Límite de una función

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1 Límite de ua fució SOLUCIONARIO Límite de ua fució LITERATURA Y MATEMÁTICAS El ocho Sharrif iba sacado los libros [de mi bolsa] y ordeádolos e ua pila sobre el escritorio mietras leía cuidadosamete los títulos. Juegos matemáticos de ajedrez... ah! Los úmeros de Fiboacci! eclamó, co esa sorisa que me hacía setir que teía algo cotra mí. Señalaba el aburrido libro de Nim. De modo que te iteresa las matemáticas? pregutó, mirádome co iteció. No mucho dije, poiédome e pie y tratado de volver a guardar mis perteecias e la bolsa. [...] Qué sabe eactamete sobre los úmeros de Fiboacci? [...] Se usa para proyeccioes de mercado murmuré. [...] Etoces o cooce al autor? [...] Me refiero a Leoardo Fiboacci. U italiao acido e Pisa e el siglo XII, pero educado aquí, e Argel. Era u brillate coocedor de las matemáticas de aquel moro famoso, Al-Kwarizmi, que ha dado su ombre a la palabra «algoritmo». Fiboacci itrodujo e Europa la umeració arábiga, que reemplazó a los viejos úmeros romaos... Maldició. Debí haber compredido que Nim o iba a darme u libro sólo para que me etretuviera, au cuado lo hubiera escrito él mismo. [...] Permaecí leyédolo casi hasta el amaecer y mi decisió había resultado productiva, auque o sabía co certeza cómo. Al parecer, los úmeros de Fiboacci se usa para algo más que las proyeccioes del mercado de valores. La resolució de u problema había llevado a Fiboacci a formar esta iteresate sucesió de úmeros empezado por el uo y sumado a cada úmero al precedete:,,,, 5, 8,,... [...] Descubrió que los cocietes etre cada térmio y el aterior se aproima al úmero + 5 y que este úmero describía tambié la estructura de todas las cosas aturales que formaba ua espiral. KATHERINE NEVILLE Los úmeros de Fiboacci aparece co frecuecia e la aturaleza. Por ejemplo, el úmero de espirales de los girasoles o de las piñas es siempre uo de estos úmeros. Además, como se dice e esta ovela, al dividir cada térmio de la sucesió de Fiboacci etre el aterior, se obtiee ua ueva sucesió de úmeros que se aproima + 5 cada vez más al úmero de oro:. Auque o la descubrió Fiboacci, esta propiedad es verdadera. Compruébala tú mismo. La sucesió que se obtiee al dividir cada térmio de la sucesió de Fiboacci etre el aterior es: 8 a a 5, a 5 6, a, a a 4,6 a 6, 65 a 8, 69 8 Estos valores se aproima a: + 5, 68 58

2 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA Escribe los térmios 4, y.45 de estas sucesioes. a + 4 a + + a 4 56 a 4.6 a a 4 a a Factoriza este poliomio: P() P() ( )( + )( + ) Simplifica estas fraccioes algebraicas. + + ( + ) ( 4 ) ( ) y ( 4 + 4) ( ) ( 9)( y 6) y ( 6)( y + 4) + + ( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( + )( ) ( ) ( ) ( + ) y ( 4 + 4) y ( ) ( ) ( ) y ( ) ( 9)( y 6) y( 6)( y + 4) ( + )( )( y + 4) ( y 4 ) y( )( y + 4) ( + )( y 4) y( y + 4) 4 Resuelve estas operacioes y simplifica el resultado. ( + ) + ( ) + + ( + ) ( ) + + ACTIVIDADES Obté el térmio geeral de estas sucesioes.,,,,,,, a a

3 Límite de ua fució Co tu calculadora, halla los cico primeros térmios de la sucesió recurrete a + a, siedo a, y determia el úmero al que se aproima. a a a a,6 a 4 5, a 5, 4 Los térmios de la sucesió se aproima a:, Co ayuda de tu calculadora, halla el límite de las siguietes sucesioes. a a a ( ) + 4 a, a a + a a 4 Escribe sucesioes de úmeros reales que cumpla que su límite, cuado tiede a ifiito, es: a a a + a Respuesta abierta. a a 4 a + + o eiste a ( ) + 5 Calcula estos límites de sucesioes. 4 5, , 6 Halla los límites de las sucesioes cuyos térmios geerales so los siguietes. 8 + ( ) ( + ) 8 + ( ) ( + ) Halla los siguietes límites l l

4 SOLUCIONARIO 8 Calcula estos límites l + + 9, l + + 9, Eplica por qué o so idetermiacioes. El producto de valores muy grades resulta u valor aú más grade. Al dividir cero etre cualquier úmero distito de él, el resultado es cero. El cociete de u valor muy grade etre u úmero muy próimo a cero es u valor aú más grade. Cualquier úmero elevado a uo es el mismo úmero. Po ejemplos de límites que produzca idetermiacioes de los tipos. Respuesta abierta. 4 l + ( 4 ) Calcula los siguietes límites, resolviedo las idetermiacioes que pueda presetar

5 Límite de ua fució Preseta idetermiacioes del tipo estas sucesioes? E caso afirmativo, halla el límite. 5 5 No es ua idetermiació, porque la raíz cuadrada o está defiida para valores grades de. 5 Es ua idetermiació del tipo : Calcula los siguietes límites Halla estos límites. ( 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( + 5) 4 ( ) + 6

6 SOLUCIONARIO 5 Calcula los siguietes límites e 5 e 6 Halla estos límites e e Halla los siguietes límites. + + ( + ) ( 6)( ) ( + ) ( 6)( ) Calcula estos límites e 6

7 Límite de ua fució 9 Calcula los límites laterales e el puto de: f ( ) si < + si f( ) ( ) f( ) ( + ) + + Halla los límites laterales e de las fucioes. f( ) f( ) f( ) f( ) + + > f( ) si si < f( ) f( ) + Calcula el límite de la fució f( ) e y e 5. 5 f( ) f( ) 5 4 f( ) 5 No eiste f( ). f( ) Razoa si eiste o o el límite de la fució e, e y e 4. f( ) f( ) f( ) 6 f( ) No eiste f( ). f( ) f( ) 4 4 Halla los siguietes límites

8 SOLUCIONARIO 4 Calcula m si m y m. Puedes determiar el límite para u valor m cualquiera? ( + ) ( + + ) m m m m + ( ) 5 Po u ejemplo de ua fució que tega como asítotas verticales las rectas cuyas ecuacioes so: Respuesta abierta. Por ejemplo: f( ) ( )( )( ) 6 Halla las asítotas verticales de las fucioes. f( ) f( ) f( ) 4 Dom f {} f( ) f () tiee ua asítota vertical e. f( ) + + Dom f {, } f( ) + f () tiee ua asítota vertical e. f( ) + f( ) f () tiee ua asítota vertical e. f( ) + + Dom f {,, } f( ) f () tiee ua asítota vertical e. f( ) + + f( ) f () tiee ua asítota vertical e. f( ) + + f( ) + f () tiee ua asítota vertical e. f( ) + 65

9 Límite de ua fució Puede ocurrir que ua fució tega ua asítota horizotal y otra oblicua cuado +? Razoa la respuesta. No puede ocurrir, ya que si tiee ua asítota horizotal se verifica que: f( ) k + f( ) Y si, la fució o tiee asítota oblicua. + 8 Calcula sus asítotas y represeta las fucioes. f( ) f( ) f( ) f () tiee ua asítota horizotal: y. + + Y X f () tiee ua asítota horizotal: y. + + Y X f( ) f () tiee ua asítota oblicua: y Y X 66

10 SOLUCIONARIO 9 Estudia la cotiuidad de estas fucioes. f( ) f( ) 4 Dom f {} f () es cotiua e {}. Dom f [4, +) f () es cotiua e [4, +). Dom f (, ) f () es cotiua e (, ). f( ) l ( ) Halla m y para que la fució f ( ) sea cotiua e. si f( ) m + si < < 4 si m Estudia la cotiuidad de la fució que asiga a cada úmero su parte etera. y [] Especifica los tipos de discotiuidades que preseta esta fució. La fució o es cotiua para todos los valores eteros. Todos los úmeros eteros so putos de discotiuidad ievitable de salto fiito. Estudia la cotiuidad de estas fucioes. si f( ) + f( ) si < < 4 5 si 4 Dom La discotiuidad es ievitable de salto ifiito. La fució tiee ua asítota vertical e. 6

11 Límite de ua fució Dom La discotiuidad es ievitable de salto ifiito. La fució tiee ua asítota vertical e. Como, la fució es cotiua e. ) o es cotiua e 4. La discotiuidad es ievitable de salto fiito. Halla el térmio geeral de las sucesioes cuyos primeros térmios so:,,,,,, 4, 8, a () a 4 Co ayuda de la calculadora, halla el límite de esta sucesió defiida de forma recurrete. a + a a 4a + a 5 a, 48 9 a, 4 Los térmios de la sucesió se aproima a: 69 a 4, a 5, 6. 9, 5 Calcula el límite de la siguiete sucesió co ayuda de la tabla. a a,8 4,4 49,4.499, ,4 a + 68

12 SOLUCIONARIO 6 Comprueba la igualdad co ayuda de la tabla a,6,9,99,999,9999 Halla los siguietes límites de sucesioes Obté los resultados de:

13 Límite de ua fució 9 Determia los límites. + 4 ( ) ( ) ( ) ( + 4 ) ( ) ( ) 4 Halla los siguietes límites. + + l e ( + ) + + l e + 4 Represeta las fucioes. A partir de la gráfica, calcula los siguietes límites. f( ) g( ) + Y f ( ) + f ( ) g() f() g( ) + g( ) f( ) f( ) + + X g( ) + g( ) + +

14 SOLUCIONARIO 4 Calcula. ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( + + ) + + ( ) + ( + 5 6) + 4 Determia los límites. ( 6 + ) ( ) ( 6 + ) 4 ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) 44 Halla los límites. t + 5 t+ t + 6t + t t t + t + 6t + + t 45 Calcula los límites, y comprueba el resultado co tu calculadora e) e)

15 Límite de ua fució 46 Halla estos límites co ayuda de la calculadora, y comprueba el resultado obteido Escribe, e cada caso, u poliomio, P(), para obteer los resultados idicados cuado calculamos el límite P( ) e) f) Respuesta abierta. P() + + P() + e) P() 8 P() P() + f) P() 8 48 Ecuetra el valor de: ( ) ( ) ( ) + ( + + 4) + 49 Halla los límites

16 SOLUCIONARIO Obté los resultados de: Determia Determia los límites, calculado previamete sus límites laterales ( + ) e) l 5 + f ) ( + ) 4 e) l + 5 f )

17 Límite de ua fució 5 Co ayuda de la calculadora, completa la tabla y comprueba que si f( ), etoces f ( ) 5,.,9,99,999,,, f (),8,48,49,5,5,6 54 Calcula los límites idicados e la fució. g ( ) + 4 si < 4 + si 4 g( ) g( ) e) 4 g( ) g( ) f ) 6 g 6 + ( ) g( ) 4 + g( ) ( + 4) g( ) ( + ) 5 e) 6 6 g( ) ( + 4) f ) 4 4 g( ) ( + 4) g( ) ( + ) g( ) ( + ) Observa las gráficas de las fucioes f() y g(), y halla los siguietes límites. f ( ) f ( ) + Y f () X g( ) g( ) + Y g() X f( ) + f( ) + + g( ) g( ) + + 4

18 SOLUCIONARIO 56 Determia los límites, y si es preciso, calcula los límites laterales Halla los límites. cos tg se π π π π cos se cos π tg π π se tg + π tg π + cos π se π cos se π + cos se + 58 Dada la fució f() defiida a trozos, ecuetra los límites. + si < f( ) 9 si < + 6 si f ( ) f ( ) e) f ( ) g) f ( ) f ( ) f ) f ( ) h) + + f( ) f( ) g) + f( ) 5 + f ( ) + f ( ) f( ) + e) f( ) h) f( ) o eiste. + 9 f( ) f ) f( ) 5

19 Límite de ua fució 59 Calcula los límites laterales y el siguiete límite ( )( + ) + ( ) Resuelve los límites. ( )( + ) ( + )( + ) e) + 4 f ) ( )( + ) ( + )( + )

20 SOLUCIONARIO e) f) Dada la fució: determia los siguietes límites. f ( ) f ( ) f ( ) + f( ) + 4 f ( ) + f( ) f( ) f( ) f( ) Ecuetra el límite de la fució cuado tiede a y cuado tiede a. 4 f( ) Especifica el valor de los límites laterales, si es ecesario. 4 No eiste

21 Límite de ua fució 6 Determia el límite, y comprueba el resultado co la calculadora Observa las tablas de valores de la fució. f( ) f (),,69,94,995, f (),,4,5,5 Es cierto que y es ua asítota? Cuado tiede a +, está la fució por ecima o por debajo de la asítota? Qué sucede cuado tiede a? Sí, es cierto que y es ua asítota horizotal. Cuado tiede a +, la fució está por debajo de la asítota. Cuado tiede a, la fució está por ecima de la asítota. 65 Decide si la fució y + respecto de esa asítota. tiee algua asítota horizotal, y sitúa la fució La fució tiee ua asítota horizotal: y. + + Si., f ( ) >, y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota. Si., f ( ) <, y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. 66 Observa las tablas de valores de la fució. f( ) +,5,9,99,999,9999 f () ,,,,,5 f ()... 8

22 SOLUCIONARIO Es cierto que es ua asítota vertical? Cuado tiede a por la izquierda, la rama ifiita de la fució tiede a + o? Qué sucede cuado tiede a por la derecha? Sí, es cierto que es ua asítota vertical. Cuado tiede a por la izquierda, la rama ifiita de la fució tiede a. Cuado tiede a por la derecha, la rama ifiita de la fució tiede a +. 6 Decide si la fució y tiee algua asítota vertical, 4 y estudia sus ramas ifiitas próimas a esas asítotas. Dom f {, 4} 4 + Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a +, y por la derecha, a La fució tiee ua asítota vertical e. 4 4 La fució tiee ua asítota vertical e Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha, a Observa la tabla de valores de la fució. f( ) f (),6 6,9.6,9.6,9 Esta es la tabla de valores de la recta y y Es cierto que la recta es ua asítota de la otra fució? Qué posició tiee cuado tiede a +? Ivestiga la posició relativa de ambas cuado tiede a. Sí, es cierto que y + es ua asítota oblicua. Cuado tiede a +, la fució está por ecima de la asítota. Si., f ( ) >, y cuado tiede a la fució está por ecima de la asítota. 9

23 Límite de ua fució Comprueba si la recta y + es ua asítota oblicua de la fució y. + E caso afirmativo, decide la posició que ocupa ua respecto de la otra. La fució tiee ua asítota oblicua: y +. por debajo de la asítota. por ecima de la asítota., y cuado tiede a + la fució está, y cuado tiede a la fució está Calcula las asítotas oblicuas de las fucioes y su posició relativa respecto de ellas. + 4 f( ) f( ) La fució tiee ua asítota oblicua: y +., y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota., y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. La fució tiee ua asítota oblicua: y 4., y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota., y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. Determia todas las asítotas de las fucioes, y sitúa sus ramas ifiitas. f( ) 6 f( ) + + f( ) e) f( ) f( ) f ) f( )

24 SOLUCIONARIO La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha, a +. 6 La fució tiee ua asítota horizotal: y , y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota. 6, y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. Al teer ua asítota horizotal, la fució o tiee asítota oblicua. La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha, a +. La fució o tiee asítota horizotal. La fució tiee ua asítota oblicua: y., y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota., y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. La fució tiee ua asítota vertical e 5. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha, a +. La fució o tiee asítota horizotal. La fució o tiee asítota oblicua. 8

25 Límite de ua fució La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha, a +. La fució tiee ua asítota horizotal: y., y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota., y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. Al teer ua asítota horizotal, la fució o tiee asítota oblicua. e) La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a +, y por la derecha, a. La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha, a +. La fució o tiee asítota horizotal. La fució tiee ua asítota oblicua: y + 5., y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota., y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. 8

26 SOLUCIONARIO f ) Dom f La fució o tiee asítota vertical. La fució tiee ua asítota horizotal: y., y cuado tiede a + la fució está por ecima de la asítota., y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. Al teer ua asítota horizotal, la fució o tiee asítota oblicua. Obté todas las ramas ifiitas y las asítotas de las fucioes, y decide la posició que tiee etre sí. + f( ) 5 + f( ) 8 + f( ) f( ) + 8 Dom La fució tiee ua asítota vertical e. Las dos ramas ifiitas de la fució tiede a +. La fució tiee ua asítota vertical e. 5 Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha tiede a +. 8

27 Límite de ua fució La fució tiee ua asítota horizotal: y. 5 Si, y cuado tiede a + la fució está por debajo de la asítota. Si, y cuado tiede a la fució 5 está por ecima de la asítota. Al teer ua asítota horizotal, la fució o tiee asítota oblicua. Dom La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a +, y por la derecha tiede a. La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a +, y por la derecha tiede a. La fució o tiee asítota horizotal. La fució tiee ua asítota oblicua: y. y cuado tiede a + la fució está por debajo de la asítota. y cuado tiede a la fució está por ecima de la asítota. 84

28 SOLUCIONARIO Dom La fució o tiee asítota vertical. La fució o tiee asítota horizotal. La fució tiee ua asítota oblicua: y. Si por debajo de la asítota., y cuado tiede a + la fució está Si, y cuado tiede a la fució está por ecima de la asítota. Dom La fució tiee ua asítota vertical e 4. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a +, y por la derecha tiede a. La fució o tiee asítota horizotal. La fució o tiee asítota oblicua. Halla las asítotas de estas fucioes, y la posició de las ramas ifiitas. f( ) f( ) + 4 f( ) e) f( ) + 6 ( ) f( ) f ) f( ) + 4 Dom La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a +, y por la derecha tiede a. 85

29 Límite de ua fució La fució o tiee asítota horizotal. La fució o tiee asítota oblicua. Dom La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha tiede a +. La fució o tiee asítota vertical e. La fució o tiee asítota horizotal. por ecima de la asítota. La fució tiee ua asítota oblicua: y., y cuado tiede a + la fució está, y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. Dom La fució o tiee asítota vertical e. La fució o tiee asítota horizotal. oblicua. La fució o tiee asítota 86

30 SOLUCIONARIO Dom La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha tiede a +. La fució o tiee asítota vertical e. La fució o tiee asítota horizotal. por ecima de la asítota. La fució tiee ua asítota oblicua: y 6., y cuado tiede a + la fució está, y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. e) Dom La fució o tiee asítota vertical e. La fució o tiee asítota horizotal. La fució tiee ua asítota oblicua: y. f ( ) + La epresió de la fució coicide co la ecuació de la asítota salvo e. 8

31 Límite de ua fució f ) Dom La fució o tiee asítota vertical. La fució o tiee asítota horizotal. por ecima de la asítota. La fució tiee ua asítota oblicua: y 6., y cuado tiede a + la fució está, y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. 4 Calcula las ramas ifiitas y asítotas de las fucioes. y + 5 y y log y tg Dom La fució o tiee asítota vertical. + La fució o tiee asítota horizotal. La fució o tiee asítota oblicua. Dom La fució o tiee asítota vertical. La fució o tiee asítota horizotal. La fució o tiee asítota oblicua. Dom La fució tiee ua asítota vertical e. La rama ifiita de la fució tiede a. La fució o tiee asítota horizotal. La fució o tiee asítota oblicua. Dom La fució tiee ua asítota vertical e π. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a +, y por la derecha, a. Al ser ua fució periódica, de período π, todos los putos que o perteece al domiio so asítotas del mismo tipo. Por tato, la fució o tiee asítotas horizotales i oblicuas. 88

32 SOLUCIONARIO 5 Ecuetra las asítotas de las fucioes. y y 4 La fució tiee ua asítota vertical e. Por la izquierda la rama ifiita de la fució tiede a, y por la derecha, a +. La fució tiee ua asítota horizotal: y. de la asítota., y cuado tiede a + la fució está por debajo La fució tiee ua asítota horizotal: y., y cuado tiede a la fució está por debajo de la asítota. Al teer asítotas horizotales, la fució o tiee asítotas oblicuas. Dom La rama ifiita de la fució tiede a. La fució tiee ua asítota vertical e. La fució tiee ua asítota vertical e. La rama ifiita de la fució tiede a +. Dado el domiio de la fució, o tiee setido los límites e el ifiito, y la fució o tiee asítotas horizotales i oblicuas. 6 Observa la gráfica de la fució y determia estos límites. f ( ) f ( ) + f ( ) Y f () f ( ) f ( ) f ( ) X Estudia la cotiuidad de la fució f (). 89

33 Límite de ua fució f( ) f( ) f( ) + f( ),5 f( ) f( ) La fució es cotiua salvo e, ya que o eiste f(). Completa la tabla para la fució. f( ) Comprueba que su límite, cuado tiede a, es: f ( ) 4 Cuáto vale f ()? Haz ua represetació de la fució. Qué diferecia hay etre las gráficas de f () y de y +?,5,9,999,,,,5 f(),5,9,999 4, 4, 4, 4,5 No eiste f(). Y 4 X La gráfica de f() coicide co la gráfica de la recta y +, salvo e el puto. 8 Dibuja ua fució que sea cotiua, salvo e, que tega u salto ifiito y que tega e u salto fiito. Respuesta abierta. Y X 9

34 SOLUCIONARIO 9 Dibuja ua fució cuyo domio sea [, +), y que presete u puto de discotiuidad evitable e 4. Respuesta abierta. Y 4 X 8 Determia los putos de discotiuidad de las siguietes fucioes. + y e) y y f ) + y 5 y 4 + g) y 4 h) y 8 y + 8 Dom No eiste f( ), y es u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. Dom f No hay putos de discotiuidad. Dom f [4, +) No hay putos de discotiuidad. Dom f [4, ] No hay putos de discotiuidad. e) Dom No eiste f( ), y es u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. 9

35 Límite de ua fució No eiste f( ), y 4 es u puto 4 de discotiuidad ievitable de salto ifiito. f ) Dom f [5, +) No hay putos de discotiuidad. g) Dom f (, ] [4, +) No hay putos de discotiuidad. h) Dom f No hay putos de discotiuidad. 8 Estudia la cotiuidad de las fucioes e, y si preseta discotiuidad, decide de qué tipo de discotiuidad se trata. + si < < f( ) si f( ) 6 si + si > 5 si si < f( ) e) 6 si si > + f( ) si si l ( ) si < f( ) si se ( ) si >, la fució es cotiua e. No eiste, y la fució o es cotiua Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto fiito. (), la fució o es cotiua e. Se trata de u puto de discotiuidad evitable. 9

36 SOLUCIONARIO No eiste, y la fució o es cotiua e. Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. e) (), la fució o es cotiua e. Se trata de u puto de discotiuidad evitable. 8 Qué valor debe tomar a para que las fucioes sea cotiuas? si < f ( ) + a si si > π tg si f( ) log ( a + ) si > f( ) si a si > a. f a a 6 f a+ a 9

37 Límite de ua fució 8 Razoa si la siguiete fució es cotiua e y e. si y + si < Como, la fució es cotiua e. No eiste f( ), y la fució o es cotiua e. Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. 84 Estudia la cotiuidad e todo el domiio de las fucioes. Determia los putos de discotiuidad que preseta cada ua de ellas. y se ( +π) y l ( + e) y π tg y Dom f No hay putos de discotiuidad. Dom f (e, +) No hay putos de discotiuidad. Dom } No eiste f( ), la fució o es cotiua π e π. Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. Al ser ua fució periódica, de período π, todos los putos e los que falla el domiio so putos de discotiuidad ievitable de salto ifiito. Dom f No hay putos de discotiuidad. 94

38 SOLUCIONARIO 85 Ivestiga si las fucioes so cotiuas. log ( + ) si < f( ) si 5 si > si < f( ) si + si > 5 si < f( ) 5 si + + si > Si < : No hay putos de discotiuidad. Como, la fució es cotiua e. Si > : Dom No hay putos de discotiuidad. La fució es cotiua e (, +). Si <: f Dom No hay putos de discotiuidad. No eiste f( ), y la fució o es cotiua e. Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto fiito. Si >: f No hay putos de discotiuidad. 5 La fució es cotiua e, (, +). 95

39 Límite de ua fució Si < : No hay putos de discotiuidad. Como, la fució es cotiua e. Si > : La fució es cotiua e. No hay putos de discotiuidad. 86 Estudia la cotiuidad de la siguiete fució. log ( t + ) si t < g( t) si t 4 si t > t Si preseta putos de discotiuidad, estudia el límite cuado t tiede a ellos y decide qué tipos de discotiuidades so. Si t < : g No hay putos de discotiuidad. Como, la fució es cotiua e t. Si t > : t No eiste g( t) y la fució o es t cotiua e t. Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. La fució es cotiua e (, ) (, +). 8 Estudia la cotiuidad de las fucioes. y [] (Parte etera de ) y y y 96

40 SOLUCIONARIO La fució es cotiua salvo e los úmeros eteros. f( ) a a Si a No eiste f( ). f( ) a a + a Todos los úmeros eteros so putos de discotiuidad ievitable de salto fiito. f( ) si < si > No eiste f (). f( ) No eiste f( ), y la fució o es cotiua e. f( ) + Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto fiito. La fució es cotiua e {}. < > f( ) si o si + si Si : f () f( ) ( ) f f( ) + ( ) ( ) + + Como f () f( ), la fució es cotiua e. Si : f () f( ) ( + ) f ( ) f( ) ( ) + + Como f () f( ), la fució es cotiua e. La fució es cotiua e. si < o si > f( ) si < < No eiste f (). f + ( ) La fució o es cotiua e. f( ) Es u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. No eiste f (). f( ) + + La fució o es cotiua e. f( ) Es u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. La fució es cotiua e {, }. 9

41 Límite de ua fució 88 Observa la gráfica de la fució y determia los límites que se idica. Y + f ( ) f ( ) f () X f ( ) f ( ) f( ) + f( ) o eiste. f( ) f( ) o eiste Calcula los límites idicados e la fució defiida a trozos. h ( ) si < si h( ) h( ) + + h( ) h( ) h( ) ( + 5+ ) + f( ) ( + 5+ ) h( ) ( 5+ 6) h( ) ( 5+ 6) Calcula ( f g ), siedo las fucioes: g( ) + f( ) No eiste el límite. 98

42 SOLUCIONARIO 9 Haz la gráfica aproimada de ua fució que cumpla las siguietes codicioes. f ( ) f ( ) + f ( ) + + f ( ) + Respuesta abierta. Y X 9 Realiza la gráfica aproimada de ua fució que cumpla las siguietes codicioes. g( ) g( ) g( ) + g( ) + Respuesta abierta. Y X 99

43 Límite de ua fució 9 Costruye la gráfica aproimada de ua fució que cumpla estas codicioes. h( ) h( ) h( ) + + h( ) + Respuesta abierta. Y X 94 Represeta tres fucioes que cumpla que f ( ) 5 y cada ua de estas codicioes. f() 5 f() o eiste. f() Respuesta abierta. Y 5 X

44 SOLUCIONARIO Y 5 X Y 5 X 95 Dibuja ua fució cotiua que cumpla que f() es egativa si > y es positiva si <. Cuáto vale f ( )? Y f()? Hay u posible resultado? Razoa la respuesta. Respuesta abierta. Y X f( ) f () Sí, porque si la fució es cotiua tiee que verificarse que: f( ) f( )

45 Límite de ua fució 96 Halla las asítotas de estas fucioes f( ) g( ) Razoa las diferecias etre ambas fucioes para f La fució tiee ua asítota vertical e. vertical e. La fució o tiee ua asítota La fució tiee ua asítota horizotal: y. Al teer asítotas horizotales, la fució o tiee asítotas oblicuas. para g: La fució tiee ua asítota vertical e. La fució tiee ua asítota vertical e. La fució tiee ua asítota horizotal: y. Al teer asítotas horizotales, la fució o tiee asítotas oblicuas. Las fucioes f() y g() tiee distitas asítotas verticales, porque los valores que aula el deomiador e cada ua de ellas so diferetes.

46 SOLUCIONARIO 9 Escribe ua fució racioal para cada caso. Que tega y como úicas asítotas. Sus úicas asítotas so e y. Sus asítotas so 4 e y. Respuesta abierta. f( ) f( ) + f( ) ( )( + ) Calcula el valor de a para que el límite tega valor fiito: + a. + Co ese valor de a, halla b para que se verifique que: + + a b + Qué relació eiste etre la fució y y la recta y a + b? El límite tiee valor fiito si el grado del umerador es meor o igual que el deomiador, por lo que a. + a + a + a b + b + b b La recta y + es la asítota oblicua de la fució y. 99 Se ha estimado que la població de zorros e ua fica se rige t + por la fórmula z 6, dode z represeta el úmero de zorros + t y t es el tiempo trascurrido, e meses. El veteriario de la fica ha observado que, e los primeros seis meses, la població ha aumetado. Ivestiga si el crecimieto será idefiido, si tederá a estabilizarse la població o si tederá a dismiuir. t t 6 t La població de zorros tederá a estabilizarse.

47 Límite de ua fució La famosa fórmula M mc se debe a Eistei, y epresa la masa M de u c v cuerpo e fució de su velocidad v, siedo c la velocidad de la luz (. km/s). Calcula el límite de la masa M cuado v tiede a c. A la vista de ese resultado, crees que u cuerpo puede alcazar esa velocidad? mc c v v c + Para que la velocidad llegara a ser la de la luz el cuerpo debería teer ua masa ifiita. Represeta mediate ua fució defiida a trozos la tarifa de u aparcamieto. APARCAMIENTO Horario: de : a : horas Tarifas: Cada hora o fracció: Más de 5 horas: Estacia máima: horas Estudia su cotiuidad. Clasifica los putos de discotiuidad, si los tuviera. Y X La fució o es cotiua e: 4 Los putos so de discotiuidad ievitable de salto fiito. 4

48 SOLUCIONARIO PARA FINALIZAR Calcula el valor de k para que el siguiete límite sea u úmero real: Para el valor de k obteido, cuáto vale el límite? + k+ k Si k, etoces la idetermiació es: Así, el límite vale: + ( )( ) 4 ( )( + ) 4 + k+ 4 Calcula los límites. se cos Auque o sepamos el valor que toma el seo y el coseo de u águlo cuado el águlo tiede a ifiito, sí sabemos que es ua catidad acotada, pues tato el seo como el coseo de u águlo tiee u valor compredido e [, ], y al multiplicar por cero ua catidad acotada, el resultado es cero. se + cos 4 Qué ocurrirá co las raíces de la ecuació a + b + c si el coeficiete a tiede a cero y los coeficietes b y c so costates, siedo b? b b ac Las solucioes de la ecuació so de la forma: ± a 4 b+ b 4 ac a a b b 4ac b a a b+ b 4 ac b ( b 4 ac ) a a a a( b b 4 ac ) c c a b b 4 ac b 5 e Comprueba que o eiste. e e + No eiste e. + 5

49 Límite de ua fució 6 Estudia la cotiuidad de cada ua de las siguietes fucioes. si y y 5 si < > 5 si si se y si si No eiste f( ), y la fució o es cotiua e. Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto ifiito. La fució es cotiua e {}. No eiste f( ), y la fució o es cotiua e. Se trata de u puto de discotiuidad ievitable de salto fiito. La fució es cotiua e {}. Al ser f( ) f( ), la fució es cotiua e. Así, la fució es cotiua e. Demuestra que la recta de ecuació y b a y de la hipérbola. a b a b a + b a a a b a + + es ua asítota y b b a y a b y b y ± a b a b a b a b a b a a a + b ± a a 6

50 SOLUCIONARIO 8 se Si medimos el águlo e radiaes, demuestra que. se Si el águlo se mide e grados seagesimales, etoces π. 8 Como la medida de la logitud del arco está compredida etre la logitud de los segmetos AC y AB, etoces el área del sector circular está compredida etre el área de los triágulos. Área de OAC < Área de sector < Área OAB R R se R R tg < R < π π R se R tg < R < R Simplificamos dividiedo etre se tg : < < se tg Dividimos etre se : < < se se se se se se se > > > > cos se tg Hacemos límites co : se se se > > cos > >, que es lo que queríamos demostrar. Si viee medido e grados: R R se R R tg R se R < R < π π < < 6 6 R π Simplificamos dividiedo etre : se < < tg 8 Dividimos etre se : se π tg π < < < < se 8 se se 8 se cos 8 se > > cos π Hacemos límites co : 8 se 8 se > > cos > > π π 8 se π se Y despejado, resulta que: π 8 O R tg C B A

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