Física Contemporánea, Grupo: 8104 Tarea # 4, Fecha de entrega: viernes 18 de septiembre de 2015 Nombre:

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1 Física Contemporánea, Grupo: 8104 Tarea # 4, Fecha de entrega: viernes 18 de septiembre de 015 Nombre: Lee con atención as siguientes notas sobre e movimiento en un campo centra y reaiza os ejercicios que vienen numerados a o argo de texto. A fina de as notas se incuyen 4 probemas de apicación que debes resover también. MOVIMIENTO EN UN CAMPO CENTRAL. E probema de Keper Las eyes de Keper Comenzaremos enunciando as tres eyes de Keper. Estas describen e movimiento de os panetas y os astros por parejas. Como veremos, su generaidad es mayor pues se apican a cuaquier sistema de dos cuerpos ta que a dirección de a fuerza coincida con a ínea que os une y cuya magnitud sea inversamente proporciona a cuadrado de a distancia que os separa. Primera ey: Los panetas se mueven describiendo órbitas eípticas, con e so situado en uno de sus focos. Segunda ey: E vector que une a so con e paneta en cuestión barre áreas iguaes en tiempos iguaes. Esta ey también es conocida como a ey de as áreas. Tercera ey: E cuadrado de periodo de a órbita es proporciona a cubo de semieje mayor de a órbita. Ley de gravitación universa de Newton. E objetivo es mostrar que as eyes de Keper son consecuencia de a ey de gravitación universa de Newton F = Gm 1m r ˆr (1) Esta ey estabece que a fuerza entre dos cuerpos es proporciona a producto de sus masas m 1 y m, e inversamente proporciona a cuadrado de a distancia que as separa. La constante de proporcionaidad es G = Nm /kg. Para mostrar que as eyes de Keper son consecuencia de esta ey estudiaremos e movimiento de a tierra y e so. Supongamos que en un sistema de referencia os vectores de posición que describen e movimiento de so y de a tierra son r 1 y r respectivamente. 1. Dibuje e sistema coordenado en tres dimensiones y ocaice a tierra y e so.. Denote como r = r 1 r a vector que va de a tierra a so. De acuerdo a a ey de gravitación universa a fuerza ejercida en e so por a presencia de a tierra es m 1 r1 = Gm 1m r 1 r (ˆr 1 ˆr ), () 1

2 anáogamente, a fuerza ejercida en a tierra por a presencia de so es m r = Gm 1m r 1 r (ˆr ˆr 1 ), (3) E siguiente paso es desacopar estas dos ecuaciones. Para eo definimos a vector centro de masa R, a a masa tota M y a a masa reducida µ en términos de os vectores de posición r 1 y r, y de as masas m 1 y m como sigue R = m 1 r 1 + m r m 1 + m (4) M = m 1 + m (5) µ = m 1m m 1 + m (6) 3. Usando que r = r 1 r y a definición de R muestre que r 1 = R + m M r y r = R + m 1 M r. 4. Reescriba as ecuaciones () y (3) en términos de os vectores R y r y sus derivadas temporaes y muestre que si suma estas dos ecuaciones obtendrá que M R = 0 (7) Esta útima ecuación impica que e centro de masa se mueve con veocidad constante. Dado que a eección de origen de un sistema coordenado es arbitraria, podemos escoger un marco de referencia ta que e origen coincida con e vector centro de masa. Observe que a ey de gravitación sea para m 1 o para m es µ r = GMµ r ˆr (8) Es importante notar que e considerar que e origen de sistema de referencia coincide con a posición de vector centro de masa quiere decir,dada a disparidad entre as masas de a tierra, que a descripción de movimiento de a tierra será en términos de vector r. En un momento mas regresaremos a ecuación (8). Consideremos ahora a energía y e momento anguar de sistema so-tierra. Energía de sistema so-tierra Queremos mostrar que a energía de sistema so-tierra es constante, esto quiere decir que dicha cantidad no cambia con e tiempo. En otras paabras, que una vez conocida a posición como función de tiempo, sus energía cinética y potencia serán taes que a suma de ambas permanecerá constante. En case encontramos que dado que a fuerza esta dada por a ecuación (1), a energía potencia asociada es U(r) = Gm 1m r 1 r. (9) 5. Muestre que este útimo resutado es consecuencia de que F = U(r) donde e operador f(r) de una función escaar f(r) se ama e gradiente de f(r) y se define como f(r) =

3 f xî + f ĵ + f ˆk. Su tarea es mostrar que dada a función U(r), se satisface a ey de gravitación y y universa, es decir, F = U(r). La energía tota de sistema es a suma de a energía cinética y potencia, esto es E = m r m r Gm 1m r 1 r. (10) 6. Sustituya r 1 y r en términos de r y R y muestre que E = P + p. E primer M r término es a energía de centro de masa dado que escogimos coocar e origen en e centro de masa, este término es igua a cero. Por o tanto a energía es E = p µ GMµ r µ GMµ 7. Muestre que a energía se conserva, esto es, tomado a derivada con respecto a tiempo de E muestre que de dt = 0. Momento anguar de sistema so-tierra E momento anguar es una cantidad que da información de a cantidad de movimiento de un cuerpo cuyo movimiento es de rotación. Se define de a siguiente forma (11) L = r p (1) es decir, es e producto cruz de vector de posición r y e vector de momento p. Dado que e momento anguar es una cantidad vectoria, e momento anguar de sistema so-tierra es un vector y es igua a a suma de os momentos anguares de so y a tierra L = r 1 m 1 r1 + r m r (13) 8. Sustituya as expresiones de r 1, r, r1 y r en esta útima ecuación y obtenga una expresión para L como función de r, R, r y R. Encontrará L = R M R + r µ r (14) Pero habíamos estabecido que e origen de sistema coordenado coincide con e vector centro de masa, por o tanto e primer término de a útima ecuación es cero y eo nos conduce a que e momento anguar es L = r µ r (15) 9. Muestre que L es una constante de movimiento, esto es muestre que se satisface que d L dt = 0. (16) Para hacer esta demostración use e hecho que e producto cruz de dos vectores paraeos es igua a cero y que a derivada de producto cruz es d dt A B = d A dt B + A d B dt. (17) 3

4 E hecho que e momento anguar de sistema so-tierra sea constante impica que L es constante en magnitud y dirección. Anaizamos primero cuá es a consecuencia de que a dirección de momento anguar es constante. Escojamos arbitrariamente que a dirección de L es a o argo de eje z, es decir ˆk. Dado que L = r µ r concuimos que e movimiento tiene ugar en e pano x y. Este hecho es de importancia fundamenta pues significa que en ugar de estudiar e movimiento de sistema tierra-so en tres dimensiones, su descripción se simpifica considereando que dicho movimiento ocurre en dos dimensiones, es decir en un pano. Para describiro, dado su naturaeza, es fáci convencerse que es conveniente usar coordenadas poares. De a figura (1) se observa que os vectores base dichas coordenadas son ˆr = cos θî + sin θĵ y ˆθ = sin θî + cos θĵ. Figure 1: coordenadas poares 10. Más adeante utiizará as derivadas temporaes de os vectores base ˆr = cos θî + sin θĵ y ˆθ = sin θî + cos θĵ. Cacúeas. También muestre que ˆr ˆθ = 0 Aprendimos en a primera parte de curso que caracterizar e movimiento de un cuerpo significa que conocemos su posición y veocidad como función de tiempo. 11. Dado que r = rˆr, derive con respecto a tiempo para encontrar r y r. Debe encontrar r = ṙˆr + r θˆθ y r = ( r r θ ) ˆr + ( ṙ θ + r θ ) ˆθ (18) Note que en e caso de movimiento circuar ṙ = 0 y as expresiones para os vectores veocidad y aceeración se simpifican. Primera ey de Keper Para concuir que a órbita que describe a tierra con respecto a so es una eipse, consideramos a ecuacion (8)y a partir de a expresión para r se encuentra que r r θ = GM r. (19) Esta ecuación es consecuencia de que a fuerza soo tiene componente a o argo de ˆr, es decir, que a dirección de a fuerza es a o argo de a ínea que une a so y a tierra. 1. Muestre que r(θ) = (0) 1 ɛ cos θ 4

5 es soución de a ecuación diferencia (19), donde y ɛ = = L GMµ (1) ( 1 + E ) 1/ () GMµ La soución r = r(θ) dada por (0) es a ecuación de as amadas secciones cónicas, que para > 0, corresponden a un círcuo ɛ = 0, una eipse 0 < ɛ < 1, una paráboa ɛ = 1 y una hipérboa ɛ > 1. Taes figuras tienen a uno de sus focos en e origen (i.e. donde se encuentra e centro de masa y de donde emana a fuerza gravitaciona para a partícua de masa reducida). A parámetro se e ama e semiado recto y a ɛ a excentricidad. La verificación de estas propiedades geométricas concierne a curso de geometría anaítica. Notamos que as órbitas circuares y eípticas describen movimientos panetarios y de satéites, mientras que as paráboas asemejan comportamientos de cometas. Además, de a ecuación () haamos que as órbitas circuares y eípticas corresponden a energías negativas, as parabóicas a energía cero, y as hiperbóicas a energías positivas. En particuar, para a órbita circuar, tenemos que e semiado recto es e radio de a órbita r 0 =, y como ɛ = 0, a energía es a conocida E = GMµ r 0 orbita circuar. (3) En su case de geometría anaítica aprenderá os siguientes aspectos reacionados con as propiedades de una eipse. Para una eipse, θ = π es e acercamiento mínimo, e periheio, y da r min = E afeio es θ = 0 y es e aejamiento máximo, r max = 1 + ɛ. (4) 1 ɛ. (5) E semiado recto ocurre a θ = π/; en su tarea ha trabajado en a gráfica de a ecuación para una eipse en coordenadas poares. Además, a eipse tiene, con obvia notación, un semieje menor b y un semieje mayor a. Muestre que estos están dados por, a = Muestre que e área de una eipse es y que e semiado recto es, 1 ɛ b = 1 ɛ. (6) A = πab = πa 1 ɛ (7) Para e caso de un círcuo de radio r 0, ɛ = 0, y a = b = = r 0. = a(1 ɛ ). (8) 5

6 Segunda Ley de Keper. La ínea que une a un paneta y a So, barre áreas iguaes en tiempos iguaes. Este enunciado no es mas que a conservación de momento anguar y, por o tanto, es váida no sóo para eipses sino para todas a secciones cónicas. Véamos. Considere que en un instante dado e paneta esta en e punto (r, θ) de a órbita. Un tiempo t después estará en e punto (aproximado) por (r, θ + θ). E área A que barrió en e tiempo t, se puede aproximar por un triánguo A 1 r r θ. (9) Por o tanto a veocidad de área, es decir, a tasa con a barre esa área es A t 1 θ r t. (30) Note que e ado derecho depende de punto de a órbita pues r depende de θ. Sin embargo, e ado derecho no es mas que L/µ, que sabemos que es constante por conservación de momento anguar. Por o tanto A/ t es una constante sin importar e punto de a órbita. En e ímite infinitesima, da dt = L µ. (31) Tercera Ley de Keper. E cuadrado de periodo de a órbita es proporciona a cubo de semieje mayor de a órbita. Esta sigue de una combinación de os resutados de a Primera y de a Segunda. Usando a ecuación (31) a integramos en un periodo τ en e que se recorre e área competa A, Usamos as ecuaciones (1), (7) y (8), A da = L µ τ dt A = L τ. (3) µ τ = µa L a 1 ɛ = µπ µ GMa(1 ɛ ). (33) Eevando a cuadrado ambos términos y canceando términos iguaes, haamos, τ = π GM a3. (34) Note que es independiente de a masa de paneta!... es decir, si suponemos que a masa tota es a masa de So. 6

7 Probemas de apicación: 1. La uz soar tarda 8.33 minutos en egar a a Tierra y 43.3 minutos en acanzar Júpiter. Cuá es e período de rotación de Júpiter arededor de So? (considera que as órbitas de ambos panetas son aproximadamente circuares). La Tierra tarda un año en describir su órbita en torno a so. Esta órbita es aproximadamente circuar con radio R= m. Cacua a masa de so. 3. La una es aproximadamente esférica con radio R= m y masa m= kg. (a) Cacua a aceeración de a gravedad en a superficie unar. (b) Si se deja caer una piedra desde una atura de m sobre a superficie unar, cuá será su veocidad a chocar con a superficie? 4. La veocidad de escape de un paneta (en genera de un cuerpo cuaquiera) es a veocidad mínima con a cua debe anzarse un objeto desde su superficie para que egue a infinito. (a) Cacuar a veocidad de escape de un cuerpo anzado desde a tierra. (b) Cacuar a veocidad de escape de un cuerpo anzado desde a una. (c) Ahora considera que a veocidad de escape de cierto paneta es igua a a veocidad de a uz, Cuá debe ser a masa de ese paneta, si su radio es e de a tierra? (expresa esta masa en unidades de masas soares). constante gravitaciona: G = Nm /kg radio de a tierra: R t = m masa de a tierra: M t = kg 7

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