vectores Componentes de un vector

Transcripción

1 Vectores Un vector es un segmento orientdo. Está formdo por se representn: - con un flech encim v - en un eje de coordends - el módulo: es l longitud del origen l extremo - l dirección: es l rect que contiene l vector - el sentido: es el elemento que indic, hci qué ldo se dirige el vector. Componentes de un vector Ls coordends o componentes de un vector son ls proyecciones del vector sore cd uno de los ejes de coordends. Se clculn restndo ls coordends del origen ls coordends del extremo. Es decir, un vector está formdo por 2 puntos. Uno es el origen y otro es el extremo. Por ejemplo: Ddos 2 puntos A y B, clcul ls componentes del vector. A = (3,-5) y B = (-1,4) Pr hllr ls componentes deemos restr ls coordends: extremo origen V = ( 1 1, 2 2) v = (-1-3, 4-(-5)) v = (-4,9) 9-4 Módulo de un vector El módulo de un vector se clcul hllndo l ríz cudrd de l sum del cudrdo de ls componentes. Sen los : = ( x, y ) ; = ( x, y ) Su módulo es: // = x 2 + y // = x + y Ejemplo: = (2,1) ; = (3,5) // = = 4+1 = 5 // = = = 36 = 6 Pr otener el módulo, l dirección y sentido de un vector necesitmos el origen y el extremo. Esto es deido que, en el plno existen infinitos que tengn misms crcterístics, y sólo vrirá l posición en el plno.

2 Tipos de Vector Fijo: Es el vector del plno del que se conoce su origen y su extremo. Vector Lire: Es un vector del plno que tiene misms crcterístics: mismos módulo, dirección y sentido. En l figur siguiente se representn vrios. Cd uno de ellos es un vector lire. Vector Unitrio: Es quel que tiene de módulo l unidd. Es decir, tienen de módulo 1. Sus direcciones son perpendiculres. Se clcul dividiendo ls coordends del vector por su módulo. Tmién se le llm vector normlizdo. Ejemplo: ddo el vector v = (4,-3), Clculmos su vector unitrio: u /v/ = (-3) 2 = El vector unitrio será u = , Comproción: su módulo tiene que ser 1 /u/ = (4/5) 2 + (-3/5) 2 = = 25 = 5 16/25 + 9/25 = 25/25 = 1 Vectores Equipolentes (igules): Son quéllos que tienen mismo módulo, dirección y sentido. Dos equipolentes pertenecen l mismo vector lire. Dos son igules cundo tienen el mismo módulo, dirección y sentido, o ien cundo tienen ls misms coordends. Vectores Ortogonles (perpendiculres): Son perpendiculres pero de distinto módulo. Dos son ortogonles si su producto esclr es cero. Ejemplo: Compror que los = {3; 2} y = {2;-3} son ortogonles.. Clculmos el producto esclr de estos = (-3) = 6-6 = 0 Vector Ortonorml: es un vector ortogonl y unitrio. Vectores Colineles: Son prlelos un rect. O que están en un rect. Pr ser colineles deen cumplir uns condiciones: - Que l relción de sus coordends sen igules. Esto es - Que su producto vectoril se cero x y = x y Vectores Coplnrios: Son prlelos un plno. O que están en ese mismo plno. Pr ser coplnrios deen cumplir uns condiciones: - Que su producto mixto se cero. - Que sen linelmente dependientes.

3 Cosenos directores Los cosenos directores de un vector son los cosenos de los ángulos que form el vector con cd uno de los ejes de coordends. Se clculn dividiendo cd coordend por su módulo. Ejemplo: clcul los cosenos directores del vector v=(2,3): x /v/ = = = 13 Cos α = = u x // 2 3 y Cos α = Cos β = Cos β = = u y // L sum del cudrdo de los cosenoss del ángulo que form un vector con cd uno de los ejes de coordends es igul 1: Cos 2 α + cos 2 β =1 Ángulo entre El ángulo entre dos es el ángulo más corto l cul hy que girr uno de los lrededor de su inicio hst l posición de co-dirección con el otro vector. Pr entendernos: si tenemos dos y : el ángulo que formn serí el siguiente: El coseno del ángulo entre equivle l producto esclr de dos dividido en el producto de módulos de estos. Cos α = // // Es l dirección en l que gir pr llegr l posición de. Ejemplo: Ddos dos = (-1,2) y = (3,4). Clculmos el coseno del ángulo que formn: Cos α = = = = = ( (-1)

4 Operciones con SUMA DE VECTORES - Anlíticmente: se sum ls componentes de los. El resultdo será otro vector. Ejemplo: Ddos los siguientes. = (2,1) ; = (3,5) + = S S = (2+3, 1+5) S= (5,6) - Gráficmente: Ddos los nteriores: 5 S Se sum l componente x del vector A con l componente x del vector B. x + x Se sum l componente y del vector A con l componente y del vector B. y + y º - se sitún los dos con el mismo origen y se us l regl del prlelogrmo. 2º - se coloc el origen del segundo vector sore el extremo del primero y se unen el origen del primero con el extremo del segundo. Propieddes de l sum de Asocitiv: u + (v + w ) = (u + v ) + w Conmuttiv: u + v = v + u Elemento neutro: u + 0 = u Elemento opuesto: u + ( u) = 0 DIFERENCIA DE VECTORES - Anlíticmente: se restn ls componentes de los. El resultdo será otro vector. Ejemplo: Ddos los siguientes :. = (2,1) ; = (3,5) - = D D = (2-3, 1-5) D= (-1,-4) - Gráficmente: se sum el primer vector con el opuesto del segundo. Ddos los nteriores: = (2,1) ; = (3,5) Se rest l componente x del vector A con l componente x del vector B. x - x Se rest l componente y del vector A con l componente y del vector B. - D 1º - tenemos que relizr un sum, de est form A + (-B). Es decir, deemos uscr el opuesto de B. - 2º - se coloc el origen del segundo vector sore el extremo del primero y se unen el origen del primero con el extremo del segundo.

5 Vector opuesto: dos son opuestos cundo tienen el mismo módulo, l mism dirección pero sentido contrrio. (1,2) opuesto (-1,-2) Es decir, tienen los mismos componentes pero con signos contrrios. Gráficmente los opuestos están en l mism rect, con l mism longitud pero con sentido contrrio. PRODUCTO ESCALAR Producto esclr de un número por un vector El producto esclr de un vector es otro vector cuys coordends son el resultdo de multiplicr el esclr por ls coordends del vector. Ejemplo: t = 3; ū = (3, -1, -2) t ū = w = 3 (3, -1, -2) = ( 3 3, 3-1, 3-2) = t ū = w =( 9, -3, -6) Crcterístics: - Dirección: tienen l mism dirección - Sentido: si el esclr es positivo tienen el mismo sentido si el esclr es negtivo tienen sentido contrrio - Módulo: es el producto del esclr por el vector Producto esclr de dos El producto esclr de dos es un esclr igul l producto de sus módulos por el coseno que formn. = // // Cos α El producto esclr tmién puede clculrse prtir de ls coordends crtesins de mos. Si =( x, y ) y =( x, y ) = x x + y y Ejemplo: Ddos dos =(2,3) y =(1,4), clcul su producto esclr: (2,3) (1,4) = = = 14 Propieddes del producto de un número por un vector Asocitiv: k (k' u ) = (k k') u Distriutiv respecto l sum de : k ( u + v ) = k u + k v Distriutiv respecto los esclres: (k + k') u = k u + k' u Elemento neutro: 1 u = u Conmuttiv: k u = u k Cos (α) = cos ( α) = cos (α) = cos ( α) PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO Proyectr un vector sore otro es encontrr el vector que tiene l mism dirección que el vector que recie l proyección, pero su longitud depende del vector que se proyect. Es decir, es como uscr su somr. proy

6 L proyección de un vector sore otro es un esclr igul l vlor del producto esclr de los, dividido por el módulo del vector sore el que se proyect. Proy ā = // Tmién Proy = cos t PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES El producto vectoril de dos es un vector con ls siguientes crcterístics: - Módulo: igul l producto de los módulos de los por el seno del ángulo que formn. - Dirección: es perpendiculr l plno que formn los. / Λ / = // // senα - Sentido: es el que indic el vnce del tornillo cundo se desplz del primer vector l segundo por el cmino más corto. (Regl del tornillo o regl del sccorchos). Se represent por: Λ ó X El producto vectoril de los unitrios será: i Λ i = 0 j Λ i = -k k Λ i = -j i Λ j = k j Λ j = 0 k Λ j = -i i Λ k = -j j Λ k = i k Λ k = 0 Al vector unitrio del eje x se le llm i Al vector unitrio del eje y se le llm j Al vector unitrio del eje z se le llm k Pr hllr el producto vectoril siempre trjmos en tres dimensiones. Dos A(x,y) y B(x,y) su producto vectoril será: i j A Λ B = x y x y = No podemos resolver el determinnte. No existe el mismo número de fils que de columns. Dos A(x,y,z) y B(x,y,z) su producto vectoril será: i j k A Λ B = x y z = resolvemos el determinnte x y z Resolver un determinnte: 1º - Multiplicmos de 3 en 3 en dirección y los summos. 2º - Multiplicmos de 3 en 3 en dirección y los restmos los nteriores. REGLA DEL TORNILLO: (Mno derech). Se utiliz pr resolver de form gráfic un producto vectoril. Ddos dos, oservmos cul es el ángulo más corto desde el primer vector hst el segundo. Con l mno derech, situmos el dedo índice en el primer vector y el dedo corzón sore el segundo vector. El resultdo será l dirección en l que quede el dedo pulgr. Ejemplo: Clcul el producto vectoril de los A(1,2,3) y B(1,1,0) i j k A Λ B = = 2 0 i j k 3 1 i 1 0 j 1 2 k = 0i + 3j + 1k 3i 0j 2k = = 3j + 1k - 3i - 2k = -3i +3j k (-3,3,-1)

7 Gráficmente: z x Como trzr un vector en los ejes de coordends: 1º - Unimos los puntos del eje xy. 2º - Desde el origen trzmos un rect que un el punto (0,0,0) con el punto de corte de xy. 3º - con l rect que hemos trzdo, diujmos un plno que corte en el punto del eje z. 4º - desde el origen, trzmos un vector hst el punto de corte xyz y El producto vectoril NO cumple l Propiedd conmuttiv. Cundo se invierte el orden de los se otienen opuestos. A Λ B = -k PRODUCTO MIXTO Es el producto esclr del vector sore el producto vectoril de los y c. El producto mixto sirve pr clculr el volumen del prlelepípedo que formn los. Si el producto mixto de tres, que no son nulos, es cero, entonces estos son coplnrios. El resultdo siempre será en vlor soluto puesto que el volumen NO puede ser negtivo. VOLUMEN PARALELEPÍPEDO = /u x v x w/ VOLUMEN TETRAEDRO =1/6 /u x v x w/ Ejemplo: Clcul el producto mixto de estos tres ; A(1,2,3); B(1,1,0); C(1,-1,3) A [B Λ C] = = = -9 si nos preguntrn por el volumen del prlelepípedo serí V=9 u 3 (en vlor soluto) Propieddes del producto mixto [ c] = [c ] = c [ ] = - [c ] = - [ c] = -c [ ]