Física Contemporánea, Grupo: 8104 Tarea # 4, Fecha de entrega: viernes 18 de septiembre de 2015 Nombre:
|
|
- Felisa Toledo Naranjo
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 Física Contemporánea, Grupo: 8104 Tarea # 4, Fecha de entrega: viernes 18 de septiembre de 015 Nombre: Lee con atención as siguientes notas sobre e movimiento en un campo centra y reaiza os ejercicios que vienen numerados a o argo de texto. A fina de as notas se incuyen 4 probemas de apicación que debes resover también. MOVIMIENTO EN UN CAMPO CENTRAL. E probema de Keper Las eyes de Keper Comenzaremos enunciando as tres eyes de Keper. Estas describen e movimiento de os panetas y os astros por parejas. Como veremos, su generaidad es mayor pues se apican a cuaquier sistema de dos cuerpos ta que a dirección de a fuerza coincida con a ínea que os une y cuya magnitud sea inversamente proporciona a cuadrado de a distancia que os separa. Primera ey: Los panetas se mueven describiendo órbitas eípticas, con e so situado en uno de sus focos. Segunda ey: E vector que une a so con e paneta en cuestión barre áreas iguaes en tiempos iguaes. Esta ey también es conocida como a ey de as áreas. Tercera ey: E cuadrado de periodo de a órbita es proporciona a cubo de semieje mayor de a órbita. Ley de gravitación universa de Newton. E objetivo es mostrar que as eyes de Keper son consecuencia de a ey de gravitación universa de Newton F = Gm 1m r ˆr (1) Esta ey estabece que a fuerza entre dos cuerpos es proporciona a producto de sus masas m 1 y m, e inversamente proporciona a cuadrado de a distancia que as separa. La constante de proporcionaidad es G = Nm /kg. Para mostrar que as eyes de Keper son consecuencia de esta ey estudiaremos e movimiento de a tierra y e so. Supongamos que en un sistema de referencia os vectores de posición que describen e movimiento de so y de a tierra son r 1 y r respectivamente. 1. Dibuje e sistema coordenado en tres dimensiones y ocaice a tierra y e so.. Denote como r = r 1 r a vector que va de a tierra a so. De acuerdo a a ey de gravitación universa a fuerza ejercida en e so por a presencia de a tierra es m 1 r1 = Gm 1m r 1 r (ˆr 1 ˆr ), () 1
2 anáogamente, a fuerza ejercida en a tierra por a presencia de so es m r = Gm 1m r 1 r (ˆr ˆr 1 ), (3) E siguiente paso es desacopar estas dos ecuaciones. Para eo definimos a vector centro de masa R, a a masa tota M y a a masa reducida µ en términos de os vectores de posición r 1 y r, y de as masas m 1 y m como sigue R = m 1 r 1 + m r m 1 + m (4) M = m 1 + m (5) µ = m 1m m 1 + m (6) 3. Usando que r = r 1 r y a definición de R muestre que r 1 = R + m M r y r = R + m 1 M r. 4. Reescriba as ecuaciones () y (3) en términos de os vectores R y r y sus derivadas temporaes y muestre que si suma estas dos ecuaciones obtendrá que M R = 0 (7) Esta útima ecuación impica que e centro de masa se mueve con veocidad constante. Dado que a eección de origen de un sistema coordenado es arbitraria, podemos escoger un marco de referencia ta que e origen coincida con e vector centro de masa. Observe que a ey de gravitación sea para m 1 o para m es µ r = GMµ r ˆr (8) Es importante notar que e considerar que e origen de sistema de referencia coincide con a posición de vector centro de masa quiere decir,dada a disparidad entre as masas de a tierra, que a descripción de movimiento de a tierra será en términos de vector r. En un momento mas regresaremos a ecuación (8). Consideremos ahora a energía y e momento anguar de sistema so-tierra. Energía de sistema so-tierra Queremos mostrar que a energía de sistema so-tierra es constante, esto quiere decir que dicha cantidad no cambia con e tiempo. En otras paabras, que una vez conocida a posición como función de tiempo, sus energía cinética y potencia serán taes que a suma de ambas permanecerá constante. En case encontramos que dado que a fuerza esta dada por a ecuación (1), a energía potencia asociada es U(r) = Gm 1m r 1 r. (9) 5. Muestre que este útimo resutado es consecuencia de que F = U(r) donde e operador f(r) de una función escaar f(r) se ama e gradiente de f(r) y se define como f(r) =
3 f xî + f ĵ + f ˆk. Su tarea es mostrar que dada a función U(r), se satisface a ey de gravitación y y universa, es decir, F = U(r). La energía tota de sistema es a suma de a energía cinética y potencia, esto es E = m r m r Gm 1m r 1 r. (10) 6. Sustituya r 1 y r en términos de r y R y muestre que E = P + p. E primer M r término es a energía de centro de masa dado que escogimos coocar e origen en e centro de masa, este término es igua a cero. Por o tanto a energía es E = p µ GMµ r µ GMµ 7. Muestre que a energía se conserva, esto es, tomado a derivada con respecto a tiempo de E muestre que de dt = 0. Momento anguar de sistema so-tierra E momento anguar es una cantidad que da información de a cantidad de movimiento de un cuerpo cuyo movimiento es de rotación. Se define de a siguiente forma (11) L = r p (1) es decir, es e producto cruz de vector de posición r y e vector de momento p. Dado que e momento anguar es una cantidad vectoria, e momento anguar de sistema so-tierra es un vector y es igua a a suma de os momentos anguares de so y a tierra L = r 1 m 1 r1 + r m r (13) 8. Sustituya as expresiones de r 1, r, r1 y r en esta útima ecuación y obtenga una expresión para L como función de r, R, r y R. Encontrará L = R M R + r µ r (14) Pero habíamos estabecido que e origen de sistema coordenado coincide con e vector centro de masa, por o tanto e primer término de a útima ecuación es cero y eo nos conduce a que e momento anguar es L = r µ r (15) 9. Muestre que L es una constante de movimiento, esto es muestre que se satisface que d L dt = 0. (16) Para hacer esta demostración use e hecho que e producto cruz de dos vectores paraeos es igua a cero y que a derivada de producto cruz es d dt A B = d A dt B + A d B dt. (17) 3
4 E hecho que e momento anguar de sistema so-tierra sea constante impica que L es constante en magnitud y dirección. Anaizamos primero cuá es a consecuencia de que a dirección de momento anguar es constante. Escojamos arbitrariamente que a dirección de L es a o argo de eje z, es decir ˆk. Dado que L = r µ r concuimos que e movimiento tiene ugar en e pano x y. Este hecho es de importancia fundamenta pues significa que en ugar de estudiar e movimiento de sistema tierra-so en tres dimensiones, su descripción se simpifica considereando que dicho movimiento ocurre en dos dimensiones, es decir en un pano. Para describiro, dado su naturaeza, es fáci convencerse que es conveniente usar coordenadas poares. De a figura (1) se observa que os vectores base dichas coordenadas son ˆr = cos θî + sin θĵ y ˆθ = sin θî + cos θĵ. Figure 1: coordenadas poares 10. Más adeante utiizará as derivadas temporaes de os vectores base ˆr = cos θî + sin θĵ y ˆθ = sin θî + cos θĵ. Cacúeas. También muestre que ˆr ˆθ = 0 Aprendimos en a primera parte de curso que caracterizar e movimiento de un cuerpo significa que conocemos su posición y veocidad como función de tiempo. 11. Dado que r = rˆr, derive con respecto a tiempo para encontrar r y r. Debe encontrar r = ṙˆr + r θˆθ y r = ( r r θ ) ˆr + ( ṙ θ + r θ ) ˆθ (18) Note que en e caso de movimiento circuar ṙ = 0 y as expresiones para os vectores veocidad y aceeración se simpifican. Primera ey de Keper Para concuir que a órbita que describe a tierra con respecto a so es una eipse, consideramos a ecuacion (8)y a partir de a expresión para r se encuentra que r r θ = GM r. (19) Esta ecuación es consecuencia de que a fuerza soo tiene componente a o argo de ˆr, es decir, que a dirección de a fuerza es a o argo de a ínea que une a so y a tierra. 1. Muestre que r(θ) = (0) 1 ɛ cos θ 4
5 es soución de a ecuación diferencia (19), donde y ɛ = = L GMµ (1) ( 1 + E ) 1/ () GMµ La soución r = r(θ) dada por (0) es a ecuación de as amadas secciones cónicas, que para > 0, corresponden a un círcuo ɛ = 0, una eipse 0 < ɛ < 1, una paráboa ɛ = 1 y una hipérboa ɛ > 1. Taes figuras tienen a uno de sus focos en e origen (i.e. donde se encuentra e centro de masa y de donde emana a fuerza gravitaciona para a partícua de masa reducida). A parámetro se e ama e semiado recto y a ɛ a excentricidad. La verificación de estas propiedades geométricas concierne a curso de geometría anaítica. Notamos que as órbitas circuares y eípticas describen movimientos panetarios y de satéites, mientras que as paráboas asemejan comportamientos de cometas. Además, de a ecuación () haamos que as órbitas circuares y eípticas corresponden a energías negativas, as parabóicas a energía cero, y as hiperbóicas a energías positivas. En particuar, para a órbita circuar, tenemos que e semiado recto es e radio de a órbita r 0 =, y como ɛ = 0, a energía es a conocida E = GMµ r 0 orbita circuar. (3) En su case de geometría anaítica aprenderá os siguientes aspectos reacionados con as propiedades de una eipse. Para una eipse, θ = π es e acercamiento mínimo, e periheio, y da r min = E afeio es θ = 0 y es e aejamiento máximo, r max = 1 + ɛ. (4) 1 ɛ. (5) E semiado recto ocurre a θ = π/; en su tarea ha trabajado en a gráfica de a ecuación para una eipse en coordenadas poares. Además, a eipse tiene, con obvia notación, un semieje menor b y un semieje mayor a. Muestre que estos están dados por, a = Muestre que e área de una eipse es y que e semiado recto es, 1 ɛ b = 1 ɛ. (6) A = πab = πa 1 ɛ (7) Para e caso de un círcuo de radio r 0, ɛ = 0, y a = b = = r 0. = a(1 ɛ ). (8) 5
6 Segunda Ley de Keper. La ínea que une a un paneta y a So, barre áreas iguaes en tiempos iguaes. Este enunciado no es mas que a conservación de momento anguar y, por o tanto, es váida no sóo para eipses sino para todas a secciones cónicas. Véamos. Considere que en un instante dado e paneta esta en e punto (r, θ) de a órbita. Un tiempo t después estará en e punto (aproximado) por (r, θ + θ). E área A que barrió en e tiempo t, se puede aproximar por un triánguo A 1 r r θ. (9) Por o tanto a veocidad de área, es decir, a tasa con a barre esa área es A t 1 θ r t. (30) Note que e ado derecho depende de punto de a órbita pues r depende de θ. Sin embargo, e ado derecho no es mas que L/µ, que sabemos que es constante por conservación de momento anguar. Por o tanto A/ t es una constante sin importar e punto de a órbita. En e ímite infinitesima, da dt = L µ. (31) Tercera Ley de Keper. E cuadrado de periodo de a órbita es proporciona a cubo de semieje mayor de a órbita. Esta sigue de una combinación de os resutados de a Primera y de a Segunda. Usando a ecuación (31) a integramos en un periodo τ en e que se recorre e área competa A, Usamos as ecuaciones (1), (7) y (8), A da = L µ τ dt A = L τ. (3) µ τ = µa L a 1 ɛ = µπ µ GMa(1 ɛ ). (33) Eevando a cuadrado ambos términos y canceando términos iguaes, haamos, τ = π GM a3. (34) Note que es independiente de a masa de paneta!... es decir, si suponemos que a masa tota es a masa de So. 6
7 Probemas de apicación: 1. La uz soar tarda 8.33 minutos en egar a a Tierra y 43.3 minutos en acanzar Júpiter. Cuá es e período de rotación de Júpiter arededor de So? (considera que as órbitas de ambos panetas son aproximadamente circuares). La Tierra tarda un año en describir su órbita en torno a so. Esta órbita es aproximadamente circuar con radio R= m. Cacua a masa de so. 3. La una es aproximadamente esférica con radio R= m y masa m= kg. (a) Cacua a aceeración de a gravedad en a superficie unar. (b) Si se deja caer una piedra desde una atura de m sobre a superficie unar, cuá será su veocidad a chocar con a superficie? 4. La veocidad de escape de un paneta (en genera de un cuerpo cuaquiera) es a veocidad mínima con a cua debe anzarse un objeto desde su superficie para que egue a infinito. (a) Cacuar a veocidad de escape de un cuerpo anzado desde a tierra. (b) Cacuar a veocidad de escape de un cuerpo anzado desde a una. (c) Ahora considera que a veocidad de escape de cierto paneta es igua a a veocidad de a uz, Cuá debe ser a masa de ese paneta, si su radio es e de a tierra? (expresa esta masa en unidades de masas soares). constante gravitaciona: G = Nm /kg radio de a tierra: R t = m masa de a tierra: M t = kg 7
Las leyes de Kepler y la ley de la Gravitación Universal
Las leyes de Kepler y la ley de la Gravitación Universal Rosario Paredes y Víctor Romero Rochín Instituto de Física, UNAM 16 de septiembre de 2014 Resumen Estas notas describen con cierto detalle la deducción
Más detallesVibración y rotación en mecánica cuántica
Vibración y rotación en mecánica cuántica Antonio M. Márquez Departamento de Química Física Universidad de Sevia Curso 14-15 Probema 1 Una moécua de 1 H 17 I en fase gaseosa, cuya ongitud de enace es 16.9
Más detallesFunciones más usuales 1
Funciones más usuales 1 1. La función constante Funciones más usuales La función constante Consideremos la función más sencilla, por ejemplo. La imagen de cualquier número es siempre 2. Si hacemos una
Más detallesCampo y potencial eléctrico de una carga puntual
Campo y potencial eléctrico de una carga puntual Concepto de campo Energía potencial Concepto de potencial Relaciones entre fuerzas y campos Relaciones entre campo y diferencia de potencial Trabajo realizado
Más detallesAnexo a las guías 1 y 2 Notación y convenciones para tensores
Anexo a as guías 1 y 2 Notación y convenciones para tensores Sergio Dain 25 de mayo de 2014 1. Notación abstracta E espacio vectoria o denotamos por V, sus eementos son amados vectores. Para denotar un
Más detalles35 Facultad de Ciencias Universidad de Los Andes Mérida-Venezuela. Potencial Eléctrico
q 1 q 2 Prof. Félix Aguirre 35 Energía Electrostática Potencial Eléctrico La interacción electrostática es representada muy bien a través de la ley de Coulomb, esto es: mediante fuerzas. Existen, sin embargo,
Más detallesCOORDENADAS CURVILINEAS
CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un
Más detallesCap. 24 La Ley de Gauss
Cap. 24 La Ley de Gauss Una misma ley física enunciada desde diferentes puntos de vista Coulomb Gauss Son equivalentes Pero ambas tienen situaciones para las cuales son superiores que la otra Aquí hay
Más detallesApoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores
Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación
Más detalles1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.
1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial
Más detallesTema 2. Espacios Vectoriales. 2.1. Introducción
Tema 2 Espacios Vectoriales 2.1. Introducción Estamos habituados en diferentes cursos a trabajar con el concepto de vector. Concretamente sabemos que un vector es un segmento orientado caracterizado por
Más detallesEXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 1: CAMPO GRAVITATORIO
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN La prueba consiste de dos opciones, A y B, y el alumno deberá optar por una de las opciones y resolver las tres cuestiones y los dos problemas planteados en ella, sin
Más detalles1.4.- D E S I G U A L D A D E S
1.4.- D E S I G U A L D A D E S OBJETIVO: Que el alumno conozca y maneje las reglas empleadas en la resolución de desigualdades y las use para determinar el conjunto solución de una desigualdad dada y
Más detallesPARÁBOLA. 1) para la parte positiva: 2) para la parte negativa: 3) para la parte positiva: 4) para la parte negativa:
Página 90 5 LA PARÁBOLA 5.1 DEFINICIONES La parábola es el lugar geométrico 4 de todos los puntos cuyas distancias a una recta fija, llamada, y a un punto fijo, llamado foco, son iguales entre sí. Hay
Más detallesEl concepto de integral con aplicaciones sencillas
El concepto de integral con aplicaciones sencillas Eliseo Martínez Marzo del 24 Abstract Este artículo trata de ejemplos sencillos del concepto de integral con aplicaciones a la Física, la Teoría de la
Más detallesPotencial eléctrico. du = - F dl
Introducción Como la fuerza gravitatoria, la fuerza eléctrica es conservativa. Existe una función energía potencial asociada con la fuerza eléctrica. Como veremos, la energía potencial asociada a una partícula
Más detallesUNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS.
UNIDAD 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Al final deberás haber aprendido... Interpretar y expresar números enteros. Representar números enteros en la recta numérica. Comparar y ordenar números enteros. Realizar
Más detallesVectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales.
Cantidades vectoriales escalares Vectores Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por
Más detallesTema 1.1 La bóveda celeste. Fundamentos geométricos.
Módulo 1. La bóveda celeste. Astronomía observacional. Tema 1.1 La bóveda celeste. Fundamentos geométricos. Objetivos del tema: En este tema aprenderemos los fundamentos geométricos del movimiento de la
Más detallesEste documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.
Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. La función lineal. y = a 0 + a 1 x. y = m x + b
La función lineal Una función polinomial de grado uno tiene la forma: y = a 0 + a 1 x El semestre pasado estudiamos la ecuación de la recta. y = m x + b En la notación de funciones polinomiales, el coeficiente
Más detallesLeyes de Kepler Enzo De Bernardini Astronomía Sur http://astrosurf.com/astronosur
Leyes de Kepler Enzo De Bernardini Astronomía Sur http://astrosurf.com/astronosur El astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630) formuló las tres famosas leyes que llevan su nombre después de analizar
Más detallesMuchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8
Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características
Más detallesTema 2 Límites de Funciones
Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos
Más detallesPARTE 3 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA FINANCIERA T E M A S
PARTE 3 ECUACIONES DE EQUIVALENCIA FINANCIERA Valor del dinero en el tiempo Conceptos de capitalización y descuento Ecuaciones de equivalencia financiera Ejercicio de reestructuración de deuda T E M A
Más detallesApuntes de Matemática Discreta 9. Funciones
Apuntes de Matemática Discreta 9. Funciones Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y
Más detallesDefinición de vectores
Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre
Más detalles1. ESCALARES Y VECTORES
1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes
Más detalles1. Producto escalar, métrica y norma asociada
1. asociada Consideramos el espacio vectorial R n sobre el cuerpo R; escribimos los vectores o puntos de R n, indistintamente, como x = (x 1,..., x n ) = n x i e i i=1 donde e i son los vectores de la
Más detallesDepartamento de Matemáticas
MA5 Clase 9: Campos Direccionales, Curvas Integrales. Eistencia y Unicidad Elaborado por los profesores Edgar Cabello y Marcos González La ecuación y = f(, y) determina el coeficiente angular de la tangente
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS 1º DE BACHILLERATO (Hnos. Machado): EJERCICIOS DE REFUERZO 1º EVALUACIÓN (Cinemática) Por Álvaro Téllez Róbalo
EJERCICIOS RESUELTOS 1º DE BACHILLERATO (Hnos. Machado): EJERCICIOS DE REFUERZO 1º EVALUACIÓN (Cinemática) Por Álvaro Téllez Róbalo 1. El vector posición de un punto, en función del tiempo, viene dado
Más detallesAproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 004-005 Aproximación local. Plano tangente. Derivadas parciales. 1. Plano tangente 1.1. El problema de la aproximación
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES
www.matesronda.net José A. Jiménez Nieto FUNCIONES CUADRÁTICAS Y RACIONALES 1. FUNCIONES CUADRÁTICAS. Representemos, en función de la longitud de la base (), el área (y) de todos los rectángulos de perímetro
Más detallesTRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS
TRABAJO Y ENERGÍA; FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS 1. CONCEPTO DE TRABAJO: A) Trabajo de una fuerza constante Todos sabemos que cuesta trabajo tirar de un sofá pesado, levantar una pila de libros
Más detalles1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1. ESPACIOS VECTORIALES 1. Analizar cuáles de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios vectoriales. a) A = {(2x, x, 7x)/x R} El conjunto A es una
Más detalles3. Operaciones con funciones.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lección. Funciones derivada. 3. Operaciones con funciones. En esta sección veremos cómo podemos combinar funciones para construir otras nuevas. Especialmente
Más detallesE 1 E 2 E 2 E 3 E 4 E 5 2E 4
Problemas resueltos de Espacios Vectoriales: 1- Para cada uno de los conjuntos de vectores que se dan a continuación estudia si son linealmente independientes, sistema generador o base: a) (2, 1, 1, 1),
Más detallesIES Menéndez Tolosa. La Línea de la Concepción. 1 Es posible que un cuerpo se mueva sin que exista fuerza alguna sobre él?
IES Menéndez Tolosa. La Línea de la Concepción 1 Es posible que un cuerpo se mueva sin que exista fuerza alguna sobre él? Si. Una consecuencia del principio de la inercia es que puede haber movimiento
Más detallesUniversidad de la Frontera. Geometría Anaĺıtica: Departamento de Matemática y Estadística. Cĺınica de Matemática. J. Labrin - G.
Universidad de la Frontera Departamento de Matemática y Estadística Cĺınica de Matemática 1 Geometría Anaĺıtica: J. Labrin - G.Riquelme 1. Los puntos extremos de un segmento son P 1 (2,4) y P 2 (8, 4).
Más detallesBASES Y DIMENSIÓN. Propiedades de las bases. Ejemplos de bases.
BASES Y DIMENSIÓN Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. β Propiedades
Más detallesGUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 21
SIGNTU: MTEMTI EN IOLOGI DOENTE: LI.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PTIO Nº ES: POFESODO Y LIENITU EN IOLOGI _PGIN Nº 4_ GUIS DE TIIDDES Y TJO PTIO Nº OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la información
Más detalles1 Espacios y subespacios vectoriales.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA Departamento de Matemática Aplicada y Estadística Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones 1 Espacios y subespacios vectoriales Definición 1 Sea V un conjunto
Más detallesTEMA 4. Conceptos sobre órbitas. Kepleriana y perturbada.
TEMA 4. Conceptos sobre órbitas. Kepleriana y perturbada. 1. Introducción. Las aplicaciones del GPS dependen en gran medida del conocimiento de las órbitas de los satélites. La determinación precisa de
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS
EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el centro en el punto (, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -) y (, 6). a) La
Más detalles3. OPERACIONES CON FUNCIONES.
3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre funciones son posibles y semejantes a las correspondientes efectuadas con los números. En esta sección definiremos
Más detallesIntegrales y ejemplos de aplicación
Integrales y ejemplos de aplicación I. PROPÓSITO DE ESTOS APUNTES Estas notas tienen como finalidad darle al lector una breve introducción a la noción de integral. De ninguna manera se pretende seguir
Más detallesTransformaciones canónicas
apítulo 29 Transformaciones canónicas 29.1 Introducción onsideremos una transformación arbitraria de las coordenadas en el espacio de las fases de dimensión 2(3N k) (con el tiempo como un parámetro) Q
Más detallesLic. Manuel de Jesús Campos Boc
UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 0 Lic. Manuel
Más detallesFunciones de varias variables
Funciones de varias variables Derivadas parciales. El concepto de función derivable no se puede extender de una forma sencilla para funciones de varias variables. Aquí se emplea el concepto de diferencial
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Concepto de aplicación lineal T : V W Definición: Si V y W son espacios vectoriales con los mismos escalares (por ejemplo, ambos espacios vectoriales reales o ambos espacios vectoriales
Más detallesLEYES DE CONSERVACIÓN: ENERGÍA Y MOMENTO
LEYES DE CONSERVACIÓN: ENERGÍA Y MOMENTO 1. Trabajo mecánico y energía. El trabajo, tal y como se define físicamente, es una magnitud diferente de lo que se entiende sensorialmente por trabajo. Trabajo
Más detallesa < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta) a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
Desigualdades Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes,
Más detalles1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades
1. Números Reales 1.1 Clasificación y propiedades 1.1.1 Definición Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
Más detallesPROGRAMACIÓN LINEAL. 8.1. Introducción. 8.2. Inecuaciones lineales con 2 variables
Capítulo 8 PROGRAMACIÓN LINEAL 8.1. Introducción La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver
Más detallesResortes y fuerzas. Analiza la siguiente situación. Ley de Hooke. 2do Medio > Física Ley de Hooke. Qué aprenderé?
2do Medio > Física Ley de Hooke Resortes y fuerzas Analiza la siguiente situación Aníbal trabaja en una fábrica de entretenimientos electrónicos. Es el encargado de diseñar algunas de las máquinas que
Más detallesCampos conservativos. f(x) = f (x) = ( f x 1
Capítulo 1 Campos conservativos En este capítulo continuaremos estudiando las integrales de linea, concentrándonos en la siguiente pregunta: bajo qué circunstancias la integral de linea de un campo vectorial
Más detallesDIBUJO TÉCNICO. UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V)
UNIDAD DIDÁCTICA 9: Geometría 2D (V) ÍNDICE Página: 1 CURVAS CÓNICAS. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS.. 2 2 TRAZADO MEDIANTE RADIOS VECTORES 4 3 RECTAS TANGENTES A CÓNICAS 5 3.1 CIRCUNFERENCIAS FOCALES 6 3.2
Más detalles_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano
24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas
Más detallesEcuaciones de primer grado con dos incógnitas
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas Si decimos: "las edades de mis padres suman 120 años", podemos expresar esta frase algebraicamente de la siguiente forma: Entonces, Denominamos x a la edad
Más detallesLección 7 - Coordenadas rectangulares y gráficas
Lección 7 - Coordenadas rectangulares gráficas Coordenadas rectangulares gráficas Objetivos: Al terminar esta lección podrás usar un sistema de coordenadas rectangulares para identificar puntos en un plano
Más detallesCAMPO ELÉCTRICO FCA 10 ANDALUCÍA
CMO LÉCTRICO FC 0 NDLUCÍ. a) xplique la relación entre campo y potencial electrostáticos. b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial electrostático es mayor.
Más detallesSegundo de Bachillerato Geometría en el espacio
Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto
Más detallesGeometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA
Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro
Más detallesFÍSICA 2º BACHILLERATO EL OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS RESUELTOS
FÍSICA º BACHILLERATO EL OSCILADOR ARMÓNICO. PROBLEMAS RESUELTOS TIMONMATE 1. Las características conocidas de una partícula que vibra armónicamente son la amplitud, A= 10 cm, y la frecuencia, f= 50 Hz.
Más detallesSistemas de vectores deslizantes
Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido
Más detallesLas Funciones Analíticas. f (z 0 + h) f (z 0 ) lim. h=z z 0. = lim
Las Funciones Analíticas 1 Las Funciones Analíticas Definición 12.1 (Derivada de una función compleja). Sea D C un conjunto abierto. Sea z 0 un punto fijo en D y sea f una función compleja, f : D C C.
Más detallesUnidad V: Integración
Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral
Más detallesMódulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias
Módulo 9 Sistema matemático y operaciones binarias OBJETIVO: Identificar los conjuntos de números naturales, enteros, racionales e irracionales; resolver una operación binaria, representar un número racional
Más detalles3.1. FUNCIÓN SINUSOIDAL
11 ÍNDICE INTRODUCCIÓN 13 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 19 Corriente eléctrica. Ecuación de continuidad. Primera ley de Kirchhoff. Ley de Ohm. Ley de Joule. Fuerza electromotriz. Segunda ley de Kirchhoff.
Más detallesFunciones, x, y, gráficos
Funciones, x, y, gráficos Vamos a ver los siguientes temas: funciones, definición, dominio, codominio, imágenes, gráficos, y algo más. Recordemos el concepto de función: Una función es una relación entre
Más detallesCÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1
CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA 1 PROBLEMAS RESUELTOS Tema 3 Derivación de funciones de varias variables 3.1 Derivadas y diferenciales de funciones de varias variables! 1. Derivadas parciales de primer orden.!
Más detallesVECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman
Más detallesEJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ERRORES DE REDONDEO 1º) Considérese un número estrictamente positivo del sistema de números máquina F(s+1, m, M, 10). Supongamos que tal número es: z = 0.d 1 d...d s 10 e Responde
Más detallesECUACION DE DEMANDA. El siguiente ejemplo ilustra como se puede estimar la ecuación de demanda cuando se supone que es lineal.
ECUACION DE DEMANDA La ecuación de demanda es una ecuación que expresa la relación que existe entre q y p, donde q es la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio
Más detallesPara la oblicua hacemos lo mismo, calculamos el límite en el menos infinito : = lim. 1 ( ) = = lim
) Sea la función: f(x) = ln( x ): a) Dar su Dominio y encontrar sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, los
Más detalleshttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.tex Lección 1 - Problemas Problemas CAPÍTULO 2 FUNCIONES VECTORIALES Lección 2.2. Curvas enr n Una aplicación F : I R n,
Más detallesAplicaciones Lineales
Aplicaciones Lineales Ejercicio Dada la matriz A = 0 2 0 a) Escribir explícitamente la aplicación lineal f : 2 cuya matriz asociada con respecto a las bases canónicas es A. En primer lugar definimos las
Más detallesCapítulo 21 Óptica 1
Capítulo 21 Óptica 1 Reflexión y refracción Las leyes de la reflexión y de la refracción nos dicen lo siguiente: Los rayos incidente, reflejado y transmitido están todos en un mismo plano, perpendicular
Más detallesCircuito RL, Respuesta a la frecuencia.
Circuito RL, Respuesta a la frecuencia. A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268) Departamento de física, facultad de ciencias, Universidad Nacional de Colombia Resumen. Se estudia
Más detallesExamen de Física-1, 1 Ingeniería Química Examen final. Septiembre de 2012 Problemas (Dos puntos por problema).
Examen de Física-1, 1 Ingeniería Química Examen final. Septiembre de 01 Problemas (Dos puntos por problema). Problema 1 (Primer parcial): Suponga que trabaja para una gran compañía de transporte y que
Más detallesNivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta.
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Desigualdades 1.1. Introducción. Intervalos Los números reales se pueden representar mediante puntos en una recta. 1 0 1 5 3 Sean a y b números y supongamos que
Más detalles1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(
Más detallesDiferenciabilidad. Definición 1 (Función diferenciable). Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Diferenciabilidad. 1. Definición de función diferenciable Después del estudio de los ites de funciones
Más detallesProblemas de Física 1 o Bachillerato
Problemas de Física o Bachillerato Principio de conservación de la energía mecánica. Desde una altura h dejamos caer un cuerpo. Hallar en qué punto de su recorrido se cumple E c = 4 E p 2. Desde la parte
Más detallesÓrbitas producidas por fuerzas centrales
Capítulo 10 Órbitas producidas por fuerzas centrales 10.1 Introducción En un capítulo anterior hemos visto una variedad de fuerzas, varias de las cuales, como por ejemplo la elástica, la gravitatoria y
Más detallesSISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL
SISTEMAS DE COORDENADAS En la vida diaria, nos encontramos con el problema de ordenar algunos objetos; de tal manera que es necesario agruparlos, identificarlos, seleccionarlos, estereotiparlos, etc.,
Más detallesAplicaciones Lineales
Tema 3 Aplicaciones Lineales 3.1 Introducción Se presentan en este tema las aplicaciones entre espacios vectoriales, particularmente las aplicaciones lineales, que de una manera informal pueden definirse
Más detallesSubconjuntos destacados en la
2 Subconjuntos destacados en la topología métrica En este capítulo, introducimos una serie de conceptos ligados a los puntos y a conjuntos que por el importante papel que juegan en la topología métrica,
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA 2º Curso de Bachillerato 22 de mayo de 2008
1. Sean los puntos A (1, 0,-1) y B (,-1, 3). Calcular la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa por A y B. Calculemos la recta que pasa por A y B. El vector AB es (1,-1,4) y por tanto
Más detallesAnálisis de componentes principales
Capítulo 2 Análisis de componentes principales 2.1. INTRODUCCIÓN El Análisis de componentes principales trata de describir las características principales de un conjunto de datos multivariantes, en los
Más detallesLas ecuaciones que nos dan la posición (x) de la partícula en función del tiempo son las siguientes: ( )
DESARROLLO DE LA PARTE TEÓRICA DE LA UNIDAD DIDÁCTICA. 1. Cinemática del movimiento armónico simple. Dinámica del movimiento armónico simple 3. Energía del movimiento armónico simple 4. Aplicaciones: resorte
Más detalles(b) v constante, por lo que la bola posee una aceleración normal hacia el centro de curvatura.
Cuestiones 1. Una bola pequeña rueda en el interior de un recipiente cónico de eje vertical y semiángulo α en el vértice A qué altura h sobre el vértice se encontrará la bolita en órbita estable con una
Más detallesPráctica La Conservación de la Energía
Práctica La Conservación de la Energía Eduardo Rodríguez Departamento de Física, Universidad de Concepción 30 de junio de 2003 La Conservación de la Energía Un péndulo en oscilación llega finalmente al
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 2 2. Método de sustitución 5 3. Método de igualación 9 4. Método de eliminación 13 5. Conclusión 16 1 Sistemas de ecuaciones
Más detallesEjemplo: Resolvemos Sin solución. O siempre es positiva o siempre es negativa. Damos un valor cualquiera Siempre + D(f) =
T1 Dominios, Límites, Asíntotas, Derivadas y Representación Gráfica. 1.1 Dominios de funciones: Polinómicas: D( = La X puede tomar cualquier valor entre Ejemplos: D( = Función racional: es el cociente
Más detallesFísica: Repaso Matemático, Vectores y Sistemas de Referencia
Física: Repaso Matemático, Vectores y Sistemas de Referencia Dictado por: Profesor Aldo Valcarce 2 do semestre 2014 Fechas de pruebas C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra) C2: Viernes 29 de agosto
Más detallesUnidad: Representación gráfica del movimiento
Unidad: Representación gráfica del movimiento Aplicando y repasando el concepto de rapidez Esta primera actividad repasa el concepto de rapidez definido anteriormente. Posición Esta actividad introduce
Más detallesAplicaciones lineales continuas
Lección 13 Aplicaciones lineales continuas Como preparación para el cálculo diferencial, estudiamos la continuidad de las aplicaciones lineales entre espacios normados. En primer lugar probamos que todas
Más detallesSistemas de numeración
Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan
Más detalles