Matemática II Profesor: José Daniel Munar Andrade

Transcripción

1 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Escuel de Igeierí Crrer de Igeierí de Ejecució e Iformátic Mtemátic II Profesor: José Diel Mur drde Este pute h sido desrrolldo pr proveer ls clses de Mtemátics II de l Crrer de álisis de Sistems de u pute se pr ls sesioes del Curso de Vero de l discipli Mtrices Números Nturles Sumtoris, Biomio, Iducció Geometrí lític Trigoometrí Semestre Vero

2 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Defiicioes Mtrices Defiició: u mtriz sore el cuerpo de los úmeros reles es u ordemieto rectgulr de úmeros deotdo por: m m m dode ij IR, i,,, m j,,, L i - esim fil de es j - esim colum de es: i i i co i m j j mj Mietrs que l co j si u mtriz posee m fils y colums, diremos que es u mtriz de orde m por m Si m, se dice que l mtriz es u mtriz cudrd de orde y que los elemetos,, form l digol pricipl de Y os referimos los elemetos ij como ls etrd i, j de l mtriz co lo cul podemos escriir: m El cojuto M m K deot el cojuto de tods ls mtrices de orde m sore el cuerpo K IR o C si m M K deot el cojuto de ls mtrices cudrds de orde sore el cuerpo K Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde ij

3 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde Defiició: dos mtrices m Y q p B so igules si y solmete si q p m, y j m i ij ij,,, ;,,,, Ejemplo: oserve que e cd cso los pres de mtrices ddos so diferetes:, y que los ordees so diferetes, mietrs l primer mtriz posee orde l segud mtriz posee orde B, y que los elemetos Y so diferetes Ejemplo: determie c,, y d si eiste de mer que e cd cso ls igulddes se vlids, e IR M 6 c d c d c c, e IR M c d c c, e IR M Solució: De l ecució vemos que u solució es i, co lo cul, C sí l iguldd o es posile e IR M

4 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde si 6 d c c d c c c d c d c c de y oteemos que 6 5 c, pero este vlor o stisfce l ecució Co lo cul deducimos que o eiste c,, y d úmeros Reles pr que l iguldd se vlid c d c d c c d c c Mtrices Especiles Defiició: defiimos l mtriz ul o mtriz cero por l mtriz que posee tods sus etrds cero, l cul deotmos por m Ejemplo: B Defiició:Mtriz Digol se IR M ij diremos que es u mtriz digol si y solo si ij pr j i Ejemplo: B c C Defiició: llmmos mtriz idetidd o uitri de orde l mtriz digol de orde defiid por

5 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic I I Defiició: Mtriz Trigulr Superior e Iferior U mtriz M IR se deomi mtriz Trigulr Superior si ij, i > j, logmete diremos que M IR es u mtriz Trigulr Iferior si ij, i < j Ejemplo: ij ij mtriz trigulr superior mtriz trigulr iferior Opercioes etre Mtrices Ls opercioes etre mtrices produce uevs mtrices prtir de ls mtrices dds Defiició:dició se ij, B ij M m IR defiimos l sum etre y B por: ij ij ij B c Oserve que l sum de mtrices solo est defiid etre mtrices de mismo orde ij ij Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

6 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ejemplo: se, B etoces Teorem: M m IR B 6 es u grupo elio, es decir l sum es socitiv, comuttiv, eiste elemeto eutro y eiste elemeto iverso Defiicio: se M IR y k IR defiimos el producto de u esclr k por l mtriz por: ij m k k ij k ij Ejemplo: 6 Defiició:Multiplicció de Mtrices se ij M m IR B M IR defiimos el producto de y B por: ij p B ij ij cij m p m p y dode c ij k ik kj i,,, m j,,, p Ejemplo: se 5, B etoces 5 B 6 6 Oservció: el producto de mtrices o es comuttivo Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

7 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero 7 Profesor: José Diel Mur drde Ejemplo: cosideremos, B etoces B B Defiició: si es u mtriz cudrd de orde y k N, defiimos ls potecis de l mtriz por k k I Ejemplo: se determie Defiició: se IR M ij diremos que es Idempotete si Defiició: se IR M ij diremos que es Nilpotete si eiste k N, tl que k Defiició: se IR M ij diremos que es Ivolutiv si I

8 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ejemplo: se, B, C oserve que: es Idempotete B es Nilpotete de orde dos y que c C es Ivolutiv Defiició:Mtriz Trspuest Se M IR, defiimos l trspuest de por t ij M m IR dode ij ij ji Es decir l trspuest de u mtriz se otiee prtir de itercmido ls fils por ls colums de Ejemplo: 5 6 t 5 6 B t Teorem: se B M IR t t t t k k t t c t B B t t d t B B, y k IR etoces m Mtemátic Vero 8 Profesor: José Diel Mur drde

9 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Defiició:Trz se M IR defiimos l trz de por Teorem: se B M IR Tr k ktr Tr B Tr Tr B c Tr B Tr B ij ii i Tr, y k IR etoces Defiició:Mtriz Simétric se M IR t Defiició:Mtriz tisimétric se M IR tisimétric si t Proposició: dd M IR diremos que es Simétric si diremos que es eiste u descomposició úic de como l sum de u mtriz simétric co u mtriz tisimétric, tl descomposició es: Ejemplo: simetric tisimetric t t t 6 6 6, etoces es simétric 6 6 t 6 6, etoces es tisimétric Oservció: ote que si u mtriz es tisimétric los elemetos de su digol está oligdos ser ceros Mtemátic Vero 9 Profesor: José Diel Mur drde

10 Defiició: se M IR Ejemplo: se Defiició: se M IR UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic t t diremos que es ortogol si I es ortogol t t, diremos que es Norml si Oservció: ote que si M IR es simétric, tisimétric u ortogol etoces ovimete es orml Si emrgo o tods ls mtrices ormles so de los tipos de mtrices y meciodos Ejemplo: 6 es orml 6 Teorem: se M R u mtriz orml etoces es simétric o ie l sum de u mtriz esclr y otr tisimétric Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

11 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ejercicios Dds ls siguietes mtrices: B 8 C D E clculr si es posile: E, C E C E t E C, CB D, B, B, B D, t D, BD, C, Resolver l ecució mtricil pr M IR X ; X B t, dode: Si ecució mtricil: [ ] ; B y B t t t X B X, determie l mtriz X e l siguiete Resuelv l siguiete ecució mtricil, de cuerdo los diversos vlores de l costte : X dode X es u mtriz cudrd de orde 5 Si, demuestre que I ; IN Clcule Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

12 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde 6 Ecuetre, e fució de, si 7 Demuestre que, e geerl, pr dos mtrices, B cudrds del mismo orde, se tiee que: B B B 8 Supog que y B so dos mtrices cudrds de orde, ivertiles y tles que B tmié es ivertile Resuelv el siguiete sistem de ecucioes mtriciles, co X e Y so mtrices cudrds de orde : X BX YB B I O X BX YB I B O 9 Dd l mtriz deduzc u formul pr Si 5 ; 5 ; 5 ; ; E D C B Clculr si s posile: CE; B; C-E; CBD; BDD Si es posile clculr: BD; CE; CBDE; c t ; B t ; B t t ; CE t ; C t E t Determir R w z y,,, tles que 6 w z y w w z y Se 6 determir u mtriz B de orde co etrds distits tles que B Se determie f dode 5 f

13 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Se Determir u mtriz de orde o ul, B, tl que B B 5 Se 5 u 5, determir tods ls mtrices colums u tles que 5 y 6 Determir tods ls mtrices de orde dos M que comut co z t 7 Determir, y, s, t R si eiste de tl modo que y s s t se ortogol 8 Demuestre que si es ortogol etoces c d 9 Determir tods ls mtrices de orde dos que comute co Determie B M IR, distits tles que B Resolver el sistem mtricil pr, Y M IR X Y X t t X B t t Y B IN dode, B Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

14 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ecuetre tres mtrices de orde dos tles que B C co B C y Se u mtriz de orde m y c IR demuestre que si c etoces c o Se [ IR] M Diremos que es Idempotete si y solo si Diremos que es Nilpotete si y solo si eiste p N tl que p Muestre que: es Idempotete B 5 6 es Nilpotete 5 Si demuestre que 9 pero que 9I 6 Diremos que u mtriz de orde es Ivolutiv si I Demuestre que si es Ivolutiv etoces ls mtrices ½ I y ½ I so idempotetes y que: I I Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

15 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtrices Ivertiles Defiició: se M IR, diremos que es ivertile si B M IR tl que y diremos que B es l ivers de y deotremos B B B I Propieddes: se B M IR B B t c t Oservció: se M IR, mtrices ivertiles etoces: u mtriz ivertile, tl que etoces c d es fácil compror que es ivertile si y solo si d c y su ivers es: d d c c Oservció: si u mtriz es ivertile, est es llmd hitulmete mtriz Regulr o No Sigulr E lo que sigue de est secció trtremos de proporcior ls herrmiets ecesris pr poder determir cudo u mtriz es ivertile y si lo es poder determir su ivers, y que pr mtrices de orde > o es t fácil deducir u formul pr l ivers 5 Determites L ide ituitiv de determite de u mtriz M IR es l siguiete El determite de deotdo por det o por, es u umero que perteece l cuerpo de los úmeros reles Pr mtrices de orde dos y tres es fácil clculr su determite y que este est ddo por: Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

16 Si M IR d c c d det Si M IR Etoces UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic det L epresió oteid pr clculr el determite de u mtriz de orde tres es fácil recordrl por el siguiete lgoritmo Ley de Srrus Se escrie ls dos primers colums cotiució de l mtriz Se desrroll los productos triples segú los sigos de ls flechs del siguiete digrm Pr u desrrollo ms geerl, primero defimos pr M IR l sumtriz M, como l mtriz de orde que se otiee de l mtriz l ij elimir l fil i y l colum j Ejemplo: se etoces oservmos que M ; M ; etc Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

17 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Oservció: ote que si M IR etoces podemos formr de l form M ij sumtrices Estmos e codicioes de defiir recursivmete el determite de u mtriz Defiició: se M IR etoces ij det j i j ij det M ij si [ ] pr > Ejemplo: si etoces si escogemos j oteemos que: det j i j ij det M ij Proposició: se, B M IR y c IR etoces t det det Si l mtriz B se otiee prtir de l mtriz por u itercmio de filso colums etoces det B det c Si tiee dos fils colums igules etoces det d Si tiee u filcolum ul etoces det Mtemátic Vero 7 Profesor: José Diel Mur drde

18 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic e Si B se otiee prtir de l mtriz l multiplicr u filcolum por u esclr c etoces det B c det f Si B se otiee prtir de l mtriz l itercmir l filcolum i por l sum de l filcolum i ms c veces l filcolum j i j etoces det det B g Si es trigulr superioriferior etoces el determite de es el producto de los elemetos de s digol, es decir det h es regulr si y solo si det i det B det det B Ejemplo: se si plicmos l operció elemetl F oteemos l mtriz B sí det B det 5 Proposició: si M IR es o sigulr etoces det det 6 Clculo de Iverss ví Determites Defiició:Cofctor se ij M IR el cofctor ij de ij se defie por: ij M i j ij, dode ij M es l sumtriz ij de l mtriz Ejemplo: se etoces vemos que Mtemátic Vero 8 Profesor: José Diel Mur drde

19 M M 7 7 UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 6 Defiició:djut se ij M IR l mtriz djut de deotd por dj est defiid por dj Ejemplo: se 5 6 etoces podemos clculr l mtriz djut sí l mtriz djut es dj ij Teorem: si M IR es u mtriz regulr etoces dj Mtemátic Vero 9 Profesor: José Diel Mur drde

20 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde Ejercicios Clculr los siguietes determites: i c c c c c h y y y y y y g f y y y y e d c Determie los vlores de l costte, de modo que el determite de l mtriz, se cero Ecuetre los vlores de ls costtes y, de modo que l siguiete mtriz se ivertile: Si 6 5 7, resuelv l ecució det I, dode es u vrile rel

21 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 5 Verifique que c c c c c c Use Mple cd cd 6 Eprese el determite de l mtriz c c d, e form d d c fctorizd 7 Verifique que Se, dode y so úmeros reles Eprese el determite de e form totlmete fctorizd y prtir de esto clcule el rgo de l mtriz, depediedo de los vlores de ls costtes y 9 Ecuetre l form geerl de ls mtrices cudrds de orde, tles que det B det det B, dode t t Se Demuestre que I y prtir de ést relció deduzc l ivers de l mtriz Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

22 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde Clcule, e fució del úmero turl, si Clcule los siguietes determites, usdo propieddes, 5 Clculr el determite de Determir los determites de ls mtrices,, co ceros e l digol y uos e ls demás posicioes puede determir el vlor de? Se, B R M tles que 5 y B B clcule B 5 Dd l mtriz determie los vlores de k tl que ki 6 Determie si so vlids ls siguietes igulddes c z z z y y y

23 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic d y z y z 7 Resuelv ls siguietes ecucioes m m m c 7 Sistems de Ecucioes E est secció resolveremos sistems de ecucioes co ls herrmiets epuests e ls seccioes teriores Cosideremos los siguietes sistems: oserve que es equivlete l sistem mtricil X dode M IR, M IR y M IR ij X M IR, M IR y M IR ij X L mtriz M IR ij m y respectivmete se deomi mtriz socid l sistem Oservció: los sistems ddos e posee solució si y solo si ls mtrices socids l sistem es u mtriz ivertile Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

24 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Método de Crmmer Si u sistem de orde dos de l form posee solució, dich solució est dd por: Δ, Δ Δ Δ dode Δ álogmete Si u sistem de orde tres de l form, Δ, Δ posee solució, dich solució est dd por: dode Δ Δ, Δ Δ, Δ Δ Δ, Δ, Δ, Δ, Ejemplo: determie si el siguiete sistem posee solució: Solució Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

25 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Δ Δ, Δ el sistem posee solucio por de dode se tiee que l solució est dd por: Δ Δ, Δ Δ lo tto Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

26 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde Ejercicios Oteer si 8 Ecuetre ls iverss de : , 5 C y B Ecuetre u mtriz P o-sigulr tl que P B, dode: B y Ecuetre l ivers de: T 5 Determie e cd cso, si eiste 5,, C B 6 Pr ls mtrices B y Clcule t t t t t t t BB B B B,,,,

27 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero 7 Profesor: José Diel Mur drde y B so mtrices o sigulres tles que I B B B t t t t Despeje e térmios de B 7 Si K M B, E que cso se cumple? B B B 8 Pr 6 5 verifique que Ecuetre y t t 9 Se z y X B ; ;, resuelv l ecució: X-I X t BX Se 5 Ecuetre l ivers de si eiste y resuelv el siguiete prolem: 5 w v u w v u v u Se M IR tl que I, demuestre que es ivertile y clcule su ivers Se, determir, si eiste

28 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 6 Si determie tods ls solucioes de los siguietes sistems: X X y X X Resolver los siguietes sistems de ecucioes y z 5 y z y z w y z y z 5w y 5z z w c d y z w 5 y z z w y z e y 5w y z y 5z 5 f y z y z y z y z y z y z y z y z y z u 5 y z 9 g h z u 5 y z u 7 y z w z w y z w y z 5 Resuelv ls siguietes ecucioes mtriciles: c d 7 8 c d 7 e f g h p r t 5 p q r s y z t u v w 6 lizr segú los vlores de,, c, d l eisteci y los vlores de ls solucioes de los siguietes sistems lieles Mtemátic Vero 8 Profesor: José Diel Mur drde

29 y z d y z y z y z y z y z c UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic c y z y 5z y z y z d y z y z 9 7y 8z 7 Determie los vlores de de modo que el siguiete sistem pose solució: y z y z y z 8 Determie el vlor de m pr que el siguiete sistem teg solució m y z my z y mz y z 9 Ddo el sistem y z co, IR, determie codicioes y 7 z pr y de mer que el sistem teg solució: Determie t de mer que t se sigulr Tiee solució el t sistem X t y cz 5 Determie c,, R tl que el sistem cy z 6 teg como y 5cz 7 solució C,, t Mtemátic Vero 9 Profesor: José Diel Mur drde

30 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde Resuelv el sistem: z y z y z y dode 5,, c,, Resuelve los siguietes sistems y z y y z c d e 7 f 5 g h

31 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Nocioes Básics de Sumtoris Números Nturles Defiició: Cosideremos l sucesió de térmios reles, deotd por, IN Llmremos sum prcil o sumtori de los -primeros térmios de, l epresió : i i Número de térmios de u sumtori i i l sumtori tiee m térmios m i tiee m- térmios, es decir, el umero de térmios se otiee i medite l operció: límite superior - límite iferior Propieddes Importtes i ± i i ± i i i i i f i i λ i λ i, λ IR i i g i i c k k i, k IR h i i 6 p d i i i, p < i i i p i i i p e i i i, p < i p i i Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

32 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ejercicios Desrrolle ls siguietes sums e térmios de sumtoris y clcúlels: K K 9 K K c * * 7 * K K * d *5 5*8 8* K K * Sume los primeros térmios 5 KK * *5 5* 7 * 9 K c d *-*-* Clcule ls siguietes sumtoris; k k k k k k Clcule ls sumtoris; i i i i i i i i i i c i i i i i 5 Clcule l sum de los primeros prétesis; Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

33 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 6 Clcule k k k L k k p 7 Clcule l sum de los térmios * * * 6 * * 6Lk K Sugereci : uk y clcule uk u *5 *5* 7 *5* 7 * k k 8 Clculr : S k k k 9 Clculr : S k k k k k k Clculr : S k log k k Clculr : S log k k k Clculr : S *77**7 57*6 Idicció S k 5k? k Demuestre que: i i i Determie el vlor de l epresió: i i 5 Si se se que 5, 5 9 i l epresió: i i i i 9 i i i y 78 i i clculr el vlor de Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

34 6 Si i i determie: UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic i i i i i 7 Ddo que ; 6 tl que: i i, determie el o los vlores de l costte c c i i i i i i i 8 Si 5 ; 6; i i i y 9 determie: i 9 8 i i 9 i 7 c i 9 Si 6 i 6 i 5 i ; ; 6 y 8, determie i i 6 i i i c i i i i i 5 Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde 6

35 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 6 d i Clculr i 5 7 Clculr 5 Clculr 7 Clculr Clculr 5 Clculr 6 Clculr k 7 Clculr 5 k 8 Clculr 8 k 9 Clculr Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

36 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 9 Clculr k k k 9 Clculr k k k Clculr 5 k k Ecuetre l sum de todos los múltiplos de 5 compredidos etre 8 y 566 Ecuetre l sum de todos los úmeros pres compredidos etre 7 y 57 Nocioes Básics de Teorem del Biomio Hciedo uso de ls sumtoris gregremos u uevo cocepto, este es u geerlizció de ls fórmuls que coocimos teriormete, tles como el cudrdo y cuo de iomio Previmete lizremos dos elemetos que so defiicioes muy usds e l mtemátic uiversitri Defiició: El fctoril de u úmero turl es represetdo por!, y se defie por:! - - -, ΙN Defiició: Se defie!, es ecesrio gregr est defiició puesto que fctoril sólo se defie pr úmeros turles Propieddes:! -! -! - -!! Oservció: m! m!! Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

37 Defiició: El coeficiete iomil est defiido por: m m! m!! UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic co m teg presete el lector que este elemeto, precerá tmié e el cálculo de comitori y proiliddes Propieddes: m m m m m m m m 5 m m m k k k Teorem: Biomio de Newto Ddos, IR y IN se tiee que k k Oserve que e el desrrollo de se tiee termio dode el termio k -esimo est ddo por: k k t k k k k Mtemátic Vero 7 Profesor: José Diel Mur drde

38 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic E el desrrollo Hllr: El quito térmio 9 Ejercicios Mtemátic Vero 8 Profesor: José Diel Mur drde

39 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic El térmio idepediete de Ecotrr el coeficiete de e: El térmio idepediete de e: Demuestre que: k k k k Ecuetre el térmio cetrl de 5 Determie l relció que dee eistir etre r y, pr que los coeficietes de los térmios de lugres r y r e el desrrollo de, se igules 6 Si r ocup u lugr e el desrrollo de es:!/ r!! r pruee que su coeficiete Mtemátic Vero 9 Profesor: José Diel Mur drde

40 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Nocioes Básics de Progresioes Defiició: U Progresió ritmétic P es u sucesió de epresioes, e l cul todos los térmios, posteriores l primero, se otiee, siempre sumdo u mism ctidd l úmero terior, est ctidd es llmd rzó de l progresió, o ie, difereci E otrs plrs u serie de térmios se ecuetr e P si l difereci etre dos térmios cosecutivos culesquier es u vlor costte d - Los térmios e u P está ddos por: ; d ; d ; d ; d ; ; - d Si cosidermos l sum de todos primeros térmios de u P: S d d d d - d Oservmos que est qued represetd por: S - d E resume el térmio geerl y l sum de los primeros térmios está dd por: - d S - d Defiició: U Progresió Geométric PG es u sucesió de epresioes, e l cul todos los térmios, posteriores l primero, se otiee, siempre multiplicdo u mism ctidd l úmero terior, est ctidd es llmd Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

41 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic rzó de l progresió, o ie, cuociete E otrs plrs u serie de térmios se ecuetr e PG si el cuociete etre dos térmios cosecutivos culesquier es u vlor costte r / Los térmios e u PG está ddos por: ; r ; r ; r ; r ; r - Clrmete se puede precir que el -ésimo térmio est ddo por: r - Si cosidermos l sum de todos estos térmios: S r r r r r - est qued represetd por: S - r - r Defiició: Se llm medios ritméticos o geométricos etre y, quellos térmios que correspode u P o PG y que se uic e form orded etre y Oservció: Si se dese isertr t medios ritméticos etre y, se clcul primero d, el cul está epresdo por d - / t Luego se clcul cd uo de los térmios de l progresió Cudo d > l progresió es creciete, y si d <, l progresió es decreciete Oservció: Si se dese isertr t medios geométricos etre y, se clcul primero r, el cul está epresdo por: Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

42 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic r t Ls pliccioes de ls progresioes ls podemos ecotrr por ejemplo e el ámito ficiero, cudo plicmos tss de iterés u determido moto, cudo se trt de u iterés simple, estmos frete u P e l cul d correspode l iterés simple plicdo, y los períodos se relcio co el úmero de térmios requeridos E el cso de u iterés compuesto, l rzó correspode l iterés compuesto plicdo y uevmete los períodos se relcio co el úmero de térmios Ejercicios Supog que,9/,,, c, d, es u progresió ritmétic fiit Ecuetre los medios ritméticos,, c, d de y Itercle medios ritméticos etre y 5 Itercle 8 medios ritméticos etre y 5 Hlle el trigésimo térmio de l sucesió 7, -, -,, 5 Hlle el vigésimo térmio de l sucesió 5,, 5, 6 Hlle el seto y el séptimo térmios de u sucesió que es u progresió geométric cuyo primer térmio es y cuy rzó es r -/ 7 Hlle el décimo térmio de l sucesió /79, /, /8, 8 Hlle el primer térmio de u progresió geométric cuyos curto y quito térmios so 8 y respectivmete 9 Sumr 7 térmios de l progresió: 9,,9, 7 Sumr 9 térmios de l progresió;,,, Dd l P 5,,, clculr el térmio geerl siedo que eiste 7 térmios, etre los etremos El tercer térmio de u P es 8 y el séptimo es Ecotrr S 7 Ecotrr el úmero de térmios de l P:,6,, si S 8 Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

43 Si f, f-95 y f-5 Ecuetre y UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 5 Ecotrr l sum de todos los úmeros etre y, que se divisiles por 6 L sum de los 5 primeros térmios de u P es y l de los 5 siguietes 7 Ecotrr y d Demostrr que pr todo perteeciete los turles, se cumple que l sum de térmios de l serie:,,,8 es u cudrdo perfecto Ecotrr 6 c Ecotrr r si frfr S 6 7 Clculr l sum de,,, 7 térmios 9 8 Iterpolr tres medios geométricos etre 9/,,/9 9 Si,,c,d está e PG, demostrr que c c d d Clculr l sum de los - térmios de S/5/7/8 L sum de tres úmeros e PG es 7, si los etremos so mplificdos por y el del medio por 5, l serie está e P Hllr los úmeros Hllr u P cuyo primer térmio se l uidd y tl que los térmios de lugres, y forme u PG U cmpesio vedió l primero de sus comprdores l mitd de sus mzs más ½ mz; l segudo l mitd de ls resttes más ½ mz; l tercero l mitd de cuts le qued más ½, etc El sétimo comprdor dquirió tmié l mitd de ls mzs resttes más ½, gotdo co ello l mercderí Cuáts mzs teí el cmpesio? Hlle el primer térmio de u progresió ritmétic cuyos quito y seto térmios so y respectivmete 5 Hlle el oveo térmio de u progresió ritmétic cuyo primer y tercer térmio so 8 y 5 respectivmete Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

44 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 6 Hlle el octvo térmio de u progresió geométric si el segudo y el curto térmios so /9 y 8/8 respectivmete 7 Hlle u progresió ritmétic cuyo primer térmio es y l sum del segudo y tercer térmio es 8 8 Hlle u sucesió geométric cuyo segudo térmio es, y tl que U prej decide horrr US$ cd mes del primer ño de mtrimoio, US$5 cd mes del segudo ño de mtrimoio, US$ cd mes del tercer ño del mtrimoio, y sí sucesivmete umetdo US$5 l ctidd mesul cd ño Hlle l ctidd que deerá horrr cd mes del ño décimo E el prolem terior ecuetre u fórmul pr l ctidd que l prej deerá horrr cd mes del ño -ésimo Si se ivierte US$, 8% de iterés compuesto ul, hlle l ctidd e l cuet después de 5 ños Hlle l ctidd que dee depositrse e u cuet 6% de iterés compuesto ul pr teer US$, l co de 5 ños qué ts de iterés ul se deerá depositr US$, pr teer US$, e l cuet ños después Cuáto tiempo se demorrá e triplicrse u iversió l % de iterés compuesto ul? 5 Ciert polció de cteris umet geométricmete co u fctor dirio de De cuáto será su polció l co de u sem si iicilmete er de? 6 Se cooce que u prej de rtoes lcos tiee l mes siguiete después de mdurr, dos crís cd mes: u mcho y u hemr demás, se demor e mdurr u mes U lortorio que ecesit rtoes lcos pr su ivestigció dquiere dos crís de rtoes lcos, u mcho y u hemr pricipios de ño Co cuátos pres de rtoes lcos deerá Mtemátic Vero Profesor: José Diel Mur drde

45 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic cotr el mes del ño? Hlle u fórmul de recurreci que dé el úmero de pres de rtoes lcos que hrá e el eésimo mes 7 l cer su hij, u prej deposit u cpitl de US, que g u iterés de % compuesto ul pr reglrle el moto que hrá e l cuet el dí que se cse Si ell se cs los ños de edd, de cuáto fue el moto del reglo por cocepto de es cuet? 8 U perso recie u hereci Después de stisfcer cierts ecesiddes, ell quiere hcer u depósito e u cuet que le grtice que detro de ños tedrá milloes de dólres Si el co le d u ts de iterés de % compuesto ul, cuál será el cpitl que deerá depositr e l cuet? 9 Puede prorse que los térmios de l sucesió { } defiidos por l fórmul de recurreci r Se proim cd vez más r cudo umet Supog que E cd uo de los siguietes csos hlle y compre co el vlor correspodiete que dé su clculdor r r c r 5 L medi geométric de dos úmeros positivos y es el úmero m tl que, m y so térmios cosecutivos de u progresió geométric fiit Ecuetre u fórmul pr l medi geométric de y Si es u progresió ritmétic co y 6, ecuetre : -d - c-s Se u progresió ritmétic co d tl que S 65; hlle y Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

46 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Supog que -75 y so el primero y el -ésimo térmio respectivmete de u serie ritmétic pr l cul S 675 Hlle y d Si { } es u progresió co r /5 tl que S5 99, ecuetre el primer térmio 5 Si el primer térmio de u serie geométric ifiit es y su sum es 5, hlle r 6 Hlle l sum de los ocho primeros térmios de l progresió ritmétic,,, 7 Hlle l sum de los primeros térmios de l progresió geométric,,, 8 U turist le sc u foto u pirámide y oserv que e su se hy 5 loques, e l fil siguiete hy 9, e l siguiete 8, y sí sucesivmete hst que e l fil superior hy 8 loques Cuátos loques tedrá es cr de l pirámide fotogrfid? 9 U prej decide horrr US$ cd mes de su primer ño de mtrimoio, US$5 cd mes de su segudo ño de mtrimoio, y sí sucesivmete umetdo US$5 l ctidd mesul cd ño Cuáto hrá horrdo l cumplir ños de csd? 5 E u reuió de persos cd u le dio u pretó de mos tods ls demás persos ectmete u vez Cuátos pretoes de mos huo? 5 Hy u tigu leyed cerc de ls series geométrics y los tleros de jedrez Cudo u rey de Persi predió jugr el jedrez quiso grdecerle l ivetor del juego por ello y le prometió cocederle lo que le pidier Este señor llmdo Sess, quiso jugrle u rom, y co ire de modesti le pidió u gro de trigo por el primer cudro del tlero, por el segudo, por el tercero, 8 por el curto y sí sucesivmete Eplique e qué cosiste l rom de Sess Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

47 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 5 U perso ve dos ucios de empleo pr relizr el mismo trjo durte todos los dís de u mes o dís Uo de ellos dice que pgrá US$, por el mes de trjo y el otro dice que pgrá dirimete c el primer dí, c el segudo, c el tercero y sí sucesivmete hst el último dí del mes Cuál empleo le result más llmtivo? Por qué? 5 U utomóvil que se celer e u rzó costte recorre metros el primer segudo, 8 metros el segudo, metros el tercer segudo, y sí sucesivmete recorre 5 metros dicioles cd segudo Hlle l distci totl que el utomóvil h recorrido después de segudos 5 U epidemi crece t rápido que cd dí hy el dole de persos cotmids que hí el dí terior Si u polció se cotmi completmete e 9 dís, si el primer dí hy persos cotmids Cuátos dís se demorrá si el primer dí hy persos cotmids? 55 Si se ivierte l mism ctidd de diero P cd ño durte ños u ts de iterés compuesto ulmete, etoces l ctidd cumuld después del pgo está dd por S P r P r P r P Demuestre que S r P r 56 Supog que u prej decide depositr l comiezo de cd ño US$, e u cuet de horros que g u iterés del % compuesto ul; cuál será l ctidd cumuld e l cuet después de ños? 57 Supog que u goiero iyect milloes de dólres etr e l ecoomí Supog demás que cd egocio o perso prticulr gst el 8 % de sus igresos y horr el resto, y que esto se repite idefiidmete; cuál es el icremeto totl del gsto deido l cció del goiero? esto e ecoomí se le llm efecto multiplicdor 58 U pelot se dej cer desde u ltur iicil de pies E cd slto l pelot reot /5 de su ltur previ Hlle l distci totl recorrid por l pelot cudo golpe el suelo por décim vez Mtemátic Vero 7 Profesor: José Diel Mur drde

48 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 59 E el prolem terior, hlle l distci totl recorrid supoiedo que l pelot cotiú reotdo idefiidmete ls dos quits prtes de su ltur previ 6 Ddo u triágulo culquier de perímetro P, se form u segudo uiedo los putos medios de cd ldo del primero, se form u tercero uiedo los putos medios de cd ldo del segudo y sí sucesivmete Ecuetre l logitud totl de todos los segmetos de rect de l cofigurció resultte 6 - Hlle u fórmul pr l sum - Hlle u fórmul pr l sum de los primeros úmeros turles pres c Hlle u fórmul pr l sum de los primeros úmeros turles impres 6 Demuestre que u fórmul lter pr l sum de u serie geométric S k r r r k Geometrí lític Geerliddes y Líe Rect Cosideremos el siguiete prolem: Ddos P,y y Q, dos putos e el plo Determie l distci etre P y Q Solució: Mtemátic Vero 8 Profesor: José Diel Mur drde

49 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic dp,q y Defiició: Llmremos líe rect l lugr geométrico de todos los putos tles que tomdo dos putos diferetes P, y, Q, y del lugr geométrico, el vlor: y y m result siempre costte Tl vlor se deomi pediete de l rect Proposició Ecució puto pediete: L rect que ps por el puto P, y que posee pediete m tiee ecució: y m Oservció: l pediete m de u rect dd puede ser clculd medite l iguldd: m tg dode es el águlo formdo por l rect y el eje X Motivció: Ddos dos putos P, y, Q, y distitos como determir l ecució de l rect que ps por dichos putos? Ecució puto puto Mtemátic Vero 9 Profesor: José Diel Mur drde

50 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Solució: se L l rect requerid Y que los putos P, y, Q, y perteece l rect semos que y y m sí podemos deducir que: y y L: y y Co lo cul hemos resuelto uestro prolem Ecució Simétric de l rect: Se, ls iterseccioes co los ejes X y Y respectivmete de u rect L, etoces: y se deomi l ecució simétric de l rect L Defiició: Diremos que dos rects: L : y m L : y m - So Prlels si m m y deotremos L L - So perpediculres si m m,siempre y cudo ls pedietes se o uls, y deotremos L L Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

51 Distci de u puto u rect UCINF Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Oservció: Dd u rect L siempre podemos represetrl e su form geerl es decir: L : By C dode, B, C R Se L : By C y P, y pr determir l distci del puto l rect deemos clculr: d P, L By B C Motivció: Ddos los putos, y Bc,d determir u puto P que perteezc l segmeto B de modo que divid l segmeto e u rzó dd r es decir: r P : PB Solució: Cosideremos el siguiete gráfico: y C y P y de lo cul podemos cocluir r sí y ry oteemos r r r álogmete Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

52 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ejercicios Hllr l ecució de rect que ps por el puto,5 y tiee pediete Hllr l ecució de rect que ps por el puto -6,- y form co el eje X u águlo de 5 Hllr l ecució de rect cuy pediete es y cuy itersecció co el eje Y es Hllr l ecució de rect que ps por los putos, y B-5,7 5 Los vértices de u cudrilátero so,,b,,c6,7 y D8, Hllr l ecució de los ldos 6 Los segmetos que u rect determi sore los ejes X y Y so y respectivmete Hllr su ecució 7 U rect ps por los putos -,- y B,-6 Hllr su ecució e l form simétric 8 Hllr l ecució de l meditriz del segmeto -,B,6 9 U rect ps por el puto 7,8 y es prlel l rect que ps por los putos-, y,- Hllr l ecució de l meditriz del segmeto que los ejes coordedos determi e l rect 5 y 5 U triágulo posee vértices -,,B,7 y C6,- Determir l rect que ps por el vértice y es prlelo l ldo opuesto Cosiderdo el triágulo del ejercicio hllr ls ecucioes de sus ldos Hllr el vlor de k pr que l rect kk-y-8 se prlel l rect 77 Determie el vlor de k pr que l rect k k y se perpediculr l rect y7 5 E ls ecucioes -y- y -y5 hllr los vlores de y pr que represete rects que ps por,- Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

53 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 6 Hllr l distci de l rect -5y l puto P,- 7 Los vértices de u triágulo so -,B-, y C,- Hllr l logitud de l ltur del vértice sore el ldo BC y el áre del triágulo 8 Hllr l logitud etre ls rects -y8 y y6 9 Hllr l ecució de l rect prlel 5y- y distte cutro uiddes de elldos solucioes El costo de lmceje de u rticulo est defiido por l fució G$$6 dode es el costo uitrio de Diujr l fució G pr 5<<5 Ecotrr el costo de lmceje pr u rticulo que cuest $6 c Ecotrr el vlor de u rticulo pr el cul su costo de lmceje es $8 Si el costo de vets es Q/ y l gci por vet es R / determir l fució utilidd U rticulo que cuest $9 se vede e $ y otro que cuest $99 se vede e $ si estos dos ejemplos represet l polític geerl de precios Determir u fució que represete el precio de vet e térmios del costo Ecotrr el costo de u rticulo que se vede e $8 c Ecotrr el precio de vet de u rticulo que cuest $5 d Represetr l fució gráficmete El flete éreo de u lir de mercderí cuest $55 trsportádol 8 mills y $ trsportádol mills Determie U fució liel que determie el costo de trsporte éreo si los dtos correspode l polític usul de costos El costo de trsportr 5 lirs por 5 mills Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

54 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Determie l Ecució Geerl y pricipl de l Rect que ps por los siguietes pres de putos:,- ; 8,5 c -, ; 7,- -,- ; 9, d, ;,-8 5 Ecuetre el vlor de k IR tl que l rect -k 6y 5 9 se Prlel : Perpediculr : 6y y - y 5y 8-5y 8 y y - 5 8y - 7y 9 6 Determie l ecució de l rect que es perpediculr 5 7y - y que ps por el puto de itersecció de ls rects 6y -9 ; 5y 8 7 Determie l ecució de l rect que ps por el puto de itersecció de ls rects 7y - ; y y - 6y 8 ; y 5 8 Ecuetre l distci de los siguietes putos l rect: - y 5-9 -,, c, - d -6, 5 9 Determie l distci etre ls rects 5y - 8 y 6 y - U empres fric u producto de tl form que si fric uiddes el costo es de 55 dólres y si fricr 6 el costo serí de 5 dólres Determie u fució liel que represete el costo y determie Cuál es el Mtemátic Vero 5 Profesor: José Diel Mur drde

55 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic costo si se produjer rtículos? Cuátos rtículos se produjero si el costo fue dólres? U rtículo que cuest $ 9 se vede e $ y otro que cuest $ 99 se vede e $ Si estos dos rtículos represet l polític geerl de precios Ecuetre u fució liel que represete el precio de vet e térmios del costo Determie el costo de u rtículo que se vede e $ 5 U empres vede u producto l precio uitrio de $ Si l fució de costo totl correspodiete está defiid por C 5, determie prtir de que úmero de uiddes vedids l empres sufrirá pérdids U empres elor u producto que se vede u precio de $ 5 por uidd El costo vrile por uidd se estim e $ y los costos fijos e $ 5 Determie el ivel de producció e equilirio prtir de qué úmero de uiddes vedids l empres comiez reciir utiliddes? c Cuál será l utilidd, si l demd es de uiddes? Demuestre que el triágulo de vértices,,, y,, es equilátero Diuje el triágulo e u sistem coordedo Demuestre que los putos de coordeds 7,5,, y 6,-7, so los vértices de u triágulo rectágulo Ecuetre su áre y perímetro 5 Determie el vlor del úmero rel positivo, de mer que el triágulo de vértices,,, y 5,, se equilátero Ecuetre ls coordeds del puto del plo que está l mism distci de cd uo de los putos de coordeds,7, 8,6 y 7,- Hg u gráfic de l situció 6 Ddo el triágulo de vértices,-,, y 8,5; Mtemátic Vero 55 Profesor: José Diel Mur drde

56 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Determie ls ecucioes de ls rects que cotiee ls trsversles Determie ls ecucioes de ls rects que cotiee ls medis c Ecuetre el áre de dicho triágulo Ecuetre ls coordeds de los putos que divide l segmeto de rect co etremos,7 y 6,-, e tres prtes igules 7 Ecuetre l ecució de l rect que ps por el puto -, y por el puto medio del segmeto de rect de etremos, y, 8 Determie el vlor de úmero rel c, de modo que l rect de ecució c c y c, se: Prlel l rect de ecució y Perpediculr l rect de ecució y 9 E cd cso, ecuetre codicioes sore los úmeros reles y, de mer que ls rects y y y 5 : Coteg l puto,- Se prlels c Se perpediculres Ls tres rects que se d cotiució, defie u triágulo BC: y, y y y Determie: El perímetro del triágulo BC El áre del triágulo BC c L ecució de l circufereci circuscrit l triágulo BC Ecuetre ls ecucioes de ls rects que ps por el puto de coordeds,- y está uiddes de distci del orige Mtemátic Vero 56 Profesor: José Diel Mur drde

57 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Los costos fijos que cor mesulmete u empres de gu potle, los usurios, so de $ 8 diciolmete l empres cor $ por cd metro cúico cosumido costo vrile Ecuetre u fórmul que eprese el gsto totl mesul de u usurio del servicio, e fució de los metros cúicos de gu cosumidos Grfique ést fució y determie el gsto de u usurio que cosumió,5 metros cúicos de gu, e u cierto mes U empres dquiere u máqui por u vlor de US$, que se depreci lielmete hst que su vlor de vet es de US$ después de ños Eprese el vlor de l máqui e fució de su edd Grfique ést fució y clcule el vlor de l máqui cudo ést tiee cutro ños de uso L empres de rriedo de utos cor 8 cetvos de dólr por cd kilómetro recorrido, más u ctidd fij de dólres, por el rriedo de u cierto tipo de utomóvil L empres B cor 6 cetvos de dólr por cd kilómetro recorrido, más u ctidd fij de dólres, por el rriedo del mismo tipo de utomóvil Cuál empres es más coveiete pr u usurio del servicio, depediedo del kilometrje recorrido Grfique l situció plted L Práol Defiició: U Práol es el lugr geométrico de u puto que se mueve e u plo de tl mer que su distci de u rect fij, es siempre igul l distci de u puto fijo que o perteece l rect El puto fijo se deomi foco y l rect fij se deomi directriz de l práol Desigremos por F y d el foco y l directriz de l práol l rect J que ps por el foco y es perpediculr L se deomi eje focl de l práol El puto medio del segmeto F se deomi vértice de l práol y lo deotremos por V d J V F Mtemátic Vero 57 Profesor: José Diel Mur drde

58 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ecució de l práol de vértice e el orige y eje focl uo de los ejes coordedos: - Eje focl igul l eje X y p F, p d: p - Eje Igul l eje Y py F p, d: y p Mtemátic Vero 58 Profesor: José Diel Mur drde

59 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Oserve que e muchos csos puede ocurrir que el vértice de l práol o coicid co el orige, e ese cso como determimos l ecució de l práol? Motivdos por el prolem terior determiremos ls ecucioes de ls práols co ejes focles prlelos uo de los ejes coordedos Proposició: L ecució de l práol co vértice V h,k es : - si el eje focl es prlelo l eje X teemos que l ecució es: y k p h F h p, k d : h p - si el eje focl es prlelo l eje Y teemos que l ecució es: h p y k F h, k p d : y h p Proposició: U ecució de segudo grdo e ls vriles térmios y puede escriirse de l siguiete mer: Cy D Ey F, y que o pose Si, C y D l ecució represet u práol co eje focl prlelo l eje Y Si E l ecució represet dos rects prlels l eje Y coicidetes o o ó igú lugr geométrico Mtemátic Vero 59 Profesor: José Diel Mur drde

60 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Si, C y D l ecució represet u práol co eje focl prlelo l eje X Si D l ecució represet dos rects prlels l eje Y coicidetes o o ó igú lugr geométrico Ejemplo: Determir l práol que ps por los putos /,; B,5 y C-6,-7 Ejercicios E cd uo de los siguietes ejercicios hllr l gráfic de l práol, ecució de l directriz, el foco, l logitud del ldo recto - y d- y f- - y 5 e- y 5 g- y Hllr l ecució de l práol de vértice e el orige y foco, Hllr l ecució de l práol de vértice e el orige y directriz y-5 Hllr l ecució de l práol de vértice -, y foco -, Hllr demás l ecució de su eje y directriz 5 L directriz de u práol es l rect y- y su foco es el puto,- Determir l gráfic de l práol y todos sus elemetos 6 E cd uo de los siguietes ejercicios determie todos los elemetos de los lugres geométricos ddos por ls siguietes ecucioes - y 8 y 7 c-9 7y 6 e- y 7-8y 59 d- y y 9 f- 6y 7 Hllr l ecució de l práol que ps por los putos,,8,- y,, y co eje prlelo l eje X Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

61 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 8 Hllr l ecució de l práol de vértice,-, eje l rect y y que ps por el puto,- 9 Dds ls siguietes ecucioes, idetifique quells que correspode u práol y determie ls coordeds del vértice y del foco, y l ecució de l directriz Grfique: y 8y 6 95y c y 8y d y y 6 8 e 8y y f y g y y 8 6 h y i y y 6 Hllr l ecució de ls siguietes práols: Foco, directriz Foco, 6, directriz el eje X c Vértice el orige, eje el de coordeds X y que pse por el puto -, 6 Ecuetre l ecució de l práol cuyo ldo recto es el segmeto co etremos,5 y,- Ecuetre l ecució de l práol de vértice, y foco, Dig qué ltur del suelo se ecuetr el puto de u rco prólico de 8 metros de ltur y metros de se, situdo u distci de 8 metros del cetro del rco El cle de suspesió de u puete colgte dquiere l form de u rco de práol Los pilres que lo soport tiee u ltur de 6 metros y está seprdos por 5 metros, queddo el puto más jo del cle u ltur de metros sore l clzd del puete Tomdo como eje X l horizotl que defie el puete, y como eje Y el de simetrí de l práol, ecuetre l ecució de ést Clcule l ltur de u puto situdo 8 metros del cetro del puete Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

62 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic L Elipse Defiició: U Elipse es el lugr geométrico de u puto que se mueve e el plo de tl mer que l sum de ls distcis dos putos fijos ddos e el plo es siempre igul u costte myor que l distci etre los dos putos ddos B V F F V F B Los putos fijos se deomi focos y los deotremos por F y F L rect L que ps por los focos se deomi eje focl El eje focl cort l elipse e dos putos V,V llmdos vértices, l porció del eje focl compredid etre los vértices se deomi eje myor El puto medio del eje focl se deomi cetro y lo deotremos por C L Rect L ' que ps por C y que es perpediculr L se deomi eje orml, el eje orml cort l elipse e dos putos y ; el segmeto se deomi eje meor U segmeto como BB que ue dos putos de l elipse se deomi cuerd U cuerd que ps por uo de los focos se deomi cuerd focl U cuerd focl perpediculr L se deomi ldo recto Proposició: Ecució de l Elipse que posee cetro e, y eje focl uo de los ejes coordedos - Eje focl el eje X y > Focos: F,; c F c, dode c Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

63 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Vértices: V-, ; V, Logitud del Ldo Recto: / Ecetricidd: ec/ - Eje focl el eje Y y > Focos: F, c; F, c dode c Vértices: V,- ; V, Logitud del Ldo Recto: / Ecetricidd: ec/ Ejemplo: U Elipse tiee cetro e el orige y su eje myor coicide co el eje Y Si uo de sus focos es el puto, y l ecetricidd es igul,5 Hllr ls coordeds del otro foco ls logitudes del eje myor y meor, l logitud del ldo recto y l ecució de l elipse Ecució geerl de l Elipse: L ecució de l Elipse de cetro h,k y eje focl prlelo uo de los ejes coordedos - Eje focl prlelo l eje X h y k > Focos: F h ck, ; F hck, dode c Vértices: Vh-,k ; V h,k Logitud del Ldo Recto: / Ecetricidd: ec/ - Eje focl prlelo l eje Y Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

64 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic h y k > Focos: F h, k c; F h, k c dode c Vértices: Vh,k- ; V h,k Logitud del Ldo Recto: / Ecetricidd: ec/ Ejemplo: Los vértices de u elipse tiee coordeds -,7 y -, y l logitud de cd ldo recto es Determie todos los elemetos de l elipse y su gráfic Mtemátic Vero 6 Profesor: José Diel Mur drde

65 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Ejercicios E cd uo de los siguietes csos trce y discut los lugres geométricos: - 9 y 6 c- 6 5y - 9y 6 d- y 6 Hllr l ecució de l elipse cuyos vértices so los putos, y -, y cuyos focos so, y -, Hllr l ecució de l elipse cuyos focos so, y -, y su ecetricidd es igul / Hllr l ecució de l elipse que stisfce cd cso: - posee focos,8 y, y logitud de eje myor - posee vértices -,- y 5,- y ecetricidd ¾ c- posee vértices,6 y,- y logitud de ldo recto 5 E cd uo de los csos siguietes discut y grfique el lugr geométrico: - y 6 6y - 9y 8y 7 c- y y 9 d- 9 y 8y 6 Ecuetre l ecució de l elipse que stisfce ls codicioes dds: - vértices 8, y focos 5, -vertices 5, y logitud del eje meor - cetro e el orige y que ps por los putos, y 6, 7 El rco de u puete es semieliptico, co eje myor horizotl L se del rco tiee mts de lrgo y su prte ms lt co respecto l suelo mide mts Determie l ltur del rco 6 mts de l se Mtemátic Vero 65 Profesor: José Diel Mur drde

66 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic 8 U cudrdo, cuyos ldos so prlelos los ejes coordedos est iscrito y e u elipse Eprese el áre del cudrdo e térmios de y 9 Dds ls siguietes ecucioes, idetifique quells que correspode u elipse y determie ls coordeds del cetro, de los focos y de los vértices, ls logitudes de los semiejes y l ecetricidd Grfique: y 6 y 95y c y 8y d y y 6 8 e 9 y 6 f y g 9 6y 576 h y 5 i 9y 8 7y j 5 9y 8 5y k 6 y 6 y 8 l 9 5y 8 5y 9 E cd u de ls siguietes elipses determie ls coordeds de los vértices, focos, y cetro, determie demás l logitud de los ejes y su ecetricidd y 69 y 8 c 5² 89y² 655 Hllr ls ecucioes de ls siguietes elipses de mer que stisfg ls codicioes que se idic: Focos ±, ; vértices ± 5, Focos, ± 8, vértices, ± 7 d Focos, ± 6, semieje meor igul 8 e Focos ± 5,, ecetricidd igul 5/8 L Tierr descrie u tryectori elíptic lrededor del Sol que se ecuetr e uo de los focos Siedo que el semieje myor de l elipse vle, 85 8 kilómetros y que l ecetricidd es, proimdmete, /6; determie l máim y l míim distcis de l Tierr l Sol Mtemátic Vero 66 Profesor: José Diel Mur drde

67 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic L Hipérol Defiició: U Hipérol es el lugr geométrico de u puto que se mueve e u plo de tl mer que el vlor soluto de l difereci de sus distcis dos putos fijos e el plo, llmdos focos, es siempre costte, positiv y meor que l distci etre los focos Los focos está desigdos por F y F L rect l que ps por los focos se deomi eje focl El eje focl cort l hipérol e dos putos V, V deomidos vértices El segmeto VV se deomi eje trsverso El puto medio del eje trsverso se deomi cetro L rect l que ps por el cetro y es perpediculr l se deomi eje orml El segmeto se deomi eje cojugdo L cuerd focl LL que es perpediculr l eje focl se deomi ldo recto Proposició: L ecució de l hipérol de cetro e el orige y eje focl coicidete co uo de los ejes coordedos es: - Eje focl el eje X y Mtemátic Vero 67 Profesor: José Diel Mur drde

68 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Focos: F c, ; F c, dode c Vértices: V-, ; V, Ecetricidd: ec/ - Eje focl el eje Y y Focos: F, c; F, c dode c Vértices: V,- ; V, Ecetricidd: ec/ Ejemplo: Los vértices de u hipérol so los putos V, y V,- y sus focos so F,5 y F,-5 Determie l ecució de l hipérol y todos sus elemetos Defiició: Ls rects y y y so ls sitots de l hipérol Proposició: L ecució de l hipérol co cetro e el puto h,k y eje focl prlelo uo de los ejes coordedos es: - Eje focl prlelo l eje X h y k Focos: F h c, k; F h c, k dode c Vértices: Vh-,k ; V h,k Ecetricidd: ec/ Mtemátic Vero 68 Profesor: José Diel Mur drde

69 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic - Eje focl prlelo l eje Y y k h Focos: F h, k c; F h, k c dode c Vértices: Vh,k- ; V h,k Ecetricidd: ec/ Ejemplo: Discutir el lugr geométrico de ecució: 9 y 5 8y 5 L Circufereci Defiició: L circufereci es el lugr geométrico de todos los putos de u plo que se ecuetr l mism distci de u puto ddo fijo Tl puto se deomi cetro y l distci se deomi rdio Proposició: Ecució geerl de l circufereci de cetro e el puto h,k y rdio r Mtemátic Vero 69 Profesor: José Diel Mur drde

70 Uiversidd de Ciecis de l Iformátic Ig De Ejecució e Iformátic Trigoometrí Medid de águlos L mer más comú de medir los águlos es e grdos, pero tmié se us l medid llmd rdies Se CB u águlo cetrl de u círculo de rdio uo: C L medid e rdies del águlo CB se defie como l logitud del rco circulr B Ddo que l de u circufereci es π y u revolució complet de u círculo es 6º, l relció etre grdos y rdies es l siguiete: π rdies 6º Fucioes trigoométrics Cierts fucioes que posee u ptró determido so llmds periódics, es decir, los vlores de l fució se repite cd cierto úmero costte de uiddes Defiició: Si u fució f tiee l propiedd de que fp f pr todo de su domiio, siedo p u costte, etoces de dice que f es periódic El meor úmero positivo p si es que lo hy, pr que fp f pr todo, es el período de l fució B U ejemplo de fucioes periódics, so ls fucioes trigoométrics, difereci de ls otrs fucioes estudids posee lguos elemetos que l distigue Ests fucioes e su gráfic correspode curvs siusoidles, y como tles es preciso estudir su mplitud y período L Fució seo: Los vlores de l fució seo se icremet hst lczr u máimo de e π, después desciede hst e π, cotiú decreciedo π hst e, y después se icremet e π Mtemátic Vero 7 Profesor: José Diel Mur drde