MECANICA CELESTE PASO A PASO

Transcripción

1 MCANICA CLST PASO A PASO (Un nfoqu Pdgógico po Iván Mcín F v3.0 G M m m M Mcánic Nwonin 684 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso Copyig

2 CURRICULUM ( v Cuiculum Dlldo IVAN CARLOS MACHIN MORRA Licncido n Químic, Univsidd Cnl d Vnzul (983. M.Sc. n Químic, Univsidd Cnl d Vnzul (989. P. D. n Químic, Univsidd Cnl d Vnzul (996. Publiccions: 4 pps, Pnn, 30 pos écnicos, 9 psncions n vnos inncionls. xpinci Pofsionl: Univsidd Cnl d Vnzul: ño ( Lbooio Ognomálico n sínsis Ognomálic. SIDOR: ños ( como coodindo dl lbooio d insumnción nlíic. INTVP: ño ( Dpmno Poducos dl Pólo n conol d clidd dl combusibl disl y diivos. 6 ños ( Dpmno Poquímico n simulción d pocsos y disño d cos. 6 ños ( Dpmno d pocsos n Cálisis Compucionl, cinéic y modinámic, modlndo ccions d inés indusil. (999 oy Dpmno d pocsmino d cudos psdos y xpsdos, cinéic y modinámic, modlndo ccions d convsión y cividd d cudos psdos. As d Tbjo: Convsión d mno. Rccions d idomino. Convsión d cudos psdos. Disño d cos. Invsigcions lizds: Modlción cinéic y modinámic d pocsos químicos. bcolción n cividd HDS con pámos d mcánic cuánic. ccolción n ngís d nlc con pámos d mcánic cuánic (Diomic Bond ngy. dpogmción con FORTRA77 (UNIX,WINDOWS- 95 n Mcánic Cuánic, Tmodinámic, Cinéic, disño d cos. xpinci con los pogms d ZINDO y Molcul Simulions MSI. fxpinci n lconic Pmgnic Rsonnc (PR : Cálculos d los nsos giomgnéicos (g-nso y d Incción Hipfins. gapliccions dl Pogm d Mcánic Cuánic CATIVIC (dsolldo n l IVIC n l Lb. d Químic Compucionl po Fnndo Ru, Aníbl Sil, Mol Sáncz los sudios óicos d l incción d mls sob moléculs modlo d sflnos con l objivo d sblc squms d los mcnismos d cción dl pocso d Aquconvsión dsolldo n INTVP p l pocsmino d cudos psdos y xpsdos. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

3 3 Mcánic Cls Pso Pso v3.0 Po Iván Mcín (Insuco d los cusos d Asonomí d Posición dl Plnio Humbold Un nfoqu pdgógico d l Mcánic Cls Copyig Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

4 4 Mcánic Cls Pso Pso Poibid l poducción ol o pcil d s ob, Po culqui mdio, sin uoizción dl dio. DRCHOS RSRVADOS Copyig Impso n Vnzul Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

5 5 DDICATORIA A l mmoi d mi Pd: Su spíuu, o lib d od du mil, nvg los insondbls cmpos sls. Bun vij vijo. Tmpoco m olvido d usds: dudo Albo O Tobís Ais Y muco mnos d i ijo mío: Iván niqu Mcín Hy!! m olvidb d i mnio: Olndo Mcín Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

6 6 AGRADCIMINTOS A Clos Quinn, Coodindo d los Cusos dl Plnio Humbold po dm l opounidd d llv cbo mi poyco d d clss d Mcánic Cls n los cusos nomls qu s dicn n l Plnio. A mis lumnos dl Cuso d Mcánic Cls 005 y 006, y muy spcilmn mis lumnos Anonio Pdón, Flix y Clos Avndño, Fnndo Rojs, Mildd Bniz y Gilbo Cbllo. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

7 7 PRFACIO s Cuso d Mcánic Cls s l suldo d mi cuiosidd po nnd d dónd vnín ls cucions p l cálculo d l posición d objos clss, qu con no mo y smo, m fuon nsñds po mi migo Tobís Ais (un ficiondo l sonomí d posición. Mucs vcs Tobís m dcí d su dso po pod nnd los libos clásicos d Mcánic Cls, po dbido qu connín un silo minnmn mmáico, y dond s cí slos gigns n un cución y o, n l dsollo d los ms, l cín imposibl Tobís y mucs psons cuioss como él, pod nnd los dsollos. s cuso d Mcánic Cls sá diigido qulls psons qu inn s mism cuiosidd po nnd los pincipios qu conoln los moviminos d los sos, y pocudo us un mmáic cuyo nivl s ncun n los cusos básicos d cálculo difncil n ingl d los pimos dos smss d ls cs d Cincis Ingnií. Un spco novdoso dl psn libo s l dducción dlld y pso pso d ods ls cucions fundmnls d l mcánic cls, y s s l zón po l cul pus l íulo d Mcánic Cls Pso Pso s libo. Tmbién ss dduccions son compñds po comios y nos clois l cominzo d cd cpíulo. Finlmn, s mi fvin dso qu qullos qu ln s libo pudn log nnd los dsollos qu psons como Nwon, Lgng y Hmilon n ddo l umnidd, y qu n pmiido no sólo xplic los fnómnos nuls, sino mbién, l conol d ls fuzs d l nulz n fvo dl dsollo d l umnidd. Bun Su!!!!!! Iván Mcín Julio/006. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

8 8 TABLA D MATRIAS Págin Cp0.Inoducción... Cp0.lmnos d óbi... Poblms... Cp03.Pámbulo Nwonino L Ly d gvición d Nwon Plnmino Nwonino dl movimino d los plns Plnmino dl poblm dl sism Sol-Pln Solución numéic dl poblm Sol-Pln... Poblms... Cp04.Rpso mmáico Tigonomí pln Sisms d coodnds csino y pol Rpsnción csin, y cnónic d un vco Dfinición d los vcos dil y ngncil Poducos scl y vcoil: y ly dl á dl pllogmo Divd d un función Divds d vcos Divd dl vco dico dil Divd dl vco dico ngncil Divd dl vco dil Divd sgund dl vco dil Dfinición dl vco l Divd dl vco l: L cución l cución pol d ls cónics: lips, Pábol Hipébol Poblms Cp05.Dducción d l sgund ly d Kpl... Poblms Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

9 TABLA D MATRIAS 9 Págin Cp06. L cución dl movimino obil Dducción d l cución obil Dd F( y dmos l cución dl movimino obil Obn F( inoducindo l función n l cución obil Dd l F( solv l cución obil Comnios sob punos vsus sfs... Poblms... Cp07.Dducción d l cución d l vlocidd obil xpsión gnl d l vlocidd obil Vlocidd obil n l pilio d un óbi Consvción d l ngí mcánic y vlocidd obil... Poblms... Cp08.Ingción d l cución uol Rsolución d l cución uol p l lips Rsolución d l cución uol p l ipébol Rsolución d l cución uol p l pábol... Poblms... Cp09.Dducción d l c ly d Kpl... Poblms... Cp0.Dducción d l cución d Kpl Dmosción d dos oms l poblm dl ángulo bido n óbi cicunfncil xpsión qu conc y xpsión qu conc y xpsión qu concn y : L cución d Kpl... Poblms... Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

10 0 TABLA D MATRIAS Cp.Tnsfomción d coodnds.....coodnds cnguls clípics liocénics.....coodnds cnguls cuoils liocénics....3.coodnds cnguls cuoils gocénics....4.coodnds scnsión c y dclinción... Poblms... Cp.Posición, vlocidd y lmnos d óbi.....poyccions dl vco l u A.....A pi d y v clcul i, Ω y l pámo....3.a pi d, v y clcul y....4.a pi d, v, i, y Ω clcul u,, ω, y PH... Poblms... Cp3.jmplo d Cálculo p l soid 988 TA... Poblms... Anxo-A: Ingción d funcions cionls... Bibliogfí... Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

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13 I Indic 3 Cpíulo. Inoducción. l cuso d Mcánic Cls s un nfoqu Nwonino d l Mcánic Cls y s divid n c cpíulos. l cpíulo 0 s visn ls s lys d Kpl. L pim ly s qu los plns n l sism sol dscibn ycois lípics y dond l Sol s ubic n uno d sus focos. L sgund ly s qu los movimino d los plns son ls qu bn ás iguls n impos iguls. s ly s pud xps como: Δ A k' Δ Dond k s un consn d popocionlidd, Δ s l impo dl coido sob su óbi spco un puno d fnci. L c ly s xps como: P ( II P Dond P, y P, son los píodos y smijs myos d dos plns cul qui dl sism sol. n s cpíulo mbién s dfinn los lmnos d óbi d un objo cls. l cpíulo 03 s un visión d los fundmnos d l físic nwonin, l cul s plicd l movimino d un pln lddo dl Sol. l cpíulo 04 s un visión d mmáics básics po oind l dfinición y dducción d los vcos fundmnls d l mcánic cls. A pi d l dfinición d los vcos dicos (o vcos uniios dil (u y ngncil (u s dducián sus spcivs divds: Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso 3 ( I

14 4.Inoducción u u u u S dfiniá l vco posición ( y s xpsá n éminos d los vcos dil y ngncil: u u ( III L divd pim y sgund dl vco gn los vcos d vlocidd obil (v y d clción (: v u u ( IV u u ( V s dsollo n éminos d los vcos ngncil y dil d los vcos, v y s jusific po l co d qu pmi xps d un mn muco más sncill, los mismos. n lidd s sán xpsndo n coodnds pols sos vcos fundmnls. so como conscunci qu l pln l sgund ly d Nwon p solv l poblm dl movimino dl objo sob su óbi, s gn un cución difncil muco más sncill d solv (v cpíulo 06. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

15 .Inoducción 5 Tmbién n l cpíulo 04 s dduc l cución l qu sblc un lción n l á bid con l ángulo bido y l impo: da d [ v] ua ( VI l cpíulo 05 mpiz po xps n noción difncil l c.(i d l sgund ly d Kpl: da d Compndo ls cucions (VI y (VII no s obvio qu l vlocidd l s un consn. n s cpíulo s c un si d lcions qu pmin dmos qu l divd dl poduco vcoil xv s co, y po lo no, l sgund divd dl á bid s igul co, y como conscunci l vlocidd l s consn: da u A ( VIIA d lo qu s quivln l sgund ly d Kpl. n l Cpíulo 06 s pln l sgund ly d Nwon: Dond m s l ms dl objo n sudio, l s l clción qu dqui l objo po fco d F. Y dond F s l fuz d gvdd n l Sol y l objo cuy fom s l ly d Nwon: k' m F( M m F( 3 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso ( VII ( VIII k ( IX

16 6.Inoducción Dond k s l consn d Guss (s un fom convnin d xps l consn d gvición d Nwon n unidds cods con l ipo d sism. Usndo ls xpsions d y F dds n ls cucions (V y (IX y susiuyéndols n l c.(viii s obin l cución dl movimino obil dl objo: 3 k 0 ( X s s un cución difncil sindo l incógni obn. n s cpíulo s pocd solv s cución difncil, cuy solución pmi dmos qu in l fom d l cución d un cónic y dmás s dmin l fom d. Si s susiuyn l c.(v n l c.(viii s obin: m [ ( ] 3 F( ( XI n s cpíulo s dmus qu si s l cución d un cónic, l fom d F( s l ly d Nwon. n l cpíulo 07 s dduc l vlocidd obil dl objo, pi d l dfinición gnl d l c.(iv: lips : Pábol : v k v Hipébol : v k k Dond s l smij myo d l óbi dl objo. / ( XII Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

17 .Inoducción 7 n l cpíulo 08 s dduc l cución uol pi d l c.(vi (dducid n l cp.04 y dl suldo obnido n l cp.05 (v c.(viia qu l vlocidd l s consn igul / ( s un consn bii cuy fom fu obnid n l cpíulo 06 : ( XIII s s un cución difncil cuy solución pmi obn l posición ngul dl objo como función dl impo. L incógni s l ángulo y qu sá únicmn n función d dico ángulo: p ( XIV ( cos Susiuyndo l c.(xiv n l c.(xiii s obin: I 0 d Δ ( cos ( p ( XV Dond: p q( k p L ingción d (XV gn uns funcions qu concn dicmn ángulo bido con impo d coido. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

18 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso Po jmplo p l lips s obin: n l cpíulo 09 s dduc l ly dl píodo d l óbi (lípic d un objo pi d l cución l (v c.(viia y p s cso dond l objo co odo l óbi Δ P y n conscunci ΔA s igul l á d od l lips (πb: ( ( ( ( ( ( ( ( ' n ' n k q p N M p M N Δ k P b k b P b A P A d da 3/ ( ( π π π Δ Δ Δ Δ Si ( XVII ( XVI.Inoducción 8

19 .Inoducción 9 Tmbién s cpíulo s dduc l c ly d Kpl pindo d l xpsión dl píodo obil p culsqui p d plns y s cumpl: π P k P P P P 3/ 3/ 3/ 3 P π k Dond P y P son los píodos d los plns y spcivmn, sindo l c.(xviii l c ly d Kpl. l cpíulo 0 sob l dducción d ls cucions: Δ ( F PH ( XIX M n Δ ( XX M sin n ss pmin clcul l posición ngul d un objo p un dd fc d inés F. Dond M y son ls nomlís mdi y xcénic, s l xcnicidd, y n s l movimino diio. L PH s l époc dl pso po l pilio. / 3/ ( XVIII n ( XXI ( XXII Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

20 0.Inoducción s insn obsv qu l cución (XXI s l conoc como l cución d Kpl. Obsévs mbién qu l c.(xvi pmi clcul dicmn l ángulo po ls fómuls son ngooss. n cmbio, ls cucions (XIX (XXII pmin mbién clcul po d un mn más sncill. n cpíulo s obndán ls cucions p nsfom ls coodnds sob l óbi dl objo cls (ls culs vinn dfinids po los pámos y, y son d ipo pol ls coodnds scnsión c y dclinción. n cpíulo s dducián ls cucions qu pmiián conoc los lmnos d óbi un objo cls n sudio pi d su posición y vlocidd n un insn. n cpíulo 3 s plicán ls cucions dducids lo lgo d s libo, l cálculo d l scnsión c y dclinción d un objo cls, spcíficmn, s usá como jmplo, l soid 988 TA cuyos lmnos d óbi fuon omdos d l cicul d l IAU (Innionl Asonomicl Union númo 466. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

21 I Indic Cpíulo. lmnos d óbi. Ans d bl d lmnos d óbi, nmos qu mps po mncion ls lys d Kpl. s sónomo logó siniz ls obsvcions d los moviminos d los plns n s lys. L pim ly dic qu los moviminos d los plns nono l Sol, son lipss n dond l Sol s ubic n uno d los focos. n l Fig.. s mus cómo s consuy un lips. n l Fig.. s mus l movimino d un pln y l bido qu c l ángulo ν como función dl impo. Sbindo l vlo dl ángulo p un insn, s posibl sblc l posición dl pln n su óbi. l gn poblm qu uvo qu nfn Kpl fu l d sblc un lción n y l ángulo. s fu l zón po l cul Kpl uvo qu c su sgund ly. L sgund ly d Kpl sblc qu un pln b n su óbi ás iguls n impos iguls. Mmáicmn, s ly s xps como: Δ A k Δ (. Dond ΔA s á bid y Δ s impo nscuido dsd un fnci, v Fig... Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

22 .lmnos d óbi L c Ly d Kpl sblc un lción n l píodo y l l smij myo d ls óbis d los plns: 3 3 P (. P Dond,,P y P son los smijs myos y los píodos d los plns y spcivmn (Smij myo, PPíodo. Kpl ncsi pln s Ly con l id d pod clcul l simij d un pln dsconocido pindo dl píodo y smij d oo pln cuyos pámos son conocidos. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

23 .lmnos d óbi 3 ( Pilio Aflio (b Fig.. Mn sncill d c un lips. b Ilusción d l sgund Ly d Kpl. L Fig..(b mus uns zons oscus cuys s son iguls. l spcio d impo qu ncsi un pln p b dics s s l mismo, ps d qu l sgmno coido n longiud (flc n ojo no s l mismo. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

24 4.lmnos d óbi Los lmnos d óbi d un objo cls son un conjuno d pámos qu dfinn l óbi d un objo. Los lmnos d óbi d un objo cls son su ull digil. Cd objo cls in un conjuno ccísico d pámos o lmnos d óbi. P pod clcul l posición d un objo cls n l cilo (pln, soid o com s ncsin sus lmnos d óbi. S ncsin un ol d sis pámos obils p sblc complmn l óbi d un objo cls: disnci piélic (q, xcnicidd (, époc dl pso po l pilio (PH, longiud dl nodo scndn (Ω, gumno dl pilio (ω, inclinción d l óbi (i. xisn oos pámos complmnios qu son: smij myo (, l píodo (P y l movimino diio (n. n s scción s dfinián odos sos pámos. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

25 .lmnos d óbi 5 Fig.. Los pámos d un lips. Sgún l pim ly d Kpl los objos dl sism sol dscibn óbis lípics nono l Sol. l Sol s ubic n uno d los focos d l lips. L lips s un objo goméico qu dispon d dos focos (f y f, un smij myo (, un smij mno (b, cuo véics (V,V,V,V, un cno (C, un pámo C dfinido como l sgmno d c codo po los punos f y C. Admás in un pámo dnomindo xcnicidd dfinido como l cocin n C y. l vlo d sá n >0 y <. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

26 6.lmnos d óbi V V Fig..3 L cución pol d un lips y dfinicón d dio vco ( y disnci piélic (q. Si l objo sá sob l véic más ccno l Sol (V, s dic qu l objo sá n su pilio o dond l disnci objo-sol s l mno posibl. Si l objo sá sob l véic más ljno V, s dic qu l objo sá n su flio o dond l disnci objo-sol s l myo posibl. l dio vco ( s un vco qu un l objo con l Sol. l módulo d s vco d l disnci n l Sol y objo. L nomlí vdd (ν s l ángulo n l cupo d y l sgmno qu dfin l pilio. L c.( pmi clcul l módulo d como función d ν, y s l conoc como l cución pol d l lips. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

27 .lmnos d óbi 7 Fig..4 Dfinición d époc dl pso po l pilio. L fc cundo l objo cls ps po su pilio, s dnomin époc dl pso po l pilio y s simboliz d vis foms (PHO, T, τ. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

28 8.lmnos d óbi Fig..5 Dfinición d los pámos qu dn cunn d l oinción d l óbi dl objo n l spcio 3D. Dbido qu ods ls óbis dl sism sol inn como foco común l Sol, noncs, ncsimn, los plnos qu coninn ls óbis d odos los objos dl sism sol dbn inscs n sí. n picul, si dfinimos l plno d l óbi d l Ti como l fnci p ls sns óbis dl sism sol, noncs, dics plnos d ls óbis inscn l plno d l óbi d l Ti, gnndo un lín c qu s conoc como l lín d los nodos. Tnmos l nodo scndn cundo l objo mc su pilio y l nodo dscndn cundo l objo s lj d su pilio. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

29 .lmnos d óbi 9 Fig..5 Dfinición d los pámos qu dn cunn d l oinción d l óbi dl objo n l spcio 3D. Dbido qu l óbi dl objo sá n l spcio, s ncsio dfini unos pámos dicionls qu dn cun d l oinción d l óbi n l spcio. l puno vnl s un puno d fnci fundmnl n sonomí, s l puno co d odos los sisms d fncis. L longiud dl nodo scndn (Ω s l ángulo n l sgmno qu conin l puno vnl y l nodo scndn. l gumno dl pilio (ω s l ángulo n l sgmno qu dfin l nodo scdn y l sgmno qu dfin l pilio dl objo. L inclinción d l óbi (i s l ángulo n l sgmno qu conin l pilio y l plno d l óbi d l Ti. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

30 30.lmnos d óbi c.( c.( Fig..6 Sumio d los lmnos d óbi. c.(3 Rsumindo, son sis los pámos qu dscibn l óbi d un objo cls. l smij myo, l xcnicidd, l époc dl pso po l pilio, l longiud dl nodo scndn, l gumno dl pilio y l inclinción d l óbi. xisn oos lmnos óbi complmnios qu s divn d sos sis lmnos y mnciondos, l disnci piélic, l píodo y l movimino diio. L disnci piélic sá lciond con l smij myo po mdio d l c.(. so pmi clcul conocido q. l píodo (P s l impo qu l llv un objo s dscibi un ciclo complo sob su óbi, y s clcul vés d l c.(. l pámo n s l movimino n gdos po dí qu c l objo, y s clcul po mdio d l c.(3. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

31 Poblms..lmnos d óbi Poblms. I Indic 3.Dduci l lción q (- p un lips..dduci l vlo d l consn k d l sgund ly d Kpl (v c.(-. No: l á d un lips s Aπb y l l c.( d l Fig Clcul l vlo dl flio n un óbi lípic. 4.Un pln in un píodo d dos ños. Clcul su smij myo. No: Us l c.(. 5.n qué lug d l óbi d un objo cls s poduc l mno disnci con l Ti. Dduci un cución qu pmi clcul l disnci mínim. No: Us l c.( d l Fig.(.3, y l concpo d nodo d l Fig.(.5. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

32 3.lmnos d óbi Poblms. 6.Un soid A in un movimino diio d 0.5º/dí, y oo soid B in º/dí. Cuál d los dos soids sá más cc d l Ti. Cuál s l vlo dl smij myo d cd soid. 7. P qué sivn los lmnos d óbi? Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

33 I Indic 33 Cpíulo 3. Pámbulo Nwonino. n s scción s sumiá l mcánic Nwonin socid con ls fuzs sponsbls dl movimino d los plns dl sism sol. S plnán ls cucions d Nwon dl movimino d los plns, y s pocdá su solución numéic. F G M m m Mcánic Nwonin 684 M Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

34 34 3.Pámbulo Nwonino 3.. L Ly d gvición d Nwon. I Indic 3.. L Ly d gvición d Nwon. n s scción s sumiá l mcánic Nwonin socid con ls fuzs sponsbls dl movimino d los plns dl sism sol. S plnán ls cucions d Nwon dl movimino d los plns, y s pocdá su solución numéic. Tmbién n s scción s dfiniá l cosnn d Guss qu s un fom pácic d xps ls unidds d los pámos n éminos conguns con l ipo d sism n sudio. Po jmplo, l ms d los objos clss s midn n éminos d ms spco l sol. Ls longiuds, s midn n éminos d unidds sonómics. l impo s mid n éminos d dís sols mdios. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

35 3.Pámbulo Nwonino L Ly d gvición d Nwon. m Módulo dl vco F F F M M m F G Fig.3. L ly d Nwon n fom vcoil. l vco fuz d gvición F s pud xps como l poduco d su módulo (cuyo vlo numéico sá n cudo zul po l vco dico dfinido como l cocin dl vco n l módulo dl vco. l signo mnos s conscunci dl co d qu l vco in snido opuso l vco F. l vco dico dfin l dicción d un vco. Un fom d obn l vco dico socido un ddo vco, s c l cocin dl vco n su spcivo módulo. vco dico Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

36 36 3.Pámbulo Nwonino 3.. L Ly d gvición d Nwon. F P k G M π GM GM m 3 / GM Fig.3. Modologí p vlu l poduco MG po mdio d l c.(3.. L dminción d los pámos bsoluos M y G d l c.(3. s muy complicdo. n su lug s pud vlu l poduco MG po mdio d l c.(3. qu pmi l cálculo dl píodo P dl objo cls (píodo s l impo qu ncsi un objo cls p dscibi su óbi. S dfin l íz cudd dl poduco MG como l consn d Guss k. k (3. (3. (3.3 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

37 3.Pámbulo Nwonino L Ly d gvición d Nwon. P k π k π P 3 / 3 / k GM (3.4 (3.5 Ti UA; P 365.5Dís k k( xco (3.6 (3.7 Fig.3.3 Cálculo dl poduco MG vés d l vlución d l consn d Guss k. Dspjndo l consn d Guss k d l c.(3.4 s obin l c.(3.5 qu pmi l cálculo d k. Si s us l Ti como fnci p clcul k, noncs, P365.5 dís, y l smij myo d l Ti s UA (un unidd sonómic, qu po dfinición s igul 50Millons d Km, po lo no, un vlo d k poximdo lo nmos n l c.(3.6. Un vlo xco d k lo nmos n l c.(3.7 obnido dl xplnoy Supplmn o T Asonomicl pmis, (96, pg. 96. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

38 38 3.Pámbulo Nwonino 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. I Indic 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. S plnán ls cucions d Nwon dl movimino d los plns, po mdio d l composición d ls fuzs d incción gvicionl d los componns dl sism sol sob l objo cls d inés (com, soid o pln. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

39 3.Pámbulo Nwonino 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. 39 x 4 9 z p ( x p, y p p ( x, y, z (3.0 p 3 p ( xp x i ( yp y j ( zp z k 6 p p ( xp x ( yp y ( zp z 7 (Sol y, z p (3.9 (3. Fig.3.4 Dfinición d los vcos d posición d ls pículs p y qu fomn p d un sism d N pículs. l sism d fnci csino xyz pmi sblc l posición d cd un d ls pículs dl sism vés d los vcos d posición mosdos n l Fig.(3.4. Po jmplo l vco p sblc l posición d l pícul p spco l oign (dond sá ubicd l pícul qu s l Sol. l módulo dl vco p conin l disnci n l pícul y l p. n l c.(3.9 y l c.(3.0 sán ls psncions csins d los vcos p y. L c.(3. mus cómo clcul l módulo dl vco p qu conin l disnci n l pícul y p. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

40 40 3.Pámbulo Nwonino 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. x 4 z F p 3 6 F p 7 (Sol p 9 y F F F p (3. jp (3.3 jp (3.4 F j m G jp j jp G m m p p m j 3 jp jp jp jp Fig.3.5 Dfinición d los vcos d l fuz d incción gvicionl d ls pículs y sob l pícul p qu fomn p d un sism d N pículs. P clcul l volución con l impo d l pícul p, po jmplo, s db sblc ods ls fuzs d incción dl sism d N pículs sob l pícul p. ss fuzs d incción son, n s cso dl sism Sol, ls fuzs d l gvición. n l Fig.(3.5 s ilusn los vcos d l fuz gvicionl Fp d l pícul (l Sol sob p, y l fuz gvicionl d l pícul sob P. S ncsi sblc odos los vcos d fuz gvicionl d ls N- pículs dl sism sob l pícul p. s opción s simboliz n l c.(3., dond Fp s l fuz n qu sin p dbido l fco d ls fuzs d incción d ls N- pículs dl sism. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

41 3.Pámbulo Nwonino 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. 4 x 4 z F p 3 6 F p 7 (Sol p 9 y F F F p (3. jp (3.3 jp (3.4 F j m G jp j jp G m m p p m j 3 jp jp jp jp Fig.3.5 Dfinición d los vcos d l fuz d incción gvicionl d ls pículs y sob l pícul p qu fomn p d un sism d N pículs. S ncsi sblc odos los vcos d fuz gvicionl d ls N- pículs dl sism sob l pícul p. s opción s simboliz n l c.(3., dond Fp s l fuz n qu sin p dbido l fco d ls fuzs d incción d ls N- pículs dl sism. L fuz d incción dl p jp (Fjp s pud vlu vés d l c.(3.3. s úlim cución s complmn quivln l c.(3.4. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

42 4 3.Pámbulo Nwonino 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. F F F F p p p p j G G k F jp m M p k m m p j p j m j j 3 jp Rm j jp m M 3 jp j jp Rmj jp 3 jp (3.5 (3.6 (3.7 (3.8 Fig.3.6 Dducción d l cución dl vco Fp n unidds gussins, c.(3.8 l vco Fjp qu s l incción gvicionl d l pícul j sob l pícul n sudio p, y cuy fom mmáic sá xpsd n l c.(3.4. Susiuyndo s cución n l c.(3.5, s obin l c.(3.6. s cución s db xps n unidds gussins. P so s pocd dividi y muliplic po M (ms Sol l c.(3.6 p obn l c.(3.7, qu po odnmino s obin l c.(3.8 y dond Rmj s l cocin mj/m. l poduco GM s igul k l consn d Guss l cuddo. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

43 3.Pámbulo Nwonino 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. 43 F F F d p p p d k p j m p F jp k m p p j j m p Rm Rm d j 3 jp j d 3 jp p jp jp (3.9 (3.0 (3. (3. Fig.3.7 Dducción d l cución difncil dl vco p n unidds gussins, c.(3. D confomidd con l sgund ly d Nwon (Fm, l vco Fp s pud xps como s v n l c.(3.. s cución s susuuy n l c.(3.0 qu dspués d simplific l ms dl objo p (mp, y qu pc n mbos ldos d l cución, s obin l c.(3. qu s un cución difncil vcoil p l posición dl objo (p. L solución d s cución difncil pmi obn l vco d posición dl objo p como función dl impo. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

44 44 3.Pámbulo Nwonino 3.. Plnmino Nwonino dl movimino d los plns. d p d d d d jp d d d x y z p k k k k j z ( x x i ( y y j ( z z k p p p x p j i y p p j j j j Rm p k Rm Rm Rm j 3 jp j j j j jp ( x 3 jp ( y ( z 3 jp j 3 jp j j p x y z p p p j p (3.3 (3.4 (3.5 (3.6 Fig.3.8 Dscomposición d l cución difncil (3.3 n sus componns csins. L c.(3.3 s db dscompon n sus componns csins p pod solv s cución difncil. Ls cucions (3.4 y (3.5 son ls psncions csins d los vcos p y jp. Susiuyndo ss cucions n l c.(3.3, s obin l c.(3.6 qu s o fom d psn l c.(3.3 n éminos d componns csinos. L c.(3.6 s un sism d cucions difncils, cuy solución dá los componns dl vco p como conscunci d l incción d los N- componns dl sism. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

45 I Indic 3.Pámbulo Nwonino Plnmino dl poblm dl sism Sol-Pln Plnmino dl poblm dl sism Sol-Pln. L c.(3.6 s un cución gnl qu pmi solv l poblm dl movimino d un pln p po fco d los sns componns dl sism sol incluyndo l Sol. Nwon incpz con l mmáic d su époc solv s complicd cución difncil. Sin mbgo, Nwon quí dmos qu s cución conin l movimino lípico sblcido po l pim ly d Kpl. Nwon plnó un poblm simpl, l poblm dl sism Sol-Pln. Tmbién llmdo l poblm d un cupo. Y qu como l Sol sá fijo n l oign dl sism d fnci usdo p dscibi l posición d ls pículs dl sism, noncs, sólo s muv l pícul, y s movimino s d l mn, qu ocu n dos dimnsions. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

46 46 3.Pámbulo Nwonino 3.3. Plnmino dl poblm dl sism Sol-Pln. d d x m d d Rm x y p p y k k M M M z Rm Rm 0 ( x 3 p ( y 3 p x y p p (3.7 Fig.3.9 cución difncil (3.7 plicbl l incción dl Sol sob l pícul p n sus componns csins. Si s ds sudi l incción dl Sol (pícul j sob l pln p, dspcindo l so d ls pículs dl sism (l so d los plns, l c.(3.6 s duc l c.(3.7, dond Rm (pícul j. Dbido qu l ms dl Sol s nom fn ls mss dl pln p (y los sns plns dl sism, s dic qu l sism mcánico cospond un sism d cupo cnl, s como si subiésmos sudindo, l poblm d un cupo (n s cso p dsplzándos spco l Sol fijo y no un sism d dos cupos (Solp moviéndos spco l cno d ms fijo. n os plbs, l cno d ms d s sism sá pácicmn sob l Sol, y sndo mbién l oign dl sism d fnci csino n l Sol (x y z 0. s buno mncion qu un sism d un solo cupo ncsi sólo dos coodnds p dscibi su movimino. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

47 3.Pámbulo Nwonino Solución numéic dl poblm Sol-Pln Solución numéic dl poblm Sol-Pln. L c.(3.7 s un cución difncil qu pmi solv l poblm dl movimino d un pln p po fco dl Sol. Nwon solvió d mn numéic s cución difncil, y n s scción vmos dscibi l pocdimino numéico p su solución. s buno llm l nción qu s méodo s usdo oy n dí p c l sguimino d los sélis qu nvimos oos plns gcis l pod d ls compudos. n l f.( (v Bibliogfí s mus muy dlldmn l cálculo numéico d un óbi. L solución d l c.(3.7 s pud c po mdio d un oj d cálculo siguindo los pocdiminos numéicos dscios n s scción. Tmbién l lco pud us l pogm Nwon qu gn un bl con ls coodnds dl pln, ls culs pudn s llvds un oj d cálculo y c l gáfic cospondin. I Indic Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

48 48 3.Pámbulo Nwonino 3.4. Solución numéic dl poblm Sol-Pln. d d p d p d x y k k x p 3 p y p 3 p (3.8 x p ( x ( 0 p x p y p z p (3.9 p vx p ( 0 Δ x p ( 0 Δ ( vx p ( vx ( 0 x ( 0 Δ... p p (3.3 Fig.3.0 Solución d l cución difncil (3.8 po mdio dl méodo d dsollo n sis. L cución difncil (3.8 s pud solv plicndo l méodo d los dsollos n sis d Tylo. L nuv posición x( s obin po mdio d l c.(3.30 qu sum qu son conocidos los vlos d x(0, vx(0 (vlocidd y x(0 (clción d p p l insn inicil 0. Dond x(0 s clcul d l c.(3.8 y qu l divd sgund s jusmn l clción. L nuv vlocidd vx( s clcul po mdio d l c.(3.3. cucions y pocdiminos simils s plicn p l cálculo d y(, vy( y y(. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

49 3.Pámbulo Nwonino Solución numéic dl poblm Sol-Pln. d d p d p d x y k k x p 3 p y p 3 p (3.8 x p ( x ( 0 p x p y p z p (3.9 p vx p ( 0 Δ x p ( 0 Δ ( vx p ( vx ( 0 x ( 0 Δ... p p (3.3 Fig.3.0 Solución d l cución difncil (3.8 po mdio dl méodo d dsollo n sis. Obsévs qu ls c.(3.30 y (3.3 pmin l cálculo d l nuv posición y vlocidd 0 Δ, po, dond Δ db s suficinmn pquño como p psindi dl so d los éminos d l si d Tylo y qu si Δ s pquño (un vlo dciml pquño, noncs, l Δ s más pquño, y l Δ 3 s ún más pquño. so sgu qu s pud limin los éminos d odn supio, sin mbgo, l volumn d cálculos n l impo inicil (0 y l impo finl (f s nom, d co, l cnidd d ciclos d cálculo s igul (f-0/ Δ, y dond cd ciclo d cálculo sá psndo po ls opcions d l Fig.(3.0. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

50 50 Poblms. 3.Pámbulo Nwonino Poblms..Usndo l pogm Nwon.fo solv l cución difncil (3-8 siguindo los poocolos y pocdiminos d l scción (3.4 p un objo con posición inicil x00.5, y00; vlocidd incil vx00, vy0.63, scog l pámo Δ con un mño convnin (suficinmn pquño ing n 0 y un impo finl suficinmn lgo como p gn un óbi compl. Us un oj d cálculo ipo XCL p gfic ls coodnds y vsus x p v l óbi. Clcul los pámos obils, q,. Cómo s podí clcul l pámo Ω. Inoduci los dos n Nwon.d y lugo co l pogm Nwon.x p v los suldos n Nwon.ou. No: n s poblm s sum po convninci qu l consn d guss k s igul uno. Tmbién obsv qu l cálculo d Ω implic l gnción d l óbi d l Ti, po s l fnci d los lmnos d óbi i, ω, Ω..Rsolv l Poblm- usndo un oj d cálculo ipo XCL. V l oj Nwon.xls. 3.Si l solución numéic d l Fig.3.0 s suficin p dmos l mcánic d Nwon p los plns. noncs, p qué c fl un cuso d mcánic cls? Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso I Indic

51 3.Pámbulo Nwonino Poblms Po qué zón db s sul l cución difncil (3-8?, po qué no s suficin sb l clción o cundo más sb sólo l vlocidd? No: n físic son mdibls l ms, l longiud y l impo. l so son nidds concpuls. 5.scib lguns líns sob sus ids cc dl binomio cus-fco. Qué sá socido l cus?. Qué sá socido l fco? No: Rcod qu ls fuzs gnn l movimino d ls pículs. 6.Inp l siguin snnci d Lplc: Todos los fnómnos nuls s pudn duci n éminos d pículs inccions n pículs. No: V l Fig.3.5 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

52 5 I Indic Cpíulo 4. Rpso Mmáico l psn cpíulo s un visión d l mmáic básic qu s ncsi n l dsollo d los pincipios d l mcánic. n s cpíulo y lo lgo d odo l libo s usán ls siguins convncions. Ls divds d ls funcions s xpsn con un puno ncim dl símbolo d l función. Po jmplo l divd con spco l impo d l función f( s xps como: df d f ( Los vcos s scibn n ngill. Po jmplo l vco d posición s xps como:. L divd con spco l impo dl vco s xps como: d d Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

53 4. Rpso Mmáico 4.0. Tigonomí Pln I Indic 53 Fig.4.0 Nocions básics d igonomí pln. Ls ls,b,p y q psnn ángulos. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

54 54 4. Rpso Mmáico 4.0. Tigonomí Pln c B A b C b C c B Fig.4.0: Coninución Nocions básics d igonomí pln. Ls ls myúculs psnn ángulos y ls ls minúsculs psnn ldos d iángulos. L l p psn un consn bii. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

55 I Indic 4. Rpso Mmáico Sisms d coodnds csino y pol. Rgl d ls Poyccions: L poycción d con l ángulo s cos, y l poycción d fvo dl ángulo s sin. Módulo d P(xp,yp P(, xp cos yp sin sn( yp y P(xp,yp xp cos( Módulo d x Fig.4. Rlción d los sisms d coodnds csino y pol p l plno. l puno P s pud psn n un plno csino po mdio dl p odndo (xp,yp. Tmbién s pud xps n fom pol mdin l dio vco y l ángulo. L lción n los sisms d coodnds csino y pol n l plno s: xp cos (4. yp sin Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

56 56 4. Rpso Mmáico 4.. Sisms d coodnds csino y pol. P(xp,yp,zp P(,,φ xp cosφ cos yp sinφ cos zp sin y xp zp z φ yp P(xp,yp,zp y Fig.4. Rlción d los sisms d coodnds csino y pol p l spcio. Dond s l poycción sob l plno xy dl vco. L lción n los sisms d coodnds csino y pol n l spcio s: xp cosφ cos yp sinφ cos zp sin (4. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

57 I Indic 4. Rpso Mmáico Rpsnción csin, y cnónic d un vco. Rpsnción Cnónic dl vco : Rpsnción Csin dl vco : (xp,yp y xpi ypj P (xp,yp i (,0 j (0, yp j i xp x Fig.4.3 Rpsnción csin y cnónic dl vco. Un vco s un objo mmáico qu conin infomción sob l mgniud y dicción d lgún pámo. Po jmplo, l dio vco, conin infomción d l disnci objo-sol y l dicción n l spcio (spco un sism d fnci dond s ubic l objo cls (n s cso l objo s l puno P d l figu. Un scl s un nidd qu sólo in infomción d mgniud. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

58 58 4. Rpso Mmáico 4.. Rpsnción csin, y cnónic d un vco. Rpsnción Cnónic dl vco : xpi ypj Mgniud dl vco : y xp yp P (xp,yp i (,0 j (0, yp j i xp x Fig.4.4 Cómo obn l infomción d l mgniud dl vco. P obn l infomción d l mgniud dl vco, s pocd c l íz cudd dl cuddo d los componns dl vco, n s cso xp yp, son ls componns dl vco : xp yp (4.3 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

59 4. Rpso Mmáico Rpsnción csin, y cnónic d un vco. Rpsnción Cnónic dl vco : Mgniud dl vco : xp yp y i (,0 j (0, xpi ypj P (xp,yp Dicción dl vco : xp u i yp yp j j i xp x Fig.4.5 Cómo obn l infomción d l dicción dl vco. P obn l infomción d l dicción dl vco, s pocd dividi l vco n su mgniud o módulo. L dicción s oo vco simbolizdo como u ( u d uniio y s llm dico: xp u i yp Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso j (4.4

60 60 4. Rpso Mmáico 4.3. Dfinición d los vcos dil y ngncil. I Indic u u j O y i u u P(, x Fig.4.6 Dfinición d los vcos uniios dil u y ngncil u l vco uniio dil u s un vco dico qu conin l dicción dl vco. l vco ngncil u s un vco dico qu conin l dicción d l ngn l puno (dond s ubic l objo d l cuv d l cuv d l ycoi dl objo. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

61 4. Rpso Mmáico Dfinición d los vcos dil y ngncil. y 90- u j O 90 u i x Fig.4.7 Tnslción d los vcos uniios dil u y ngncil u l oign dl sism d fnci. S mus l lción n los vcos uniios con los vcos cnónicos i y j. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

62 6 4. Rpso Mmáico 4.3. Dfinición d los vcos dil y ngncil. y u u sin u O x u cos Fig.4.8 Poycción dl vco dil u sob los js x y csinos. l vco uniio dil u s pud poyc sob los js x y siguindo l gl d ls poyccions: u [ i j] u cos sn (4.5 Dbido qu u s uniio, su módulo u s igul uno. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

63 4. Rpso Mmáico Dfinición d los vcos dil y ngncil. 90 u sn u u cos( 90 y u x u cos sn( 90 Fig.4.9 Poycción dl vco ngncil u sob los js x y csinos. l vco uniio ngncil u s pud poyc sob los js x y siguindo l gl d ls poyccions spco l ángulo 90-: u [ sn i cos j] u (4.6 Dbido qu u s uniio, su módulo u s igul uno. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

64 64 4. Rpso Mmáico 4.3. Dfinición d los vcos dil y ngncil. y 90- u j u O 90 i P x u u ( u u [ cos( ( i sn( ( j] [ cos i sn j] [ sn i cos j] Fig.4.0 Sumio d ls poyccions d los vcos u,u y sob los js x y, sí como su psnción cnónic i y j. Obsévs qu l ángulo dpnd dl impo. Y qu l pícul P s muv dndo lug un ycoi. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

65 I Indic 4. Rpso Mmáico Poducos scl y vcoil: Apliccions l á d un pllogmo. A A B B Poduco scl A B A B cos Módulo dl vco A Módulo dl vco B Fig.4. Dfinición dl poduco scl d los vcos A y B. l poduco scl gn un númo o scl. l poduco scl psn l poycción dl vco A sob l vco B (v flc n colo ojo. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

66 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso 4.4. Poducos scl y vcoil: Apliccions l á d un pllogmo Poducos scl y vcoil: Apliccions l á d un pllogmo. Fig.4. Popidds dl poduco scl. Dond m s un scl. ( ( ( ( ( sí n ppndiculs son A y B B A B B A A B A k j i B y k j i A Ddos i k k j j i k k j j i i B A B A B A B A C A B A C B A A B B A B B B A A A B A B A B A B B B A A A m m m m 4. Rpso Mmáico 66

67 4. Rpso Mmáico Poducos scl y vcoil: Apliccions l á d un pllogmo. A B u B A Poduco vcoil A B A B sn u Módulo dl vco A Módulo dl vco B Fig.4.3 Dfinición dl poduco vcoil d los vcos A y B. l poduco vcoil gn oo vco (vco AxB ppndicul l plno qu conin los vcos A y B. l módulo dl vco AxB s ABsn, y l vco u s l vco dico dl vco AxB. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

68 68 4. Rpso Mmáico 4.4. Poducos scl y vcoil: Apliccions l á d un pllogmo A B B A A m ( B C A B A C ( A B ( ma B A ( mb ( A B i i j j k k 0 i j k, j k i, k i j m Ddos A Ai Aj A3k y B Bi Bj i j k 7. A B A A A3 B B B3 8. l módulo A B psn l á dl pllogmo d ldos A y B. B3k 9. A B 0 A y B son colinls n sí Fig.4.4 Popidds dl poduco vcoil. Dond m s un scl. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

69 4. Rpso Mmáico Poduco scl, vcoil Apliccions dl á d un pllogmo. A B Bs A dl pllogmo B ( A sn B A B Fig.4.5 Dmosción qu l á d un pllogmo s igul l módulo dl poduco vcoil AxB. l módulo d un vco s psn quí po mdio d dos sgmnos pllos d l fom.n los xos d gomí l á dl pllogmo s l poduco d l p c po l longiud d l bs. l pámo s igul Asn, mins qu l longiud d l bs s igul l módulo dl vco B. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

70 70 4. Rpso Mmáico 4.4. Poduco scl, vcoil Apliccions dl á d un pllogmo. A A dl Tiángulo ΔA B [ ( Δ ] Δ o Δ ΔA P(Δ,Δ Δ P(, Fig.4.6 Aplicción d l ly dl á dl pllogmo l movimino d un pícul n un ycoi. l á ΔA ncd po los s vcos qu confomn un iángulo (n colo modo, s pud xps n éminos d l ly dl á dl pllogmo (l iángulo d l figu in un á igul l mid d un pllogmo: Δ A [ ( Δ ] (4.7 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

71 4. Rpso Mmáico Poduco scl, vcoil Apliccions dl á d un pllogmo. ΔA [ ( Δ ] Δ o Δ ΔA P(Δ,Δ Δ P(, Fig.4.7 Aplicción d l ly dl á dl pllogmo l movimino d un pícul n un ycoi. Δ A [ ( Δ ] (4.7 s cución s pud dsoll sgún l gls dl poduco vcoil: ΔA 0 ΔA [ ( Δ ] [ Δ] [ Δ] [ Δ] (4.8 (4.9 (4.0 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

72 7 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. I Indic dy dx lim 0 Δx Δy Δx y' y f '( x df dx dy dx Fig.4.8 Noción d l divd d un función. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

73 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. 73 f(x Tngn l puno M. L c. d l c ngn: y mxb Dond m s l pndin. ym (xm,ym Δx Δy α β xm Fig.4.8 Qué s un divd? Dsd l puno d vis goméico l divd s l pndin d l c qu oc un puno d un cuv (n s cso s l c n colo ojo qu oc l puno M n colo vd. L divd s l pndin d l c ngn un puno d un cuv s dfin como: m df ( x dx xm nα Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

74 74 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. F(x sin cos log F (x x x x x x x cos sin x x k 0 x x / x / x Fig.4.8b Tbl d ls divds d ls funcions comuns. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

75 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. 75 (x (x f ( x g( x f '( x g'( x k f (x k f '( x f ( x g( x f '( x g( x f ( x g'( x f ( g( x g' ( f ( x f '( x f ( x g( x f '( x g( x [ g( x ] f ( x g'( x Fig.4.8c Tbl d ls opcions básics con ls divds d ls funcions. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

76 76 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. f(x x y xp p(0,yp Tngn l puno p y mx b m m m df ( x dx d dx ( x ( x 0 x 0 x 0 x xp m Fig.4.8d Aplicción d ls divds p l cálculo d l cución d l c ngn l puno p. L cución gnl d un c s: df ( x dx y m x b L pndin d l c ngn l puno P d l cuv f(x s dfin como: d ( x ( x 0 x 0 x 0 xp dx L cución d l ngn s: y y p Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

77 4. Rpso Mmáico Divd d un función. Fig.(A y Disnci coid y mx b Fig.(B x x x3 x4 x 0 x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 x x Fig.4.8 L fig.(a s un gáfic d posición vs impo divdo dl sudio d un móvil qu s dsplz po l msón d l figu (B. Si l vlocidd dl móvil s consn, l gáfic d l fig.(a s un c cuy pndin s l vlocidd dl móvil. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

78 78 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. Fig.(A y3 y Disnci coid y f(x p Fig.(B x x x3 x4 x 0 x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 x x Fig.4.8f L fig.(a s un gáfic d posición vs impo divdo dl sudio d un móvil qu s dsplz po l msón d l figu (B. Si l vlocidd dl móvil s vibl, l gáfic d l fig.(a s un cuv y l divd n cd puno s l vlocidd dl móvil. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

79 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. 79 Fig.(A Rc ngn y mxb y3 y Disnci coid y f(x p v( x3 Vlocidd n p df ( x dx x3 m Fig.(B x x x3 x4 x 0 x x x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x0 x x Fig.4.8g Si l vlocidd dl móvil s vibl, l gáfic d l fig.(a s un cuv y l divd n cd puno s l vlocidd dl móvil. n picul, l vlocidd n l puno p (v(x3 s l divd d f(x vlud n dico puno. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

80 4. Rpso Mmáico Divd d un función. y f ( u( x x u( x f ( u( x y' f '( u u'( x Divd d l función xn (spco l vibl u Divd d l función inn (spco l vibl x Fig.4.9 Dfinición d función compus y cómo s clcul su divd. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

81 8 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. y ln(sin x u sin x f ( u ln( u y' f '( u u'( x f '( u u u'( x cos x y' u cos x sin x cos x co ngx Fig.4.0 Aplicción d l divd d un función compus. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

82 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. 8 y cos ( u ( f ( u cos( u y' f '( u u'( f '( u sin u sin ( u'( '( y' ( sin ( '( y' '( sin ( Fig.4.0 Aplicción d l divd d un función compus. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

83 83 4. Rpso Mmáico 4.5. Divd d un función. p ( cos ( u( ( v( u cosu p f ( v v ' f '( v v'( u u'( f '( v p v v'( u v'( u u'( '( ' ( cosu (' ( cosu ' 0 ( cosu ( cosu ' ( cosu ' sinu p ' v psin ' ( cos ' p v ( sinu '( ' p v '( Fig.4.0 Aplicción d l divd d un función compus. p v ' Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

84 4. Rpso Mmáico 4.6. Divds d vcos. I Indic 84 Función vcoil ( u x( u i y( u j z( u k d du dx( u du i dy( u du j dz( u du k Divd dl vco spco l vibl scl u Fig.4. Divd d un vco. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

85 85 4. Rpso Mmáico 4.6. Divds d vcos d du d du d du d du d du d du ( A B ( A B ( A B ( φa da db du du db da A B du du db da A B du du da dφ φ A du du dc db da A B A C B C du du du dc db da du du du { A B C} { A ( B C } A B A C ( B C Fig.4. Fómuls d divción con vcos. Dond A,B y C son funcions vcoils. Dond φ s un función scl. l odn d los fcos s impon p l poduco vcoil. Los opdos y x psnn poduco scl y vcoil spcivmn. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

86 4. Rpso Mmáico 4.7. Divds dl vco dil. I Indic 86 u u d d ( [ cos( ( i sn( ( j] [ cos i sn j] [ sn i cos j] u u u u d d d d d d d d [ cos i sn j] d d ( cos i ( sn d d j ( sn i ( cos j [ sn i cos j] u u u V Fig.(4-8 y (4-9 Fig.4.3 Divd dl vco uniio dil u Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

87 87 4. Rpso Mmáico 4.8. Divd dl vco ngncil. I Indic u u d d u u u ( [ cos( ( i sn( ( j] [ cos i sn j] [ sn i cos j] d u d d d d d d d [ sn i cos j] d d ( sn i ( cos d d u j ( cos i ( sn j [ cos i sn j] u u u V Fig.(4-8 y (4-9 Fig.4.4 Divd dl vco uniio ngncil u Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

88 4. Rpso Mmáico 4.9. Divd dl vco dil. I Indic 88 u u d d d d d d d d d d d d d( d d( u d d( u d u u { ( [ cos( ( i sn( ( j] } d( u d ( [ cos( ( i sn( ( j] [ cos i sn j] [ sn i cos j] [ cos( ( i sn( ( j] ( [ cos( ( i sn( ( j] d ( d d ( d d ( u d [ cos( ( i sn( ( j] [ sn( ( i cos( ( j] Fig.4.5 Divds dl vco qu quivl l vco vlocidd y l cul s xps n función d los vcos uniios: u, u d d u u V Fig.(4-8 y (4-9 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

89 89 4. Rpso Mmáico 4.9. Divd dl vco dil. [ cos( ( i sn( ( j] ( d d d d d d d d d d d d { ( [ cos( ( i sn( ( j] } d d d d [ cos( ( i sn( ( j] [ cos( ( i sn( ( j] [ cos( ( i sn( ( j] [ sn( ( i cos( ( j] d d cos sn i sn cos j d d d d cos sn i sn cos j d d Fig.4.6 Divds dl vco qu quivl l vco vlocidd y l cul s xps n función d los vcos uniios: i, j Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

90 4. Rpso Mmáico 4.9. Divd dl vco dil. 90 C V y F m j u u O i x Sism d fnci ocionl u u Sism d fnci fijo d d cos sn i sn cos j d d Fig.4.7 Inpción goméic dl vco vlocidd v y su lción con los dos sisms d fnci, l Rocionl (vcos u, u y l Fijo (vcos i, j. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

91 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso Fig.4.8 Divd dl vco qu quivl l vco clción y l cul s xps n función d los vcos uniios: u, u u u u u u u u u u u u u u u u d d d d d d d d d d d d d d d d u u u u 4. Rpso Mmáico 4.0. Divd sgund dl vco dil. V Fig.4.3 V Fig I Indic

92 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso Fig.4.8: Coninución. Divd dl vco qu quivl l vco clción y l cul s xps n función d los vcos uniios: u, u u u u u u u u u u d d d d d d d d u u u u u Rsumindo los suldos. 4. Rpso Mmáico 4.0. Divd sgund dl vco dil. u u u u u u u 9

93 93 4. Rpso Mmáico 4.. Dfinición dl vco l. I Indic Módulo dl vco l ΔA Δ o Δ ΔA P(Δ,Δ Δ P(, Vco l ΔA Δ Fig.4.9 Dfinición dl vco l ΔA. s vco s ppndicul l plno d l óbi dl objo P. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

94 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso 4.. Divd dl vco l: L cución l. Fig.4.30 Dducción d l cución l (vco d l vlocidd l da/d y dfinición dl vco uniio u A. u u u u u ΔA ΔA Δ ΔA Δ ΔA Δ Δ Δ Δ u u 0 u u A u u u A ΔA Δ Δ 0 lim d d A u u u v A d d 4. Rpso Mmáico c. Al u V Fig I Indic

95 95 4. Rpso Mmáico 4.3. cución pol d ls cónics. I Indic p ( cosν p q c < ( f c f q ν Fig.4.3 Dfinición d l cución gnl d ls cónics (cución pol y su plicción l lips. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

96 4. Rpso Mmáico 4.3. cución pol d ls cónics. 96 p ( cosν p q f c f q ν Fig.4.3 Dfinición d l cución gnl d ls cónics (cución pol y su plicción l pábol. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

97 97 4. Rpso Mmáico 4.3. cución pol d ls cónics. p ( cosν p q c < ( f ν c f Fig.4.33 Dfinición d l cución gnl d ls cónics (cución pol y su plicción l ipébol. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

98 Poblms. 4. Rpso Mmáico Poblms. I Indic 98.Dmos usndo igomí l ly d ls poyccions d l Fig.4.. No: Us ls dfinicions d sno y cosno d un iángulo cángulo..dmos usndo l ly d ls poyccions ls nsfomcions dl sism pol l ccino d l Fig.4.. xpi ypj 3.Dmos qu s quivln (xp,yp No: Us ls siguins idnidds. i (,0 j (0, Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

99 99 4. Rpso Mmáico Poblms. 4.Mdin l uso d l cucions d nsfomción xcos, ysn (v c.(4., dmos qu l cución n coodnds ccins: d d x( d y( i d d d No: Us ls siguins idnidds. j S pud duci l siguin cución n coodnds pols: u u u u ( [ cos( ( i sn( ( j] [ cos i sn j] [ sn i cos j] 5.l módulo dl dio vco d un lips s xps como p/(-cos. xps l dio vco n fom pol, ccin y cnónic. D qué o fom s pud psn l dio vco? Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

100 4. Rpso Mmáico Poblms Un pícul s muv lo lgo d un lips p/(-cos d l mn qu d/dα (un consn. ncon ls componns dil y ngncil d l vlocidd y clción. No: Us ls siguins idnidds. u u u u Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

101 Cpíulo 5. Dducción d l sgund Ly d Kpl n s cpíulo s v dduci l sgund ly d Kpl pi d l cución l qu fu dducid n l Cp.04 (v Fig L sgund ly d Kpl in un xpsión mmáic sncill: ΔA k Δ. Dond ΔA s l á bid y Δ s l impo nscuido p b l á ΔA. l poblm sid n qu l cución l no mus d mn obvi qu conin l sgund ly d Kpl. l uco sá n c l divd d l cución l, y l suldo pmi v qu l divd d l divd dl á bid (d A /d s co, lo qu implic qu A s consn. s suldo llv d mn dic l sgund ly d Kpl. I Indic 0 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

102 0 5. Dducción d l sgund ly d Kpl. Sgund Ly d Kpl: Los plns s muvn nono su óbi d l mn qu bn ás iguls n impos iguls. ΔA k' Δ ΔA º Ly Kpl k' Δ Si Δ P( Piodo ΔA P 365.5dis A πb π π k' ( P ( πq ( P A( Alips da d A [ v] c.al Fig.5. xpsión d l sgund ly d Kpl, y su compción con l cución l. No s obvio qu l cución l conin l ly n cusión. Kpl con l infomción qu disponí n su époc pudo sblc l vlo d k. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

103 5. Dducción d l sgund ly d Kpl. 03 d A d m F m v m v v da d d d d d 0 A A Fu Fu m A v F Fu d d (5. (5.3 [ v] [ v] Fig.5. 0 v 0 Dducción d l sgund ly d Kpl pi d d l dmosción qu l divd dl vco A s co. Si s muliplic vcoilmn l c.(5. po s obin l c.(5. qu implic l c.(5.3. Divndo spco l c.(5.4 s obin l c.(5.5 implic qu l vlocidd l s consn. da 0 A k' k' d (5. V Cp.04 Fig.4.30 (5.4 0 (Poduco vcoil d dos vcos colinls v v (5.5 lqqd Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

104 04 I Indic Cpíulo 6. L cución dl movimino obil n s cpíulo s v dduci l cución dl movimino obil: m [ ( ] 3 F( Dond F( s l función qu d l fuz d incción Sol-Pln. Obvimn, s F( s l Ly d Nwon d l Gvdd. s s cución difncil qu gobin l movimino d un pln nono l Sol. Un vz dducid s cución fundmnl p l sonomí d posición, s pocdá l vificción d sus consisnci y po úlimo su solución. L vificción d l consisnci signific qu dd F( y s inoducián n l cución dl movimino obil con mis v si s cumpl l iguldd. so pmiiá sblc l fom d l consn. L o vificción implic dd l función, s inoduciá n l cución dl movimino obil con l id d v si s obin l fom d F(. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

105 I Indic 6.cución dl movimino obil Dducción d l cución dl movimino obil. 6.. Dducción d l cución dl movimino obil. n s cpíulo s v dduci l cución dl movimino obil. s s un cución difncil qu gobin l movimino d un pln nono l Sol. n scnci s p d l sgund ly d Nwon: m F( Posiomn, s xps l clción n éminos d los vcos uniios dil y ngul qu fu dducido n l Cp.04, (v Figu 4.8: u u l poblm s qu s xpsión d l clción sá n éminos d divds pim y sgund d y. S pocd limin xpsándol n función d mdin l uso d l cución l dducid n l Cp.04 (v Fig.4.30 (quí s coloc n fom modl: A Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

106 06 6.cución dl movimino obil. 6.. Dducción d l cución dl movimino obil. Finlmn qud un cución difncil dond sólo sá l pámo. s cución s l conoc como l cución dl movimino obil: 3 k Dond s sum qu F( s l fuz d l gvdd popus po Nwon. L solución d s cución d l función, l cul in l fom clásic d l cución pol d ls cónics. so dmus qu dd l fom d F(, ls óbis son cónics. Y dd l fom d, noncs, l función d F( s l ly d gvdd d Nwon. 0 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

107 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso Fig.6. Obnción d dos lcions fundmnls qu pmin pon n función d, pi d l cución l ( ' d d A k A d d u A A 0 A c. Al 6.. Dducción d l cución dl movimino obil. (V Fig.5. c. uol 6.cución dl movimino obil. 07

108 Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso Fig.6. Pocdimino p pon l sgund ly d Nwon (l clción n éminos dl pámo. u u F m 0 (V Fig.6. (V Fig.6. F m F m u F u u u 6.. Dducción d l cución dl movimino obil. 6.cución dl movimino obil. 08

109 6.cución dl movimino obil Dducción d l cución dl movimino obil. m m[ m[ 3 F( ( ( ( k 3 3 ] ] F( k k Ly d gvdd d Nwon (Unidds Gussins 0 m 0 c. dl movimino obil Fig.6.3 Pocdimino p dduci l cución fundmnl dl movimino obil pindo d d qu l función F s l ly d gvición d Nwon. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

110 0 6.cución dl movimino obil. 6.. Dd l F( y l función dmos l consisnci d l c. obil. 6.. Dd l F( y l función dmos l consisnci d l cución dl movimino obil. n s scción no s v solv l cución dl movimino obil. S pnd dmos l consisnci d l cución obil pindo d ls foms funcionls d F( (l ly d Nwon y d (cución pol d ls cónics, ls culs sán inoducids n dic cución. l pocdimino d l dmosción d l consisnci d l cución dl movimino obil consis n s ps. L pim implic clcul l pim y sgund divds d usndo l cución d ls cónics. Sgundo, d limin l pámo d ls divds. Y co, susiui ls xpsions d ls divds pim y sgund n l cución oiginl dl movimino con l finlidd d v qu l suldo s igul co. I Indic Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

111 6.cución dl movimino obil. 6.. Dd l F( y l función dmos l consisnci d l c. obil. q( Dscomposición ( cos d l función q( ( cos ( cos d d d d d d d d d d d d 3 k d q( ( sn [ d ( cos d q( ( sn [ d ( cos d ( ( sn [ d ( ( sn [ ( sn 0 q( sn [ ] q( c. movimino obil ] q( ] q( q( ] q( Fig.6.4 Pindo d l función s d obn l divd pim d. ] No: L sgi d l dmosción s d limin l y obn ls divds º y º d. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

112 6.cución dl movimino obil. 6.. Dd l F( y l función dmos l consisnci d l c. obil. 3 k 0 c. movimino obil d d d d d d d d [ cos d d sn [ ] q( d d d ( cos [ ] d q( ( [ 3 cos [ ] q( ] cos q( q( q( ] [ ] q( q( Fig.6.4: Coninución. A pi d l divd pim d s pocd c l divd sgund. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

113 6.cución dl movimino obil Dd l F( y l función dmos l consisnci d l c. obil. d d k 3 d d q( k q( q ( smij myo ( k 3 3 k q( ( q( 0 0 lips Fig.6.4: Coninución. A pi d l divd sgund s pocd gup los éminos p consui l cución dl movimino obil y c un compción, l cul mus qu l cución dl movimino obil s consisn con ls foms d F( y, simp y cundo s lción pmi dduci l fom d Compción d ss dos cucions pmi dduci l fom d k ( Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso

114 4 6.cución dl movimino obil Obn F( inoducindo l función n l cución obil. I Indic 6.3. Obn F( inoducindo l función n l cución obil. n s scción s v dduci l fom d F( pindo d l pim ly d Kpl. n os plbs, s v dmos qu si un pícul s muv dscibindo un cónic, noncs, l fuz F( s l Ly d l Gvdd d Nwon. s pocdimino fu l qu llvó Nwon su fmos ly. Iván Mcín Mcánic Cls pso Pso