PROBLEMAS FASE DE DISTRITO

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1 PROBLEMAS FASE DE DISTRITO x 1.- Calcular el valor de la expresió: E sec cosec x tg x + cot x se x..- Dada la recta x = a, u puto M(x 1,y 1 ) se proyecta ortogoalmete sobre x = a e D y se traza OM que corta a x = a e B. Ua paralela a OX por B corta a OD e N. Hallar la ecuació del lugar geométrico. de N cuado M describe la circuferecia (x-b) + y = b. 4 x 3.- Resolver si calculadora la ecuació : a) Determiar el movimieto resultate de tres simetrías cetrales respecto a los vértices de u triágulo equilátero de lado 3 cm. Estudiar si el producto es comutativo. b) Idem simetrías axiales respecto a las mediatrices. Estudiar el grupo que egedra. x 5.-Determiar x, y, z e el úmero 33xy49z para que sea múltiplo de Siedo M el puto medio del segmeto de extremos A y B, estudia el lugar geométrico de los putos P del plao tales que PM sea media proporcioal etre PA y PB. 7.- Determia la relació etre b y c para que esté e progresió aritmética las raíces de 3 x bx cx Costruir y resolver u triágulo rectágulo e A, coocidos c y a + b. 9.- Al dividir p(x) por (x + ), (x - ) y por (x + 3) se obtiee los restos 4, 8 y 13, respectivamete. Determiar el resto de dividir p(x) por (x + )(x - )(x + 3). 10.-E el cuadrado de vértices A, B, C y D, de lado a, se traza los arcos BD y AC co cetro e C y e D respectivamete, y radio a. Los dos arcos se corta e M. Hallar el radio del círculo iscrito e el triágulo curvilíeo DMC Hallar la suma: S ( 1) calculado sus valores para = 1,, 3, 4 para luego demostrar la fórmula por iducció. 1.- Sobre u segmeto AB = a, tomado como base, se costruye tres triágulos isósceles ACB, AC'B y AC"B, de alturas respectivas a, a y 3a. Demostrar que C + C' + C" = 180º Se cosidera el triágulo ABC e el que A = 70º, B = 60º, y el triágulo A'B'C' formado por los pies de las alturas del ABC. Hallar los águlos A', B', C' Demostrar que los úmeros de la serie 16, 1156, , ,...que se va obteiedo itercalado 15 etre las cifras cetrales, so siempre cuadrados perfectos. -1-

2 15.- Costruir u cuadrado cuyos lados o sus prologacioes pase por cuatro putos dados sobre ua recta Sobre el aillo de los úmeros eteros descompoer el poliomio P = x 5-09x+56 e producto de dos factores, sabiedo que se aula para dos valores x 1, x recíprocos etre sí. 17.-Dados dos putos A y B de la Tierra, supuesta esférica, tales que AB = 60º, hallar la relació etre las alturas x e y, a que debe elevarse dos observadores e las verticales de A y de B para que pueda verse y su valor cocreto cuado sea x = y Hallar los polígoos regulares cuyos águlos mide u úmero etero de grados U depósito cerrado tiee la forma de u cilidro "tumbado" acabado e dos semiesferas por sus lados. Graduar ua varilla para medir verticalmete el volume de liquido coteido e el depósito e fució del la altura marcada e la varilla. 0.- Expresar (x - y) 4 como fució poliómica de s = x + y, y de p = xy. 1.- Determiar el cojuto de putos P(x,y) tales que se(x + y) = sex + sey..- E el cojuto de putos del plao de coordeadas eteras se defie ua relació de equivalecia por la codició de ser las primeras coordeadas cogruetes módulo y las segudas cogruetes módulo 3. Se pide : a) Número de clases de equivalecia. b) Buscar el represetate de cada clase que está a distacia míima del orige. c) Se defie ua suma y u producto compoete a compoete, módulo y 3 e cada ua respectivamete. Comprobar que es u aillo y hallar sus divisores de cero. 3.- Resolver la ecuació z 3 =1 y probar que las tres raíces obteidas forma u grupo multiplicativo. Tabla del grupo. 4.- Costruir u rectágulo coociedo u lado a = 6 y la diferecia d-b = 4 etre la diagoal y el otro lado. 5.- Hallar los valores (etero positivo) para los que N = es cuadrado perfecto. 6.- Dos putos A y B dista 86 km. U móvil m sale de A hacia B, co velocidad v y otro móvil,, sale a la vez de B hacia A, co velocidad 3v. Cuado ecuetra a m se vuelve hacia B y al llegar sale de uevo hacia A. El proceso se repite hasta que los dos coicide e B. Cuál es la logitud total recorrida por? qué pasaría si hubiera salido iicialmete tambié de A? 7.- Hallar todos los úmeros complejos que verifique z z Resolver la siguiete ecuació sabiedo que ua de sus raíces es iversa de otra: 4 3 x 3x 3 x 6x 0 --

3 9.-Determiar el grupo de movimietos del triágulo equilátero. Tablas Qué lugar geométrico ha de describir el afijo del complejo z para que los afijos de z, iz, e i esté alieados? 31 E u trapecio ABCD, las diagoales AC y BD se corta e P. Demostrar que el área del triágulo PBC es media proporcioal etre las áreas de los triágulos ABP y PCD. 3.- E ua OM igú alumo ha resuelto todos los problemas; pero todos los problemas ha sido resueltos por algú alumo. Demostrar que algú alumo A ha resuelto u problema P 1 y otro alumo B ha resuelto u problema P ; si que A haya resuelto P i B haya resuelto P Se cosidera ua superficie esférica E se radio 1 m., y u triedro trirrectágulo co vértice e el cetro de la esfera. Se debe colocar ocho esferas de radio a e el iterior de E, de forma que cada ua de ellas sea tagete a los tres plaos de T y a la propia superficie E. Calcular el valor de a. Dar el resultado e cetímetros y co dos decimales Dado u triágulo ABC, trazar ua secate que corte a AB e M y a BC e N, de maera que el cuadrilátero AMNC y el triágulo BMN tega el mismo perímetro y la misma área Ecotrar la fracció irreducible A/B, sabiedo que : B tiee 6 divisores. Si A/B=A'/B', co B' cuadrado perfecto, A' tiee 8 divisores; el producto A'.B' tiee 48 divisores; A es el meor úmero posible y lo mismo ocurre co B ua vez elegido A Ua circuferecia de radio a se mueve rodado sobre el eje de abscisas. E cada posició de la circuferecia se traza la tagete o horizotal a la misma que pasa por el orige O de coordeadas y que corta e M a la vertical que pasa por su cetro C. Por M se traza la seguda tagete a la circuferecia (simétrica de la aterior OM respecto a la vertical CM) y que corta e A al eje OX. a) Hallar la ecuació del lugar geométrico de los putos M. b) Dibujar su gráfica c) Demostrar que la recta AC, para todas las posicioes de la circuferecia, pasa por u puto fijo Dos circuferecias de radio 1 m y 75 cm respectivamete, cuyos cetros dista m, se ue por ua correa si fi exteriormete. Determiar su logitud. Dibujarlo a escala 1/40. Calcular el área limitada por el perímetro del cojuto Resolver e úmeros aturales: x y z , Determiar a y b para que la ecuació x 3 + ax + bx -0,15 = 0 tega sus raíces e progresió geométrica y hallar sus tres térmios E el plao complejo + i es cetro de u cuadrado, y 5 + 5i uo de sus vértices. Hallar los otros Demuestra que la suma de cubos de tres úmeros aturales cosecutivos es múltiplo de

4 4.- Por el puto medio de la hipoteusa de u triágulo rectágulo se traza ua recta que corta al cateto mayor co u águlo de 45º. Calcular e fució de la hipoteusa, la suma de los cuadrados de los segmetos determiados así e ese cateto Dada ua circuferecia de radio R, cosiderar cuatro circuferecias iguales de radio r, tagetes iteriormete a la dada y tagetes exteriores cada ua de ellas co las otras. Expresar r e fució de R, primero exactamete y luego co cuatro decimales del correspodiete coeficiete. Hallar las áreas de los recitos que determia Demostrar que para todo atural se verifica : 3 0 (mód 11). 45.-Dada ua circuferecia y u puto exterior, trazar por él ua secate que itercepte e la circuferecia ua cuerda de logitud dada Siedo A + B + C = 180º demostrar que tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C Hallar los valores aturales de x que covierte a la expresió E = x + 5x +160 e u cuadrado perfecto Demostar que si e el triágulo ABC se cumple que se A +se B + se C =, etoces el triágulo es rectágulo. 49.-U motó de arajas se apila cuidadosamete e capas de forma que e el hueco de 4 arajas de ua capa se coloca otra de la capa superior. La primera capa por abajo tiee m filas y columas y la última por arriba ua sola fila; siedo m el úmero de diagoales de u decágoo y el meor úmero que dividido por 4 da resto 3, por 5 da resto 4, y por 6 da resto 5. Cuátas arajas tiee el motó? 50.- Demostrar que para úmeros reales cualesquiera :x y z xy yz zx 51.- Se tiee ua botella de fodo plao circular, cerrada y parcialmete llea e su parte cilídrica. Discutir e qué circustacias podemos calcular la capacidad de la botella y e qué forma se haría, si sólo dispoemos de u doble decímetro graduado. 5.- Sea C ua semicircuferecia de diámetro AB. Se costruye ua quebrada co orige A, que va alterativamete del diámetro a la semicircuferecia y de ésta al diámetro de modo que los lados forme todos igual águlo co el diámetro AB, alterativamete de uo y otro sigo. Hallar el águlo para que la quebrada pase por el otro extremo B del diámetro. y la logitud total de la quebrada e fució del águlo y de la logitud a del diámetro. 53.-Se da u triágulo equilátero ABC de cetro O y radio OA = r. Las rectas de sus lados divide al plao e 7 regioes. (el propio triágulo, 3 agulares abiertas y 3 poligoales abiertas) Se pide dibujar y describir las regioes del plao trasformadas de ua de las agulares y de ua de las poligoales, por la iversió de cetro O y radio r. 54.-Calcular los valores eteros de x que hace etera: f( x) x x

5 55.- E el 5º piso de ua casa de 7 estoy esperado el ascesor que iicia el asceso co dos iquilios detro. Sabiedo que e cada piso vive 10 persoas y que soy ajeo a la casa cuál es la probabilidad de que se pare e el 5º piso? 56.- Para cada atural a defiimos la sucesió: Sa: x 1 a, x +1 x 1 ( = 1,,3,... ) Demostrar que dado cualquier úmero atural b > 1, existe u úico úmero par p tal que b es térmio de la sucesió S p ates defiida. iz 57.- Si z, z so úmeros complejos, demostrar: z z' z z' es úmero real z' 58.- Calcular k49 11( k sabiedo que 11 y 1331 está escritos e base k > k5 ( k 59.- Demostrar que e el triágulo ABC, de lados a b c : Calcular: lim ( 1)( )...( ) aa bb cc a b c De etre los úmeros 1,, 3,...,, se elige de cualquier forma ( + 1) distitos. Demostrar que etre los úmeros elegidos hay por lo meos dos tales que uo es divisor del otro Demostrar : N y 1! 63.- E u grupo de 4 alumos de COU que ha escogido al meos ua de las asigaturas de Filosofía, Geografía y Matemáticas, 5 alumos escoge Filosofía y Geografía, 3 Filosofía y Matemáticas, 6 Geografía y Matemáticas. El úmero de los que escoge sólo ua de esas asigaturas es el mismo para las tres. Qué úmero de alumos ha escogido cada ua de esas asigaturas? 64.- Sea u prisma hexagoal regular. Cuál es la poligoal que partiedo de u vértice de la base, recorre todas las caras laterales y termia e el vértice de la cara superior, situado e la misma arista que el vértice de partida, y tiee logitud míima? 65.- Se cosidera e el plao los cojutos de úmeros complejos : A z arg z 3i B z z i 4 Determiar la proyecció ortogoal del cojuto itersecció de A y B sobre el eje OX. -5-

6 66.- Dadas dos rectas r, r' y u puto P que perteece al plao que determia las rectas pero o perteece a igua de ellas, determiar u triágulo equilátero que tega por vértice el puto P y los otros dos vértices cada uo sobre ua recta Demostrar que A = , es múltiplo de 8 para todo etero positivo Expresar el iverso de 3 e el cuerpo Z/(p), siedo p primo, e fució de p Hallar la iversió que trasforma tres putos o alieados A,B,C e los vértices de u triágulo equilátero Demostrar que los tres afijos de z 1, z y z 3 forma u triágulo equilatero si y sólo si z1 z z3 z1z zz3 z3z Ua persoa pasa bajo u foco de luz durate la oche. E ese mometo lleva ua velocidad de v m/seg. sobre su camio rectilíeo. Averiguar la velocidad de crecimieto de su sombra coforme vaya marchado, siedo h y a las alturas del foco y de la persoa. 7.- Sea C y C' dos circuferecias cocétricas de radios r y r'. Determiar el valor de la razó r/r' para que e la coroa circular limitada etre C y C' exista ocho circuferecias tagetes cada ua co sus dos imediatas y todas ellas co C y C' Se cosidera u triágulo equilátero de altura 1. Para todo puto P iterior al triágulo sea x, y, z las distacias de P a los lados del triágulo. a) Probar que x + y + x = 1 para todo puto P iterior al triágulo. b) Para qué putos del triágulo se verifica que la distacia a u lado es mayor que la suma de las distacias a los otros dos. c) Hallar la probabilidad de que al romper e tres trozos u bastó de logitud 1, se pueda formar u triágulo co los tres trozos U úmero descompuesto e factores primos = a x.b y.c z dismiuye el úmero de sus divisores e 7, 48 o 54 al dividirlo por a, por b o por c respectivamete. Hallar el valor de U reloj se mueve co velocidad costate y sus agujas se superpoe cada 6 miutos. Averiguar si avaza o atrasa y precisar e qué proporció Estudiar el isomorfismo del grupo aditivo de los eteros módulo 4, Z/(4), y el grupo multiplicativo de los elemetos o ulos de los eteros módulo 5, Z/(5) Demostrar que si x x y y 1 1 1, etoces x + y = Los lados del triágulo ABC so a, b, c, y sus mediaas m a, m b, m c. Demostrar que es cierta la siguiete desigualdad y que las cotas, 3/4 y 1, que poe de maifiesto, o puede mejorarse: -6-

7 3 4 m m m a b c a b c E ua circuferecia de radio 1, se traza dos cuerdas AB y AC de igual logitud. a) Costruir la cuerda DE que queda dividida e tres partes iguales por sus cortes co AB y AC b) Cuáto vale los dos segmetos e que queda dividida AB, cuado AB abarca u arco de 90º? 80.- Se cosidera las parábolas de ecuacioes: y cx d c 0, d 0 x ay b a 0, b 0 putos. Demostrar que esos cuatro putos está e ua misma circuferecia. que se corta e cuatro 81.- Demostrar que, si a es atural o ulo, a 4 se escribe, e base 5, co cifras que termia e uo o e cuatro ceros. 8.- Demostrar que e u grupo de orde par existe al meos u elemeto distito del eutro, que es su propio iverso Calcular: lim Dada la fució f(x), real y cotiua e [0,1], demostrar que tiee límite y calcularlo : B = 1 f( 0) f f... f 85.- Demostrar que siedo a y b eteros positivos: a b a b a b Cuál de las dos fraccioes está más cerca del úmero? 86.- Se coloca doscietos soldados (todos ellos de talla diferete) e formació de 0 columas y 10 filas. Tomado el soldado más alto de cada ua de las 0 columas, llamemos X al meor de los veite. Tomado el más bajo de cada ua de las 10 filas, llamemos Y al más alto de los diez. Cuál es más alto X ó Y? 87.- Completar la siguiete fila del triágulo de Tartaglia: 1,..., 3003, 00, 1001, Sea P 0, P 1, P los afijos de i, 1, 0. Llamemos P 3 al puto e que la perpedicular trazada desde P corta a P 0 P 1 ; sea P 4 al puto e que la perpedicular trazada desde P 3 corta a P 1 P ; y así sucesivamete. Hallar el límite de la sucesió P. -7-

8 Demostrar que: N = es etero Hallar la potecia -ésima de la matriz A = k k ( 1) 91. Calcular el limite de la sucesió : A... k k k k k k k 9.- Probar que si el producto de úmeros reales y positivos es igual a 1, su suma es mayor o igual que E el plao, dada ua recta r y dos putos A y B exteriores a la recta, y e el mismo semiplao; se pide determiar u puto M de la recta, tal que el águlo de r co AM sea doble del de r co BM Se elige aleatoriamete dos úmeros reales etre 0 y 1; calcular la probabilidad de que uo cualquiera de ellos sea meor que el cuadrado del otro Calcular : x 1x 5 dx mediate su iterpretació geométrica E el iterior de u cuadrado ABCD de lado uidad se toma u puto P y se cosidera las cuatro distacias PA, PB, PC, PD. Demostrar que : a) A lo más ua de dichas distacias es mayor que 5 / b) A lo más dos de dichas distacias so mayores que 1 c) A lo más tres de dichas distacias so mayores que / 97.- Se toma u úmero A = a 1 a a 3... y el úmero A' = a 1 +a +a formado por la suma de sus cifras. De la diferecia de ambos A - A' = b 1 b b 3. se quita ua de sus cifras b i Averiguar cuál es el valor de esa cifra si os da la suma B = b 1 + b + b de las restates cifras de A - A' Si se calcula aproximadamete el cuadrado de u úmero decimal mediate iterpolació co ua tabla de cuadrados de úmeros aturales, utilizado la misma idea que para hallar el logaritmo de u úmero o coteido e la tabla, demostrar que el máximo error cometido es meor o igual que 0, E u plao se da cuatro putos fijos A, B, C, D o alieados tres a tres. Costruir u cuadrado cuyos lados a, b, c y d sea segmetos a los que perteezca respectivamete A, B, C y D Demostrar que la ecuació : z 4 +4(i+1)z + 1 = 0 tiee ua raíz e cada cuadrate del plao complejo Probar que la siguiete sucesió es moótoa y acotada. Calcular su límite. -8-

9 a o 1; a 4 3a 1, =1,,3, a) Si 0 < x < 1, probar que x.(1-x) 1/4 Se alcaza la igualdad?. b) Probar que si x 1,x,..., x perteece al itervalo (0,1), al meos uo de los productos x 1.x...x y (1-x 1 )(1-x )...(1-x) es meor ó igual que Demostrar para los llamados úmeros de Fermat : la relació: F 0 1 F 1 ; F 1 ; F 1 ;... ; F F. F. F...F Demostrar que m.c.d.(f, F m ) = 1 para dos úmeros de Fermat distitos cualesquiera U solar e forma de trapecio tiee su base mayor de fachada. Dividirlo e dos partes de igual área y de igual fachada Doblar las putas de u cuadrado e la forma que idica la figura de modo que el área del cuadrado del cetro valga 1/ de la del cuadrado grade Dados u polígoo p y u puto iterior A, trazar ua recta que pase por A y que itercepte co p u segmeto co puto medio e A Por u puto comú a dos circuferecias secates dadas, trazar ua recta que determie e ambas circuferecias cuerdas de igual logitud Dadas dos rectas r y s y u puto P fuera de ambas, costruir u cuadrado co u vértice e P y los dos cotiguos e r y s Iscribir e u cuadrado dado u triágulo equilátero co u vértice comú Hallar el lugar geométrico de los ortocetros de los triágulos co u lado fijo y águlo opuesto costate Dos tagetes a ua circuferecia paralelas etre sí, so cortadas por otra tagete e los putos A y B. Demostrar que las rectas que ue A y B co el cetro de la circuferecia so perpediculares Dadas rectas ordeadas, costruir u -ágoo que tega a las rectas dadas por mediatrices de sus lados Hallar el lugar geométrico de la esquia de ua hoja de papel rectagular que se dobla de modo que el área de la zoa doblada es costate. -9-

10 Calcular: lim E el rectágulo de la figura cuya base es doble que la altura, se costruye los dos cuadrates de circuferecia mostrados y las circuferecias tagetes a ambos cuadrates y a la aterior (excepto la primera que es tagete al lado superior del rectágulo). Si umeramos las circuferecias e orde de tamaños decrecietes se pide demostrar que la expresió para el diámetro d de la -ésima circuferecia es: d R ( 1) siedo R la altura del rectágulo. Como aplicació demostrar que: lim ( 1) E ua circuferecia se da dos putos fijos A y B y otro variable M. Sobre la recta AM y fuera de la circuferecia, se toma u puto N tal que MN = MB. Hallar el lugar de N E u cuadrilátero arbitrario ABCD se traza las bisectrices de los cuatro águlos. Demostrar que los cuatro putos de itersecció de las bisectrices A y C co B y D so cocíclicos Dada ua circuferecia y dos úmeros positivos h y m, de modo que exista u trapecio ABCD iscrito e la circuferecia, de altura h y suma de sus bases m. Costruir dicho trapecio Demostrar que para todo etero se cumple: a) 3 - es divisible por 3. b) 5 - es divisible por 5. c) 7 - es divisible por Demostrar que : expresado e forma decimal, da u úmero periódico mixto para cualquier. 1.- La suma de u cierto úmero de eteros cosecutivos vale Hallar esos eteros Ecotrar u úmero de 4 cifras de la forma aabb que sea cuadrado perfecto Quié es mayor: ó ? Resolver la ecuació: a a x x. -10-

11 16.- Resolver: x ax 1 1 a a x Resolver la ecuació : x 1 x 3 x 1 x x x 18.- Cuátas raíces tiee la ecuació : se x? Ecotrar la suma de los coeficietes del poliomio que resulta de operar y reducir térmios e la expresió: (1-3x + 3x ) 743 (1 + 3x - 3x ) Demostrar que e el desarrollo de la siguiete expresió o existe térmios de grado impar: (1 - x + x - x x 99 + x 100 ) (1+ x + x + x x 99 + x 100 ) Resuelve e R el sistema: 4 4 x 6x y y x y 4xy Hallar a para que los poliomios: x + ax + 1; y x + x + a tega al meos ua raíz comú Demostrar que si u poliomio de cualquier grado co coeficietes eteros toma el valor 7 para cuatro valores eteros de x, etoces o puede tomar el valor 14 para igú valor etero de x Dadas dos circuferecias C y C' y u segmeto AB de logitud L, hallar ua recta paralela a AB que iterseque e C y C' cuerdas cuya suma de logitudes valga L Dado u triágulo ABC, determiar u puto P tal que los águlos PAB, PBC y PCA sea iguales Ecotrar dos cifras distitas etre sí A y B tales que el úmero de la forma BABABA sea múltiplo de AAA, de BBB y de AB, y, si embargo, BA o sea múltiplo de B U úmero etero se escribe co tres cifras distitas. Obteemos tres úmeros de dos cifras cada uo suprimiedo la cifra de las ceteas, la de las deceas y la de las uidades. La suma de estos tres úmeros es la mitad del úmero de tres cifras iicial. Hallarlo E la isla de Camelot vive 13 camaleoes rojos, 15 verdes y 17 amarillos. Cuado dos de distito color se ecuetra, cambia simultáeamete al tercer color. podría darse la situació e la que todos tega el mismo color? Sobre ua cita métrica de dos metros subdividida e milímetros, señalamos u trazo verde cada 11 mm. y u trazo rojo cada 17 mm, ambos comezado desde el mismo extremo. Hallar cuátos trazos verdes está, a 1mm. de u trazo rojo. -11-

12 140.- U gato está quieto a la izquierda de ua ratoera (cosiderada como u puto) acechado la salida de algú rató. Sale u rató que huye hacia la derecha lo más rápido que puede. El gato corre tras él y lo atrapa. Cuádo se dispoe a devorarlo ve cómo sale u segudo rató que huye hacia la izquierda a la misma velocidad que el primero. El gato sale e su persecució y atrapa a su seguda víctima después de ua carrera que dura cico veces más que la aterior. De uevo se dispoe a comérselo cuado ve salir u tercer rató que huye hacia la derecha algo más despacio que los ateriores debido al reuma que padece. El gato sale tras él y lo caza e u tiempo doble del empleado para el segudo rató. Co estos datos se trata de hallar la relació Vs/Vr siedo Vs la velocidad del rató sao y Vr la del rató co reuma Los profesores y alumos de u istituto so etre todos 1991 persoas. E ua excursió ha de atravesar u río para lo que dispoe de ua sola barca. La barca o puede llevar a la vez más de 100 kilos. Cada alumo pesa 50 kilos y cada profesor 100 (la sabiduría es muy pesada). Se ecesita como míimo 435 travesías para que pase todos. Hallar el úmero de profesores y el de alumos. (Cada viaje de ida y vuelta so dos travesías) ABC es u triágulo isósceles, r y R los radios de los círculos iscrito y circuscrito respectivamete y d la distacia etre el icetro y el circucetro. Demostrar que: d = R - Rr Ecotrar todos los úmeros aturales tales que - 1 es divisible por 7. Demostrar que o hay igú atural p tal que p + 1 es divisible por Dada la sucesió de Fiboacci a a 1 a a a Demostrar que se cumple las siguietes propiedades: a) a 1 a a... a 1 b) a a a a... a 1 1 c) a a a ( 1 ) Se toma dos úmeros a y b al azar, ambos etre 0 y 1. Hallar la probabilidad de que a sea mayor o igual que el cuadrado de b y al mismo tiempo b sea mayor o igual que el cuadrado de a Demostrar que 4 + 4, (siedo atural) sólo es primo para = Dados 0 < x 1 < y 1. Defiimos por recurrecia las sucesioes: x xy x y 1, y1 x y a) Demostrar que: x 1 < x < x 3 <...< x < y < y -1 <...< y < y 1 b) Demostrar que ambas sucesioes tiee u mismo límite y calcularlo Tres esferas de igual radio se ecuetra sobre ua mesa tocádose etre sí. Hallar el radio máximo de ua cuarta esfera para que quede etre las tres y la mesa Demostrar que los cuadrados de los úmeros aturales tiee u úmero impar de divisores. -1-

13 150.- Dada la sucesió: a 1 k; a k k ; a3 k k k... Demostrar que es covergete y hallar su límite Demostrar que: A a B C Aa Bb Cc ( A B C)( a b c) b c 15.- Hallar la iversió que trasforma tres putos alieados A,B,C e los vértices de u triágulo equilátero Dada la siguiete cofiguració de los úmeros aturales: hallar la suma de los úmeros situados e la -ésima fila Hallar ua progresió aritmética tal que la suma de sus primeros térmios valga para todo E u petágoo regular se traza las diagoales, que forma otro petágoo regular e su iterior. Hallar la razó etre sus áreas Demostrar : N y > Hallar las posicioes de las maecillas de u reloj susceptibles de estar e posició iversa. Es decir la horario e la posició de la miutera y viceversa Resolver la ecuació : 4x 3 + 6x + 1x + 5 = 0, sabiedo que existe eteros a y b tales que la ecuació dada puede poerse e la forma: (x + a) 4 = (x + b) Demostrar que si ua ecuació P(x) = 0 tiee dos raíces iversas, éstas tambié so raíces de 1 la ecuació P Aplicar el resultado para resolver la ecuació:x 4x 3x 8x 0 x sabiedo que tiee dos raíces iversas E el triágulo ABC, el vértice A es fijo y el águlo BAC costate. B recorre ua recta y el producto AB AC es costate. Hallar el lugar geométrico de C Hallar ua ecuació de segudo grado cuyas raíces sea los cubos de las de: ax + bx + c = 0-13-

14 16.-E u petágoo regular se traza las diagoales que forma e su iterior otro petágoo regular. Hallar la razó etre sus áreas Se tiee dos semirrectas OX y OY co orige comú y formado u águlo x. A y B so dos putos fijos sobre OX. Se pide: a) Hallar sobre OY u puto T tal que la diferecia de los águlos TAB y TBA valga x. b) Lugar de T al variar x Dado u coo recto de geeratriz a y diámetro de la base b, determiar u plao paralelo a la geeratriz de modo que el segmeto parabólico que resulta e la secció tega área máxima Ua semicircuferecia de radio r se divide e + 1 partes iguales. Se ue el k-ésimo puto de divisió co los extremos del diámetro formádose u triágulo. Si llamamos A(k) a su área, hallar el límite cuado tiede a ifiito de la media aritmética de las áreas A(k) Demostrar que para todo etero positivo, el úmero es múltiplo de 8. Probar además que, si o es múltiplo de 3, etoces es múltiplo de Si a, b, c so los lados de u triágulo, demostrar: 1< a b + c b c a + c a + b E u sistema cartesiao rectagular se da los putos A(6,0) y B(-3,0). Por A se traza ua recta variable y sobre ella se toma u puto C a distacia 6 de A. Por B se traza ua recta paralela a la aterior y sobre ella se toma D distates 3 uidades de B y e el mismo setido. Hallar el lugar geométrico del puto P de itersecció de AD co BC Resolver el sistema siguiete e las icógitas x,y,z: x y z a x y z b xy z Demostrar que: N : Sobre ua circuferecia se da tres putos A,B,C. Costruir co regla y compás u cuarto puto D de modo que e el cuadrilátero ABCD se pueda icribir otra circuferecia Sea AC la diagoal mayor del paralelogramo ABCD. Desde C se traza las perpediculares a AB y AD. Sea E y F los pies de estas perpediculares. Demostrar que: D F C AB AE AD AF AC De tres úmeros x,y,z se cooce su suma S 1, la suma de sus cuadrados S y la suma de sus cubos S 3. Hallar el producto xyz. A B E -14-

15 174.- Se cosidera la fució: f(x) = x 4 - x 3 + x +6x + 4. a) Hallar para que f(x) tega dos raíces x 1 y x cuyo producto sea. b) Calcular x 1 y x para el valor de hallado. c) Para el mismo valor de resolver la ecuació f(x) = Dadas las ecuacioes co coeficietes complejos: x sx p 0 x s' x p' 0 Hallar las codicioes que debe cumplir los coeficietes para que las raíces forme u cuadrado siedo las de cada ecuació vértices opuestos Demostrar:,k N co k ( +1)( +)...(-1)() es múltiplo de k Resolver la ecuació: 4x x 3-6x - 40x + 5 = Si a,b,c so tres reales positivos cualesquiera, demostrar que se cumple: a b b c c a 6 c a b Sobre los lados AB y AC de u triágulo, se toma, respectivamete los putos L y M tales que: AL AB, AM AC 5 5 Las rectas BM y CL se corta e P y AP corta e N a AC. Hallar el úmero x tal que: BN x BC Se cosidera las ecuacioes de segudo grado co coeficietes eteros: x bx c 0 x b' x c' 0 verificado: (b - b') ( c c') 0 Probar que, si las dos ecuacioes tiee ua raíz comú, las otras raíces so eteras y distitas E u rectágulo se ue los putos medios de cada lado co los extremos del lado opuesto, calcular el área del octógoo formado e el cetro e fució del área del rectágulo E el espacio vectorial R de -uplas de úmeros reales, se cosidera el subcojuto: A = {(a 1,a,...,a ) a 1,a,...,a es ua progresió aritmética } Demostrar que A es u subespacio vectorial de R, y determiar ua base del mismo E el espacio euclídeo E 3, se cosidera u tetraedro, e el que dos pares de aristas opuestas so ortogoales. Probar que el tercer par tambié lo es. -15-

16 184.- Se tiee tres bolsas, coteiedo bolas umeradas por 1,,3,...,. Se extrae, al azar, ua bola de cada bolsa; sea x,y,z los úmeros de las bolas extraídas. Calcular la probabilidad de que x + y = z Sea C1 y C dos circuferecias exteriores y r ua recta exterior a ambas que las deja e u mismo semiplao. Determiar los putos P de esta recta que verifique que las tagetes trazadas desde P a las circuferecias forme águlos iguales co r Siedo múltiplo de 3, hallar el valor de: ( 1 3i) ( 1 3i) Sobre ua circuferecia k, se da tres putos distitos, A,B,C. Idicar cómo se puede obteer co regla y compás u cuarto puto D sobre k, tal que se pueda iscribir u circulo e el cuadrilátero así costruído Los cuadrados de los lados de u triágulo ABC so proporcioales a 1, y 3. a) Demostrar que los águlos formados por las mediaas so iguales a los águlos del triágulo ABC. b) Demostrar que el triágulo cuyos lados so las mediaas de ABC, es semejate a ABC Dado u águlo agudo XOY, y u puto A sobre OY, idicar cómo se puede determiar co regla y compás u puto M sobre OY que equidiste de A y del otro lado OX del águlo Sea u úmero atural cualquiera. Demostrar que, para todo k <, la expresió: es divisible por k. ( + 1 )( + )... ( - 1 )() Se cosidera los lados del petágoo, hexágoo y decágoo regulares, iscritos e ua misma circuferecia de radio R. Demuéstrese que el triágulo, cuyos lados so los de esos tres polígoos, es rectágulo. 19.-Hallar tres úmeros aturales e progresió aritmética de diferecia, tales que la suma de sus cuadrados sea u úmero de 4 cifras iguales Dado u cuadrado de lado a, se traza arcos de circuferecia, de radio a, co cetro e cada uo de los vértices, iteriores al cuadrado, dividiedo a éste e 9 regioes, cuatro iguales etre sí, otras cuatro iguales etre sí, y ua distita. Calcular el área de cada uo de los tres tipos de regioes e que ha quedado dividido el cuadrado Se cosidera u poliomio P(x) de grado 100, co coeficietes eteros, todos ellos distitos etre sí, y cuyos valores absolutos so meores o iguales que 50. Determiar si P(x) es divisible por x Sea a k y A k las áreas de los polígoos regulares de k lados, iscrito y circuscrito, respectivamete, a ua misma circuferecia. Demostrar que: a a A -16-

17 196.- Si resolver la ecuació cúbica x 3 + ax + bx + c =0, expresar la suma de los cubos de sus raíces e fució de los coeficietes a, b, y c Sobre ua mesa se ecuetra ua semiesfera de radio 1 co su parte plaa hacia abajo. E forma circular, rodeado la semiesfera, se coloca 6 esferas de radio r, de tal forma que cada ua es tagete a la semiesfera, a la mesa y a las dos esferas adyacetes. Calcular r Se defie la sucesió de úmeros complejos {a }, >1, por i i a ( 1 i)( 1 )...( 1 ). Averiguar si existe u úmero atural m tal que: m 1 a 1990 a La ecuació x 3 + ax + bx+ c = 0, (c o ulo), tiee tres raíces distitas e progresió geométrica y cuyos iversos puede ordearse de modo que forme progresió aritmética. Hallar b y c e fució de a Sea ABC u triágulo cualquiera. Exteriormete a él se costruye dos cuadrados BAEP y ACRD de lados AB y AC, respectivamete. Sea M y N, respectivamete, los putos medios de BC y ED. Demostrar que AM es perpedicular a ED y que AN es perpedicular a BC. -17-