dedujo que a a es cierta para k. Por tato, la desigualdad se cumple para toda por iducció. Luego de verificar que a está acotada demostrado que a 6 para toda. (Puesto que la sucesió es creciete, sabemos que tiee ua cota iferior: a a para toda.) Sabemos que a 6, de modo que la aseveració es cierta para. Supogamos que se cumple para k. Etoces a k 6 de este modo a k 6 y a k 6 6 Así que a k 6 Esto demuestra, por iducció matemática, que a 6 para toda. Como la sucesió a es creciete y acotada, el teorema garatiza que tiee u límite. El teorema o dice cuál es el valor del límite, pero ahora que sabemos que L lím l a eiste, podemos aplicar la relació recursiva para escribir lím a lím a 6 l l ( lím a 6 l ) L 6 E el ejercicio 70 se pide ua demostració de este hecho. Como a l L, se ifiere igualmete que a l L (tambié cuado l, l ). De este modo teemos L L 6 Al resolver esta ecuació para L, determiamos que L 6, tal como se había predicho.

12 700 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS. Ejercicios. a) Qué es ua sucesió? b) Qué sigifica decir que lím l a 8 c) Qué sigifica decir que lím l a??. a) Qué es ua sucesió covergete? Dé dos ejemplos. b) Qué es ua sucesió divergete? Dé dos ejemplos. - Liste los primeros cico térmios de la sucesió. a..5 a.7 a! 9. a, 5 a 5a a.4.6 a cos p a.8! -56 Determie si la sucesió coverge o diverge. Si coverge, ecuetre el límite.. a 0..4 a 5 5. a 6. a.7 a e.8 a a.9 ta p 8. a s a 9. a e 0. a 6,. a, a a a a a a. s.4 a s.5 a cos.6 a cos. a, a, a a a.7!!.8 l l -8 Ecuetre ua fórmula para el térmio geeral a de la sucesió, supoiedo que se matega el patró de los primeros térmios..9 e e e a.04 ta {,, 5, 7, 9,...},, 9,,, 7, 8,... 4, 8 9, 6 7,... 5, 8,, 4, 7,..., 4, 9 4, 6 5, 5 6,..., 0,, 0,, 0,, 0, Calcule, co ua aproimació de cuatro decimales, los primeros diez térmios de la sucesió y úselos para graficar a mao la sucesió. Parece teer límite la sucesió? Si es así, calcúlelo. Si o, eplique por qué. a a 4. e 4. a l l cos 4. a 44. a s.54 a se.64 a cos p.74 a 49. a l l l 50. a 5. a 5. a s s arcta l a.84 se s. a ( ). a ,, 0, 0,, 0, 0, 0,,... {,,, 4,, 5, 4, 6,...} Se requiere calculadora graficadora o computadora. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

13 SECCIÓN. SUCESIONES 70!.5a.65 a! 57-6 Co la ayuda de ua gráfica de la sucesió, establezca si ésta es covergete o divergete. Si la sucesió es covergete, cojeture el valor del límite a partir de la gráfica y luego demuestre su cojetura. (Vea la ota al marge de la págia 695 relacioada co la advertecia sobre las gráficas de sucesioes.) a e.85 a s se( p s).95 a 8 a cos a 5! a 5.06 a s a) Determie si la sucesió defiida como sigue es covergete o divergete: a a 4 a para b) Qué ocurre si el primer térmio es a? 65. Si se ivierte 000 dólares a 6% de iterés compuesto aualmete, etoces años después la iversió tiee u valor de a 000(.06) dólares. a) Determie los primeros cico térmios de la sucesió a. b) La sucesió es covergete o divergete? Eplique. 66. Si se deposita 00 dólares al fial de cada mes e ua cueta que paga % de iterés al año capitalizado mesualmete, la catidad de iterés acumulado después de meses está dada por la sucesió I a) Ecuetre los primeros seis térmios de la sucesió. b) Cuáto iterés habrá obteido después de dos años? 67. E ua graja piscícola se tiee bagres e su estaque de crías. El úmero de bagres aumeta e 8% al mes y el productor cosecha 00 bagres al mes. a) Demuestre que la població P de bagres después de meses está dada periódicamete por P.08P 00 P b) Cuátos bagres hay e el estaque después de seis meses? 68. Determie los primeros 40 térmios de la sucesió defiida por a a a si a es u úmero par si a es u úmero impar y a. Haga lo mismo si a 5. Cojeture respecto al tipo de sucesió. 69. Para qué valores de r coverge la sucesió r? 70. a) Si a es covergete, demuestre que lím a lím l a l b) Ua sucesió a se defie por a y a ( a ) para. Si supoemos que a es covergete, calcule su límite. 7. Supoga que sabemos que a es ua sucesió decreciete y que todos sus térmios está etre los úmeros 5 y 8. Eplique por qué la sucesió tiee u límite. Qué puede decir respecto al valor del límite? 7-78 Determie si la sucesió es creciete, decreciete o es o moótoa. Está acotada la sucesió? 7. a 7. a a.67 a e a Ecuetre el límite de la sucesió.87 a 4 a {s, ss, sss,...} 80. Ua sucesió a está dada por a s a s a. a) Mediate iducció u otro método, demuestre que a es creciete y que su cota superior es. Aplique el teorema de sucesió moótoa para demostrar que lím l a eiste. b) Determie lím l a. 8. Demuestre que la sucesió defiida por a a es creciete y a para toda. Deduzca que a es covergete y ecuetre su límite. 8. Demuestre que la sucesió defiida por a a a a satisface 0 a y es decreciete. Deduzca que la sucesió es covergete y ecuetre su límite.

14 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 8. a) Fiboacci plateó el problema siguiete: Supoga que los coejos vive toda la vida, que cada mes todas las parejas tiee u uevo par de coejitos, los cuales empieza a ser productivos a la edad de dos meses. Si empieza co ua pareja de recié acidos, cuátas parejas de coejos tedrá e el -ésimo mes? Demuestre que la respuesta es f, dode f es la sucesió de Fiboacci que se defie e el ejemplo c). b) Sea a f f demuestre que a a. Supoiedo que a es covergete, determie su límite. 84. a) Sea a a, a f (a), a f (a ) f ( f (a)),..., a f (a ), dode f es ua fució cotiua. Si lím l a L, demuestre que f (L) L. b) Ilustre el iciso a) haciedo f () cos, a, y estimado el valor de L co ua aproimació de cico cifras decimales. 85. a) Mediate ua gráfica, deduzca el valor del límite lím l 5! b) Co ua gráfica de la sucesió del iciso a) calcule los valores más pequeños de N que correspode a 0. y 0.00 e la defiició. 86. Aplique directamete la defiició para demostrar que lím l r 0 cuado r. 87. Demuestre el teorema 6. [Sugerecia: utilice la defiició o el teorema de la compresió.] 88. Demuestre el teorema Demuestre que si lím l a 0 y b es acotada, etoces lím l a b Sea a. a) Demuestre que si 0 a b, etoces b a b a b b) Deduzca que b ( )a b a. c) Utilice a ( ) y b del iciso b) para demostrar que a es creciete. d) Use a y b () e el iciso b) para demostrar que a 4. e) Mediate los icisos c) y d) demuestre que a 4 para toda. f ) Utilice el teorema para demostrar que lím l eiste. (El límite es e. Véase la ecuació.6.6.) 9. Sea a y b úmeros positivos co a b. Sea a la media aritmética y b la media geométrica: a a b b sab Repita el proceso de modo que, e geeral a a b b sa b a) Mediate la iducció matemática demuestre que a a b b b) Deduzca que tato a como b so covergetes. c) Demuestre que lím l a lím l b. Gauss llamó al valor comú de estos límites la media aritméticageométrica de los úmeros a y b. 9. a) Demuestre que si lím l a L y lím l a L etoces a es covergete y lím l a L. b) Si a y a, a calcule los primeros ocho térmios de la sucesió a. Luego use el iciso a) para demostrar que lím l a s. Esto da el desarrollo e fracció cotiua s 9. El tamaño de ua població ialterada de peces se ha modelado mediate la fórmula bp p a p dode p es la població de peces después de años, y a y b so costates positivas que depede de las especies y su medio ambiete. Supoga que la població e el año 0 es p 0 0. a) Demuestre que si p es covergete, etoces los úicos valores posibles de este límite so 0 y b a. b) Demuestre que p (ba)p. c) Mediate el iciso b) demuestre que si a b, etoces lím l p 0; e otras palabras, la població muere. d) Ahora supoga que a b. Demuestre que si p 0 b a, etoces p es creciete y 0 p b a. Demuestre que si p 0 b a, etoces p es decreciete y p b a. Deduzca que si a b, etoces lím l p b a.

15 SECCIÓN. SERIES 70 PROYECTO DE LABORATORIO SAC SUCESIONES LOGÍSTICAS Ua sucesió que surge e ecología como u modelo para el crecimieto poblacioal se defie por medio de la ecuació logística e diferecias p kp ( p ) dode p mide el tamaño de la població de la -ésima geeració de ua sola especie. Para mateer maejables los úmeros, p es ua fracció del tamaño máimo de la població, de modo que 0 p. Observe que la forma de la ecuació es similar a la ecuació diferecial logística de la secció 9.4. El modelo discreto, co sucesioes e lugar de fucioes cotiuas, es preferible para modelar las poblacioes de isectos, dode el apareamieto y la muerte ocurre de u modo periódico. U ecologista se iteresa e predecir el tamaño de la població a medida que el tiempo avaza, y platea estas pregutas: se estabilizará e u valor límite?, cambiará de maera cíclica?, o bie, mostrará u comportamieto aleatorio? Escriba u programa para calcular los primeros térmios de esta sucesió co ua població iicial p 0, dode 0 p 0. Co este programa efectúe lo siguiete:. Calcule 0 o 0 térmios de la sucesió para p 0 y para dos valores de k tales que k. Grafique cada sucesió. Parece coverger? Repita para u valor distito de p 0 etre 0 y. El límite depede del valor elegido de p 0? Depede del valor elegido de k?. Calcule térmios de la sucesió para u valor de k etre y.4 y dibújelos. Qué observa co respecto al comportamieto de los térmios?. Eperimete co valores de k etre.4 y.5. Qué sucede co los térmios? 4. Para valores de k etre.6 y 4, calcule y dibuje por lo meos 00 térmios y comete el comportamieto de la sucesió. Qué sucede si cambia p 0 por 0.00? Este tipo de comportamieto se llama caótico y lo muestra poblacioes de isectos bajo ciertas codicioes. SAC Se requiere sistema algebraico computarizado. Series El actual récord de ha sido calculado co decimales (más de dos trilloes) de lugares decimales por T. Daisuke y su equipo. A qué os referimos cuado epresamos u úmero como decimal ifiito? Por ejemplo, qué sigifica escribir p La coveció que hay detrás de uestra otació decimal es que cualquier úmero se puede escribir como ua suma ifiita. Aquí, el sigificado es que p dode los putos suspesivos (...) idica que la suma cotiúa por siempre y que cuatos más térmios agreguemos, estaremos más cerca del valor verdadero de.

16 704 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS E geeral, si tratamos de sumar los térmios de ua sucesió ifiita a, obteemos ua epresió de la forma a a a a que se deomia serie ifiita (o sólo serie) y se deota co el símbolo a o a Pero, tiee setido hablar de suma de u ifiito de térmios? Sería imposible ecotrar la suma fiita de la serie 4 5 Suma de los primeros térmios porque si empezamos a sumar los térmios, obteemos sumas acumulativas,, 6, 0, 5,,... y después del -ésimo térmio, llegamos a ( ), lo cual resulta muy grade cuado se icremeta. Si embargo, si empezamos por sumar los térmios de la serie obteemos, 4, 8, 6,, 64,...,,... E la tabla se puede ver que cuado se suma más y más térmios, estas sumas parciales se vuelve más y más cercaas a. (Véase tambié la figura e u Previo al cálculo e la págia 6.) De hecho, al sumar suficietes térmios de la serie es posible hacer que las sumas parciales sea ta cercaas a como se quiera. Así que es razoable decir que la suma de esta serie ifiita es igual a y escribir Usaremos ua idea similar para determiar si ua serie geeral tiee o o tiee suma. Cosideremos las sumas parciales s a s a a s a a a y, e geeral, s 4 a a a a 4 s a a a a a i i Estas sumas parciales forma ua ueva sucesió s, la cual puede teer o o teer u límite. Si lím l s s eiste (como u úmero fiito), etoces, como e el ejemplo aterior, se llama suma de la serie ifiita a.

17 SECCIÓN. SERIES 705 Defiició Dada ua serie a a a a, suma parcial: sea s la -ésima s i a i a a a Si la sucesió s es covergete y lím l s s eiste como u úmero real, etoces la serie a se dice covergete y se escribe a a a s o a s El úmero s se llama suma de la serie. Si la sucesió s es divergete, etoces la serie es divergete. Compare co la itegral impropia y f d lím t l y t f d Para determiar esa itegral se itegra desde hasta t y después se hace que t l. E el caso de series, se suma desde hasta y después se hace que l. Así, la suma de ua serie es el límite de la sucesió de sumas parciales. Así, cuado escribimos a s, queremos decir que al sumar suficietes térmios de la serie podemos llegar ta cerca como queramos al úmero s. Observe que EJEMPLO serie a a lím a i l i Supogamos que sabemos que la suma de los primeros térmios de la es s a a a 5 Etoces la suma de la serie es el límite de la sucesió s : a lím s lím l l 5 lím l 5 E el ejemplo estamos dado ua epresió para la suma de los primeros térmios, pero usualmete o es fácil ecotrar tal epresió. Si embargo, e el ejemplo, os topamos co ua famosa serie para la cual podemos ecotrar ua fórmula eplícita para s. EJEMPLO U importate ejemplo de ua serie ifiita es la serie geométrica a ar ar ar ar ar a 0 Cada térmio se obtiee a partir del térmio precedete multiplicádolo por la razó comú r. (Ya hemos cosiderado el caso especial cuado a y r de la págia 704.) Si r, etoces s a a??? a a l. Puesto que lím l s o eiste, la serie geométrica diverge e este caso. Si r, teemos s a ar ar ar y rs ar ar ar ar

18 706 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La figura proporcioa ua demostració geométrica del resultado del ejemplo. Si los triágulos se costruye como se idica y s es la suma de la serie, etoces, por triágulos semejates s a a a ar a-ar por lo que s ar ar# ar a r s Al restar estas ecuacioes obteemos s rs a ar s a r r Si r, sabemos de (..9) que r l 0 cuado l, así que lím s a r lím l l r a r a r lím r a l r Así, cuado r, la serie geométrica es covergete y su suma es a( r). Si r o bie, r, la sucesió r es divergete de acuerdo co (..9) y de ese modo, segú la ecuació, lím l s o eiste. Por tato, la serie geométrica diverge e esos casos. a a Los resultados del ejemplo se resume como: 4 La serie geométrica FIGURA a es covergete si r y su suma es ar a ar ar E palabras: la suma de ua serie geométrica covergete es primer térmio razó comú ar a r Si r, la serie geométrica es divergete. r v EJEMPLO Calcule la suma de la serie geométrica SOLUCIÓN El primer térmio es a 5 y la razó comú es r la serie es covergete por 4 y su suma es. Como r, ( ) 5 5 Qué se quiere realmete decir cuado afirmamos que la suma de la serie del ejemplo es? Naturalmete, o podemos sumar u ifiito de térmios uo más uo. Pero, de acuerdo co la defiició, la suma total es el límite de la sucesió de sumas parciales. De este modo, al efectuar la suma de suficietes térmios, os acercamos tato como queramos al úmero. La tabla muestra las primeras diez sumas parciales s y e la gráfica de la figura se ilustra cómo la sucesió de las sumas parciales se aproima a. s s 0 0 FIGURA

19 SECCIÓN. SERIES 707 EJEMPLO 4 La serie, es covergete o divergete? SOLUCIÓN Escribamos el -ésimo térmio de la serie e la forma ar : Otra maera de idetificar a y r es escribir los primeros térmios Idetificamos esta serie como ua serie geométrica co a 4 y r serie diverge, de acuerdo co 4. 4( 4 ) 4. Como r, la v EJEMPLO 5 Escribimos el úmero como ua razó de eteros SOLUCIÓN Después del primer térmio teemos ua serie geométrica co a 70 y r 0. Debido a esto, EJEMPLO 6 Ecuetre la suma de la serie 0, dode. SOLUCIÓN Observe que esta serie iicia co 0 y por eso el primer térmio 0. (E las series, se adopta la coveció de que 0 au cuado 0.) De este modo, TEC E Module. se eplora ua serie que depede de u águlo e u triágulo y permite ver qué ta rápido coverge la serie cuado varía. 4 0 Ésta es ua serie geométrica co a y r. Puesto que r, coverge, y de acuerdo co 4 se tiee 5 0 EJEMPLO 7 Demuestre que la serie es covergete, y determie su suma. SOLUCIÓN Ésta o es ua serie geométrica, de modo que regresamos a la defiició de ua serie covergete y calculamos las sumas parciales. s i ii 4 Esta epresió se puede simplificar utilizado la descomposició e fraccioes parciales ii i i

20 708 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Observe que los térmios se cacela por pares. Éste es u ejemplo de ua suma telescópica. Debido a las cacelacioes, la suma se colapsa (tal y como se colapsa los telescopios de los piratas), justamete e dos térmios. (Véase la secció 7.4.) Así teemos que, s i ii i i i E la figura se ilustra el ejemplo 7 y se muestra la gráfica de la sucesió de térmios a ( ) y la sucesió s de sumas parciales. Observe que a l 0 y s l. Véase los ejercicios 76 y 77, e dode se trata dos iterpretacioes geométricas del ejemplo 7. 4 hs j y de este modo lím s lím l Por tato, la serie dada es covergete y l 0 ha j 0 v EJEMPLO 8 Demuestre que la serie armóica FIGURA es divergete. SOLUCIÓN Para esta serie particular, es coveiete cosiderar las sumas parciales s, s 4, s 8, s 6, s,... y demostrar que se hace muy grades. 4 s s 4 s 8 s 6 ( ( ( 4 ( ( 4 4 ) 4 ) ( 5 4 ) ( 8 4 ) ( 5 4 ) ( 8 ( ) 8 ) 8 ) 8 ) ( 9 8 ) ( 6 6 ) 6 ) E forma similar, s 5, s64 6, y, e geeral s El método usado e el ejemplo 8 para demostrar que la serie armóica diverge es origial del fracés Nicole Oresme (-8). Esto demuestra que s l cuado l y por eso s es divergete. Debido a eso, la serie armóica diverge. 6 Teorema Si la serie a es covergete, etoces lím a 0. l

21 SECCIÓN. SERIES 709 DEMOSTRACIÓN Sea s a a a. Etoces, a s s. Puesto que a es covergete, la sucesió s es covergete. Sea lím l s s. Como l cuado l, tambié se tiee lím l s s. Por tato, lím a lím s s lím s lím l l l s s 0 l s NOTA Co cualquier serie a se asocia dos sucesioes: la sucesió s de sus sumas parciales y la sucesió a de sus térmios. Si a es covergete, etoces el límite de la sucesió s es s (la suma de la serie) y, como establece el teorema 6, el límite de la sucesió a es 0. NOTA E geeral, el iverso del teorema 6 o se cumple. Si lím l a 0, o podemos cocluir que a es covergete. Observe que para la serie armóica teemos a l cuado l, pero ya demostramos e el ejemplo 8 que es divergete. a l 7 La prueba de la divergecia Si lím serie a es divergete. o eiste o si lím a 0, etoces la l La prueba de la divergecia se ifiere del teorema 6 porque si la serie o es divergete, etoces es covergete y, por tato, lím l a 0. EJEMPLO 9 SOLUCIÓN Demuestre que la serie lím a lím l lím l l es divergete De modo que la serie diverge de acuerdo co la prueba de la divergecia. NOTA Si ecotramos que lím l a 0, sabemos que a es divergete. Si tiee que lím l a 0, ada sabemos co respecto a la covergecia o la divergecia de a. Recuerde la advertecia de la ota : si lím l a 0, la serie a podría ser covergete o divergete. 8 Teorema Si a y b so series covergetes, etoces tambié lo so las series ca (dode c es ua costate), (a b ) y (a b ), y )i ca c a )i a b a b iii) a b a b Estas propiedades de las series covergetes se ifiere de las leyes de los límites correspodietes a las sucesioes de la secció.. Por ejemplo, aquí se demuestra la parte ii) del teorema 8: Sea s a i s a t b i t b i i

22 70 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La -ésima suma parcial de la serie (a b ) es u i a i b i y, usado la ecuació 5..0, teemos lím u lím l l a i b i lím i l lím a i lím b i l i l i lím s lím t s t l l Por tato, (a b ) es covergete y su suma es a i i b i i a b s t a b EJEMPLO 0 Determie la suma de la serie. SOLUCIÓN La serie es ua serie geométrica co a y r, de modo que E el ejemplo 7 ecotramos que Así, por el teorema 8, la serie dada es covergete y 4 NOTA 4 Ua catidad fiita de térmios o afecta la covergecia o divergecia de ua serie. Por ejemplo, supogamos que somos capaces de demostrar que la serie es covergete. Puesto que se ifiere que toda la serie es covergete. Asimismo, si sabemos que la serie N a es covergete, etoces toda la serie es tambié covergete. a N a a N

23 SECCIÓN. SERIES 7. Ejercicios. a) Cuál es la diferecia etre ua sucesió y ua serie? b) Qué es ua serie covergete? Qué es ua serie divergete?. Eplique qué sigifica decir que a Calcule la suma de la serie a cuyas sumas parciales está dadas..s s Calcule los primeros ocho térmios de la sucesió de sumas parciales co ua aproimació de cuatro decimales. Las series apareta que coverge o diverge? s l! 9-4 Ecuetre por lo meos 0 sumas parciales de las series. Grafique tato la sucesió de los térmios como la sucesió de las sumas parciales e la misma patalla. Cómo parece ser la serie, covergete o divergete? Si es covergete, determie la suma. Si es divergete, eplique por qué s 4 s cos s 5. Sea a. a) Determie si a es covergete. b) Determie si a es covergete. 6. a) Eplique la diferecia etre a i i b) Eplique la diferecia etre a i i y y a j j a j i 7-6 Determie si la serie geométrica es covergete o divergete. Si es covergete, calcule la suma p (s ) e 7-4 Determie si la serie es covergete o divergete. Si es covergete, ecuetre su suma k arcta s l k p k e.8 k.4 k k k ( ) cos k Determie si la serie es covergete o divergete al epresar s como suma telescópica (como e el ejemplo 7). Si es covergete, ecuetre su suma e l cos cos (e e ) Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado. Tareas sugeridas dispoibles e stewartcalculus.com

24 7 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 49. Sea a) Qué piesa usted, que o que? b) Sume ua serie geométrica para determiar el valor de. c) Cuátas represetacioes decimales tiee el? d) Cuáles úmeros tiee más de ua represetació decimal? 50. Ua sucesió de térmios está defiida por Calcule a. a 0 a (5 )a 5-56 Eprese el úmero como ua razó de eteros Calcule los valores de para los cuales la serie coverge. Determie la suma de la serie para dichos valores de e se 64. Hemos visto que ua serie armóica es ua serie divergete cuyos térmios se aproima a 0. Demuestre que l es otra serie co esta propiedad. SAC Utilice el comado de las fraccioes parciales e su sistema algebraico computarizado para ecotrar ua epresió coveiete para la suma parcial, y luego use esta epresió para ecotrar la suma de la serie. Compruebe su respuesta usado directamete el sistema algebraico a la suma de la serie Si la -ésima suma parcial de ua serie a es determie a y a. s 68. Si la -ésima suma parcial de ua serie a es s, determie a y a. 69. U paciete toma 50 mg de ua droga a la misma hora cada día. Justo ates de tomar cada tableta, 5% de la droga permaece e el cuerpo. a) Qué catidad de la droga está e el cuerpo después de la tercera tableta? Después de la -ésima tableta? b) Qué catidad de la droga queda e el cuerpo a largo plazo? 70. Después de la iyecció de ua dosis D de isulia, la cocetració de isulia e u sistema del paciete decae epoecialmete, así que puede epresarse como De at, dode t represeta el tiempo e horas y a es ua costate positiva. a) Si la dosis D se iyecta cada T horas, escriba ua epresió para la suma de la cocetració residual justo ates de la ( )-ésima iyecció. b) Determie la cocetració límite ates de iyectar. c) Si la cocetració de isulia debe siempre permaecer e, o por ecima de u valor crítico C, determie la dosis míima de D e térmios de C, a y T. 7. Cuado el diero se gasta e biees y servicios, los que recibe el diero tambié gasta u poco de él. Las persoas que recibe algo del diero gastado dos veces, gastará algo de dicho diero, y así sucesivamete. Los ecoomistas llama a esta reacció e cadea efecto multiplicador. E u hipotético pueblo aislado, el gobiero local iicia el proceso gastado D dólares. Supoga que cada persoa que recibe diero gasta 00c% y ahorra 00s% del diero. Los valores c y s se deomia propesió margial al cosumo y propesió margial al ahorro y, aturalmete, c s. a) Sea S el total de lo gastado que ha sido geerado después de trasaccioes. Determie ua ecuació para S. b) Demuestre que lím l S kd, dode k s. La catidad k se llama el multiplicador. Cuál es el multiplicador si la propesió margial al cosumo es 80%? Nota: El gobiero federal de Estados Uidos usa este pricipio para justificar el gasto que muestra déficit. Los bacos utiliza este pricipio para justificar los préstamos de u gra porcetaje del diero que recibe como depósito. 7. Ua cierta pelota tiee la propiedad de que cada vez que cae desde ua altura h sobre ua superficie ivelada y dura, rebota hasta ua altura rh, dode 0 r. Supoga que la pelota cae desde ua altura iicial de H metros. a) Supoiedo que la pelota cotiúa rebotado de maera idefiida, calcule la distacia total que recorre. b) Calcule el tiempo total que la pelota viaja. (Use el hecho de que la pelota cae tt metros e t segudos.) c) Supoga que cada vez que la pelota golpea la superficie co velocidad v rebota co velocidad kv, dode 0 k. Cuáto tiempo le tomará a la pelota llegar al reposo? 7. Ecuetre el valor de c si c

25 74. Ecuetre el valor de c tal que e c E el ejemplo 8 se demostró que la serie armóica es divergete. Aquí se resume otro método, haciedo uso del hecho de que e + para cualquier 0. (Véase el ejercicio ) Si s es la -ésima suma parcial de la serie armóica, demuestre que e s +. Por qué esto implica que la serie armóica es divergete? 76. Grafique las curvas y, 0, para 0,,,, 4,... sobre ua misma patalla. Determiado las áreas etre las curvas sucesivas, de ua demostració geométrica del hecho, demostrado e el ejemplo 7, de que 77. E la figura se muestra dos circuferecias C y D de radio que se toca e P. T es ua tagete comú; C es la circuferecia que toca C, D y T; C es la circuferecia que toca C, D y C ; C es la circuferecia que toca C, D y C. Este procedimieto puede cotiuar e forma idefiida y produce ua sucesió ifiita de circuferecias C. Ecuetre ua epresió para el diámetro de C y, de ese modo, proporcioe otra demostració geométrica del ejemplo 7. C C C 78. U triágulo rectágulo ABC está defiido co A y AC b. CD se traza perpedicular a AB, DE se traza e forma perpedicular a BC, EF AB, y este proceso cotiúa e forma idefiida como se ilustra e la figura. Determie la logitud total de todas las perpediculares e térmios de b y. B P C CD DE EF FG H F D D T 79. Qué es lo que está mal e el cálculo siguiete? SECCIÓN. SERIES 7 (Guido Ubaldus pesaba que esto demostraba la eistecia de Dios, porque se había creado algo de la ada.) 80. Supoga que sabemos que a a 0 es ua serie covergete. Demuestre que a es ua serie divergete. 8. Demuestre el iciso i) del teorema Si a es divergete y c 0, demuestre que ca es divergete. 8. Si a es covergete y b es divergete, demuestre que la serie (a + b ) es divergete. [Sugerecia: argumete por cotradicció.] 84. Si a y b so divergetes, ecesariamete (a + b ) es divergete? 85. Supoga que ua serie a costa de térmios positivos y sus sumas parciales s cumple co la desigualdad s 000 para toda. Eplique por qué a debe ser covergete. 86. La sucesió de Fiboacci se defie e la secció. mediate las ecuacioes f, f, f f + f Demuestre que cada uo de los siguietes euciados es cierto. a) f f f f f f b) c) f f f f f 87. El cojuto de Cator, ombrado así e hoor al matemático alemá Georg Cator (845-98), se costruye como se señala a cotiuació. Empiece co el itervalo cerrado [0, ] y retire el itervalo abierto (, ). Esto deja los dos itervalos y [, ] [0, ] y luego elimie el itervalo abierto costituido por el tercio medio de cada uo. De este modo queda cuatro itervalos y de uevo elimie el tercio medio de cada uo de ellos. Cotiúe este procedimieto de maera idefiida elimiado e cada paso el tercio medio de cada itervalo que queda del paso aterior. El cojuto de Cator cosiste e los úmeros que queda e [0, ] después de que todos esos A itervalos se ha elimiado. a) Demuestre que la logitud total de todos los itervalos que se elimia es. A pesar de eso, el cojuto de Cator cotiee u ifiito de úmeros. Proporcioe ejemplos de b alguos úmeros del cojuto de Cator. b) El tapete de Sierpiski es u equivalete e dos dimesioes del cojuto de Cator. Se costruye elimiado el oveo cetral de u cuadrado de lado, CEG y luego se elimia el cetro de cada uo de los ocho

26 74 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS cuadrados restates, y así sucesivamete. (E la figura se ilustra los primeros tres pasos de la costrucció.) Demuestre que la suma de las áreas de los cuadrados elimiados es. Esto sigifica que el área del tapete de Sierpiski es cero. b) Aplique la iducció matemática para demostrar su cojetura. c) Demuestre que la serie ifiita dada es covergete y calcule su suma. 90. E la figura hay u ifiito de círculos que se aproima a los vértices de u triágulo equilátero. Cada círculo toca otros círculos y los lados del triágulo. Si el triágulo tiee lados que mide ua uidad de logitud, calcule el área total que ocupa los círculos. 88. a) Ua sucesió a se defie recursivamete mediate la ecuació a a a para, dode a y a so úmeros reales. Eperimete co varios valores de a y a y co la ayuda de su calculadora cojeture el límite de la sucesió. b) Ecuetre lím l a e térmios de a y a epresado a + a e fució de a a y sume ua serie. 89. Cosidere la serie!. a) Calcule las sumas parciales s, s, s y s 4. Recooce los deomiadores? Mediate el patró cojeture ua fórmula para s.. La prueba de la itegral y estimació de sumas E geeral, es difícil determiar la suma eacta de ua serie. Podemos lograrlo e el caso de series geométricas y las series [( + )] porque e cada uo de estos casos es posible ecotrar ua fórmula simple para la -ésima suma parcial s. Pero por lo regular o es fácil descubrir tal fórmula. Por tato, e las siguietes seccioes se trata varias pruebas que permite determiar si ua serie es covergete o divergete si que se tega que ecotrar e forma eplícita su suma. (E alguos casos, los métodos permite determiar uas bueas estimacioes de la suma.) El primer método utiliza itegrales impropias. Empecemos por ivestigar las series cuyos térmios so los recíprocos de los cuadrados de los eteros positivos: s i i 4 5 No hay ua fórmula secilla para la suma s de los primeros térmios, pero la tabla geerada mediate ua computadora de los valores, dados e el marge, sugiere que las sumas parciales se aproima a u úmero cercao a.64 cuado l y de este modo parece como si la serie fuera covergete. Podemos cofirmar esta impresió co u razoamieto geométrico. E la figura se ilustra la curva y y alguos rectágulos que se ecuetra abajo de la curva. La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud igual a ; la altura es igual al valor de la fució y e el etremo derecho del itervalo. y y= FIGURA = =

27 SECCIÓN. LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 75 De este modo, la suma de las áreas de los rectágulos es 4 5 Si ecluimos el primer rectágulo, el área total de los rectágulos restates es meor que el área bajo la curva y para, que es el valor de la itegral d. E la secció 7.8 descubrimos que esta itegral impropia es covergete y que tiee u valor de. De modo que la figura muestra que todas las sumas parciales so meores que y d Así, las sumas parciales está acotadas. Tambié sabemos que las sumas parciales so crecietes porque todos los térmios so positivos. Por lo tato, las sumas parciales coverge, de acuerdo co el teorema de la sucesió moótoa, de maera que la serie es covergete. La suma de la serie (el límite de las sumas parciales) es tambié meor que : 4 [El matemático suizo Leohard Euler (707-78) calculó que la suma eacta de esta serie es 6, pero la demostració de esto es muy difícil. (Véase el problema 6 e los Problemas adicioales después del capítulo 5.)] Ahora veamos la serie s i si s s s La tabla de valores de s, hace pesar que las sumas parciales o se aproima a u úmero fiito, de modo que se sospecha que la serie dada podría ser divergete. Otra vez usamos ua image para cofirmarlo. E la figura se muestra la curva y s, pero esta vez se usa rectágulos cuya parte superior queda por ecima de la curva. y y= œ s s4 s5 FIGURA = = = = œ œ œ œ 4 La base de cada uo de los rectágulos es u itervalo de logitud. La altura es igual al valor de la fució y s e el etremo izquierdo del itervalo. Así que la suma de las áreas de todos los rectágulos es s s s s4 s5 s Esta área total es mayor que el área bajo la curva y s para, que es igual a la

28 76 CAPÍTULO SUCESIONES Y SERIES INFINITAS itegral ( s ) d. Pero segú la secció 7.8, esta itegral impropia es divergete. E otras palabras, el área bajo la curva es ifiita. Así que la suma de la serie debe ser ifiita; es decir, la serie es divergete. El mismo tipo de razoamieto geométrico aplicado para estas dos series, se puede hacer para demostrar la prueba siguiete. (La demostració se ecuetra al fial de esta secció.) Prueba de la itegral Supoga que f es ua fució cotiua, positiva y decreciete sobre [, ) y sea a f (). Etoces la serie a es covergete si y sólo si la itegral impropia f d es covergete. E otras palabras: y a i) Si f d es covergete, etoces es covergete. y a ii) Si f d es divergete, etoces es divergete. NOTA Cuado use la prueba de la itegral o es ecesario iiciar la serie o la itegral e. Por ejemplo, al probar la serie 4 usamos y 4 d Asimismo, o es ecesario que f sea siempre decreciete. Lo importate es que f sea fialmete decreciete, es decir, decreciete para más grade que algú úmero N. E cosecuecia N a es covergete, de modo que a es covergete de acuerdo co la ota 4 de la secció.. EJEMPLO Pruebe la covergecia o divergecia de la serie. SOLUCIÓN La fució f () ( ) es cotiua, positiva y decreciete sobre [, ) de modo que aplicamos la prueba de la itegral: y d lím t l yt d lím ta ] t l t lím t l ta t p p p p Por tato, d es ua itegral covergete y si es así, de acuerdo co la prueba de la itegral, la serie ( ) es covergete. Para usar la prueba de la itegral ecesitamos evaluar f d y, por tato, teemos que hallar ua atiderivada de f. Es frecuete que esto sea difícil o imposible, de modo que tambié ecesitamos otras pruebas para covergecia. v EJEMPLO Para qué valores de p la serie p es covergete? SOLUCIÓN Si p 0, etoces lím l p. Si p 0, etoces lím l p E cualquier caso lím l p 0, por lo que la serie dada es divergete de acuerdo co la prueba de la divergecia (..7). Si p 0, etoces la fució f p es evidetemete cotiua, positiva y decreciete sobre [, ). E el capítulo 7 [véase (7.8.)] ecotramos que y d coverge si p y diverge si p p.

29 SECCIÓN. LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 77 De la prueba de la itegral se ifiere que la serie p coverge si p y diverge si 0 p. (E el caso de p, esta serie es la serie armóica estudiada e el ejemplo 8 de la secció..) La serie del ejemplo se llama serie p. Esto es importate e el resto de este capítulo, de modo que se resume los resultados del ejemplo para referecia futura como se idica a cotiuació. La serie p p es covergete si p y divergete si p. EJEMPLO a) La serie 4 es covergete porque es ua serie p co p. b) La serie s s s s 4 es divergete porque es ua serie p co p. NOTA No debemos iferir que, de acuerdo co la prueba de la itegral, la suma de la serie es igual al valor de la itegral. De hecho, p 6 e tato que y d Por tato, e geeral v EJEMPLO 4 Determie si la serie a y f d l es covergete o divergete. SOLUCIÓN La fució f () (l ) es positiva y cotiua para porque la fució logaritmo es cotiua. Pero o es obvio si f es decreciete o o lo es, de modo que al calcular su derivada: f l l Por tato, f () 0 cuado l, es decir, e. Se sigue que f es decreciete cuado e, de maera que podemos aplicar la prueba de la itegral: y l d lím t l y t l d l lím t l t lím t l l t Puesto que esta itegral impropia es divergete, la serie (l ) tambié es divergete de acuerdo co la prueba de la itegral.

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