Movimiento Bajo la Acción de una. Fuerza Central

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1 Movimiento Bajo la Acción de una Fuerza Central Mario I. Caicedo Departamento de Física, Universidad Simón Bolívar Índice 1. Introducción al Momentum Angular 3 2. Ley de las Areas 6 3. Leyes de Kepler Descubriendo la Ley de Gravitación Universal La ley de cubos y cuadrados Consideraciones energéticas: El Potencial Efectivo 12 1

2 5. Introducción al Problema de Kepler Resumen Problema de Revisión Problemas propuestos Tema Avanzado I: Ecuación de la órbita Tema avanzado II: Solución al al Problema de Kepler Apéndice: Secciones Cónicas 29 2

3 1. Introducción al Momentum Angular Consideremos una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central, esto es, una fuerza paralela a la línea que une a la partícula con un punto fijo (O) denominado el centro de fuerzas y cuya magnitud solamente depende de la distancia entre la partícula dicho punto 1. Por el momento supondremos que el movimiento ocurre en un plano (afirmación que probaremos más adelante). Estas hipótesis sobre la fuerza y el movimiento sugieren utilizar un sistema de coordenadas polares centrado en O, lo que permite escribir directamente las siguientes expresiones generales para fuerza y la aceleración F = F (r) û r (1) a = ( r r θ 2 ) û r + (r θ + 2 ṙ θ) û θ (2) Al utilizar la segunda ley de Newton obtenemos las siguientes ecuaciones para r y θ r r θ 2 = F (r) M (3) r θ + 2 ṙ θ = 0 (4) donde evidentemente M representa la masa de la partícula. La ecuación (4) permite concluir que (vea el problema (1)) Mr 2 θ = l = constante. (5) Concentrémonos por un momento en la igualdad (5). En primer lugar debemos recalcar que la constancia de l no implica que la distancia al origen de coordenadas (r) ó la velocidad 1 si quiere imaginar un ejemplo aproximado piense en la rotación anual de la tierra en su orbita alrededor del sol 3

4 angular ( θ) sean constantes. Lo que es constante es el producto de ambas cantidades. Esta observación tiene una implicación geométrica acerca del movimiento de la partícula sobre la cual comentaremos más adelante (véase la seción 2). En segundo lugar, observemos que la igualdad (5) se puede reescribir en la forma l = r(mr θ) = ( r Mr θû θ ). ˆk (6) donde ˆk = û r û θ es un vector unitario ortogonal al plano en que ocurre el movimiento. La fórmula (6) no dice mucho, sin embargo, si recordamos que û r û r = 0 podemos añadir un 0 en la fórmula (6) para obtener una nueva expresión para l l = ( r (Mr θû θ + Mṙû r ) ). ˆk (7) ahora bien, en coordenadas polares la velocidad se escribe en la forma: v = ṙû r + r θû θ, así que, al usar que el momentum de una partícula se define como p = M v, podemos concluir finalmente que el número l puede expresarse de manera bastante natural en términos de dos cantidades físicas (la posición y el momentum) muy bien definidas según: l = ( r p). ˆk (8) Ahora bien, evidentemente r p es un vector ortogonal al plano y l no es otra cosa que su proyección a lo largo del vector ˆk = û r û θ. En definitiva, y recapitulando hasta este punto, hemos encontrado que: Si el movimiento bajo la acción de una fuerza central es en un plano entonces el vector L r p (9) 4

5 es constante. El vector L denominado Momentum Angular es una cantidad física de importancia fundamental que aparece inexorablemente ligada a la descripción de la dinámica de objetos no puntuales, cabe comentar que la definición del momentum angular (fórmula (9)) es bastante natural y que surge inducida por el hecho de que la fuerza es central. Nuestro resultado acerca de la constancia de L depende de introducir la hipótesis simplificadora según la cual el movimiento es en un plano. Cabe preguntarse acerca de la validez de esta hipótesis. A continuación utilizaremos la la definición de L para demostrar rigurosamente que el movimiento de una partícula bajo la acción de una fuerza central ocurre efectiva y necesariamente en un plano. Para lograr la demostración comenzaremos por probar que, bajo la hipótesis de fuerzas centrales, el Momentum Angular es constante. En efecto, usando la definición de L, su derivada temporal se calcula fácilmente d L dt = r p + r p = 0 + r F, (10) ahora bien, la fuerza es central si y solo si F r en cuyo caso, el segundo sumando de la igualdad (10) se anula y eso demuestra que L es un vector constante. Para concluir la demostración observemos que, por definición, L es ortogonal al plano formado por el radio vector de posición de la partícula ( r) y a su ímpetu ( p), como L es constante, dicho plano tiene que ser fijo. 5

6 2. Ley de las Areas Habíamos adelantado que la constancia de l tenía una implicación geométrica sumamente interesante, y este es un buen momento para discutir este punto. Consideremos el triángulo infinitesimal formado por el origen de coordenadas y dos puntos del movimiento separados por un intervalo de tiempo infinitesimal (dt). El área de dicho triángulo está dada por ( por qué?) pero: así que al sustituir resulta: esto es da = 1 2 v(t) r(t) dt = 1 2 da = 1 r(t + dt) r(t) (11) 2 r(t + dt) = v(t) dt + r(t) (12) M 1 1 v(t) r(t) dt = p(t) r(t) dt = M 2 M 2 M L(t) dt (13) da = 1 l dt (14) 2M donde hemos utilizado que, como el movimiento es bajo la acción de una fuerza central, L = l = ctte. En definitiva, hemos demostrado que da dt = l 2M. (15) El significado físico de esta fórmula es tremendamente interesante. Como el movimiento es en un plano, el radio vector de posición de la partícula va barriendo un área, la cantidad da dt (16) 6

7 no es más que la rapidez con la cual se barre dicha área. Así que la fórmula (15) establece que, en vista de que l es constante, esta rata es fija (y proporcional a l). No es posible sobreenfatizar el hecho de que las manipulaciones matemáticas que nos trajeron hasta la igualdad (15) garantizan que esta es válida para cualquier fuerza central sin importar la forma explícita de la función F (r). La constancia de da/dt conocida como Ley de las Areas, fué descubierta por Johannes Kepler ( ), quien la estableció para las órbitas planetarias basándose en las mediciones astronómicas de Tycho Brahe ( ). 3. Leyes de Kepler Las mediciones de astronómicas de Brahe le permitieron a Kepler enunciar las siguientes tres leyes para los movimientos planetarios 1. Los planetas se mueven a lo largo de órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. 2. Los radios que unen al sol con los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales 3. Los cubos de las distancias al sol y los cuadrados de los períodos son proporcionales. Hay varios comentarios interesantes que se pueden hacer en relación a las leyes de Kepler. El primero consiste en destacar que los resultados de Kepler fueron totalmente empíricos, es decir, obtenidos directamente a partir de las observaciones y sin ninguna referencia a alguna relación 7

8 causa efecto ya que no fué sino hasta los trabajos de Newton que tales relaciones pudieron establecerse. El segundo comentario es el siguiente: a la luz de las leyes de Newton y según hemos visto, resulta evidente que la ley de las áreas es un fenómeno asociado a cualquier fuerza que tenga carácter central. Finalmente debemos destacar (como exhibiremos más adelante) que la primera y tercera leyes están directamente relacionadas con la Ley de Gravitación Universal de Newton. Describiendo las cosas en términos modernos, Newton propuso que entre cualquier par de partículas puntuales se establece una fuerza central dada por: F = G MM o r 2 û r (17) donde, M y M 0 son las masas de las partículas, G es una constante, r la distancia que separa las partículas y û r el vector unitario que define la radial entre ambas partículas. El éxito de esta teoría de gravitación proviene del hecho de que las leyes de Kepler pueden derivarse directamente a partir de la fórmula de la fuerza (17) y de las leyes del movimiento de Newton. La ley del movimiento elíptico requiere la integración de una ecuación diferencial (véase la sección (10)) Descubriendo la Ley de Gravitación Universal Es interesante tratar de imaginar el proceso de descubrimiento de una Ley Física 2. Supongamos que tenemos a nuestra disposición las tres leyes de Kepler, las leyes de movimiento de Newton y la notación matemática que usamos hoy día. Nuestro interés se va a centrar en ver 2 aprendí esta forma pedagógica de presentar el problema del Dr. Rodrigo Medina (IVIC, USB) 8

9 que podemos descubrir al pensar en lo que ocurre cuando meditamos acerca del movimiento planetario como es descrito por las leyes de Kepler (esto es, estamos interesados en hacer algo de investigación científica!). En primer lugar, y a la luz de lo que hemos aprendido en la sección (2) la ley de las áreas nos hace pensar en que la fuerza que el sol ejerce sobre el planeta es central y que el centro de fuerza está localizado en el sol 3 de manera que la ecuacion radial de movimiento para un planeta de masa m será m ( r r θ 2) = F (r). (18) En segundo lugar, el hecho de que la orbita del planeta sea una elipse con el Sol en un foco nos permite relacionar la distancia radial entre el Sol y el planeta y el ángulo polar a través de la 3 Debemos resaltar que estamos imaginando que el sol está fijo en el centro de fuerzas. En verdad esto no es cierto, podemos imaginar un sistema de dos partículas de masas similares -las componentes de un sistema estelar binario constituyen un buen ejemplo de esto- que interactúan gravitacionalmente, en tal caso y si el sistema formado por ambas partículas se encuentra muy lejos de cualquier otra fuente de gravitación, ambas partículas ejecutarán una danza en la cual ninguna de las dos está fija. En el caso de la tierra y el sol ocurre que la masa del sol es fantásticamente mayor que la de la tierra y esto provoca que desde todo punto de vista práctico se pueda considerar al sol como fijo 9

10 ecuación cónica (0 ε < 1) 4 : r = α 1 + ε cos θ, (19) igualdad en que debe entenderse que la dependencia temporal de r está codificada (implícita) en la dependencia temporal del ángulo polar. Al calcular la velocidad radial (ṙ) se obtiene α ṙ = (1 + ε cos θ) ( ε sen θ θ) = ε l senθ, (20) 2 m α donde hemos usado que, como la fuerza es central, l = m r 2 θ = ctte. (21) Diferenciando ṙ con respecto al tiempo se obtiene la aceleración radial ( r) r = ε l m α cosθ θ = ε l2 m 2 α cosθ r 2 (22) que al ser sustituida en el lado izquierdo de la ecuación de movimiento, lleva al resultado m ( r r θ 2) = m = ( ε l 2 m 2 α l 2 m α r 2 cosθ l2 r 2 m r 3 ) ( ε cosθ α r 4 La excentricidad (ε) caracteriza el tipo de cónica como sigue: = ) = ε > 1 hipérbola. ε = 1 parábola. 0 < ε < 1 elipse ε = 0 círculo. 10

11 = l 2 [ε cosθ (1 ε cos θ)] = m α r2 = l2 m α r 2 (23) comparando con el lado derecho de la ecuación radial se obtiene en definitiva F = κ r 2 con: κ = 1 α l 2 m (24) de manera que el uso juicioso de las observaciones experimentales (leyes de Kepler) y de la mecánica Newtoniana nos ha permitido mostrar que la ley de las áreas y la primera ley de Kepler implican que la fuerza entre el Sol y el planeta es central, atractiva y de magnitud recíproca con el cuadrado de la distancia, es decir: Hemos redescubierto la ley de Gravitación Universal! En la sección (10) demostraremos el recíproco de este resultado, es decir, probaremos que el uso de las leyes de movimiento de Newton en conjunción con una fuerza que va como 1/r 2 implica que las trayectorias deben ser cónicas La ley de cubos y cuadrados La ley de los períodos puede ser mostrada a través de un argumento sencillo que exhibe claramente el alcance del teorema de conservación del momentum angular. El argumento parte de inquirir acerca de las condiciones que permitan la existencia de una órbita planetaria circular asociada a la fuerza de gravitación universal, en cuyo caso y debido a que l = constante resulta claro que la velocidad angular θ ω tiene que ser uniforme, de esta forma, la ecuación radial 11

12 (3) se puede reescribir en la forma ( por qué?) R ω 2 = G M o R 2, (25) donde R es el radio orbital y M 0 es la masa del sol, que estamos suponiendo fijo en el centro de fuerzas; de esta ecuación sigue R 3 ω 2 = GM o. (26) Recordando que la frecuencia angular y el período están relacionados por T = 2π ω (27) se obtiene inmediatamente R 3 = constante (28) T 2 que no es otra cosa que la tercera ley de Kepler, que en el contexto de esta presentación, se convierte en la condición que permite la existencia de una órbita circular de radio R. La prueba del caso general (órbitas elípticas) es más engorrosa y no la presentaremos en este curso. 4. Consideraciones energéticas: El Potencial Efectivo Comenzaremos esta sección demostrando que toda fuerza central es conservativa. Para tal fin recordemos que el trabajo realizado por una fuerza para llevar a una partícula entre los puntos A y B de una trayectoria C se calcula como sigue W = B A C F. d r. (29) 12

13 Ahora bien, el diferencial de trayectoria más general posible en tres dimensiones está dado por d r = dr û r + d r, (30) donde dr û r es un elemento infinitesimal de trayectoria a lo largo de la dirección radial que une la partícula con el origen de coordenadas, y d r un movimiento infinitesimal en una dirección arbitraria contenida en el plano ortogonal a û r. Recordando que estamos estudiando fuerzas centrales y utilizando un origen de coordenadas que corresponda con el centro de fuerza, la fuerza queda descrita por la fórmula (1) y por lo tanto F. d r = F (r) dr. (31) De acuerdo a este resultado, los puntos A y B de la trayectoria C quedan identificados por sus respectivas distancias al origen de coordenadas (r A, y r B ) de manera que el cálculo del trabajo queda reducido al cálculo de la siguiente integral ordinaria W = rb r A F (r) dr, (32) en donde todo rastro de la trayectoria ha desaparecido. En consecuencia, hemos demostrado que efectivamente la fuerza es conservativa. En consecuencia, existe una energía potencial asociada a la fuerza central dada por la integral P U(P ) = F. d r, (33) arb donde P es el punto en que queremos calcular la energía potencial, y arb es un punto arbitrario. Debido a la estructura de la fuerza central, el potencial solo puede depender de la distancia al origen, razón por la cual, en lo sucesivo, describiremos al potencial central por la fórmula 13

14 r U(r) = F (s) ds, r 0 (34) donde ahora r 0 es un radio arbitrario. Por cierto que esta última fórmula nos permite escribir a la fuerza en la forma F (r) = du dr ûr. (35) Con la ayuda del potencial la energía mecánica total de la partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central se escribe en la forma E = M 2 (ṙ2 + (r θ) 2) + U(r) (36) la conservación del momentum angular nos permite expresar la velocidad angular en términos del radio θ = l Mr 2 (37) lo que en definitiva lleva a la siguiente expresión para la energía E = M 2 ṙ2 + l2 + U(r) (38) 2Mr2 podemos obtener una forma bien interesante de esta expresión si definimos el potencial efectivo por la igualdad U eff l2 + U(r), (39) 2Mr2 en efecto, en términos del potencial efectivo la fórmula para la energía se reduce a la siguiente expresión E = Mṙ2 2 + U eff (r) (40) 14

15 que es formalmente idéntica a la fórmula para la energía de una partícula que se mueve a lo largo del eje x (E = mẋ2 2 + U(x)). Esto nos va a permitir estudiar algunos aspectos muy generales del movimiento bajo la acción de fuerzas centrales. A partir de la fórmula (40) podemos encontrar la siguiente expresión general para la rapidez radial de la partícula 2 ṙ = ± M (E U eff(r)) (41) de acá podemos calcular directamente los puntos de retorno del movimiento, es decir los valores de r para los cuales se anula la rapidez radial. 5. Introducción al Problema de Kepler El problema de Kepler consiste en calcular la órbita que corresponde a la fuerza de gravitación Newtoniana. En esta sección vamos a aplicar las ideas que hemos introducido en la anterior para estudiar algunos aspectos del movimiento bajo la acción de la gravedad, en este caso F (r) = G MM 0 r 2, (42) de donde (escogiendo r 0 = ) se obtiene el potencial gravitacional U(r) = G MM 0 r lo que nos lleva a la siguiente expresión para el potencial efectivo: U eff (r) =, (43) l2 2Mr GMM 0. (44) 2 r 15

16 r Figura 1: Los potenciales centrífugo (contínuo) y gravitacional (en puntos) El primer aspecto obvio de este potencial efectivo es el hecho de que tiene dos sumandos de signo diferente, el segundo consiste en que el potencial se anula a grandes distancias del origen región en la cual domina el potencial gravitacional de manera que lím U eff = 0, (45) r cerca del origen el potencial efectivo es totalmente dominado por el término centrífugo y ocurre que lím U eff =. (46) r 0 El potencial efectivo tiene una sola raíz y un solo mínimo global (para el cual el valor de U eff es negativo). Como veremos a continuación, estas propiedades del potencial efectivo nos permiten discutir algunas características cualitativas del movimiento de una partícula bajo la acción de la gravedad si se conoce su energía mecánica total. Estudiaremos los tres casos posibles, a saber: E > 0, E = 0 y E < 0 16

17 r Figura 2: El potencial efectivo para el problema de Kepler. Note que el potencial tiene un mínimo absoluto 1. Comencemos considerando el caso en que E < 0 en este caso (y asumiendo por supuesto que 0 > E > Min(U eff )), los puntos de retorno 5, es decir las soluciones de la ecuación E U eff = E l2 2Mr + GMM 0 2 r = 0 (47) son dos, esto es: hay dos puntos de retorno, y en consecuencia durante todo el movimiento, la distancia entre la partícula y el origen deberá mantenerse entre estos dos valores, es decir de manera que podemos asegurar que la órbita es acotada. r min r(t) r max, (48) 2. En el caso en que la energía total sea positiva E > 0 solo hay un punto de retorno y ademaás la partícula puede escapar al infinito (el movimiento no es acotado) ya que a 5 recordemos que los puntos de retorno son los puntos del movimiento en que la rapidez radial ṙ es nula 17

18 grandes distancias E Mṙ2 2 > 0 3. El caso de energía nula E = 0 justamente separa las órbitas acotadas de las no acotadas, en efecto, si E = 0 la partícula apenas puede alcanzar el infinito con velocidad nula. En general los potenciales centrales atractivos son negativos y se anulan a distancia infinita del centro, razones por las cuales algunos de los aspectos que acabamos de discutir mantienen su validez. Así por ejemplo, las orbitas acotadas están asociadas a movimientos con energía mecánica total negativa. Hay sin embargo un comentario sobre el que debemos hacer especial énfasis. El hecho de que una órbita sea acotada no significa que sea periódica (es decir que el movimiento se repita exactamente luego de un intervalo finito de tiempo). Las preciosas órbitas elípticas del movimiento kepleriano son más bién excepcionales y bajo ningún concepto representan la geometría de las órbitas bajo potenciales generales, de hecho el movimiento Kepleriano es casi milagroso y está inexorablemente ligado al hecho de que la fuerza gravitacional sea inversa al cuadrado de la distancia entre las masas. NOTA Hasta acá usted hemos estudiado el material básico para el tema de fuerzas centrales del curso FS1112. Para reforzar el material lea con detenimiento el ejemplo de la sección 7 y por supuesto, haga los problemas propuestos!. Si usted es curioso seguramente estará interesado en ir un poco más allá, con ese fin estudie los temas avanzados secs. 9 y

19 6. Resumen Definición 1 La fuerza entre dos partículas se denomina central si y solo si es paralela al vector R que une las dos partículas y su magnitud solo depende de R. Definición 2 El momentum angular de una partícula con respecto a un origen de coordenadas O es el vector dado por L = r p, (49) donde r y p son la posición y el momentum de la partícula con respecto a O. Teorema 1 El momentum angular de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central es constante. Teorema 2 Toda fuerza central tiene una energía potencial asociada. Más aún, si r es la posición con respecto al centro de fuerzas, el potencial se calcula como: donde r = r y r 0 es un radio arbitrario. r U(r) = F (s) ds, r 0 (50) Teorema 3 Dado el potencial asociado a una fuerza central, la fuerza se calcula como F (r) = U du dr ûr. (51) Teorema 4 Al utilizar coordenadas polares en el plano del movimiento la energía mecánica total de una partícula de masa M que se mueve bajo la acción de una fuerza central cuyo potencial es U(r) se puede expresar en la forma E = M ṙ 2 + U eff, (52) 19

20 donde el potencial efectivo es U eff = y l es la magnitud del momentum angular de la partícula l2 + U(r), (53) 2 M r2 Definición 3 Los puntos de retorno son los radios para los cuales la velocidad radial ṙ es nula. 7. Problema de Revisión Ejemplo 1 Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza central cuyo potencial es U = κ r, 2 donde κ es una constante positiva y r la distancia al centro de fuerza. 1. Determine la fuerza. 2. Qué puede decir de la trayectoria de la partícula? 3. La posición y velocidad iniciales de la partícula de prueba son r 0 = x 0 î + z 0 ˆk, v0 = v 0 î, Determine la mínima distancia a la que la partícula puede acercarse al centro de fuerza Solución La fuerza asociada al potencial se calcula sencillamente recordando que la fuerza es opuesta al gradiente del potencial, es decir (fórmula 35 de la sección 4), F = U = d U dr ûr = 2 κ r 3 ûr, (54) 20

21 como κ es una constante positiva, la fuerza es siempre paralela al vector û r (es decir, es una fuerza repulsiva). La fuerza es central, y por lo tanto la trayectoria de la partícula de prueba tiene que estar contenida en un plano (sección 1), adicionalmente, como U siempre es positivo U eff también lo es, y por lo tanto la energía mecánica total tiene que ser positiva lo que implica que el movimiento no puede ser acotado, es decir, la partícula tiene que escapar al infinito (sección 5). Como el momentum angular y la energía total de la partícula son constantes, la posición y velocidad iniciales nos permiten calcular estas cantidades sin ninguna dificultad (secciones 1 y 4), L = m ( x 0 î + z 0 ˆk) v0 = v 0 î = m x 0 v 0 ˆk î = m z0 v 0 ĵ (55) E = m v2 0 2 κ + x z0 2 = m v2 0 (x z 2 0) + 2κ 2 (x z 2 0) La energía escrita en términos de la velocidad radial y el potencial efectivo es > 0. (56) E = m ṙ2 2 + l2 2 m r 2 + κ r 2 (57) sustituyendo los resultados (55) y (56), e igualando ṙ = 0 para calcular la posición radial del punto de retorno se obtiene la siguiente ecuación para r min : m v 2 0 (x z 2 0) + 2κ 2 (x z 2 0) = m z2 0 v r 2 min + κ r 2 min (58) ó equivalentemente de donde sigue: m v 2 0 (x z 2 0) + 2κ 2 (x z 2 0) r min = m (x2 0 + z0) 2 v κ m v0 2 z κ = m z2 0 v κ 2 r 2 min (59) x z 2 0. (60) 21

22 Nótese que si la velocidad inicial fuera nula, la distancia de mínimo acercamiento sería r min = x z 2 0. (61) que no es otra cosa que la distancia inicial al centro de fuerza. 8. Problemas propuestos Problema 1 Demuestre la fórmula (5). Ayuda: observe que el lado izquierdo recuerda vagamente a la derivada de un producto, multiplique la ecuación (4) por M r -el factor M está allí por conveniencia posterior- y observe lo que ocurre ) Problema 2 Muestre que la ecuación r = describe una cónica en coordenadas polares α 1 + ε cos θ, (62) Problema 3 A qué altura sobre la superficie terrestre deberá colocarse un satélite cuya órbita es circular para que esta sea geoestacionaria? Problema 4 Sabiendo que el radio orbital medio de Marte es aproximadamente 1,52 veces el radio orbital terreste, Cuál será el período orbital marciano? Problema 5 El período de Plutón es de unos 248,5 años, estime el radio medio de su órbita. 22

23 Problema 6 Una estación espacial de masa M viaja en el sistema solar orbitando alrededor del sol. En un cierto instante la posición y velocidad de la estación espacial están dadas por los vectores r 0 = π 2 ĵ UA, v 0 = ( î + j + ˆk ) UA/año (63) con respecto a un sistema de referencia cartesiano con origen en el Sol. Despreciando totalmente la interacción gravitacional entre la estación espacial y cualquier miembro del sistema solar distinto del Sol mismo, 1. Encuentre la energía total de la estación espacial, de acuerdo a su resultado diga como es la órbita elíptica, parabólica, hiperbólica?. 2. Calcule el momentum angular ( L S ) de la estación espacial y describa (más bien, caracterize) su plano orbital. 3. Cuál es la velocidad radial de la estación en los puntos de mínima (perihelio) y máxima (afelio) distancia entre esta y el Sol?. 4. Determine el afelio y el perihelio de la estación. 5. Qué tiempo requiere la estación para completar una órbita alrededor del sol?. Observación Una Unidad Astronómica (UA) es una distancia igual al semieje mayor de la órbita terrestre. G M 0 = 4π 2 (UA) 3 /año, M 0 =masa solar. Problema 7 Qué puede decir de los ángulos que forman la velocidad y la aceleración de un planeta en su afelio y su perihelio? 23

24 Problema 8 Considere el potencial U(r) = κ e r/r 0 r donde κ es una constante real, r la distancia al centro de fuerza y r 0 una constante positiva. 1. Cuales son las dimensiones de κ y r 0? 2. Encuentre la fuerza asociada a U. 3. Qué puede decir de la fuerza en función del signo de κ 9. Tema Avanzado I: Ecuación de la órbita Las ecuaciones de Newton (ecuaciones de movimiento) para el movimiento bajo la acción de una fuerza central son M( r r θ 2 ) = F (r) (64) M(r θ + 2ṙ θ) = 0 (65) Sabemos que estas son ecuaciones diferenciales que una vez integradas nos permiten conocer la posición de la partícula en función del tiempo, es decir, las funciones r(t) y θ(t). Sin embargo, hemos visto que aún sin resolver estas ecuaciones podemos entender algunos aspectos generales del movimiento (conservación del momentum angular, condiciones para que los movimientos sean acotados, etc.). Cabe preguntarse si podremos decir algo más. Esta sección está dedicada a mostrar que efectivamente este es el caso, para ello demostraremos que es posible utilizar las ecuaciones de movimiento para encontrar una ecuación diferencial para la trayectoria trayectoria que no requiere la integración (en tiempo) de las ecuaciones de Newton. 24

25 Comencemos por observar que si lográramos encontrar las dependencias temporales r(t) y θ(t) podríamos intentar despejar el tiempo para expresar (por ejemplo) al radio como función del ángulo (r(t)) 6. De acuerdo a esto, si quisiéramos calcular la rapidez radial podríamos utilizar la regla de la cadena para obtener dr dt = ds dθ dθ dt (66) de esta manera, la derivación temporal se puede expresar como sigue d dt = dθ d dt dθ (67) Ahora bién, ya hemos aprendido que la segunda ecuación de movimiento implica la igualdad Mr 2 θ = l(= constante) (68) de manera que la derivación con respecto al tiempo puede sustituirse por 7 d dt = l d Mr 2 dθ (69) en el entendimiento de que r = r(θ). Si iteramos la diferenciación temporal obtendremos d 2 dt 2 = l d Mr 2 dθ ( l d Mr 2 dθ ) = de manera, que la segunda derivada del radio con respecto al tiempo es d 2 r dt 2 = l2 d M 2 r 2 dθ ( 1 dr r 2 dθ ) = l2 d M 2 r 2 dθ ( 1 d ), (70) r 2 dθ l2 d M 2 r 2 dθ ( d dθ (1 )) (71) r 6 exactamente como se hace con el movimiento de proyectiles para demostrar que la trayectoria es parabólica 7 esto no es tan raro como parece, ya lo hicimos en la sección (3.1) 25

26 nuestro objetivo es utilizar este resultado para eliminar el tiempo de la ecuación: M ( r r θ 2) = F (r) (72) veremos que esto es posible y que la ecuación resultante es fácilmente resoluble. En efecto, al sustituir (71) y la fórmula para la velocidad angular en (72) resulta ó l2 d 2 ( ) ( ) 2 1 l rm = F (r), (73) Mr 2 dθ 2 r Mr 2 d 2 ( ) dθ 2 r r = M r2 l 2 F (r), (74) resultado que se denomina ecuación de la órbita. Es menester que hagamos hincapié en que la resolución de esta ecuación nos lleva a encontrar r = r(θ), es decir, la trayectoria u órbita. 10. Tema avanzado II: Solución al al Problema de Kepler Como ya habíamos mencionado, el problema de Kepler consiste en calcular la órbita que corresponde a la fuerza de gravitación Newtoniana. En este caso, al sustituir F (r) = κ r 2 en la ecuación de la órbita se obtiene donde Si ahora efectuamos el cambio de variables d 2 ( ) dθ 2 r r = α 1, (75) α l2 M κ (76) u 1 r (77) 26

27 obtenemos la siguiente ecuación diferencial u + u = α 1 (78) La ecuación (78) cumple con nuestro objetivo inicial: buscar una descripción de la trayectoria, en efecto, si resolvemos (78) obtendremos r = r(θ), la ecuación diferencial que hemos obtenido es reminiscente de la ecuación del oscilador armónico (ẍ + ω0x 2 = 0) y se diferencia de esta por el término constante no-homogéneo, en este punto es necesario mencionar (sin demostración) el siguiente teorema Teorema 5 La solución general de la ecuación diferencial nohomogénea ẍ(t) + ω0x(t) 2 = f(t) (79) es x gral (t) = x H (t) + x p (t), (80) donde x H (t) es la solución general del problema homogéneo mientras que x p (t) es una solución del problema nohomoénea. Es claro que la función constante u p (t) = α 1 es una solución de la ecuación (78), de manera que la solución general está dada por u(t) = U 0 cos(θ θ 0 ) + α 1 (81) donde U 0 > 0 y θ 0 son constantes, podemos introducir una nueva constante ε(= α 1 U 0 ) para reescribir la ecuación de la trayectoria en la forma α r = {1 + ε cos(θ θ 0)} (82) 27

28 escogiendo θ = 0 de manera tal que el punto de máximo acercamiento al centro de fuerzas corresponda con r(0) se obtiene el resultado final: que como ya sabemos, es la ecuación general de una cónica. α r = {1 + ε cos θ} (83) No es difícil convencerse (ejercicio) de que la eccentricidad (ε), la energía total de la órbita están y el momentum angular están relacionadas por ε = E l2 M κ 2 (84) de donde resulta evidente que, para las órbitas acotadas (E < 0) la eccentricidad es de magnitud menor a uno (ε < 1) condición que asegura que la órbita es elíptica. En términos del signo de la energía el resultado es el siguiente: E < 0 órbita elíptica (acotada) E > 0 órbita hiperbólica (no acotada) E = 0 órbita parabólica (no acotada) Problema 9 Observación: Este problema nos lleva a una forma integral de la ecuación de la órbita. La regla de la cadena nos permite escribir: d θ d r = d θ d t d t d r = θ ṙ (85) 28

29 1. Utilice la igualdad (85), la identidad l = m r 2 θ y la fórmula general para la energía para despejar θ en términos de r, e integre para obtener la fórmula general: θ(r) = ± l/r 2 dr 2 M (E Ueff ) (86) 2. Para estudiar el problema de Kepler sustituya U eff = l2 2 M r G M M 0 2 r (87) y utilice el cambio de variables u = l/r calcule la integral (esto puede ser largo y tedioso) y encuentre una fórmula para θ(r). 3. Escoja la constante de integración de forma que el mínimo r coincida con θ = 0, despeje y obtenga r(θ), verifique que el resultado coincide con la fórmula para una órbita cónica. 11. Apéndice: Secciones Cónicas Las secciones cónicas son las curvas que se obtienen de efectuar la intersección de un cono recto con un plano. El ejemplo más sencillo es un círculo, es bastante obvio que esta es la curva que resulta al atravesar un cono recto con un plano ortogonal a su eje de simetría. Las otras secciones cónicas son la elipse, la parábola y la hipérbola. En coordenadas polares (r, θ) las cónicas están descritas por la ecuación r = α 1 + ε cosθ (88) Donde las constantes que aparecen ε y α se denominan excentricidad y latus rectum de la cónica. 29

30 Toda cónica posee dos puntos de interés particular el pericentro y el apocentro, cuyas posiciones están dadas por las coordenadas (r min, 0) y (r max, π) respectivamente. En el caso en que ε 1 se obtienen las dos cónicas no acotadas: la parábola y la hipérbola. Queremos centrar nuestro interés en las elipses ya que estas son las curvas que representan las trayectorias keplerianas de las partículas con órbitas acotadas. La elipse se define como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a un punto fijo es constante. En coordenadas cartesianas la ecuación de una elipse cuyo eje mayor es paralelo al eje x se describe por la ecuación x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, (89) donde a y b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse. Si a = b = R esta ecuación se reduce a la de un círculo de radio R con centro en (0, 0) Figura 3: Las elipses que mostramos acá tienen α = 1 en ambos casos, y excentricidades 0,7 y 0,8 30

31 En la ecuación polar (88) de las cónicas la distancia r se mide a partir de uno de los focos de la elipse. Es claro que la fórmula (88) supone que el eje mayor de la elipse está localizado a lo largo del eje x (θ = 0). A partir de la representación de la curva en coordenadas polares es facil ver darse cuena de que r max = r min = α 1 ε α 1 + ε (90) (91) de manera que la media de estas cantidades no es otra cosa que la longitud del eje mayor de la elipse r max + r min 2 = 1 2 [ α 1 ε + α ] = α 1 + ε 1 ε = a, (92) 2 mientras que la longitud del eje menor (b) está dada por b = α 1 ε 2. (93) En términos de la excentricidad del semieje mayor r min = a(1 ε) (94) r max = a(1 + ε), (95) mientras que la mitad de la separación entre los focos está dada por el producto del eje mayor por la excentricidad, esto es: a ε. 31

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