PRIMERA SESIÓN. l. Se considera la sucesión de números reales definida por la relación de recurrenc1a: U n+l = a Un + ~ U n-1, con n > O

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1 PRIMERA SESIÓN Problema N l. l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por la relació de recurreca: U +l = a U + ~ U -, co > O Siedo: a y ~ úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros térmios de la sucesió U 0 y U. Hallar ua expresió de su térmio geeral U e fució de: a, ~,.. Sea la sucesió ( f ) defiida por la ley de recurrecia: fo =l ; f =l ; f+l = f + f-, co =l,, 3,... Calcular la expresió de su térmio geeral f 3. Se cosidera la sucesió ( b 0 ) dada por : b = f f + Hallar el límite de b cuado tiede a ifiito. Problema N. E el triágulo ABC de la figura, los putos D, E y F divide cada lado e el que está situados e dos segmetos de logitud uo doble que el otro. Hallar la razó etre el área del triágulo sombreado y el área del triágulo origial. Problema N 3. Hallar cuado tiede a ifiito los siguietes límites: a), ( ) zm + + +? b), [ ( ) zm ]

2 SEGUNDA SESIÓN Problema N 4. E el iterior del cuello de u matraz ivertido hay bolas blacas y bolas egras, idéticas salvo e el color, situadas ua sobre otra (como se idica e el dibujo). E la mitad iferior del cuello está situadas las bolas egras. Se da la vuelta al matraz, se agita para mezclar las bolas y se vuelve a ivertir. Calcular la probabilidad P P de que e la mitad iferior del cuello haya p bolas egras y - p bolas blacas (O:S p :S ). Utilizar la expresió de Pp obteida para demostrar la relació Problema N 5. La figura adjuta muestra tres cuadrados: el lado del mayor,ab, mide l. Los otros tiee por lados, respectivamete, AC de logitud x, y DE de logitud y. Al moverse D sobre el lado AB varía los valores de x e y. Determiar x e y para que el valor de la expresió x + y sea míimo. Calcular dicho míimo. Problema N 6. Sea a y b dos eteros positivos. Demostrar que la ecuació (x- a) + (x- b ) =ab - o tiee raíces racioales.

3 l. Se cosidera la sucesió de úmeros reales defiida por relació de recurrecia: u +l = a u + p u - ' co > o Siedo: a y p úmeros fijos. Se supoe tambié coocidos los dos primeros térmios de-la sucesió U 0 y U. Hallar ua expresió de su térmio geeral U e fució de: a, p,.. Sea la sucesió ( f) defiida por la ley de recurrecia: fo=l; ft=l; f+l = f + f-' co =,,3,... Calcular la expresió de su térmio geeral f 3. Se cosidera la sucesió ( b ) dada por b = f / f + l Hallar el límite de b cuado tiede a ifiito. SOLUCIÓN.- A partir de las potecias de matrices. Tomemos la sucesió U + = U y cosideremos las relacioes: U + I = a U + ~ V V +! = tj Sea A y W Etoces las relacioes ateriores admite la represetació matricial: W +l =A W Si w, se deduce fácilmete que W +l =A W El problema se reduce a hallar la potecia -ésima de A.

4 . f 0 = ; f = ; f + l = f" + f _, co =,, 3,... es la Sucesió de Fiboacci. co A (: ~ ). Aplicado el proceso de diagoalizació: La ecuació característica es : A- x I = O. Desarrollado el determiate se tiee: ( - x) ( -x) - = O. Las solucioes so q> = ( + -J 5)/, y q> = ( - -J 5)/. Siedo q> y q> los valores propios y (lf7 ) (~P ) los vectores propios "vo<ifioo IHd dó' A ~ P. D. p ', iedo D lo m tciz di go l: D ~ ( ~ ;,) y P la matriz de paso P -- (IP cpl J Etoces A A.A =(P. D. P- ).(P. D. p- ) =P. D p- E geeral: A" P. D'\ p-i A" De W + l ( ~, + J = A (lj + J: [ +l +i ( se deduce: m m +m m m m ) ] +! - 'f'! - 'f-' 'f'!'t' 'f-' - Y'! ip - rp f + l '" + l + l + +l + l +l ( -,- - <r <r q>z _ q>z <r ) +l ( <r - <r - <r - <r ) q>l + q> + ( +,} 5 ) + - { -,} 5 ) + f FÓRMULA DE BINET q>l-< > +,} S

5 3. Se cosidera la sucesió ( b ) dada por b = f f f +l Escribamos b f f f + l f + f -I + f - f Si lim b X, etoces X o +X - +"' 5 Solució: X NÚMERO ÁUREO

6 Problema Nº Segudo Método. Se cosidera la ley de recurrecia U UU 0, co U,U,, fijos Sea x e y dos sucesioes cualesquiera que verifica la ley de recurrecia dada x x x y y y 0 Dados dos valores cualesquiera y, la sucesió U x y N verifica tambié la relació impuesta. E particular, se toma las sucesioes xxx 0 x0 x0 yyy 0 y00 y Cualquier sucesió que verifique la relació de recurrecia podría ser descrita mediate estas dos sucesioes. Por otra parte, la ecuació característica: x x tiee dos solucioes distitas e el plao complejo: a 4 4 b etoces las progresioes geométricas de térmio geeral x a 0,,, y b 0,,, satisface U U U 0 por lo que se puede utilizar ambas progresioes para formar el térmio geeral de la sucesió pedida, esto es: U x y N U a b N Se procede a calcular los valores y U0 a b U0 U a b U a b Resolviedo el sistema: U U bu au U U ab ab ab E cosecuecia, el térmio geeral pedido es: U bu au U ab ab 0 0 U a b N Siedo a y b las distitas raíces del poliomio característico x x, se tiee: 4 4 U U 0 U0 U 4 4 U N 4 4. Para determiar la expresió del térmio geeral de f se cosidera el resultado del apartado aterior:

7 f N de dode se obtiee: f f N Sea b defiida por la ley de recurrecia b N f f apartado aterior, se tiee:, 0,,, Teiedo e cueta lo establecido e el f b f Se observa que E cosecuecia, 5 cuado 5 0 y f lim b lim lim lim lim f 5 5 5

8 Problema Nº E el triágulo ABC de la figura, los putos D, E y F divide cada lado e el que está situados e dos segmetos de logitud uo doble que el otro. Hallar la razó etre el área del triágulo sombreado y el área del triágulo origial. Solució: Se ue los vértices del triágulo sombreado co cada uo de los vértices A, B y C, formado varios triágulos de los que es cómodo escribir relacioes etre sus áreas que se desiga co letras miúsculas. e d e d (e f) d c T f c T (e f g h) a b c d i T (g h) a b i Estas igualdades se obtiee co los triágulos que "descasa" e el lado BC. Haciedo lo mismo co los otros lados, se tiee: h g b a i f T y c i T (a b) e d c (d e) h g f Sumado las 9 ecuacioes, de obtiee: e f g h h i a b b c d e d c T a b i g f T e d c a i T h g f Así pues, 3b 3e 3h 3T b e h T Observado las 3 primeras ecuacioes de cada grupo: e h b d g a d g a T Observado las 3 segudas ecuacioes de cada grupo: f i c c T f T i T f i c 3T 3 Sumado las tres últimas igualdades, resulta: b e h d g a f i c 6T El área del triágulo origial será T 6T, co lo que el cociete solicitado es 7

9 Segudo Método: La razó simple de los putos D, E y F e sus lados correspodietes es: AD (ABD) (BCF) (CAE) DB Se cosidera ua referecia afí formada por el puto B como orige y los vectores BC y BA, desiguales e geeral, como uitarios. Los putos de la figura tiee por coordeadas: B(0, 0) C(, 0) A(0,) F, 0 D, 0 E, BE y x Las ecuacioes de las rectas so: CD y x AF y x y los putos de estas rectas, por parejas, so los vértices del triágulo sombreado: 4 4 C',, A',, B', Las áreas SyS' de los triágulos ABC y A'B'C' (sombreado) se calcula e el espacio afí, por medio de los determiates de sus coordeadas: b b 0 0 S c c 0 a a 0 ' ' b b ' ' 6 S' c c a a ' ' Por tato, S' 4 S 7 Tercer Método: El problema es u caso particular del teorema de Rouse (896): << Si los vértices del triágulo A'B'C', iterior al triágulo ABC, se proyecta desde los vértices A, B, C a los lados y se obtiee putos que tiee razoes simples la,,, razó de las áreas está dada por: S' S E este caso,, co lo cual, 8 S' S

10 Problema Nº 3 Hallar cuado tiede a ifiito los siguietes límites: lim a) b) lim 4 Solució: a) Se aplica el cocepto de itegral defiida como el límite de ua suma de Riema Dividiedo el itervalo 0, e itervalos parciales i lim x f i ilim f f (x) dx 0 i i, de igual logitud, co i,,,, se tiee: lim lim lim dx arc tg 0 i i i x 4 b) lim lim 4 4 i i Para hallar este límite hay que aplicar el resultado más geeral: "Sea f(x) ua fució derivable, co derivada cotiua e el itervalo 0,. Se demuestra que el límite de la sucesió u de úmeros reales, cuyo térmio geeral es: i f(0) f() u f (x) dx f lim u f '(x) dx 0 0 El problema es u caso particular: f(x) dx x 4 y 0 x lim u f(0) f() 4 i f i i i i NOTA: La demostració del resultado geeral se obtiee dividiedo el itervalo 0, e itervalos parciales, de igual logitud, i,,,, se tiee para cada térmio: i i i i f(x)dx f(x)dx f f dx 0 i i i i sustituyedo e la expresió del térmio geeral, se tiee: u f(x) f dx i Por el teorema de los icremetos fiitos: i i f(x) f x f'

11 i i co lo cual, f(x) f dx x f' dx f' i etoces, i i i f(0) f() i 0 u f ' limu f '(x)dx i Segudo método: lim a) Sacado factor comú itervalo 0, : e los deomiadores y e los umeradores se puede llevar el límite a ua itegral sobre el lim lim i lim dx arc tg x 0 0 i x 4 b) lim 4 Sacado factor comú, se tiee: lim lim 4 4 i i lim dx lim dx dx 0 i i x i 0 x i i i i i i lim dx dx lim dx dx i i i i 0 x 0 i 0 x 0 i i lim dx i 0 x i Se recurre al teorema de los icremetos fiitos, por el que existe u valor i i f(x) f f' i x i0,,,,() i e cada itervalo i,i tal que: Por otra parte, cosideramos e cada itervalo máximo y míimo absolutos M,m i i i f' mix f(x) f f' Mix i0,,,,() i i de la fució f'(x), etoces:

12 Por tato: i i i f' m x dx f(x) f dx f' M x dx i i i i i i i i i i f' mi f(x) f dx f' M i i E este caso, i i i f' m x dx f(x) f dx f' M x dx i i i i i i i i i i f' mi f(x) f dx f' Mi i x Se procede a estudiar la fució f'(x), sabemos que f'(x) 0. Por otra parte, f(x) tiee u puto de iflexió ( x ) x 8x 6x e el itervalo 0, ya que f''(x) f''(x) 0 x 3 3 x x 3 Eso determia que la fució f'(x) es decreciete e el itervalo 0, y creciete e el resto del itervalo. 3 Se puede pasar ahora a itegrar cada suma fiita, puesto que la fució f'(x) es decreciete desde x 0hasta su puto de iflexió - que está icluido e el itervalo 0, - y creciete e el resto del itervalo. Lo que asegura que f'(x) toma sus máximos y míimos e los extremos de los itervalos i,i excepto e el itervalo e que aparezca el puto de iflexió. E el itervalo e que aparezca el puto de iflexió f'(x) 0, co lo que aulará al sumado mietras que el máximo si se alcazará e uo de los extremos de dicho itervalo. E cosecuecia, se puede realizar las itegracioes siguietes, que so iguales: lim f'm i lim f'm i f'(x)dx x 0 Así, pues: i i lim f ' mi lim f (x) f dx lim f ' Mi i i i lim f (x) f dx 4 i 0 4 Cocluyedo: lim 4 4

13 Problema Nº 4 E el iterior del cuello de u matraz ivertido hay bolas blacas y bolas egras, idéticas salvo e el color, situadas ua sobre otra (como se idica e el dibujo). E la mitad iferior del cuello está situadas las bolas egras. Se da la vuelta al matraz, se agita para mezclar las bolas y se vuelve a ivertir. º Calcular la probabilidad P p de que e la mitad iferior del cuello haya p bolas egras y p bolas blacas 0p. º. Utilizar la expresió de P p obteida para demostrar la relació: Solució: Casos posibles: Casos favorables: Número de combiacioes de 4 elemetos tomados de e (Número de combiacioes de las bolas egras tomadas de p e p) x (Número de combiacioes de las blacas tomadas de p e p ) º. Aplicado Laplace: x p p p Pp 4 4 El suceso cosistete e obteer 0,,,, ó bolas egras es el suceso seguro: P0 P P P 4 0 º. Sustituyedo por :

14 Problema Nº 5 El diagrama adjuto muestra tres cuadrados: el lado del mayor, AB, mide. Los otros tiee por lados AC, de logitud x y DE, de logitud y. Al moverse D sobre el lado AB cambia los valores de x y de y. Determiar x e y para que x y sea míimo. Cuáto vale este míimo? Solució: Hay que hacer míima la fució f x,y x y, que vamos a escribir e térmios de ua sola variable. Deotado por F al vértice opuesto al cateto CD e el triágulo rectágulo, uo de cuyos catetos es x. Si CFD ˆ EDB ˆ 80 (90 90 ) por lo que los triágulos rectágulos CDF y DEB so semejates. Así pues, x DB xdb DB CD x DB DB DB x Como tambié se verifica que expresar como de dode, y x x y x x (x) y DB DB y DB DB, expresió que, cosiderado, se puede Teiedo que hacer míima la fució f x (x ), fució que si estuviera defiida e alcazaría su míimo e x, auque obviamete o es el caso que x pueda valer. Estudiamos su domiio: x DB DB y 0DB. Deotado DB t x t t co t0, El máximo de t t se alcaza e t y vale 4, por lo que x 0, 4 La cuestió queda reducida a hallar el míimo de f x (x ) e 0, 4, que se alcaza e x y vale Siedo y x, para x, 4 y 9 x y 6 6

15 Problema Nº 6 Sea a y b eteros positivos. Demostrar que la ecuació x a (xb) ab o tiee raíces racioales. Solució: xa (xb) ab x ab x ab 0 Las solucioes viee dadas por: x ab 4 ab 8 ab a b ab ab 4 tedría solucioes racioales sí el discrimiate ab ab fuera u cuadrado perfecto. ab par ababb par a b impar a b a b b impar (a b) y (a b) misma paridad ab ab 4k ab ab 4 Si ambos so pares: ser u úmero par y o múltiplo de 4. No es u cuadrado perfecto, al Si ambos so impares: a b q a b k ab ab q k 4q 4q8k 8k 4q 4q 8k 8k 3 4q q 8k k pues q o q es par 8t 3 o es u cuadrado perfecto, al ser impar debería ser cuadrado de u úmero de la forma 8c o 8c 3 o 8c 5 y los cuadrados de estos úmeros so todos de la forma 8q y o, pues, de la forma 8t 3 (se observa,,3 98d,5 58m ) Se cocluye que xa (xb) ab o tiee raíces racioales.

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