resentación de la unidad

Transcripción

1 resentación de la unidad En la historia de las ciencias experimentales ha ocurrido en ocasiones que ante la falta de las herramientas matemáticas adecuadas para modelar algún fenómeno en estudio, los físicos, los astrónomos o los químicos se han visto en la necesidad de desarrollar las propias, contribuyendo con ello tanto al avance tanto de su disciplina como al desarrollo de las Matemáticas. Es el caso de Newton y de Kepler. También ha sucedido que un matemático realiza algún descubrimiento o desarrolla alguna teoría que da a conocer al resto de la comunidad científica y que queda aparentemente sin aplicación, hasta que con el tiempo alguien encuentra cómo aplicarla. Es lo que ocurre en casos como el de Descartes y la Geometría analítica: al paso del tiempo es que hemos valorado la importancia de relacionar las gráficas con sus ecuaciones, y lo hemos aplicado para modelar fenómenos. En esta unidad concentraremos nuestra atención en el estudio de las ecuaciones de segundo grado, que gráficamente podemos relacionar con las parábolas, las hipérbolas, las elipses y las circunferencias. Estos cuatro tipos de gráficas, conocidas también como cónicas, comparten el hecho de que sus ecuaciones son de grado 2. Sin embargo, la ecuación de cada cónica tiene características particulares que nos permiten distinguirla de las demás. Así que parte de nuestro trabajo será conocer esas diferencias para que al final, cuando veas ecuaciones como las siguientes, puedas identificar rápidamente a qué cónica están representando. Como veremos, el estudio de las cónicas tiene una larga historia, pues data de la Grecia antigua, en tanto que su aplicación para modelar la órbita de los cuerpos celestes, la trayectoria de una bala o la ley de los gases es mucho más reciente, así como el estudio de sus ecuaciones. Así que sin más anuncios, El modelo geocéntrico EL GRITO La elipse de un grito, va de monte a monte. Desde los olivos, será un arco iris negro sobre la noche azul. Ay! Como un arco de viola el grito ha hecho vibrar largas cuerdas del viento. Ay! (Las gentes de las cuevas asoman sus velones.) Ay! Federico García Lorca En todas las civilizaciones humanas la Astronomía ha sido una de las manifestaciones más importantes de su desarrollo científico. Aún cuando la observación de los cielos estuvo en su origen ligada a la agricultura, desde épocas tempranas hubo hombres interesados en ubicar nuestro planeta dentro del cosmos y explicar el movimiento de los cuerpos celestes.

2 Como seguramente recuerdas de tu curso de Ciencias de la vida y de la Tierra I, en el mundo occidental, por casi 2000 años rigió el modelo geocéntrico, basado en los planteamientos de Aristóteles y Ptolomeo, que asumía a la Tierra como centro del Universo y suponía que los cuerpos celestes se movían órbitas circulares combinadas que incluían un pequeño círculo llamado epiciclo (observa el esquema para darte una idea). El modelo se mantuvo vigente y sin mayores cuestionamientos mientras proporcionó una explicación adecuada para los datos que se recababan y mientras permitió predecir el movimiento de los astros, aunque cada cierto tiempo era necesario hacer ajustes. Desde la perspectiva actual, podríamos decir que este modelo adolecía de dos problemas: Epiciclo (del griego epikiklos, epí-sobre, kyklos-círculo) Según el modelo ptolemaica, círculo que describía un planeta alrededor de un centro que a su vez se giraba alrededor de la Tierra. En el siglo XVI, las ideas de Copérnico ( ) revolucionaron al mundo científico y sentaron las bases de la Astronomía moderna, cuyo largo proceso de desarrollo nos ha permitido entender cada vez mejor cómo funciona el Universo. Para explicar el movimiento de los cuerpos celestes, Copérnico propuso el modelo heliocéntrico (sistema en el que los planetas giran alrededor del Sol). Más adelante, Newton ( ) logró el planteamiento de las leyes que rigen el movimiento de los cuerpos celestes y terrestres. En el siglo XX la Teoría de la Relatividad de Einstein planteó que los fenómenos físicos obedecen leyes que no dependen del sistema de referencia desde el cual se observan y logró establecer una relación entre la gravitación y las propiedades geométricas de una superficie: A gran escala, el espacio (que Einstein llama espacio-tiempo) es curvo y la gravitación es la manifestación de esa curvatura. Con este modelo para explicar el comportamiento del Universo, los viajes espaciales se volvieron un proyecto alcanzable. En este largo proceso, las aportaciones de astrónomos como Galileo Galilei, Tycho Brahe y Johannes Kepler también fueron importantísimas y contribuyeron no sólo al desarrollo de la Astronomía, sino también de la Física, las Matemáticas y la ciencia en general. Teoría general de la relatividad Con esta teoría se comprenden las características esenciales del Universo. En ella Einstein expone la ecuación que reemplaza a la ley de gravedad de Newton. Para él la gravedad es una consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo. En 1919 Arthur Eddington fue capaz de medir, durante un eclipse, la desviación de la luz de una estrella que pasaba cerca del Sol, una de las predicciones de la relatividad general. Cuando se hizo pública esta confirmación la fama de Einstein se incrementó y fue para la física un paso revolucionario. Desde entonces la teoría se ha comprobado en todos los experimentos realizados. El modelo heliocéntrico Nicolás Copérnico ( ), Galileo Galilei ( ) y Johannes Kepler ( ) fueron piezas clave en el desarrollo de la Astronomía, entre otras cosas porque tuvieron la claridad y la valentía de cuestionar aquello que se daba por sentado sin haber sido demostrado: las suposiciones. Cada uno en su momento se atrevió a revisar esas ideas que se asumían como ciertas y sobre las cuales estaban basados los modelos previos (como el geocéntrico). Cada uno tuvo el gran mérito de preguntarse y si lo que estamos

3 suponiendo es incorrecto? Gran pregunta, pero que difícil que se nos ocurra! Cuántas cosas asumimos como ciertas porque así nos las enseñaron, o porque así se usan en nuestra sociedad o porque así las percibimos, y nadie las cuestiona! Y peor aún, cuántas veces criticamos y hasta satanizamos a quienes se atreven a preguntar? El revuelo causado por las ideas heliocéntricas de Copérnico revolucionó a la sociedad científica de su tiempo debido a que con la contundencia de los datos recabados en sus observaciones pudo demostrar que la Tierra no era el centro del Universo, sino un planeta que se movía alrededor del Sol, al igual que los demás planetas identificados en ese entonces: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Obtener esos datos seguramente fue una ardua tarea, al igual que analizarlos y determinar que no se ajustaban al modelo ptoloméico. Y sin embargo, la parte más difícil debe haber sido buscar las causas que explicaran el desajuste. Imagínatelo preguntándose y si no somos el centro del Universo? Posteriormente, Tycho Brahe, a quien podemos considerar un maestro de la investigación cuantitativa, logró recopilar y organizar la mayor y más precisa colección de datos observados hasta entonces del movimiento de cada uno de los planetas, mismas que aún sorprenden a los astrónomos modernos por haber sido obtenidas sin el uso de un telescopio (aún no había sido inventado). Sin embargo, el modelo que propuso a partir de ellos resultó erróneo, y sería su asistente Johannes Kepler quien aprovecharía esa información para determinar las leyes del movimiento de los cuerpos en el espacio. Para conocer las aportaciones de Tycho Brahe, te invitamos a esta breve visita. El modelo de Kepler Cuando Kepler llegó a trabajar con Tycho Brahe, éste no pudo evitar sentirse preocupado ante la evidente brillantez de su nuevo ayudante. Temiendo que pudiera opacarlo, en lugar de darle acceso a su gran colección de datos del movimiento de los planetas, le asignó la tarea de estudiar sólo los de Marte, un conjunto problemático que no se ajustaba al modelo propuesto por Brahe para explicar el movimiento de los cuerpos celestes. Irónicamente, fue el análisis de estos datos atípicos lo que llevó a Kepler a cuestionar la única hipótesis sobreviviente del modelo aristotélico: que la órbita de los cuerpos celestes era circular. Sin este supuesto, los datos encajaron a la perfección en otro modelo matemático: la elipse. Con base en este descubrimiento, Kepler logró establecer tres leyes para explicar el movimiento de los planetas, llamadas leyes de Kepler en su honor.

4 Atípico Que por sus caracteres se aparta de los modelos representativos o de los tipos conocidos. Por qué nadie se había dado cuenta? Si lo piensas un poco, estarás de acuerdo en que las elipses pueden describirse de manera coloquial como circunferencias achatadas. Cuando ese achatamiento, matemáticamente llamado excentricidad, es de magnitud pequeña, resulta difícil identificar de qué curva se trata. Eso ocurrió con las órbitas planetarias: por años se les confundió con circunferencias, hasta que Kepler tuvo en sus manos los datos de Marte, el planeta que describe la órbita elíptica de mayor excentricidad entre las conocidas entonces, y fue capaz de interpretar lo que los datos le mostraban. Observa las siguientes ilustraciones y fíjate especialmente en las órbitas de Mercurio, Venus, la Tierra y Marte, los planetas interiores del Sistema Planetario Solar realmente se nota que las órbitas son elípticas? Excentricidad Relación geométrica entre la longitud del eje mayor y la del eje focal en figuras geométricas como la elipse y la hipérbola. Elementos gráficos de la elipse Para entender la primera ley de Kepler, que establece que las órbitas de los planetas son elípticas, es conveniente que conozcamos qué es una elipse y cuáles son sus elementos. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos se mantiene siempre constante. Es fundamental que recuerdes con facilidad esta definición de la elipse. Lee nuevamente lo escrito en cursivas. Ahora cierra los ojos y asegúrate de comprender qué implica. Ya? Finalmente, haz una prueba de memoria para tener absoluta certeza de recordarlo y comprenderlo perfectamente. Lugar geométrico Conjunto de puntos que cumplen al menos con una condición común. Dibujemos una elipse a partir de la definición anterior. Primero ubicaremos dos focos (F 1 y F 2 ) y un punto P en el plano, por ejemplo así: Como ves, al medir las distancias de nuestro punto P al foco F 1 encontramos que vale 5.7 unidades mientras que la distancia al otro foco F 2 vale 2.3 unidades, lo que significa que la suma de distancias a los focos vale 8 unidades, verdad? Para dibujar una elipse necesitamos más puntos y sólo elegiremos aquéllos en los que se cumpla la condición de que al sumar las distancias a cada uno de los focos el resultado sea 8. Por ejemplo, podemos tomar el punto P 2 que se encuentra a 6.6 unidades de F 1 y a 1.4 unidades de F 2 ( sucesivamente. ), y así

5 En cambio, el punto R no puede formar parte de esta elipse por qué? Elementos gráficos de la elipse Donde P representa a todos y cada uno de los puntos que hacen que se cumpla la condición; F 1 y F 2 son los focos. Para aprender un poco más de la constante c, nos conviene familiarizarnos primero con ocho elementos gráficos de una elipse: tres segmentos y cinco puntos. Los segmentos son:

6 Qué harás para recordar que el centro, ambos vértices y ambos focos son puntos que definen a una elipse? Tómate un momento para pensarlo. Más elementos gráficos de la elipse Ahora que nos hemos familiarizado con los elementos gráficos, atendamos la otra parte que involucra la Geometría analítica: el planteamiento de una ecuación que represente algebraicamente a nuestra elipse. Para empezar, aprendamos a calcular algunos parámetros que necesitaremos y que están directamente relacionados con los segmentos que ya conocemos (eje mayor, menor y focal). Aquí los tienes:

7 Determinemos los elementos gráficos de una elipse Aquí tienes la gráfica de una elipse: Si todas tus respuestas fueron correctas, te felicitamos y te invitamos a que continúes. Si tuviste algún error, te recomendamos que antes de continuar revises por qué te equivocaste: tal vez te distrajiste o tal vez hiciste alguna consideración errónea. Si tienes duda, aquí tienes la explicación de cómo llegamos a las respuestas. Para poder responder las preguntas es necesario observar la gráfica y visualizar algunos elementos como el centro y los vértices:

8 Para conocer cuánto vale a, puedes contar el número de cuadritos que hay en sentido vertical entre el centro y V1 (o de V2). Como verás, son 6 unidades. En cuanto a la longitud total del eje mayor, es el doble, es decir, 12. Si no tuviéramos la cuadrícula, sabes cómo podríamos determinar este valor? Buena idea! Obtenemos la distancia entre ambos puntos, y como están alineados verticalmente, podemos obtener dicha distancia restando sólo las ordenadas de los puntos: ó. Lo mismo sucede con b: Puedes ver que del centro al extremo del eje hay 3 unidades, o bien, puedes ver que el eje completo tiene una longitud de 6 unidades, por lo que la mitad resulta 3. Y lo puedes demostrar analíticamente restando las abscisas del centro y alguno de los puntos extremos:. En cuanto al valor de c, es la mitad de la distancia focal. Como en este caso hay decimales, lo más práctico es realizar la resta de las ordenadas de los focos:, que es la longitud del eje focal, y dividirla entre 2 para obtener c= 5.2. En cuanto al centro, puedes comprobar en la gráfica que se encuentra en la intersección del eje mayor con el menor, y que sus coordenadas son (-7,7). También puedes verificar en la gráfica que los vértices, que son los puntos extremos del eje mayor, tienen como coordenadas (-7,1) y (-7,13). El valor de la constante Ya sabemos que la elipse está formada por puntos cuya suma de distancias a los focos es constante, recuerdas? o

9 En la siguiente gráfica ilustramos las distancias y. Como verás, los vértices V1 y V2 también son puntos de la elipse, por lo que en ellos debe cumplirse también la condición geométrica. Por ejemplo, si en vez de poner P usamos V1, nuestra expresión quedaría así: Ahora OBSERVA la siguiente transformación de nuestra expresión, basándonos en las propiedades de la elipse, que es una figura geométrica simétrica con respecto tanto al eje mayor como al eje menor: Ahora OBSERVA la siguiente transformación de nuestra expresión, basándonos en las propiedades de la elipse, que es una figura geométrica simétrica con respecto tanto al eje mayor como al eje menor: La distancia es igual a la distancia, estás de acuerdo? Es decir, Por tanto, podríamos sustituir esta igualdad en la expresión: Y nos queda así:

10 O si lo quieres ver de izquierda a derecha en la gráfica: Relación entre a, b y c En una elipse podemos encontrar una muy útil relación entre los parámetros a, b y c. Observa la siguiente gráfica: Hemos elegido un punto P sobre la elipse y hemos marcado las distancias a ambos focos. Fíjate que P está ubicado en uno de los extremos del eje menor, y eso significa que se encuentra exactamente a la misma distancia de F1 y de F2, o dicho en una frase matemática, anterior, la suma de las distancias del punto a los focos vale 2a: Como acabamos de ver en la pantalla

11 Así pues, gráficamente tenemos que: Vamos a concentrarnos sólo en una parte de esta gráfica: Te das cuenta? Se forma un triángulo rectángulo, y como recuerdas, en este tipo de triángulos se cumple el teorema de Pitágoras, que en este caso queda expresado de la siguiente manera:

12 Donde a es un segmento que mide la mitad del eje mayor, b representa al semieje menor y c al semieje focal. Relación entre a, b y c Aquí tienes una elipse vertical. Visualizas dónde quedaría el triángulo rectángulo? Observa la siguiente gráfica: Como puedes ver, lo que ha cambiado son las posiciones de los ejes: en las elipses verticales, el eje menor es horizontal y el eje focal es vertical, contrario a lo que sucede en la elipse horizontal, pero en ambos casos constituyen los catetos del triángulo rectángulo, en tanto que la distancia del punto B al foco sigue siendo la hipotenusa. Así, en la elipse vertical, los catetos son b y c, la hipotenusa es a, y por tanto el teorema de Pitágoras queda expresado a 2 =b 2 +c 2, igual que en la elipse horizontal:

13 Para terminar con los elementos gráficos de la elipse, a continuación te presentaremos una relación que fue fundamental en los descubrimientos de Kepler y que para nosotros también será muy reveladora: La excentricidad La excentricidad es un parámetro que describe el achatamiento de una elipse. Matemáticamente la definimos como la relación entre el semieje focal c y el semieje mayor a, es decir: Pero qué nos indica? Observa las siguientes gráficas. Se trata de elipses en las que hemos mantenido el mismo centro y vértices, y hemos variado la posición de los focos. Calcula la excentricidad para cada una y anota tu respuesta en el recuadro, redondeando a dos cifras decimales:

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15 Obtención de la ecuación a partir de la gráfica Si graficamos una elipse horizontal en un plano cartesiano, ubicando su centro en el origen, y calculamos las distancias y para luego sustituirlas en la definición geométrica, obtendremos la siguiente ecuación, en su forma ordinaria: Donde: a= longitud del semieje mayor b= longitud del semieje menor (Si deseas revisar el procedimiento algebraico detallado que lleva a esta expresión, visita la sección de esta página). Ahora bien, cuando el centro C(h,k) no se encuentra en el origen sino en cualquier otro punto del plano cartesiano, la forma ordinaria de la ecuación se generaliza así: Donde: (h,k) son las coordenadas del centro. En la unidad 4 aprenderemos acerca del proceso matemático que nos permite trasladar el centro del origen a cualquier parte del plano cartesiano. Por otra parte, para una elipse vertical con centro en el origen, la ecuación en forma ordinaria que debemos usar es: y por tanto, la ecuación en forma ordinaria para cualquier elipse vertical con centro en cualquier punto C(h,k) es: Observa las dos fórmulas sombreadas, y selecciona en la siguiente lista los elementos de una elipse que son indispensables para obtener su ecuación:

16 Obtención de la ecuación a partir de la gráfica Trabajemos con un ejemplo. Aquí tienes la gráfica de una elipse horizontal: Como se trata de una elipse horizontal con centro en el origen, podemos usar la forma:

17 Obtención de la ecuación a partir de la gráfica Obtengamos ahora la ecuación de esta elipse: Es recomendable que para trabajar el inciso e tengas a la mano papel y lápiz, para que puedas hacer todas las operaciones algebraicas que necesites. Según el tipo de pregunta, anota la respuesta correcta o elígela de las opciones:

18 La elipse es vertical porque su eje mayor se presenta también en vertical. Su centro se encuentra en C(-7,7). Como el centro no está en el origen, la fórmula que elijamos necesariamente debe contener las expresiones (x-h) y (y-k), lo cual deja fuera a la primera y la tercera expresiones. De las dos que nos quedan, elegimos la que se usa para una elipse vertical: Los valores de a y b son a= 6 y b= 3. Así, al sustituir nuestros datos en obtenemos lo siguiente: Para llegar a la expresión general, primero multiplicamos ambos lados por 36 y simplificamos: