BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA

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1 BLOQUE 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 1.-EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS A TRAVÉS DE LA HISTORIA La inteacción gavitatoia tiene una gan influencia en el movimiento de los cuepos, tanto de los que se encuentan en la Tiea o en sus poximidades, como los que se hallan en el espacio (planetas, estellas, cometas, etc). El lanzamiento de poyectiles, el movimiento de las aguas de los íos hacia el ma, la colocación de satélites en óbita, el desplazamiento de los astos en el espacio, etc., son ejemplos en los que la inteacción gavitatoia tiene un papel fundamental. En cieto modo podíamos considea que gobiena el movimiento de toda la mateia. Sin embago, llega a esta conclusión no ha sido un poceso fácil. La idea del movimiento de los planetas y cuepos celestes estuvo dividida en la Antigüedad en dos teoías fuetemente contapuestas: la TEORÍA GEOCÉNTRICA y la TEORÍA HELIOCÉNTRICA..- LOS ORÍGENES DE LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Conológicamente, la concepción geocéntica del Univeso fue la que pevaleció inicialmente, debido ente otas cosas a las ceencias eligiosas de la época que se oponían a cualquie ota altenativa, y al apoyo de gandes científicos como Aistóteles. Se pensaba que las estellas se encontaban todas en una gan esfea celeste que giaba alededo de una Tiea inmóvil situada en su cento. Fuea de esa gan esfea celeste estaba el Pime móvil que la hacía gia con itmo egula y dento, había una seie de esfeas concénticas que contenían a los planetas, el Sol y la Luna, de foma que el movimiento de la esfea estellada se tansmitía a las inteioes.finalmente, en el siglo XVI, Copénico, establece su Teoía Heliocéntica, avalada posteiomente po los estudios de Keple y Galileo, lo cual supuso un vedadeo punto de inflexión en el desaollo de la ciencia. Copénico afimaba que el Sol ocupaba el cento del univeso y los planetas (incluida la Tiea), giaban en óbitas ciculaes alededo de éste al mismo tiempo que giaban sobe sí mismos alededo de su popio eje. Tan sólo la Luna seguía giando en tono a la Tiea. El sistema incluía también una esfea inmóvil sobe la que se localizaban las estellas fijas. Encontó una fuete oposición, tanto po pate de las autoidades eligiosas como del --

2 mundo científico y hubo de tanscui más de un siglo hasta se aceptada. Si el pime paso en este lago camino lo dio Copénico, los siguientes coespondieon a Keple y Galileo..1- LEYES DE KEPLER Keple fue un astónomo alemán patidaio de la Teoía Heliocéntica. Pate de su tabajo se basó en el análisis de una gan cantidad de datos astonómicos sobe los movimientos de los planetas que habían sido ecopilados po su maesto Tycho Bae. En el cuso de sus investigaciones se encontó con que no podía ajusta los datos que tenía sobe la óbita de Mate al sistema Heliocéntico. Después de vaios intentos po conseguilo, acabó po echaza la idea de óbita cicula de un planeta alededo del Sol y sustituila po la de óbita elíptica con el Sol ocupando uno de los focos de la elipse. Analizando todos sus datos, enunció tes leyes que descibían el movimiento planetaio y que contibuyeon años más tade, al nacimiento de la Ley de la Gavitación Univesal de Newton. 1º. Todos los planetas desciben óbitas elípticas planas con el Sol ocupando uno de los focos de la elipse En la mayoía de los casos las excenticidades de los planetas son muy pequeñas, po lo que pácticamente pueden considease cículos descentados. Apoximación a óbitas ciculaes º. Si imaginamos una ecta tazada desde el Sol a uno de los planetas, podemos afima que el áea baida po dicha ecta en un tiempo dado es la misma, independientemente de la zona de la óbita en la que éste se encuente. Po lo tanto la velocidad aeola de un planeta en tono al Sol, es constante. Así, un planeta se moveá más ápido en el peihelio (punto de la óbita más cecano al Sol) que en el afelio (punto más alejado) poque en el pimeo existe un adio meno y tendá que cubi más distancia paa bae (en un tiempo dado) la misma áea que en el segundo. 3º. Si T es el tiempo que un planeta emplea en da una vuelta completa en tono al Sol (peiodo de evolución) y el adio medio de la óbita, se cumple que el cuadado del peiodo de evolución es 3 diectamente popocional al cubo del adio medio T = K K es una constante de popocionalidad igual paa cualquie planeta y cuyo significado físico quedaá clao al aboda la teoía de la gavitación de Newton. --

3 Las leyes de Keple son empíicas y constituyen una descipción cinemática del sistema sola, peo en ellas no se contempla la causa que hace que estos movimientos sean así. Hubo que espea unos 70 años paa que Newton la estableciea: LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.. IMPORTANCIA DE GALILEO En la época de Newton (finales del XVII) la Teoía Heliocéntica se enseñaba en algunas univesidades. Paa su consolidación definitiva fueon fundamentales los descubimientos de GALILEO: Con su telescopio había obsevado montañas y valles en la Luna lo cual ponía de manifiesto que los cuepos celestes no ean ni muchísimo menos pefectos, tal y como se ceía hasta entonces. Po oto lado, también compobó que el planeta Júpite tenía lunas dando vueltas a su alededo. Es deci, la Tiea ya no ea el cento alededo del cual giaban todos los cuepos celestes. El establecimiento de la Teoía de la Gavitación culminó el poceso y puso fin a la baea que hasta entonces existía ente la Tiea y el Cielo, (consideados como dos mundos difeentes fomados po mateia distinta y cada uno gobenado po sus popias leyes). 3.- GRAVITACIÓN UNIVERSAL La idea de que la gavedad se extiende po todo el univeso se atibuye a Isaac Newton. Según cuenta la leyenda, concibió esta idea cuando estaba sentado bajo un ábol, sintió cae una manzana y al mia hacia aiba vio la Luna. Paece se que a Newton le intigaba el hecho de que la Luna no sigue una tayectoia en línea ecta sino que descibe cículos alededo de la Tiea. 1. Entendía el concepto de inecia que Galileo había desaollado. Sabía que en ausencia de fuezas extenas los objetos en movimiento continúan moviéndose con apidez constante y en línea ecta. También sabía que todo cambio en la apidez o diección de un objeto se debe a la acción de una fueza, y po tanto implica la existencia de aceleación 3. Sabía que el movimiento cicula es aceleado y equiee una fueza, peo no sabía cual ea esta. Newton tuvo la pespicacia paa compende que la Luna caía hacia la Tiea, peo cómo? LA LUNA CAE SOBRE LA TIERRA Paa da espuesta a la pegunta anteio, Newton compaó el movimiento de la Luna con el de un poyectil dispaado desde una montaña elevada, imaginó que la cima estaba po encima de de la atmósfea teeste paa que la esistencia del aie no influyea en su movimiento: Si la bala se dispaa con poca apidez seguiía una tayectoia paabólica y caeía a tiea muy ponto -3-

4 Si su apidez inicial fuea mayo, la cuvatua de la tayectoia seía meno, y la bala caeía más lejos Si la bala se dispaase con la apidez suficiente, la cuvatua de la tayectoia coincidiía con la de la Tiea, de modo que su tayectoia se convetiía en un cículo y la bala odeaía la Tiea indefinidamente, es deci, caeía alededo de ella. LA FUERZA QUE TIRA DE LAS MANZANAS Y LAS HACE CAER DE LOS ÁRBOLES ES LA MISMA QUE TIRA DE LA LUNA Y LA MANTIENE EN ÓRBITA LA GRAVEDAD NEWTON NO DESCUBRIÓ LA GRAVEDAD. LO QUE DESCUBRIÓ FUE QUE LA GRAVEDAD ES UNIVERSAL La idea de Newton paecía coecta. No obstante faltaba la espuesta definitiva, qué fueza ea ésa y como podía descibise matemáticamente? Mediante iguosos cálculos matemáticos llegó a las siguientes conclusiones: LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL 1. La inteacción gavitatoia ente dos cuepos es atactiva y puede expesase mediante una fueza diectamente popocional a la masa de los cuepos e invesamente popocional al cuadado de la distancia que Fueza m m 1 los sepaa α. La expesión anteio se tansfoma en una igualdad intoduciendo la constante de Gavitación Univesal G y m m Fueza = G cuyo valo es el S.I es G = 6'67x10-11 N m /kg Vectoialmente, expesaemos esta fueza de la siguiente manea: F = G u m m donde el signo negativo indica el caácte atactivo de la fueza y el vecto unitaio se emplea paa da a entende su actuación en la diección adial, es deci, a lo lago de la línea que une los centos de los cuepos. Con especto a esta expesión, debemos tene en cuenta algunas consideaciones de impotancia: 1. Paa esfeas unifomes, se considea que se compotan como si toda la masa estuviea concentada en el cento de las mismas. Po lo tanto, la distancia epesenta la distancia que existe ente los centos de los cuepos. Esta conclusión es aplicable al caso de los planetas.. La fueza que actúa sobe m 1 es igual que la que actúa sobe m peo diigida en sentido contaio tal y como establece el pincipio de acción y eacción. F 1 = F 1 = F.Así pues, la fueza que la Tiea ejece -4-

5 sobe la Luna es igual en magnitud que la fueza que la Luna ejece sobe la Tiea. Del mismo modo, la fueza con que la pieda atae a la Tiea es igual a la fueza con que la Tiea atae a la pieda. 4.- ESTUDIO DEL MOVIMIENTO PLANETARIO Al estudia la taslación de un planeta o satélite consideaemos a estos cuepos como puntos mateiales dotados de la masa del cuepo. Vamos a ve cuáles son las magnitudes caacteísticas de este movimiento, consideando además que la óbita que desciben es cicula: 4.1- MOMENTO ANGULAR ( L ) Si un cuepo o patícula de masa m se mueve con velocidad v y tiene una posición con especto a un oigen deteminado, definimos su momento angula en elación con ese oigen como el poducto vectoial de su posición po L = x p = x m v su momento lineal. Es deci: ( ) Esta magnitud define el estado de movimiento de un cuepo en movimiento cuvilíneo, y se caacteiza po: La diección de ( L ) es pependicula al plano fomado po y p Su sentido se deteminaá po la egla de la mano deecha (o también la de la mano izquieda) Su módulo viene dado po L = m v sen α Las unidades del momento angula en el S.I son m kg s Si consideamos un movimiento cicula, apoximación que podemos considea paa el movimiento planetaio y p son siempe pependiculaes y po lo tanto senα = 1 L = m v CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR Este poducto vectoial seá ceo y po tanto el momento angula se conseva en dos situaciones: 1. Cuando no actúa ninguna fueza sobe el cuepo.. Cuando y F tienen la misma diección. Es el caso de las conocidas como fuezas centales. En el caso del movimiento planetaio se cumple la segunda condición, po lo tanto es constante a lo lago del movimiento (cte tanto en módulo como en diección), y como consecuencia: Las óbitas de los planetas son planas La fueza esponsable del movimiento planetaio (fueza gavitatoia) es una fueza cental y actúa en la diección que une el planeta y el Sol. -5-

6 4.- CONSIDERACIONES EN EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATÉLITES Nomalmente, al estudia este movimiento consideamos que el planeta o satélite se encuenta giando con movimiento cicula unifome. Po lo tanto, debeá existi una fueza esultante diigida hacia el cento de la óbita. Es deci, el vecto fueza esultante sobe el cuepo que gia sólo tiene componente nomal: Esa fueza nomal es la fueza gavitatoia con la que el cuepo de masa m es ataído po el de masa M: DEMOSTRACIÓN DE LA 3ª LEY DE KEPLER A PARTIR DE LAS LEYES DE NEWTON Consideando que la fueza nomal que hace gia a un cuepo alededo de oto no es ota que la fueza gavitatoia, podemos escibi: F Gav = F Nomal G = m G = m v 4 π T G = m G = m = G ª 3 T a n v ( 3 Ley de Keple) Po tanto, años después de que Keple enunciaa la Ley, Newton demuesta matemáticamente su validez. -6-

7 5.- CAMPO GRAVITATORIO 5.1 CÓMO TIENE LUGAR LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA? CAMPO GRAVITATORIO El hecho de que la fueza gavitatoia actúe ente patículas que se encuentan sepaadas en el espacio, hace que debamos considea algún mecanismo de popagación de la inteacción. La Teoía de Campos establece que la pesencia de una patícula de masa M en una deteminada egión del espacio povoca una modificación de las popiedades de dicho espacio ceando una situación física que denominamos campo gavitatoio. Este campo se econoce poque al coloca una segunda patícula de masa m en dicha egión expeimenta una fueza de atacción gavitatoia que seá más intensa cuanto más póxima se sitúe de M. Análogamente m cea su campo gavitatoio que poduce una fueza sobe M. Es deci el campo gavitatoio es el agente intemediaio de la inteacción ente las dos patículas. 5. INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO Paa facilita el estudio del campo se intoduce una magnitud llamada intensidad del campo gavitatoio ( g ) en un punto, cuyo valo nos indica la fueza que actuaía sobe una masa de 1kg si la colocásemos en dicho punto. Po lo tanto, es una magnitud vectoial, cuya diección y sentido coincidiá con la del vecto fueza. Es impotante señala que dicho campo existe y que su intensidad en un punto dado es independiente de que en él se coloque o no masa alguna. Si consideamos una egión del espacio donde existe un campo ceado po un cuepo de masa M, tal y como se ve en el gáfico infeio: En cualquie punto situado dento del campo gavitatoio teeste existiá un vecto campo gavitatoio Si en algún punto se coloca una patícula de masa m, esta patícula se veá sometida a una fueza de atacción gavitatoia La fueza con la que la Tiea atae a un cuepo también se conoce como peso de dicho cuepo. Habitualmente se epesenta con la leta P, de modo que: P = m g Paa obtene el valo del campo gavitatoio geneado po una masa M en un punto F P en el que existe una masa m g = (se mediá en N / kg ) m -7-

8 5.3 REPRESENTACIÓN DEL CAMPO MEDIANTE LÍNEAS DE FUERZA Paa visualiza un campo se ecue a líneas de fueza que nos indican la diección y sentido de la fueza gavitatoia que expeimentaía una masa de pueba m colocada en la zona del campo gavitatoio Τ Si nos imaginamos una masa M ceadoa de un campo y pensamos que le ocuiía a una pequeña masa de pueba m si la fuésemos colocando en distintos puntos cecanos a M, veemos que las líneas de fueza han de se líneas ectas que llegan adialmente a la masa M Τ En aquellos lugaes donde las líneas de fueza están más sepaadas la intensidad del campo es meno y vicevesa 5.4 INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE Τ A una altua h sobe la supeficie g h M Tiea = G ( R + h Tiea ) Τ Sobe la supeficie g O = G M Tiea ( R ) Tiea ρ 4 3 π Τ A una pofundidad p g = G = G ρ π ( R p) p T donde ρ = M Tiea 3 ( 4 3 π ) es la densidad media de la Tiea. 5.5 PESO E INGRAVIDEZ La sensación de peso es igual a la fueza que ejeces conta el piso que te sostiene. Cuando el piso se acelea hacia aiba o hacia abajo, tu peso paece vaia. Cuando nada te sostiene (en caída libe) sientes que caeces de él. Peo la gavedad no ha desapaecido. Así pues estás ealmente en condiciones de ingavidez? La espuesta -8-

9 es lógicamente que NO. LOS ASTRONAUTAS EN ÓRBITA CARECEN DE UNA FUERZA DE SOPORTE Y SE ENCUENTRAN EN UN ESTADO CONTINUO DE INGRAVIDEZ LO QUE LES PRODUCE MAREOS HASTA QUE SE ACONTUMBRAN 6.- CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS DEL CAMPO GRAVITATORIO 6.1 FUERZAS CONSERVATIVAS La fueza gavitatoia es una FUERZA CONSERVATIVA. CUÁLES SON LAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS? Τ Τ Son fuezas bajo cuya acción se conseva la enegía mecánica del sistema Realizan un tabajo que sólo depende de la posición inicial y final, peo no de la tayectoia seguida. Esto implica que, el tabajo ealizado po la fueza gavitatoia paa desplaza una patícula de masa m desde una posición (O) a ota (O ), seá función únicamente de las posiciones inicial y final y no dependeá del camino seguido. Si la tayectoia es cíclica el tabajo ealizado po las fuezas consevativas es nulo. W = W = A B W C Τ Teniendo en cuenta que la ealización de un tabajo equivale a una vaiación de enegía, se define un tipo de enegía asociada a la posición y que se denomina enegía potencial de modo que, el tabajo ealizado po fuezas consevativas equivale a la vaiación negativa de la enegía potencial del sistema W = E = E ( posicion inicial) E ( posicion final) consevativas Τ En el caso de la fueza gavitatoia hablamos de Enegía potencial gavitatoia p p p E p = m g 6. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Si definimos la enegía potencial en téminos de tabajo, está clao que necesitamos dos puntos. Po este motivo, hay que establece una efeencia, un oigen de Enegía potencial. Fijaemos como valo ceo de Ep aquel en el que la fueza gavitatoia es ceo, lo cual sucede en el infinito. Po lo tanto, paa aveigua el valo de la enegía potencial de la masa m en el punto P (situado a una distancia de la masa m 1 ) calculaemos el tabajo ealizado po la fueza gavitatoia paa taslada a m desde el infinito hasta el P punto P: W = E ( ) E M ( ) = m G p p = G -9-

10 La enegía potencial de una patícula de masa m situada a una distancia de la masa ceadoa de ese campo es: E p = G (Julios) La Enegía potencial de una patícula en un punto es una magnitud escala que indica el tabajo que ealizaía la fueza gavitatoia paa llevala desde el infinito (Ep=0) hasta dicho punto 6.3 POTENCIAL GRAVITATORIO Una vez definida la Enegía potencial en un punto, definimos ota magnitud a la que llamaemos Potencial gavitatoio (V) en un punto, cuyo valo coincide con el que tendía la enegía potencial gavitatoia de una masa de 1 kg si la colocásemos en dicho punto. Conviene dase cuenta de que no es una magnitud vectoial y se mide en J/kg. Po ota pate, en cada punto del campo existe un potencial independientemente de que en él se coloque o no masa alguna, es deci, el potencial gavitatoio es una caacteística popia del campo. Paa conoce su valo en un punto deteminamos la enegía potencial de cualquie patícula, y después la dividimos ente su masa: V E m M = G M p = V = G ( J kg) Τ El potencial gavitatoio epesenta la enegía potencial adquiida po la unidad de masa en un punto del campo donde, evidentemente, hemos consideado como oigen de potenciales V ( ) = REPRESENTACIÓN GRÁFICA Po ota pate, un campo escala como el campo de potenciales se epesenta mediante las SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES que son aquellos lugaes geométicos en los que el potencial (V) toma el mismo valo. En este caso son esfeas concénticas en el punto donde está situada la patícula ceadoa del campo. 6.5 VELOCIDAD DE ESCAPE Supongamos que deseamos que un cuepo de masa (m) abandone el campo gavitatoio teeste y no vuelva a él. En téminos físicos significa que el cuepo ha de llega hasta una distancia infinita donde la Ep=0). Paa conseguilo, tendemos que comunicale una enegía en foma de enegía cinética que haga que -10-

11 el cuepo adquiea la velocidad suficiente paa escapa de la acción del campo gavitatoio teeste y a la que denominamos velocidad de escape. Esta definición es aplicable a cualquie oto planeta o satélite CÓMO PODEMOS AVERIGUAR SU VALOR? Puesto que la fueza gavitatoia es consevativa, la enegía mecánica se conseva en todos los sistemas en los que se ve implicada, y aplicando esta condición podemos aveigua el valo de v e (velocidad de escape): 6.6 ENERGÍA Y ÓRBITAS La constancia de las óbitas planetaias pemite supone que la enegía mecánica de los planetas y satélites de nuesto sistema sola se mantiene constante. Supongamos un cuepo de masa (m) que descibe una óbita cicula a una distancia () del cento teeste ( = T + h) y que m << m T. La enegía potencial es, en consecuencia E p = G Si la óbita es cicula, la fueza gavitatoia es además, centípeta po lo que Lo cual nos pemitiá escibi la enegía cinética del cuepo en óbita como: En consecuencia, su Em total que seá: E = Ec + Ep. Puede escibise como: E C G = m 1 = m v v = G E m = G G = G E m = G Τ Como puede vese es una enegía negativa lo cual sucede paa óbitas ciculaes, en óbitas elípticas y, en geneal, paa cualquie óbita ceada. Τ En el sistema sola, casi todos los cuepos desciben óbitas elípticas. Los planetas y la mayoía de los satélites tienen excenticidades bajas, de modo que en algunos casos las óbitas son casi ciculaes. Sin embago, cietos asteoides y -11-

12 la mayoía de los cometas tienen excenticidades gandes Τ Τ Las tayectoias con enegía mecánica positiva son de foma hipebólica Las tayectoias con enegía mecánica ceo son de foma paabólica. PROBLEMAS 1. Cuato masas puntuales están situadas en los vétices de un cuadado como se ve en la figua. Detemina: a) Módulo, diección y sentido del campo gavitatoio ceado po las cuato masas en el cento del cuadado b) Potencial gavitatoio en este mismo punto DATOS: m 1 =m =m 3 =100 kg, m 4 =00kg, L=3m, G= 6,67x10-11 Nm kg -. Dos masas de y 5 kg se encuentan sepaadas una distancia de 1 m. En qué punto a lo lago de la línea que las une se anula el potencial gavitatoio? Y el campo? 3. Tenemos cuato patículas iguales de kg de masa en los vétices de un cuadado de 1 m de lado. Detemina el módulo de la fueza gavitatoia que expeimenta cada patícula debido a la pesencia de las otas tes. 4. En qué punto se anulan los campos gavitatoios ceados po la Tiea y la Luna sabiendo que la masa de la Luna es la ochentava pate de la Tiea DATOS: M T = 5,98x10 4 kg, Distancia Tiea-Luna= km 5. Tes masas de, 8, y 4 kg se encuentan en los puntos B(,0), O(0,0), y A(0,), espectivamente a) Halla el campo gavitatoio en el punto (,) b) Qué tabajo había que ealiza paa lleva una masa de 5 kg desde el infinito hasta (,)? 6. Halla la velocidad de escape paa un poyectil en Mate sabiendo que la gavedad en su supeficie es 0,38 veces la de la Tiea. DATO: Radio de Mate=300 km 7. Un satélite de x10 3 kg de masa gia alededo de la Tiea en una óbita cicula de x10 4 km de adio. a) Sabiendo que la gavedad en la supeficie de la Tiea es de 9,8 ms -1, cuál seá el valo de la gavedad en esta óbita? b) Cuánto vale la velocidad angula del satélite? c) Si po alguna cicunstancia la velocidad del satélite se anulaa, este empezaía a cae sobe la Tiea. Con qué velocidad llegaá a la supeficie teeste? Supone despeciable el ozamiento con el aie. DATO: Radio de la Tiea= 6370 km 8. Se coloca un satélite meteoológico de 1000 kg en óbita cicula a 300 km sobe la supeficie teeste. Detemine: a) La velocidad lineal, la aceleación adial y el peiodo de la óbita. b) La enegía que se equiee paa pone en óbita el satélite DATOS: g (en la supeficie)=9,8 m /s, R T = 6370 km -1-

13 9. (C) Paa los planetas del sistema sola, según la tecea ley de Keple, la elación R 3 /T es constante y vale 3,35x10 18 m 3 /s, siendo R el adio de sus óbitas y T el peiodo de otación. Suponiendo que las óbitas son ciculaes, calcula la masa del Sol. (Junio 000) DATO: G=6,67x10-11 SI 10. (P) Se desea coloca en óbita un satélite de comunicaciones, de tal foma que se encuente siempe sobe el mismo punto de la supeficie teeste (óbita geoestacionaia). Si la masa del satélite es de 1500kg, se pide calcula: a) Altua sobe la supeficie teeste a la que hay que situa el satélite b) Enegía total del satélite cuando se encuente en óbita DATOS: G=6,67x10-11 SI; M Tiea =5,98x10 4 kg; R Tiea =6370km (Septiembe 000) 11. (P) Sean dos masas puntuales de 100kg y 150kg, situadas en los puntos A(-,0) m y B(3,0) m, espectivamente. Se pide calcula: a) Campo gavitatoio en el punto C (0,4) m b) Tabajo necesaio paa desplaza una patícula de 10 kg de masa desde el punto C(0,4) m hasta el punto O(0,0) m DATO: G=6,67x10-11 SI (Septiembe 000) 1. (C) Si la Luna siguiea una óbita cicula en tono a la Tiea, peo con un adio igual a la cuata pate de su valo actual, cuál seía su peiodo de evolución? DATO: Toma el peiodo actual igual a 8 días (Junio 001) 13. (C) Cuál debeía se la velocidad inicial de la Tiea paa que escapase del Sol y se diigiea hacia el infinito?.supóngase que la Tiea se encuenta descibiendo una óbita cicula alededo del Sol DATOS: Distancia T-Sol= 1,5x10 11 m; M Sol =x10 30 kg; G=6,67x10-11 N m /kg (Junio 001) 14. (C) Enuncia las leyes de Keple. Demosta la tecea de ellas, paa el caso de óbitas ciculaes, a pati de las leyes de la mecánica newtoniana (Septiembe 001) 15. (C) El satélite Euopa tiene un peiodo de otación alededo de Júpite de 85 hoas y su óbita, pácticamente cicula, tiene un adio de 6,67x10 5 km. Calcula la masa de Júpite. DATO: G= 6,67x10-11 SI (Septiembe 001) 16. (P) Se detemina, expeimentalmente, la aceleación con la que cae un cuepo en el campo gavitatoio teeste en dos laboatoios difeentes, uno situado al nivel del ma y oto situado en un globo que se encuenta a una altua h=19570 m sobe el nivel del ma. Los esultados obtenidos son g= 9,81 m/s en el pime laboatoio y g = 9,75 m/s en el segundo laboatoio. Se pide: a) Detemina el valo del adio teeste (1, puntos) b) Sabiendo que la densidad media de la Tiea es d T =553 kg/m 3, detemina el valo de la constante de gavitación G (0,8 puntos) (Junio 00) 17. (P) Un satélite de 500 kg de masa se mueve alededo de Mate, descibiendo una óbita cicula a 6x10 6 m de su supeficie. Sabiendo que la aceleación de la gavedad en la supeficie de Mate es 3,7 m/s y que su adio es 3400 km, se pide: a) Fueza gavitatoia sobe el satélite(0,7 puntos) b) Velocidad y peiodo del satélite (0,7 puntos) c) A qué altua debeá el satélite paa que su peiodo fuese el doble?(0,6 puntos) (Junio 00) -13-

14 18. (C) Un astonauta que se encuenta dento de un satélite en óbita alededo de la Tiea a 50 km, obseva que no pesa. Cuál es la azón de este fenómeno?. Calcula la intensidad del campo gavitatoio a esa altua. Comenta el esultado. DATOS: G=6,67x10-11 SI; M Tiea =5,98x10 4 kg; R Tiea =6370 km (Septiembe 00) 19. (C) La Tiea gia alededo del Sol ealizando una óbita apoximadamente cicula. Si po cualquie causa, el Sol pediea instantáneamente las tes cuatas pates de su masa, continuaía la Tiea en óbita alededo de este?razona la espuesta (Septiembe 00) 0. (C) Calcula el cociente ente la enegía potencial y la enegía cinética de un satélite en óbita cicula (Junio 003) 1. (C) Una patícula puntual de masa 3M se coloca en el oigen de un cieto sistema de coodenadas, mientas que ota de masa M se coloca sobe el eje X a una distancia de 1 m especto del oigen. Calcula las coodenadas del punto donde el campo gavitatoio es nulo (Junio 003).. (C) Si consideamos que las óbitas de la Tiea y de Mate alededo del Sol son ciculaes, cuántos años teestes dua un año maciano?.el adio de la óbita de Mate es 1,486 veces mayo que el teeste (Septiembe 003) 3. (C) Dibuja las líneas de campo del campo gavitatoio poducido po dos masas puntuales iguales sepaadas una cieta distancia Existe algún punto en el que la intensidad del campo gavitatoio sea nula En caso afimativo indica en qué punto. Existe algún punto en el que el potencial gavitatoio sea nulo? En caso afimativo indica en que punto (Septiembe 003) 4. (P) Un satélite atificial de 500 kg de masa se mueve alededo de un planeta, descibiendo una óbita cicula con un peiodo de 4,47 hoas y un adio de km. Se pide: a) Fueza gavitatoia que actúa sobe el satélite b) La enegía cinética, la enegía potencial y la enegía total del satélite en su óbita c) Si, el satélite duplica epentinamente su velocidad sin cambia la diección, se alejaá éste indefinidamente del planeta? Razona la espuesta (0,7 puntos) (Junio 004) 5. (P) Una patícula puntual de masa m 1 =10kg está situada en el oigen O de un cieto sistema de coodenadas. Una segunda patícula puntual de masa m =30 kg está situada, sobe el eje X, en el punto A de coodenadas (6,0) m. Se pide: a) El módulo, la diección y sentido del campo en el punto B de coodenadas (,0) m.(0,7 puntos) b) El punto sobe el eje X paa el cual el campo gavitatoio es nulo( 0,7 puntos) c) El tabajo ealizado po el cuando la masa m se taslada desde el punto A hasta el punto C de coodenadas (0,6) m (0,6 puntos) DATO: G=6,67x10-11 (Junio 004) 6. (P) La óbita de una de las lunas de Júpite, Io, es apoximadamente cicula con un adio de 4,0x10 8 m. El peiodo de la óbita vale 1,53x10 5 s. se pide: a) El adio de la óbita de la luna de Júpite que tiene un peiodo de 1,44x10 6 s(0,6 puntos) b) La masa de Júpite (0,7 puntos) c) El valo de la aceleación de la gavedad en la supeficie de Júpite (0,7 puntos) DATOS: Radio de Júpite R j =71400 km, G=6,67x10-11 Nm /kg (Septiembe 004) -14-

15 7. (P) Un satélite geoestacionaio es aquel que se encuenta siempe en la misma posición especto a un punto de la supeficie de la Tiea. Se pide: a) La distancia sobe la supeficie teeste a la que ha de situase un satélite geoestacionaio(1.5 puntos) b) La velocidad que llevaá dicho satélite en su óbita geoestacionaia (0,5 puntos) DATOS: M T =6x10 4 kg; R T =6370 km; G=6,67x10-11 Nm /kg (Septiembe 004) 8. (C) Calcula el adio de la Tiea R T, sabiendo que la enegía potencial gavitatoia de un cuepo de masa 0 kg, situado a una altua R T sobe la supeficie teeste es E P =-1,446x10 9 J. Toma como dato el valo de la aceleación de la gavedad sobe la supeficie teeste g=9,8 m/s (Junio 005) 9. (C) Un satélite de masa m descibe una óbita cicula de adio R alededo de un planeta de masa M, con velocidad constante V. Qué tabajo ealiza la fueza que actúa sobe el satélite duante una vuelta completa? Razona la espuesta (Junio 005) 30. (P) Un objeto de masa m=1000 kg se aceca en diección adial a un planeta de adio R p =6000km, que tiene una gavedad g=10m/s en su supeficie. Cuando se obseva este objeto po pimea vez se encuenta a una distancia R O =6R p del cento del planeta. Se pide: a. Qué enegía potencial tiene este objeto cuando se encuenta a la distancia R O? b. Detemina la velocidad inicial del objeto v 0, es deci, cuando está a la distancia R O, sabiendo que llega a la supeficie del planeta con una velocidad v=1km/s (Septiembe 005) 31. (P) Dos patículas puntuales con la misma masa m 1 =m =100kg se encuentan situadas en los puntos (0,0) y (,0) m, espectivamente. Se pide: a. Qué valo tiene el potencial gavitatoio en el punto (1,0) m? Tómese el oigen de potenciales en el infinito. Calcula el campo gavitatoio, módulo, diección y sentido, que genean esas dos masas en el punto (1,0) m. b. Si la masa m se dejaa en libetad, la fueza gavitatoia haía que se acecaa a la masa m 1. Si no actúa ninguna ota fueza, qué velocidad tendá cuando esté a una distancia de 30cm de m 1? Dato: G=6,7x10-11 Nm /kg (Septiembe 005) 3. (P) Una sonda espacial de masa m=100 kg se sitúa en una óbita cicula de adio =6000 km, alededo de un planeta. Si la enegía cinética de la sonda es E c =5,4x10 9 J. Calcula: a. El peiodo obital de la sonda b. La masa del planeta Dato: G=6,7x10-11 Nm /kg (Junio 006) 33. (P) Febos es un satélite que gia en una óbita cicula de adio =14460 km alededo del planeta Mate con un peiodo de 14 hoas, 39 minutos y 5 segundos. Sabiendo que el adio de Mate es R M =3394 km, calcula: a. La aceleación de la gavedad en la supeficie de Mate b. La velocidad de escape de Mate de una nave espacial situada en Febos (Junio 006) 34. (C) Enuncia las Leyes de Keple -15-

16 35. (C) Calcula la velocidad a la que obita un satélite atificial situado en una óbita que dista 1000 km de la supeficie teeste. DATOS: G=6,67x10-11 SI; M Tiea =5,98x10 4 kg; R Tiea =6370km (Septiembe 006) 36. (P) Un objeto de masa M 1 =100 kg está situado en el punto A de coodenadas (6,0) m. Un segundo objeto de masa M =399 kg está situado en el punto B de coodenadas (-6,0) m. Calcula: a. El punto sobe el eje X paa el cual el campo gavitatoio es nulo b. El tabajo ealizado po el campo gavitatoio cuando la masa M 1 se taslada desde el punto A hasta el punto C de coodenadas (-6,6) m Dato: G=6,7x10-11 Nm /kg (Junio 007) 37. (P) Sabiendo que el adio obital de la Luna es de 3,8x10 8 m y que tiene un peiodo de 7 días, calcula: a. El adio de la óbita de un satélite de comunicaciones que da una vuelta a la Tiea cada 4 hoas (satélite geoestacionaio) b. La velocidad de dicho satélite (Junio 007) 38. (C) Define el momento angula de una patícula de masa m y velocidad v especto a un punto O. Pon un ejemplo azonado de Ley o fenómeno físico que sea una aplicación de la consevación del momento angula. (Septiembe 007) 39. Calcula el tabajo necesaio paa pone en óbita de adio un satélite de masa m, situado inicialmente sobe la supeficie de un planeta que tiene adio R y masa M. Expesa el esultado en función de los datos anteioes y de la constante de gavitación univesal G. (Septiembe 007) 40. El cometa Halley se mueve en una óbita elíptica alededo del Sol. En el peihelio, el cometa está a 8,75x10 7 km del Sol y en el afelio está a 5,6x10 9 km del Sol. a) En cual de estos puntos tiene el cometa mayo velocidad? Y mayo aceleación? b) En qué punto tiene mayo enegía potencial? Y mayo Enegía mecánica? 41. Un sistema estela es una agupación de vaias estellas que inteaccionan gavitatoiamente. En un sistema estela binaio, una de las estellas, situada en el oigen de coodenadas, tiene una masa m 1 = kg, y la ota masa m = kg y se encuenta sobe el eje X en la posición (d, 0), con d = 10 6 km. Suponiendo que dichas estellas se pueden considea masas puntuales, calcula: a) El módulo, diección y sentido del campo gavitatoio en el punto intemedio ente las dos estellas b) El punto sobe el eje X paa el cual el potencial gavitatoio debido a la m 1 es igual al de la m. c) El módulo, diección y sentido del momento angula de m especto al oigen, sabiendo que su velocidad es (0, v), siendo v = m/s. (Junio de 009) 4. Hay tes medidas que se pueden ealiza con elativa facilidad en la supeficie de la Tiea: la aceleación de la gavedad (9,8 m/s), el adio teeste (6,37 106m) y el peiodo de la óbita luna (7 días, 7 hoas y 44 segundos): a) Utilizando exclusivamente estos valoes y suponiendo que se desconoce la masa de la Tiea, calcula la distancia ente el cento de la Tiea y el cento de la Luna. b) Calcula la densidad de la Tiea sabiendo que G = 6, Nm/kg (Junio de 009) -16-

17 BLOQUE : 1.- La distancia de Júpite al Sol es 5, veces mayo que la de la Tiea al Sol. Calcula el peíodo de Júpite. Sol: 11,86 años.- Dos masas de 5 y 10 Kg, espectivamente, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m. Calcula el vecto fueza que actúa sobe cada una de ellas debido a la acción gavitatoia de la ota masa. Repesenta en un esquema las masas y los vectoes fueza. Sol: F 1, = 1,6 i 1, j ; F,1 = -1,6 i + 1, j 3.- Al envia un satélite a la Luna se le sitúa en una óbita que cota a la ecta que une los centos de la Tiea y la Luna po el punto en el que las fuezas que sufe el satélite po la atacción de los dos astos son iguales. Cuando el satélite se encuenta en ese punto, calcula la distancia a la que está del cento de la Tiea. Datos: la masa de la Tiea es 81 veces mayo que la de la Luna. Distancia Tiea-Luna: 3, m Sol: 3, m 4.- Detemina la masa del Sol teniendo en cuenta que la Tiea tada un año en completa una vuelta en tono a él y que el adio medio de su óbita es de 149,6 millones de kilómetos. Dato: G = Nm /kg Sol: 1, kg 5.- Un satélite atificial descibe una óbita cicula en tono a la Tiea a una altua sobe la supeficie teeste de 3185 km. Calcula la velocidad de taslación del satélite y su peíodo de evolución. Datos: R T = 6370 km; M T = 5, kg Sol: 6461 m/s; 99 s 6.- Un objeto puntual P, de masa m, se encuenta en el inteio de un campo gavitatoio que cea ota masa M. Dicho objeto se mueve con movimiento cicula unifome, de adio R, alededo de la masa M. Calcula la vaiación de la enegía del objeto al da una vuelta. Si el objeto estuviea inicialmente en eposo, cómo se moveía? 7.- Una masa se desplaza en un campo gavitatoio desde un luga en el que su enegía potencial vale -00 J hasta oto donde vale -400 J. Calcula el tabajo ealizado po el campo. Sol: 00 J 8.- Un astonauta de 100 kg de masa (incluyendo el taje) se encuenta sobe la supeficie de un asteoide de 1, kg. a) Detemina la velocidad con que debe impulsase el astonauta paa abandona el asteoide. b) El astonauta caga ahoa con una mochila cuya masa es de 40 kg. Le seá más fácil sali del asteoide? Po qué? Dato: G = Nm /kg Sol: 1,33 m/s 9.- Un satélite de 1000 kg gia en una óbita geoestacionaia. Calcula la enegía total que tiene en su óbita. Datos: R T = 6370 km; M T = 5, kg; G = Nm /kg -17-

18 10.- Dos patículas puntuales de 100 kg de masa, se encuentan situadas en los puntos (0,0) y (,0) m, espectivamente. Se pide: a) Qué valo tiene el potencial gavitatoio en el punto (1,0) m? Tómese el oigen de potenciales en el infinito. b) Si una de las masas se deja en libetad, la fueza gavitatoia haía que se acecaa hacia la ota. Si no actúa ninguna ota fueza, qué velocidad tendá cuando esté a una distancia de 30 cm? Dato: G = Nm /kg Sol: 1, Nm/kg;, m/s -18-

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