RAMO: ESTADÍSTICA II UNIDAD I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES

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1 RAMO: ESTADÍSTICA II UNIDAD I MUESTREO Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES

2 CLASE. MUESTRA ALEATORIA E estadístca, el cocepto de muestra aleatora, debe quedar claro desde el comezo del estudo, pues es la base del tópco de muestreo. Ua muestra aleatora, de tamaño de ua poblacó x, es ua sucesó de varables aleatoras depedetes x, x,..., x ; co détca ley de probabldades que x. Se etederá por détca ley de probabldades como la msma posbldad de ser elegdo. E otras palabras, ua muestra aleatora de tamaño es: Ua coleccó de varables aleatoras Todas co la msma dstrbucó Todas depedetes Como se puede observar, esta defcó dealza la operacó de repetr veces la observacó de la msma varable, sedo las repetcoes e cuestó, depedetes ua de otra. Se utlzará las sguetes defcoes formales: Muestra aleatora: Es la muestra que se toma de la poblacó, de modo que cada udad dspoble para la observacó tega la msma probabldad de ser cluda e la muestra, es decr, todos los elemetos tee la msma probabldad de ser elegdos.

3 Varable Aleatora: Se dce que ua fucó: X : Ω R, es ua varable aleatora s la "suerte" de realzacó de sus posbles valores puede establecerse co ayuda de los resultados de la expereca aleatora e estudo, cuyo espaco muestral es Ω.Se trata, e deftva, de ua fucó que asga u valor umérco a cada uo de los resultados de ua expereca aleatora (R expereca aleatora). Por lo ateror, podemos defr que: Ua varable aleatora es u úmero que depede del resultado aleatoro de u expermeto y es ua regla que asga u valor umérco (sólo uo) a cada puto e el espaco muestral de u expermeto aleatoro Varable aleatora depedete: Se dce que varables aleatoras so depedetes s cada uo de sus valores de probabldad cojuta, es gual al producto de los correspodetes valores de las Margales probabldades margales. Ua vez obteda la muestra, es decr, cuado se ha extraído los dvduos de la poblacó y meddo la varable X e cada uo de ellos, se dspodrá de datos u observacoes: Muestra: X, X,..., X. Por lo tato, para que ua varable aleatora, defda a partr de ua muestra aleatora de tamaño, tome valores, es ecesaro dspoer de los datos de la obtecó muestral. Todo cojuto de N udades, tomadas de ua poblacó dada, se puede cosderar como muestra de tamaño N de la poblacó. Ua muestra aleatora se puede tomar co o s reemplazo. Para más acerca de varables aleatoras, revsar aputes estadístca I 3

4 S se toma co reemplazo, la udad tomada se vuelve a colocar e la poblacó y puede ser seleccoada uevamete, por lo que el úmero de udades dspobles para segur la operacó o se afecta. Lo ateror se cooce como Muestreo Aleatoro Smple. S se toma s reemplazo, la udad escogda o se vuelve a colocar e la poblacó. Por lo que, el úmero de udades que queda tras cada udad que se saca, se reduce e ua udad y e cosecueca la probabldad de sacar cualquer udad restate e operacoes sucesvas aumeta.. MUESTREO La prcpal utldad de la estadístca ferecal e la vestgacó del comportameto, es la de realzar ferecas acerca de u úmero grade de persoas (poblacó), o de otras udades observacoales, esto a partr de datos coceretes a u grupo relatvamete pequeño de persoas. La teoría del muestreo tee por objetvo, el estudo de las relacoes exstetes etre la dstrbucó de u carácter e dcha poblacó y las dstrbucoes de dcho carácter e todas sus muestras. El muestreo ayuda a la obtecó de formacó acerca de u todo tomado sólo ua parte o muestra. Ua poblacó está determada por sus característcas deftoras. Por lo tato, el cojuto de elemetos que posea esta característca se deoma poblacó o uverso. Poblacó es la totaldad del feómeo a estudar, dode las udades de observacó posee ua característca comú, la que se estuda y da orge a los datos de la vestgacó. Etoces, ua poblacó es el cojuto de todas las cosas que cocuerda co ua sere determada de especfcacoes. U ceso, por ejemplo, es el recueto de todos los elemetos de ua poblacó. Cuado o es posble medr todos los dvduos de ua poblacó, se toma ua muestra represetatva de la msma. Cuado se seleccoa alguos elemetos co la tecó de averguar algo sobre ua poblacó determada, os refermos a este grupo de elemetos como muestra. Por supuesto, se espera que lo que averguado e la muestra sea certo para la poblacó e su cojuto. La exacttud de la formacó recolectada depede e gra maera de la forma e que fue seleccoada la muestra. 4

5 La muestra descasa e el prcpo de que las partes represeta al todo y, por tal, refleja las característcas que defe la poblacó de la que fue extraída, lo cual os dca que es represetatva. Por lo tato, la valdez de la geeralzacó depede de la valdez de los datos y el tamaño de la muestra. CLASE Leyes del método de muestreo El método de muestreo se basa e certas leyes que le otorga su fudameto cetífco, las cuales so: Ley de los grades úmeros: s e ua prueba, la probabldad de u acotecmeto o suceso es P, y s éste se repte ua gra catdad de veces, la relacó etre las veces que se produce el suceso y la catdad total de pruebas (es decr, la frecueca del suceso) tede a acercarse cada vez más a la probabldad P. Cálculo de probabldades: La probabldad de u hecho o suceso es la relacó etre el úmero de casos favorables (p) a este hecho co la catdad de casos posbles, supoedo que todos los casos so gualmete posbles. El método de establecer la probabldad es lo que se deoma cálculo de probabldad. De estas dos leyes fudametales de la estadístca, se fere aquellas que srve de base más drectamete al método de muestreo: Ley de la regulardad estadístca: u cojuto de udades seleccoadas al azar de u cojuto N (poblacó), es cas seguro que tega las característcas del grupo más grade. Ley de la erca de los grades úmeros: esta ley es cotrara a la ateror. Se refere al hecho de que e la mayoría de los feómeos, cuado ua parte varía e ua dreccó, es probable que ua parte gual del msmo grupo, varíe e dreccó opuesta. Ley de la permaeca de los úmeros pequeños: s ua muestra sufcetemete grade es represetatva de la poblacó, ua seguda muestra de gual magtud deberá ser semejate a la prmera; y, s e la prmera muestra se ecuetra pocos dvduos co característcas raras, es de esperar ecotrar gual proporcó e la seguda muestra. Valdez es el grado e que ua stuacó o strumeto de medda, mde lo que realmete pretede o quere medr. A la valdez e ocasoes se la deoma exacttud, es el crtero fudametal para valorar s el resultado obtedo e el estudo es adecuado. 5

6 Al hablar de poblacó, os podemos referr por ejemplo a los estudates de ua uversdad, o el cojuto de famlas chleas. La poblacó de terés, es seleccoada por el vestgador, y debe ser defda e forma clara y precsa, de tal forma que sempre pueda clasfcarse u elemeto como perteecete a ella o o. Se ha de supoer, que e cada elemeto 4 de la poblacó se ha defdo ua varable 5, que puede ser del tpo cualtatva (como el sexo, acoaldad) o cuattatva (como la edad), y de las cuáles se desea coocer su dstrbucó etre los elemetos de la poblacó. A cotuacó se defe alguos térmos utlzados frecuetemete a lo largo del estudo. Muestreo: Es la actvdad por la cual se seleccoa certas muestras de ua poblacó de elemetos, basados e certos crteros de decsó. El muestreo es mportate porque a través de él se puede realzar aálss de stuacoes de ua empresa o de algú campo de la socedad y su fucó básca es determar que parte de ua poblacó debe examarse, co la faldad de hacer deduccoes sobre dcha poblacó. Poblacó: Ua poblacó es la totaldad de objetos o dvduos de los cuales queremos obteer formacó. Muestra: Ua muestra es u subcojuto de la poblacó, el cual es realmete observado. 4 Se llama elemeto a las etdades sobre las cuales se reúe los datos. 5 Varable es ua característca de terés de los elemetos. 6

7 Parámetro: Ua parámetro es ua medda umérca usada para descrbr algua característca de ua poblacó, tal como ua meda artmétca, ua medaa o ua desvacó estádar de ua poblacó. Estadístco o Estadígrafo: U estadístco es ua medda usada para descrbr algua característca de ua muestra, tal como ua meda artmétca, ua medaa o ua desvacó estádar de ua muestra. E muchos casos, la forma de dstrbucó es coocda por estudos aterores o vee dada de acuerdo a la forma de recoger la formacó. Geeralmete, se requere coocer los parámetros de la poblacó, es decr, aquellas característcas que os permtrá determar la dstrbucó de la muestra. Ejemplo Nº S la dstrbucó de ua varable x estudada, es ormal, quedará perfectamete defda determado la meda y la desvacó típca de la muestra (estadístca). E sítess, cuado la poblacó cotee muchos elemetos o es posble acosejable medr la varable de terés e todos ellos; e estas ocasoes, e lugar de realzar u ceso 3, se seleccoa u cojuto de elemetos que se deoma muestra. Por lo tato podemos decr que, Parámetro es la característca que descrbe a ua poblacó y Estadístco es la característca que descrbe a ua muestra. 3 Ceso es u estudo exhaustvo y completo de todos los elemetos de ua poblacó. 7

8 Cuadro Nº : Estadístca v/s Parámetro Meda Símbolo para el Estadístco (muestra) Símbolo para el parámetro (poblacó) Meda x µ Desvacó estádar s σ Número de elemetos N Proporcó p p CLASE 3 Las vetajas de estudar ua poblacó a partr de ua muestra, so prcpalmete: Costo reducdo S los datos que se busca puede ser obtedos a partr de ua pequeña parte del total de la poblacó, los gastos de recoger y procesar los datos será meores. Por ejemplo, cuado se realza ecuestas prevas a ua eleccó polítca, es más barato pregutar a 5. persoas su tecó de voto, que a... Mayor rapdez Es posble obteer resultado e forma más rápda al observar ua pequeña muestra que la poblacó total. Por ejemplo se acostumbra a ver como co los resultados del escruto de las prmeras mesas electorales, se obtee ua aproxmacó bastate buea del resultado fal de uas eleccoes, muchas horas ates de que el recueto fal de votos haya falzado. Más posbldades Exste más posbldades para hacer certo tpo de estudos, por ejemplo la duracó de certo tpo de ampolletas, o es posble e la práctca destrurlas todas para coocer su vda meda, ya que o quedaría ada que veder. Es mejor destrur sólo ua pequeña parte de ellas y sacar coclusoes sobre las demás. Cuado la muestra está be seleccoada, se puede obteer ua formacó smlar a la del ceso, pero de maera más rápda y a u meor costo. Esto justfca que e la práctca que el aálss de poblacoes que so muy grades, se realce de prefereca, medate muestreo. 8

9 Como se puede observar el cuadro Nº se llama N al tamaño de la poblacó y al úmero de elemetos que forma la muestra, o tamaño muestral, segú correspoda. Podemos defr:. Fraccó de muestreo: (/N) al cuocete etre el tamaño muestral y el de la poblacó.. Factor de elevacó: (N/) al cuocete etre el tamaño de la poblacó y el de la muestra. Es el verso de la fraccó de muestreo y represeta el úmero de udades que exste e la poblacó por cada elemeto de muestra. Ejemplo N E ua poblacó de. persoas, se desea obteer ua muestra de 5 persoas. Etoces, la fraccó de muestreo (f) es: (f) 5/..5 La fraccó de muestreo dca que se va a vestgar el 5% de la poblacó. El factor de elevacó, que se deota (fe), es: (fe)./5 Este valor dca, que cada persoa e la muestra represeta a de la poblacó. Realce ejerccos Nº al 3 De este modo, es posble destacar que al hacer estadístca ferecal se debe efretar dos tpos de problemas: La eleccó de la muestra para la realzacó de la vestgacó (muestreo), y La extrapolacó de las coclusoes obtedas sobre la muestra, al resto de la poblacó (fereca). Es decr, los resultados obtedos de la muestra puede ser geeralzados a toda la poblacó Pero bajo qué codcoes, resulta apropada ua muestra? 9

10 Exste ua sere de factores que cde e la respuesta de esta preguta, y que resulta fudametales e estadístca ferecal. Ua prmera codcó, es el tamaño que ha de teer la muestra. Parece evdete, que a mayor tamaño de la muestra, más se acercará los estadístcos que se calcule, a los parámetros de la poblacó E la práctca real, el úmero de elemetos de ua muestra está determado por ua sere de factores, tales como: grado de fabldad deseado, dfcultad e la eleccó de los elemetos que la compoga, tempo ecesaro para la eleccó, costos y otros. La seguda codcó, pero o meos mportate, es cómo debe ser elegdos los elemetos que compoga la muestra? Para ser váldas, las muestras elegdas debe ser represetatvas, esto es, s se desea ferr los resultados de ua muestra, e ella se ha de reproducr e gual porcetaje el carácter estudado, que e la poblacó total. Por tato, será ecesaro, que e el mometo de la eleccó de los elemetos de la muestra, se verfque que todos los elemetos de la poblacó tega gual probabldad de ser elegdos para la muestra. Cuado alguos membros de la poblacó tee ua probabldad más alta que los otros de estar represetados e ua muestra, se dce que exste u sesgo de seleccó y la muestra puede o ser represetatva de la poblacó. Ejemplo N 3 S se toma como poblacó a todos los alumos de ua uversdad; s exste dferecas marcadas de opó etre los alumos atguos y los mechoes, y la muestra sólo cluye a los atguos, ésta tedrá u sesgo de seleccó. Es mportate destacar, que el sesgo de seleccó o se elma co el tamaño muestral, al pregutar a. estudates, e lugar de, o hace meor el sesgo de seleccó. Sesgo de seleccó Cuado la muestra escogda o es represetatva de la poblacó, ya que alguos membros de la poblacó tee ua probabldad mayor que otros de estar represetados e la muestra, se dce que la muestra está sesgada o tee errores.

11 Cuado o se tee e cueta estas dos codcoes báscas, las ferecas realzadas so defcetes. Exste ua varedad de "metras estadístcas", procedetes de afrmacoes basadas e pequeñas muestras, o e muestras o represetatvas. Ejemplo N 4 S se dce "7 de cada detstas cosultados recomeda el detífrco X", o debemos ferr que el 7% de los detstas los recomeda, hasta saber de que forma fuero elegdos los detstas cosultados, y cuátos fuero e total.. Métodos de Seleccó de Muestras Los cálculos estadístcos de muestras srve para dar formacó acerca de las característcas de la poblacó objetvo 4. Exste varas formas apropadas de seleccoar muestras, pero també, métodos de muestreo apropados. Se cooce como método de muestreo apropado, a aquél que maxmza la probabldad de que: La muestra resultate sea adecuadamete represetatva de la poblacó. Los estadígrafos o estadístcos de la muestra resultate proporcoa estmacoes precsas de los parámetros de la poblacó. Las muestras o represetatvas, co frecueca provee de muestras accdetales, coveetes o de volutaros autoseleccoados; las geeralzacoes basadas e este tpo de datos cas uca so váldas y o se les puede dar demasada credbldad. Por lo geeral, es preferble o teer formacó que teer mala formacó. Báscamete, exste dos tpos de seleccó de muestras: los aleatoros y los o aleatoros. E los prmeros, el aspecto prcpal, es que todos los membros de la muestra ha sdo elegdos al azar, de forma que cada membro de la poblacó tuvo gual oportudad de ser seleccoado e la muestra. Este tpo de muestreo, que es el más cosstete, es al msmo tempo el que resulta más costoso, y el que se utlzará sempre e el desarrollo de los cotedos de esta udad. Los cetros de vestgacó ofcales como el Isttuto Nacoal de Estadístcas (INE), utlza sempre muestreos aleatoros. 4 La poblacó objetvo, es la poblacó de la cual se desea obteer formacó y a la cual va drgda el estudo.

12 Los segudos, carece del grado de represetatvdad de los prmeros, pero permte u gra ahorro e los costos. Se elge los elemetos, e fucó de que sea represetatvos, segú la opó del vestgador, es decr, está basados e el juco de ua persoa (e este caso el vestgador). Es el método que utlza, geeralmete, las empresas prvadas, y preseta el coveete de que la precsó de los resultados o es muy buea, y es dfícl medr el error de muestreo. Realce ejerccos Nº 4 y 5 Muestreos Aleatoros CLASE 4 El muestreo aleatoro sgfca que todos los elemetos de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdos. Detro de este tpo de muestreo se ecuetra: el Muestreo Aleatoro Smple, el Muestreo Aleatoro Sstemátco, el Estratfcado y el Por Coglomerados, los que será observados e forma depedete. a) Muestreo Aleatoro Smple: este método, es e la práctca, el más smple, por lo que a veces sólo se deoma como muestreo aleatoro. La defcó de este método y el proceso de seleccoar ua muestra aleatora smple depede de s la poblacó es fta o fta. Para ua muestra aleatora smple de poblacó fta, el procedmeto cosste e que al seleccoar u elemeto para la muestra, cada uo de ellos tee la msma probabldad de ser elegdo. Ua muestra obteda medate este tpo de procedmeto se le llama muestra aleatora smple. Uo de los métodos más utlzados para lograr que la muestra sea aleatora, es umerar todos los elemetos de ua poblacó y escrbr los úmeros e tarjetas o bolas, poerlas e ua bolsa y mezclarlas. Se defe el tamaño de la muestra y se saca las tarjetas al azar ua a ua, hasta que se obtega el úmero deseado, como e ua tómbola. Este procedmeto tee pocas probabldades de ser efcaz cuado la poblacó que se esta estudado es muy grade. Ejemplo N 5 S se quere elegr ua muestra formada por 4 elemetos de ua poblacó de 6, se rá seleccoado cfras aleatoras de tres e tres. Es decr, se eumera los elemetos de la poblacó del al 6, y se seleccoa el 3, 6, 8,, hasta completar los 4

13 elemetos de la muestra. S be el método aterormete descrto se utlza comúmete, sacar ombres de u sombrero, se aproxma sólo burdamete a la aleatoredad. El método clásco utlzado es el de las tablas de úmeros aleatoros que vee e los apédces de los lbros de estadístca. Para ua muestra aleatora smple de poblacó fta, cosste e seleccoar los elemetos maestrales de tal forma que se satsface las sguetes codcoes: Cada elemeto seleccoado provee de la msma poblacó. Cada elemeto se seleccoa e forma depedete E la práctca, se suele cosderar fta la poblacó que se estuda, s tervee e u proceso dámco que hace mposble cotar o lstar a cada elemeto de la poblacó. Por lo que, e ua muestra aleatora smple para poblacoes ftas, o se puede utlzar el procedmeto de seleccó co úmeros aleatoros, porque es mposble realzar ua lsta de la poblacó. E este caso, se debe determar u procedmeto de seleccó de muestra, que os permta determar los elemetos e forma depedete y evtar u prejuco de seleccó, que haga posble mayores probabldades de seleccó de certos artículos. b) Muestreo Aleatoro Sstemátco: este tpo de muestreo es más fácl de utlzar, que el aleatoro smple, cuado la poblacó esta ordeada e lstas formales, a los cuales es posble acudr. Es aálogo al muestreo ateror, auque resulta más fácl, rápda y cómoda la eleccó de elemetos por este método de muestreo. Se debe teer la precaucó de que la característca que se estuda o tega perocdad Ejemplo N 6 S se ha de elegr 4 elemetos de u grupo de 6, se comeza por calcular el cuocete 6/4, que os dce que exste 4 grupos de 5 elemetos etre los 6 de la poblacó. Se elge u elemeto de partda etre los 5 prmeros, y supoedo que sea el k-ésmo, el resto de los elemetos de cada grupo o será cosderados e la seleccó. E cocreto, s el elemeto de partda es el úmero 6, los demás elemetos seleccoados de los grupos de 5 elemetos restates se obtee de la sguete forma: 3

14 6; 5 + 6; 5+6; 3 5+6; ; catdad K-esmo de elemetos elemeto por grupo de partda er do 3er 4to 4 elemeto Este procedmeto smplfca eormemete la eleccó de elemetos, pero puede teer problemas co la represetatvdad de la muestra, cuado los elemetos se haya umerados por algú crtero cocreto y los k-ésmos tega ua determada característca, que haga coformarse ua muestra o represetatva. Por lo tato, para que toda udad de la poblacó tega gual probabldad de salr, el procedmeto debe comezar al azar. c) Muestreo Aleatoro Estratfcado: cuado las poblacoes so muy grades, se debe dvdr éstas e subpoblacoes o estratos, s elemetos comues y que cotega toda la poblacó. Ua vez hecho esto se puede elegr, por muestreo aleatoro smple, de cada estrato, u úmero de elemetos gual o proporcoal al tamaño del estrato. Este procedmeto tee la gra vetaja de que se puede obteer ua mayor precsó (o meor error muestral) que s se seleccoa ua muestra por el muestreo aleatoro smple, cosderado la poblacó total. La faldad de este tpo de muestreo es asegurarse de que todas las subpoblacoes de terés estará represetadas adecuadamete e la muestra. Ejemplo Nº 7 S se decdera realzar ua ecuesta sobre la cdeca del tabaco e u Colego cualquera, se podría razoar de la sguete forma: el colego tee alumos, 7 e 3º Medo, 7 e 4º Medo, 34 e º Medo, y 4 e º Medo. S se desea tomar ua muestra de alumos, para aalzar la cdeca del tabaco e la adolesceca, bastaría tomar u úmero gual de alumos de cada estrato, es decr 5 de º medo, 5 de º medo, 5 de 3º medo y 5 de 4º medo. S embargo, s lo que se quere es hacer ua ecuesta para coocer la opó que tee el alumado sobre ua medda que ha tomado el Cosejo Escolar, es más 4

15 represetatvo elegr de cada estrato, y e úmero proporcoal a su tamaño, los elemetos que compodrá la muestra. E este caso, 3º Medo represeta al 36% 7 del alumado, por lo que e la muestra se debe represetar el 36% de este vel (es decr 36 alumos) los que se elegrá 7 de por muestreo aleatoro smple. De gual forma, el 4º medo represeta el 35% del alumado y debe estar represetado por 35 alumos e la muestra y así hasta completar los elemetos de la muestra. Ejemplo Nº 8 Supogamos que se realza u estudo sobre la poblacó de estudates de ua Uversdad, e el que a través de ua muestra de alumos se desea obteer formacó sobre el uso de lápces labales. E ua prmera aproxmacó, lo que procede es hacer u muestreo aleatoro smple, pero e su lugar podemos reflexoar sobre el hecho de que el comportameto de la poblacó co respecto a este carácter o es homogéeo, y atededo a él, podemos dvdr a la poblacó e dos estratos: Estudates masculos (6% del total); Estudates femeos (4% restate). De modo, que se reparta proporcoalmete e ambos grupos, el úmero total de la muestras, e fucó de sus respectvos tamaños (6 varoes y 4 mujeres). Esto es lo que se deoma asgacó proporcoal al estrato. S se observa co más atecó, os ecotramos (salvo sorpresas de probabldad reducda) que el comportameto de los varoes co respecto al carácter (uso de lápces labales) que se estuda es muy homogéeo y dferecado del grupo de las mujeres. Por otra parte, co toda segurdad la precsó sobre el carácter que estudamos, será muy alta e el grupo de los varoes y co ua pequeña dspersó de los datos, metras que e el grupo de las mujeres habrá mayor dspersó. Cuado las varazas poblacoales so pequeñas, co pocos elemetos e ua muestra se obtee ua formacó más precsa del total de la poblacó, que cuado la varaza es grade. Por tato, s uestros medos sólo os permte tomar ua muestra de alumos, será más coveete dvdr la muestra e dos estratos, y tomar medate muestreo aleatoro smple certo úmero de dvduos de cada estrato, de modo que se elegrá más dvduos e los grupos de mayor varabldad. 5

16 Así, probablemete, obtedríamos mejores resultados estudado ua muestra compuesta por: varó. 9 hembras. Esto es lo que se deoma asgacó óptma. Asgacó proporcoal: sea el úmero de dvduos de la poblacó total que forma parte de algua muestra: k Cuado la asgacó es proporcoal al tamaño de la muestra de cada estrato, també es proporcoal al tamaño del estrato correspodete, co respecto a la poblacó total: N N Asgacó óptma: cuado se realza u muestreo estratfcado, los tamaños muestrales e cada uo de los estratos,, los elge que hace el muestreo, y para ello puede basarse e alguo de los sguetes crteros: Elegr los de tal modo que se mmce la varaza del estmador, para u costo especfcado. Fjar la varaza para el estmador que mmce el costo e la obtecó de la muestra. Así e u estrato dado, se tede a tomar ua muestra más grade cuado: El estrato es más grade El estrato posee mayor varabldad tera (varaza) El muestreo es más barato e ese estrato. d) Muestreo Aleatoro por Coglomerados: a veces, para smplfcar los procesos de toma de datos de ua poblacó, se empeza por elegr certos coglomerados (que puede ser bloques de vvedas, mucpos, uras electorales, etc.) y detro de ellos se realza el muestreo aleatoro. 6

17 Este tpo de muestra cosste e seleccoar prmero al azar, grupos, de elemetos poblacoales, llamados coglomerados, y e tomar luego ua submuestra, de cada coglomerado, para costtur la muestra global. Los pasos, so los sguetes:. Se debe dvdr la poblacó e grupos que resulte coveetes para el muestreo.. E seguda, seleccoar ua porcó de los grupos al azar o por u método sstemátco. Realce ejerccos Nº 6 y 7 Muestreo o Aleatoro o o Probablístco E este tpo de muestreo, la muestra o se seleccoa al azar, al cotraro so elegdas por el ecargado de realzar el muestreo. El costo de estos muestreos es mas bajo comparado co el muestreo probablístco Se ecuetra clasfcados e: a) Muestreo por Juco: Ua muestra se deoma por juco cuado sus elemetos so seleccoados medate el juco persoal del vestgador para decdr qué elemeto se elegrá de la muestra. Ua muestra de juco es llamada muestra o probablístca, puesto que este método está basado e los putos de vsta subjetvos de ua persoa, por lo que la teoría de la probabldad o puede emplearse para medr el error de muestreo. Las prcpales vetajas de este tpo de muestreo, es la facldad de obtecó de los datos maestrales y el bajo costo que mplca su realzacó. Error Muestral o de Muestreo: La dfereca etre el resultado obtedo de ua muestra (u estadístco) y el resultado obtedo de la poblacó (parámetro), se cooce como error de muestreo o error muestral. 7

18 b) Muestreo por Coveeca: como su ombre lo dca, la muestra se detfca y seleccoa, prcpalmete, por coveeca. Es decr, se corpora los elemetos e la muestra s probabldades coocdas de seleccó. Este tpo de muestra posee las msmas vetajas que el por juco, que so la fácl seleccó y recoleccó de los datos. S embargo, o es posble, estadístcamete, comprobar s los resultados obtedos so bueos o o, por lo que hay que teer especal cudado e cómo terpretar estos resultados, e especal cuado se utlza para hacer ferecas acerca de poblacoes. c) Muestreo Secuecal: es aquel e el que se obtee formacó de los elemetos de la poblacó metras que se cosdere que la formacó que arroja es útl y ueva, cuado se cosdere que la formacó se repte co el msmo patró, se cosdera cocludo este tpo de muestreo. d) Dseño Bola de Neve: este tpo de muestreo se aplca a las poblacoes de dfícl acceso ya sea por dstaca o porque so dfícles de ecotrar como por ejemplo: drogadctos, delcuetes, habtates de zoas apartadas, etc. Este tpo de muestreo cosste e que u dvduo de la poblacó que es objeto de estudo dque a otras persoas de gual característca para localzarlos y así cotuar co el muestreo Ejemplo Nº 9 U profesor que lleva a cabo ua vestgacó uverstara puede usar alumos volutaros para formar ua muestra, ta sólo porque dspoe fáclmete de ellos y partcpa como elemetos a u bajo o ulo costo lo que represeta ua muestra por coveeca. Realce ejerccos Nº 8 y 9 CLASE 5 3. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Uo de los objetvos de la estadístca es hacer ferecas co respecto a la poblacó, basádose e la formacó coteda e la muestra estudada. 8

19 S la muestra aleatora de tamaño de la poblacó f(x), se defe como: x, x,..., x. Su fucó de probabldad cojuta se expresa como: f(x, x,..., x) f(x) f(x )... f(x ) E dode, la dstrbucó de probabldad de cualquer estadístco de la muestra se deoma dstrbucó muestral del estadístco. Por lo tato, el estudo de determadas característcas de ua poblacó se efectúa a través de dversas muestras que puede extraerse de ella. Dstrbucó Muestral: La dstrbucó muestral o dstrbucó del muestreo de u estadístco es la dstrbucó de probabldades de los valores que puede tomar ese estadístco a lo largo de todas las posbles muestras que se puede extraer de la poblacó. A cotuacó se eumera y explca las más mportate dstrbucoes muestrales: Dstrbucó Normal Dstrbucó de la Meda Muestral Dstrbucó de la Varaza Muestral Ch-cuadrado Dstrbucó T de Studet Dstrbucó F de Fsher o de Sedecor Dstrbucó Normal o Gaussaa La dstrbucó ormal fue recoocda por prmera vez por el fracés Abraham de Movre ( ). Posterormete, Carl Fredrch Gauss ( ) elaboró estudos más profudos y formuló la ecuacó de la curva; de ahí que també se la coozca, más comúmete, como la "Campaa de Gauss". La mportaca de la dstrbucó ormal se debe, prcpalmete, a que hay muchas varables asocadas a feómeos aturales que preseta esta dstrbucó así, como: Caracteres morfológcos de dvduos (persoas, amales, platas,...) de ua espece, por ejemplo: tallas, pesos, evergaduras, dámetros, perímetros; posee ua dstrbucó ormal de sus datos. 9

20 Caracteres fsológcos, por ejemplo: efecto de ua msma doss de u fármaco, o de ua msma catdad de aboo; se dstrbuye ormal. Caracteres socológcos, por ejemplo: cosumo de certo producto por u msmo grupo de dvduos, putuacoes de exame; sus datos se dstrbuye ormal. Caracteres pscológcos, por ejemplo: cuocete telectual, grado de adaptacó a u medo; posee ua dstrbucó ormal. Errores cometdos al medr certas magtudes, posee este tpo de dstrbucó. Valores estadístcos muestrales, por ejemplo: la meda se dstrbuye ormal. Otras dstrbucoes como la bomal o la de Posso so aproxmacoes ormales. Y e geeral, cualquer característca que se obtega como suma de muchos factores, preseta ua dstrbucó ormal. La dstrbucó de ua varable ormal se ecuetra determada por dos parámetros poblacoales, su meda y su desvacó estádar, deotadas geeralmete por las letras gregas µ y σ. 3.. Fucó de Desdad de Probabldad Para cada valor de µ y σ se tee dsttas fucoes de desdad. Fucó de desdad de probabldad: Es la fucó asocada a la varable aleatora e cuestó. Co esta defcó la fucó de desdad de de probabldad de la dstrbucó ormal vee dada por: f e µ e ( x ) e, x IR e x

21 Dcha ecuacó determa la curva e forma de campaa (Fgura Nº ). Así, se dce que ua característca sgue ua dstrbucó ormal de meda µ y desvacó estádar σ, y se deota, s su fucó de desdad vee dada por la Ecuacó aterormete expuesta, como: X ~ N(µ, σ) Lo que se lee, la varable X sgue ua dstrbucó ormal co meda µ y varacó σ Fgura Nº : Represetacó Gráfca de la Fucó de Desdad para Dstrbucó Normal E dode, la esperaza de meda de la varable x, se defe como E(x) µ (X) σ Y la varaza Var(x) σ

22 Fgura Nº : Dstrbucoes Gaussaas co Dferetes Medas e Igual Dspersó E dode, µ, µ µ µ 3, pero la dspersó de los datos so guales (σ σ σ 3 ). Como se puede observar e las fguras Nº y Nº, la forma de la campaa depede de los parámetros µ y σ; pues µ dco la poscó de la campaa (parámetro de cetralzacó) y σ (o equvalete, σ) será el parámetro de dspersó. Cuato meor sea la dspersó de datos, mayor catdad de masa de probabldad habrá cocetrada alrededor de la meda (como se muestra e la Fgura Nº 3, fucó f(x) y cuato mayor sea σ (dspersó) la fucó de x se presetara más aplastada (f(x) ). Fgura Nº 3: Dstrbucoes Gaussaas co Igual Medas pero Varaza Dferete

23 CLASE Fucó de Dstrbucó La fucó de la dstrbucó ormal, que es la mas mportate de todas las dstrbucoes de probabldad, cumple las sguetes codcoes: Puede tomar cualquer valor (-, + ). So más probables los valores cercaos a uo cetral al cual llamamos meda µ Coforme os separamos de ese valor µ, la probabldad va decrecedo de gual forma para la derecha que para la zquerda (es smétrca). Es decr, la campaa es smétrca. Coforme os separamos de ese valor µ la probabldad va decrecedo de forma más o meos rápda, depededo del parámetro σ, que es la desvacó típca Propedades de la Dstrbucó Normal La dstrbucó ormal posee certas propedades mportates que covee destacar: Tee ua úca Moda, que cocde co su meda ( _ χ ) y su medaa (Me). La curva ormal es astótca al eje de abscsas, es decr, uca toca el eje x. Por ello, cualquer valor etre - y + es teórcamete posble. El área total bajo la curva es, por tato, gual a. Es smétrca co respecto a su meda µ. Segú esto, para este tpo de varables exste ua probabldad de u 5% de observar u dato mayor que la meda, y u 5% de observar u dato meor a esta. La dstaca etre la líea trazada e la meda y el puto de flexó de la curva es gual a ua desvacó estádar (σ). Cuato mayor sea σ, más aplaada será la curva de la desdad. El área bajo la curva compredda etre los valores stuados, aproxmadamete a dos desvacoes estádar de la meda, es gual a.95. E cocreto, exste u 95% de posbldades de observar u valor compreddo e el tervalo (µ -,96, σ,µ +,96 σ). La forma de la campaa de Gauss depede de los parámetros µ y σ. La meda dca la poscó de la campaa, de modo que para dferetes valores de la gráfca es 3

24 desplazada a lo largo del eje horzotal. Por otra parte, la desvacó estádar determa el grado de aputameto de la curva. Cuato mayor sea el valor de σ, más se dspersará los datos e toro a la meda y la curva será más plaa. U valor pequeño de este parámetro dca, por tato, ua gra probabldad de obteer datos cercaos al valor medo de la dstrbucó. Como se deduce de este últmo apartado, o exste ua úca dstrbucó ormal, so ua famla de dstrbucoes co ua forma comú, dferecadas por los valores de su meda y su varaza. De todas ellas, la más utlzada es la dstrbucó ormal estádar, que correspode a ua dstrbucó de meda y varaza., y que se deota como Z. Así, la expresó que defe su desdad es: Z ~ N (,) fz ( z ) z e z IR Es mportate coocer que, a partr de cualquer varable X que sga ua dstrbucó ormal (N (µ, σ), se puede obteer otra característca Z co ua dstrbucó ormal estádar ormal co meda µ y varaza σ, al efectuar la sguete trasformacó: Z X µ σ X ~ N (µ, σ ) Z ~ N(,) Es decr, podemos represetar la trasformacó de la varable como sgue: Z x µ σ Esta propedad resulta especalmete teresate e la práctca, ya que para ua dstrbucó N(,) exste tablas estadístcas publcadas, a partr de las que se puede obteer de modo secllo la probabldad de observar u dato meor o gual a u certo valor z, y que permte resolver pregutas de probabldad acerca del comportameto de varables de las que se sabe o se asume que sgue ua dstrbucó aproxmadamete ormal. Ésta es la dstrbucó Normal Estádar. 4

25 Ejemplo Nº Supogamos que se sabe que el peso de los sujetos de ua determada poblacó sgue ua dstrbucó aproxmadamete ormal, co ua meda de 8 Kg. y ua desvacó estádar de Kg. Cuál es la probabldad de que ua persoa, elegda al azar, tega u peso superor a Kg.? Se deota por X, a la varable que represeta el peso de los dvduos e esa poblacó, ésta sgue ua dstrbucó ormal, co meda 8 kg. Y desvacó estádar kg. N (8,). Al trasformar esta varable e ua ormal estádar, podríamos utlzar la tpfcada para calcular la probabldad que os teresa. tabla Por lo tato: Z x 8 Así, la probabldad que se desea calcular será: p 8 ( x > ) p z > p( z > ) es: Como el área total bajo la curva es gual a, se puede deducr que su complemeto p ( z > ) p ( z ) Esta últma probabldad puede ser fáclmete obteda de la tabla Z, que podemos observar e el aexo, resultado ser P(z > ) Reemplazado p p p ( z > ) p( z ) ( z > ),977 ( z > ), 8 5

26 Por lo tato, la probabldad buscada de que ua persoa elegda aleatoramete de esa poblacó tega u peso mayor de Kg., es de.977.8, es decr, aproxmadamete de u.3%. De modo aálogo, se puede obteer la probabldad de que el peso de u sujeto esté etre 6 y Kg. Prmero, se debe trasformar la varable x e ormal estádar (z), como sgue: p ( 6 x ) p z p( z ) Segudo tomado a - y b, podemos deducr que: p ( z ) p( z ) p( z ) Se sabe que p(z ),977. Ahora para la seguda probabldad defda, s embargo, ecotramos el problema de que las tablas estadístcas estádar o os proporcoa el valor de p(z -z) para valores egatvos de la varable. No obstate hacedo uso de la smetría de la dstrbucó ormal, se tee que: p ( z ) p( z ) p( z ),977, 8 Falmete, la probabldad buscada de que ua persoa elegda al azar tega u peso etre 6 y Kg., es de , es decr, aproxmadamete de u 95% Característcas de la Dstrbucó Normal Estádar (reducda, tpfcada) La dstrbucó ormal estádar, posee las sguetes característcas: No depede de gú parámetro. Su meda es, su varaza es y su desvacó típca es. Recordemos, que esta ultma es resultado de la raíz cuadrada de la varaza, e este caso. La curva f(x) es smétrca respecto del eje Y. 6

27 Tee u máxmo e el eje Y; que es dode lo tercepta. Tee dos putos de flexó e z y z La dstrbucó Normal co Aproxmacó a la Bomal (Teorema de De Movre) Se demostró que bajo determadas codcoes (para u tamaño muestral grade, y tato p como q o esté próxmos a cero) la dstrbucó Bomal se puede aproxmar medate ua dstrbucó ormal. Prmero, debemos aclarar que la dstrbucó de la varable X se deoma dstrbucó bomal de parámetro y p. El parámetro es el úmero de tradas (u úmero etero postvo), y el parámetro p la probabldad de éxto de ua trada (u valor etre y la udad, esto es, p ). El hecho de que X sga ua dstrbucó bomal co parámetro y p, lo deotaremos abrevadamete como: x B (, p ). Luego, podemos trasformar esta varable bomal e ua ormal al utlzar la sguete fórmula: Z X pq p esn (,) Y por medo del teorema de Movre, reemplazamos e la trasformacó de ua varable ormal o estádar: Hay que teer e cueta que cuato mayor sea el valor de, y cuato más próxmo sea p a.5, tato mejor será la aproxmacó realzada. Es decr, basta co que se verfque que: p 5 y q 5, gracas a esta aproxmacó es fácl ecotrar probabldades bomales, que para valores grades de resulte muy complcados de calcular. Se debe teer presete que para realzar correctamete esta trasformacó, de ua varable dscreta (bomal) e ua varable cotua (ormal), es ecesaro hacer ua correccó de cotudad que depede de la forma de la campaa de Gauss 7

28 A cotuacó, represeta cada ua de las coexoes de cotudad, segú la grafca de la dstrbucó. Por lo ateror se puede decr que, se represeta el valor a de la bomal por u tervalo cotuo. 8

29 Realce ejerccos Nº al 4 CLASE 7 3. Dstrbucó de la Meda Muestral ( _ X ) S se cosdera que u expermeto es el proceso de elegr ua muestra aleatora smple, la meda de la muestra _ X es la descrpcó umérca del resultado de u expermeto. E cosecueca, la meda de la muestra es ua varable aleatora. De esto se desprede que, al gual que otras varables aleatoras, _ X tee ua meda o valor esperado, ua varaza y ua dstrbucó de probabldades. Dado que los dversos valores posbles de _ X so el resultado de dsttas muestras aleatoras smples, a la dstrbucó de _ X se le cooce como Dstrbucó Muestral de _ X. Por lo aterormete expuesto podemos coclur que: la dstrbucó de la meda muestral se defe como: la dstrbucó de los valores de las medas muestrales de todas las posbles muestras de tamaño tomadas de la msma poblacó. Dada ua poblacó co ua muestra aleatora de tamaño, co meda artmétca µ y dode la desvacó es represetada por, puede formarse muestras co reemplazameto dsttas, formadas por dos elemetos de la poblacó. La meda muestral es represetada por ( _ X ); y esta dada por: 9

30 Se ha dcho, que el objetvo de u estudo es poder exteder o geeralzar a la poblacó las coclusoes que se obtega de ua muestra. Supoga que de la poblacó formada por todos los alumos de u Lceo, se extrae aleatoramete ua muestra de 4 alumos, y a los cuales se les cosulta por su edad, ecotrado que la edad meda obteda es de 5,8 años. Pero, Qué ocurrría, s se extrajera otra muestra? Cocdría las medas? Y cocdría co la meda de la poblacó? Lo certo es que, parece lógco pesar que auque o tega porqué cocdr, s debería aproxmarse bastate. No obstate: Qué ta próxmas se ecuetra? Esta proxmdad depede del tamaño de las muestras que elegmos? Mecoadas estas quetudes parece ecesaro, estudar la varabldad de las medas obtedas de las muestras, que repetdamete se extraga de ua poblacó. Cada muestra de tamaño que se pueda extrae de ua poblacó proporcoa ua meda. S se cosdera cada ua de estas medas como ua varable aleatora, se puede estudar su dstrbucó, la cual se cooce como: Dstrbucó Muestral de Medas. S se tee ua poblacó ormal N(µ, σ) y se extrae de ella muestras de tamaño, la dstrbucó muestral de medas sgue també ua dstrbucó ormal _ ( µ, σ ) X ~ N / 3

31 Ejemplo Nº U guardabosque que estuda los efectos de la fertlzacó e certos bosques de po, se teresa e estmar el área promedo de la base de los pos. Al estudar las áreas de la base de árboles smlares durate muchos años, descubró que estas medcoes (e pulgadas cuadradas) tee ua dstrbucó ormal co ua desvacó estádar aprox. de 4 pulgadas cuadradas. S el guardabosque seleccoa ua muestra de ueve árboles. Ecuetre la probabldad de que la meda muestral se desvíe a lo más e pulgadas cuadradas de la meda poblacoal. Datos: X áreas de las bases de pos e pulgadas cuadradas. X ~ N(µ, 6) 9 Se pde calcular, la sguete probabldad: P I X µ I < Z P < X < 3

32 Trasformamos a dstrbucó ormal estádar p < 4 / 3 P Z _ X µ 4 / 3 < 4 / 3 P [ <,5 ] [ P[ Z <,5 ] (,5 ) Z(,5 ) [.5 < Z <.5] De la tabla estadístca ormal estádar (aexo ) se obtee las sguetes probabldades: (.933) p σ / x µ < < σ / σ / Reemplazamos P 4 / 9 x µ < < 3 4 / 9 Z 4 / 9 3

33 Ejemplo Nº Las otas de certo exame se dstrbuye segú ua dstrbucó ormal, de meda 5,8 (µ) y desvacó estádar,4 (σ). Hallar la probabldad de que la meda de ua muestra tomada al azar de 6 estudates está compredda etre 5 y 7. Datos: µ 5,8 σ,4 6 Como N (µ, σ / ), se tee que el promedo de otas se dstrbuye ormal co µ 5,8 y,4 σ/, 6, es decr, x ~ N 5,8;, 6 6 Se trasforma a dstrbucó ormal estádar: 5 µ x µ 7 µ p ω / 3 σ / σ / Z Reemplazamos 5 5,8 7 5,8,8, p Z p Z,4 / 6,4 / 6,6,6 p[,33 Z ] p(-.33 X ) P(z ) - [ P(z.33) ], (-,98),9773,98,8855 S la poblacó o sgue ua dstrbucó ormal, pero > 3, aplcado el llamado Teorema Cetral del Límte, la dstrbucó muestral de medas se aproxma també a la dstrbucó ormal descrta co aterordad. 33

34 E relacó a la meda muestral se puede coclur que: A medda que aumeta, su dspersó se hace cada vez meor, y Tee ua dstrbucó cada vez mas smétrca, umodal y acampaada 3.. Error Estádar de la Meda CLASE 8 A la desvacó estádar de la dstrbucó de muestreo de la meda ( x _ ), se le deoma error estádar de la meda. El error estádar de la meda es gual a la desvacó estádar de la poblacó (σ) dvddo etre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ; es decr: _ σ x σ Debe recordarse que el error de muestreo cocerete a ua meda de la muestra es la dfereca etre el estadístco _ x y el parámetro poblacoal µ x _ µ. Cuado es grade, la desvacó estádar de la poblacó σ es pequeña y, cosecuetemete, los errores de muestreo so pequeños, debdo a que la dfereca etre el estadístco y el parámetro de la meda es pequeña. A medda que el tamaño muestral aumeta, la magtud del error de muestreo dsmuye. 34

35 Ejemplo Nº3 Ua poblacó estudada posee ua dstrbucó ormal, co ua meda µ8 y ua desvacó estádar σ8, determar los parámetros µ x y de la dstrbucó muestral de la meda para el sguete tamaño de la muestra : 36 Datos: µ8 σ8 36 Solucó: µ x µ Relacó etre el tamaño de la muestra y la dstrbucó muestral de _ X _ Como la esperaza de la meda muestral, que se deota E x µ, es depedete del tamaño de la muestra. Así, la meda de todos los valores posbles de x _ es gual a la meda de la poblacó, µ, depedetemete del tamaño de la muestra. S embargo, e la ecuacó ateror, se puede aprecar que el error estádar de la meda, σ xσ σ /, se relacoa co la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. E forma específca, sempre que _ aumeta el tamaño muestral, dsmuye el error estádar de la meda, σ x. _ σ σ x ; cuado < σx ± σ 35

36 E cosecueca, co el mayor tamaño de muestra, se obtedrá ua probabldad mayor de que la meda de la muestra quede detro de los límtes especfcados respecto a la meda poblacoal. 3.. Teorema Cetral del Límte El Teorema Cetral del Límte expoe que al teer u grupo umeroso de varables depedetes y todas ellas sgue el msmo modelo de dstrbucó (cualquera que éste sea), la suma de ellas se dstrbuye segú ua dstrbucó ormal. Supógase que se tee ua poblacó co meda µ y desvacó estádar σ. al extraer de forma aleatora todas las posbles muestras, todas ellas de tamaño. muestrales que se obtee co los medos muestrales se podría comprobar que: La meda de los datos, es la meda µ de la poblacó, es decr la meda de las medas de las muestras, es gual que la meda de la poblacó (esto correspode al valor esperado). Estas medas se dstrbuye alrededor de la meda de la poblacó, co ua desvacó típca (llamada desvacó estádar de la meda ) gual a la de la poblacó σ dvdda por la raíz de, es decr, la desvacó estádar de la meda es La dstrbucó de las medas muestrales, es ua dstrbucó de tpo "ormal", depedete de que la poblacó de procedeca lo sea, cluso s o lo es, sempre que el tamaño de las muestras sea mayor o gual a 3. E cosecueca, "s ua poblacó tee meda µ y desvacó estádar σ, y tomamos muestras de tamaño (de tamaño al meos 3, o cualquer tamaño, s la poblacó es "ormal"), las medas de estas muestras sgue aproxmadamete la sguete dstrbucó ormal. N µ, σ Cabe señalar, que cuato mayor es el valor de, mejor es la aproxmacó a la dstrbucó "ormal". 36

37 Lo ateror queda grafcado de la sguete forma: E lo ateror expuesto, se ha utlzado u cocepto mportate: la desvacó estádar de la meda σ, la que os dca que cuato meor sea ésta, más ajustadas a la meda de la poblacó será las medas que obtegamos de ua muestra. De su propa defcó, es fácl darse cueta de que cuato mayor es el tamaño de la muestra, meor es este grado de varabldad, y por tato más smlar a la meda de la poblacó será la meda obteda de la muestra. Desvacó estádar de la meda: Es el grado de varabldad que tee las medas muestrales. Ejemplo Nº 4 Se laza ua moeda al are veces, s sale cara se le otorga el valor y s sale cruz, el valor. Cada lazameto es ua varable depedete que se dstrbuye segú el modelo de Beroull 5, co meda,5 y varaza,5. 5 E u expermeto de Beroull, se deoma éxto al suceso e estudo, Ao, y fracaso a su cotraro Ā o O., Ā. A dcho expermeto le asocamos ua varable aleatora X defda como. El úmero de éxtos al realzar el expermeto, es decr, X : s s ocurre ocurre _ Α A 37

38 Se pde calcular la probabldad de que e los lazametos, salga más de 6 caras. La varable que represeta la suma de estas varables depedetes se dstrbuye, por tato, segú ua dstrbucó ormal la que posee los sguetes parámetros poblacoales: Meda *,5 5 µ Varaza *,5 5 σ Para aalzar la probabldad de que salga más de 6 caras, se debe calcular la varable ormal estádar (Z) equvalete: x µ 6 5 Z σ / 5 6 5, 5 (*) 5 es la raíz cuadrada de 5, o sea la desvacó estádar de esta dstrbucó. Por lo tato, para calcular la probabldad solctada P (X > 6) P (Z >,) - P (Z <,) -,977,8 Es decr, la probabldad de que al trar veces la moeda, salga más de 6 caras es ta sólo del,8%. dremos que X tee ua dstrbucó de Beroull de parámetros p, dode p es la probabldad de éxto, que se ecotrara etre y ( p ). La deotaremos brevemete como : X b(p). 38

39 Ejemplo Nº 5 La varable "trar ua moeda al are" sgue la dstrbucó de Beroull. Al lazar la moeda al are 5 veces, la suma de estas 5 varables (cada ua depedete etre s) se dstrbuye segú ua dstrbucó ormal, de acuerdo al teorema del lmte cetral, dode > 3 Este teorema se aplca tato a suma de varables dscretas como la de varables cotuas. Los parámetros de la dstrbucó ormal so: Meda: * _ x (meda de la varable dvdual multplcada por el úmero de varables depedetes) Varaza: * s (varaza de la varable dvdual multplcada por el úmero de varables dvduales) CLASE Dfereca de Medas Teorema: S se saca al azar muestras depedetes de tamaño y, de poblacoes dscretas o cotuas, co medas µ y µ ; varazas σ y σ respectvamete, etoces la dstrbucó muestral de la dfereca de las medas x x es aproxmadamete ormal co meda: µ x x µ µ Y varaza _ var x _ x σ σ + 39

40 S las probabldades so depedetes, etoces la varable: Z ( x x ) ( µ µ ) σ σ + ~ N (,) S ambas probabldades so depedetes, co varazas descoocdas pero guales, etoces la varable aleatora, para dfereca de las medas se utlza la sguete formula Dode, T ( x x ) ( µ ) S µ p + ~ N (,) S p ( ) S + ( ) + S Es la varaza poderada, que represeta u estádar putual de la varaza comú Dfereca Muestral de Proporcoes Muchas aplcacoes volucra poblacoes de datos cualtatvos que debe compararse utlzado porcetajes. A cotuacó se cta alguos ejemplos: Educacó.- Es mayor la proporcó de estudates que aprueba matemátca que las de los que apruebe glés? Medca.- Es meor el porcetaje de los usuaros del medcameto A, que presete ua reaccó adversa, que el de los usuaros del fármaco B que també preseta ua reaccó de ese tpo? Admstracó.- Hay dfereca etre el porcetaje de hombres y mujeres e poscoes gerecales? Igeería.- Exste dfereca etre la proporcó de artículos defectuosos que geera la máqua A a los que geera la máqua B.? Cuado el muestreo procede de dos poblacoes bomales y se trabaja co dos proporcoes maestrales, la dstrbucó muestral de dfereca de proporcoes es aproxmadamete ormal para tamaños de muestra grade ( p 5, q 5, p 5 y 4

41 q 5). Etoces p y p tee dstrbucoes muestrales aproxmadamete ormales, así que su dfereca p, p també tee ua dstrbucó muestral aproxmadamete ormal. E estos casos la varable aleatora toma solamete dos valores dferetes (éxto o fracaso), es decr, sgue ua dstrbucó bomal y cuado la extesó de la poblacó es grade la dstrbucó bomal B(,p) se aproxma a la ormal N (p, pq ). Para muestras de tamaño >3, la dstrbucó muestral de proporcoes sgue ua dstrbucó ormal: N p, pq Dode p es la proporcó de uo de los valores que preseta la varable estadístca e la poblacó y q -p Ejemplo Nº 6 S se laza ua moeda o trucada al are veces cuál es la probabldad de que se obtega más de 55 caras? E ua moeda o trucada, la proporcó de caras es.5, co lo que p.5 y. La dstrbucó muestral de proporcoes se dstrbuye N(.5,.5) S se llama p a la proporcó e la muestra, se calcula la probabldad P(p >,55) 4

42 La probabldad de P(p >,55), se trasforma a ormal: p z >,55 pq p Reemplazamos: p z >,55,5,55,5 p z >,5,5 P ( z > ) p( Z ),843,587 Al buscar e la tabla estadístca dstrbucó ormal estádar N(,) la probabldad correspodete al valor Z Realce ejerccos Nº 5 al 6 CLASE 3.3 Dstrbucó de la Varaza Muestral Ch-cuadrado (x ) La prueba Ch-Cuadrado fue desarrollada por Karl Pearso ( ) e 9, aplcado sus resultados e el ámbto bológco. Se podría defr como ua suma de varables ormales al cuadrado. 4

43 S Z, Z,..., Zv, so varables aleatoras ormalmete dstrbudas e depedetes co meda y varaza, la suma de sus cuadrados, esta represetada por χ, dode: Al cosderar ua varable aleatora cuya dstrbucó es z ~ (,), la varable aleatora, X Z se dstrbuye segú ua ley de probabldad como ch-cuadrado (x ) co grado de lbertad, que se represeta como: x ~ x S se tee varables aleatoras depedetes, que se dstrbuye z ~ (,) la suma de sus cuadrados respectvos es ua dstrbucó que lleva por ombre ley de dstrbucó co grados de lbertad, que se deota por: { z } N (,) z ~ x ~ La meda y varaza de esta varable so respectvamete: Meda E [ x ] Var [ x ] 3.3. Fucó de Desdad fx ( x) s T X (-, ] x e s x (, ) 43

44 Fgura Nº4: Fucó de Desdad de x para Valores Pequeños de Fgura Nº5: Fucó de Desdad de χ para Valores Grades de 44

45 χ E cosecueca, s x, x, so varables aleatoras depedetes, dode cada N µ, σ, se tee que, al cosderar ua varable aleatora dstrbuda e forma ormal, ( ) ~ (, ) χ ~ N la varable aleatora, X Z se dstrbuye segú ua ley de probabldad dstrbucó χ co u grado de lbertad, lo que se represeta como: χ ~ χ Los grados de lbertad costtuye la catdad de valores depedetes que admte u cojuto de observacoes a partr de determadas codcoes que tee que cumplr dcho cojuto. Así, s se dce que ua varable tee - grados de lbertad esto dca que solo - de los valores de la muestra está lbres para varar. Observacó: La ley de dstrbucó x muestra su mportaca cuado se desea determar la varabldad (s sgo), de catdades que se dstrbuye e toro a u valor cetral, sguedo u mecasmo ormal. Ejemplo Nº 7 U strumeto para medr el vel de glcema e la sagre, ofrece resultados aproxmados a la realdad, auque exste certa catdad de error que se dstrbuye e forma ormal co meda y desvacó estádar σ. χ ( µ, ) χ σ Dode: X real : varable real X exp : varable observada e la muestra : error de medcó real exp +, ~ N Se realza medcoes de los veles de glcema, etregados por el strumeto e u grupo de pacetes. Iteresa medr la catdad de error que se acumula e las medcoes de todos los pacetes. Se puede platear varas estrategas para medr los errores acumulados, etre ellas destacamos las sguetes:. Defr el error acumulado e las medcoes de todos los pacetes como 45

46 E Cuál es el valor esperado para E?. Defr el error acumulado como la suma de los cuadrados de todos los errores (catdades postvas): E Cuál es el valor esperado para E? A la vsta de los resultados, cuál de las dos catdades, E y E, le parece más coveete utlzar e ua estmacó del error cometdo por u strumeto. Supoedo que todas las medcoes so depedetes, se tee que E { + { { E E N ( µ, σ ) N ( µ, σ ) N ( µ, σ ) N ( µ, σ ) [ ] µ De este modo, el valor esperado para E es, es decr, que los errores e va a teder a compesarse etre uos pacetes y otros. Obsérvese que s µ o fuese coocdo co aterordad, se podría utlzar E, para obteer ua aproxmacó de µ, es decr. E µ S embargo, el resultado E o dca e qué medda hay mayor o meor dspersó e los errores co respecto al. E cuato a E se puede afrmar lo sguete: 46

47 E σ σ σ { σ σ 3 x x x E [ E ] σ 4 E este caso los errores o se compesa etre sí, y s la varaza ( σ ) coocdo, podría ser estmado de modo aproxmado medate o fuese σ E S embargo, o se obtee gua formacó co respecto a µ. Para coclur, E podría ser utlzado para calcular de modo aproxmado µ, y E para calcular de modo aproxmado σ. Las dos método tee terés, y gua lo tee más que el otro, pues ambas formas de medr el error os aporta formacó. Teorema: Sea x, x,..., x ua muestra aleatora de ua poblacó N ( µ, σ ), etoces: _ χ y S so depedetes. ( ) s σ ~ χ ( ) 47

48 Ejemplo Nº 8 ) Para este ejemplo, se usará la tabla Ch-cuadrado (que se ecuetra e el aexo Nº χ χ ~ ( 5) Para ua varable que se dstrbuye Ch-cuadrado χ ~ χ 5 Calcular: a) P(x <.6). b) P(x <.83).975 c) P(x >.83) d) P(x >.554) Para ua varable que se dstrbuye Ch-Cuadrado χ ~ χ Calcular: a) P(9.59< x<.44) b).5 < P(x < )< (segú calculadora) Realce ejercco Nº Dstrbucó T studet (T) CLASE Sea X y X,, X, + varables aleatoras depedetes e gualmete dstrbudas co dstrbucó N(,). Decmos, etoces, que la varable: T X x + + x Sgue ua dstrbucó t de Studet co grados de lbertad. 48

49 S ua varable, T, sgue ua dstrbucó t de Studet co grados de lbertad, la dcaremos de forma abrevada como T ~ t Como x x sgue ua dstrbucó x co grados de lbertad, puede darse ua defcó equvalete de esta dstrbucó de probabldad. Sea X ua varable aleatora co dstrbucó N(,) y sea Y ua varable aleatora co dstrbucó χ. S X e Y so depedetes, la varable: T X y Se dce que sgue ua dstrbucó t de Studet co grados de lbertad. La dstrbucó t de Studet tee u úco parámetro, que dca los grados de lbertad de la x que aparece e el deomador. El orge de esta se ecuetra e la estmacó de esperazas de dstrbucoes ormales, cuado su desvacó típca es descoocda. W.S. Gosset, por seudómo Studet, u dustral cervecero, la propuso y tabulo e 98. Este tpo de dstrbucó muestral se crea a partr de ua dstrbucó ormal (,) y ua Ch-cuadrado, co grados de lbertad depedetes. Normalmete, se utlza cuado el tamaño muestral es meor a 3. La dstrbucó t-studet se costruye como u cocete etre ua dstrbucó ormal y la raíz de ua dstrbucó x depedete. De modo precso, se cooce como dstrbucó t-studet co - grados de lbertad, a la de ua varable aleatora T, que se deota: T X µ ~ t( ) s / 49

50 Dode: _ X : meda muestral µ : meda poblacoal s : desvacó estádar muestral : tamaño muestral -: grados de lbertad. Este tpo de dstrbucoes aparece cuado se tee varables aleatoras depedetes, que cumple las sguetes codcoes: Iteresa la dstrbucó de: X ~ N X ~ N ( µ, σ ) ( µ σ ),,..., T x µ σ x µ σ 3.4. Fucó de Desdad La fucó de desdad de t ~ t es: f T + T x + T π + ( x) t IR 5

51 Fgura N º 6: Fucó de Desdad de ua t de Studet 3.4. Propedades de la Dstrbucó T studet La dstrbucó t de Studet tee propedades parecdas a la dstrbucó ormal N(,): Es de meda cero, smétrca co respecto a la msma Es algo más dspersa que la ormal, pero la varaza decrece hasta cuado el úmero de grados de lbertad aumeta. Cuado el tamaño de la muestra aumeta, la dstrbucó t de Studet se aproxma a la N(,). Al comparar los gráfcos de las fucoes de desdad de la dstrbucó ormal (Z) co la dstrbucó T-studet, se obtee que esta últma, se asemeja a la Z, puesto que arrba so smétrcas de forma acampaada alrededor del cero. 5

52 Fgura Nº 7: Comparacó etre las Fucoes de Desdad de t y N(,) Para u úmero alto de grados de lbertad se puede aproxmar la dstrbucó t de Studet por la ormal, es decr, t N (,) Fgura Nº 8: Aproxmacó, co, t de Studet a Normal Para calcular e lugar de cosderar ua prmtva de esa fucó y determar la tegral defda, buscaremos el resultado aproxmado e ua tabla de la dstrbucó t (-). 5

53 + T x + T π t t [ t] F ( t) f ( x) dx dx P T T T + Ejemplo Nº 9 Dada ua varable T que se dstrbuye t de Studet co grados de lbertad T t () Calcular: a) P(T <.37).9 b) P(T < -.37). c).65 < P(T <.4) <.7 d) P(T >.3) e) P(T < -4.59) Para la varable T, co 3grados de lbertad, T t (3) a) P(T <.3).9 b) P(T < -.5).85.5 c) P(T >.5).5 Realce ejercco Nº 8 y 9 53

54 CLASE 3.5 Dstrbucó F de Fsher o de Sedecor Otra de las dstrbucoes mportates asocadas a la dstrbucó ormal es la que se defe como cuocete de dstrbucoes x depedetes. Sea X ~ X e Y ~ X m dos varables aleatoras depedetes. Se dce etoces que la varable: X Y m m X Y F ~ F, m Sgue ua dstrbucó de probabldad de Fsher, co (, m) grados de lbertad. Obsérvese que F, m Fm,. La forma más habtual e que aparece esta dstrbucó será e el caso e que se tega +m varables aleatoras depedetes: X ~ N ( µ, σ ),..., Y j ~ N ( m, s ),..., m j j Y así, F ~ F, m m Y j m j m j x µ σ s j De esta ley de probabldad lo que más teresa es su fucó de dstrbucó: 54

55 F F ( x) PF [ x] Y para ello, como e todas las dstrbucoes asocadas a la ormal, se dspoe de ua tabla dode ecotrar aproxmacoes a esas catdades. Fgura N º 9: Fucó de Desdad de F, Es claro que la dstrbucó de Fsher o es smétrca, pues sólo tee desdad de probabldad dstta de cero, los puto de IR +. Otra propedad teresate de la dstrbucó de Fsher es: F F ~ F, m ~ Fm, Esto quere decr que: ( 7,5) f.; f.9; ( 5,7) Supoga que: 55

56 Sea x, x,, x ua muestra aleatora de ua poblacó ( µ, σ ) ua muestra aleatora de ua poblacó N ( µ, σ ) ( ) s σ ~ x ( ) N y y, y,, y m ( m ) s x σ ( ) De esto se obtee que: F s / σ ~ F ; m s / σ Propedades de la dstrbucó F El recorrdo de F correspode al tervalo (, ) Depede de los grados de lbertad y m Preseta asmetría postva, co u grado que depede cojutamete de los grados de lbertad del umerador y el deomador Ejemplo Nº Uso de la tabla de dstrbucó F de Fsher, para ua varable que se dstrbuye x f(4,8), se pde calcular. a) P(x <.95).5 b) P(x < 5.5).975 c) P(x < 4.4).999 d) P(x > 5.5).5 e) P(x <.) P(x >.).6 56

57 Por últmo, para ua varable que se dstrbuye X f(,5), se pde calcular: Percetl 99 f(.99;,5) 3.67 F.9;,5. Realce ejercco Nº 3 57

58 4. ANEXOS A cotuacó, se preseta las tablas de valores para las dstrbucoes Z ormal estádar, la T de Studet, la Ch-cuadrado y la F de Fscher; que os permte coclur a partr del aálss de estmacoes putuales y de pruebas de hpótess. 58

59 Aexo Nº Dstrbucó Normal Estádar Z ~ (,) Iterpretacó valor tabla p(z<.58).79, dode z (.58) se ecuetra e la prmera columa de la Tabla Normal y sus decmales se costruye e la prmera fla de ésta. 59

60 Aexo Nº Dstrbucó Ch-Cuadrado X Iterpretacó valor tabla x.975;3.6, dode x co 3 grados de lbertad (3) y co u α gual a.975, es decr, co u p.5. 6

61 Aexo Nº 3 Dstrbucó T - Studet t Iterpretacó valor tabla t.9;3.64, dode t co 3 grados de lbertad (3) y co u α gual a., es decr, co u p.9. 6

62 Aexo Nº 4 Dstrbucó F Fscher F Iterpretacó valor tabla F, ; , dode F co y 3 grados de lbertad (, 3); esta Tabla es para u vel de cofaza del 9%. 6

63 63

64 64

65 RAMO: ESTADÍSTICA II UNIDAD II ESTIMACIÓN

66 CLASE. CONCEPTOS BASE DE LA ESTIMACIÓN E uestra vda dara os vemos oblgados a hacer estmacoes, por ejemplo s u peató va a cruzar ua calle y vee u automóvl, tee que estmar la velocdad del automóvl, su propa velocdad al cruzar la calle y como resultado de estas estmacoes deberá tomar la decsó de cruzar o o. Cualquer medda estadístca muestral que se use para estmar u parámetro de la poblacó es llamado estmador U estmador es ua herrameta, e base a ua regla o algortmo, basada e las medcoes cotedas e ua muestra. Así por ejemplo; podemos decr que el cálculo de la meda de la muestra es u estmador de la meda poblacoal. _ x + x x x Es u estmador de µ _ x x s Es u estmador de σ Del msmo modo, decmos que el cálculo de la varaza de la muestra es u estmador de la varaza poblacoal ( σ ), es posble decr que, dado x, x,, x como ua muestra aleatora, es u estmador de la meda poblacoal ( µ ). Nota: Es mportate, saber que se puede obteer dferetes estmadores para u msmo parámetro.

67 Estmador: Para θ, parámetro descoocdo de ua poblacó X, los estmadores será herrametas que permtrá la estmacó de tal parámetro. Por lo que se etederá como estmador cualquer varable aleatora, (x, x,, x )(o smplemete ), que se defa a partr de la sucesó de varables aleatoras, x, x,, x ; que tegra ua muestra al azar de ua poblacó, es decr, toma u valor para cada observacoes o datos. Estos datos correspode a los valores de la varable que represeta a la poblacó e los dvduos de la muestra. Deberemos valorar e u estmador su capacdad de extraer al máxmo la formacó coteda e la muestra, ya que redudará e la caldad de las estmacoes. El objetvo prcpal de la estadístca ferecal es la estmacó, esto es que medate el estudo de ua muestra de ua poblacó se quere geeralzar las coclusoes al total de la msma. Los estadístcos varía mucho detro de sus dstrbucoes muestrales, y metras meor sea el error estádar de u estadístco, más cercaos será uos de otros sus valores. E las pruebas de estmacó se deberá hacer ferecas acerca de las característcas de las poblacoes a partr de la formacó coteda e la muestra. La fereca estadístca es la forma de tomar decsoes basadas e probabldades y preseta dos aspectos: la estmacó de parámetros y la prueba de hpótess co respecto a ua fucó elegda como modelo. Las estmacoes acerca de ua poblacó o estmacó de parámetros se puede clasfcar e: estmacoes putuales y estmacoes por tervalo Estmacó: Ua estmacó es u valor umérco, que toma u estmador a partr de las observacoes, por ejemplo cuado queremos realzar u estudo de ua poblacó cualquera de la que descoocemos sus parámetros, como su meda poblacoal, debemos tomar ua muestra aleatora de dcha poblacó a través de la cual calcular ua aproxmacó a dchos parámetros que descoocemos y queremos estmar. Be, pues esa aproxmacó se llama estmacó. Barretos Valero, Itroduccó a la Estadístca Iferecal 986 3

68 Ua estmacó putual es u úco valor estadístco y se usa para estmar u parámetro. El estadístco usado se deoma estmador. E otras palabras, s a partr de las observacoes de ua muestra se calcula u solo valor como estmacó de u parámetro de la poblacó descoocdo, el procedmeto a aplcar se deoma Estmacó Putual. Ua estmacó por tervalo es u rago, geeralmete, de acho fto, que se espera que cotega el parámetro. Es decr, cuado os propoemos determar dos úmeros etre los cuales se halla el parámetro estudado co certa certeza se aplca el procedmeto estmacó por tervalo. A cotuacó, se abordará detalladamete cada uo de los tpos de estmacó de la fereca estadístca. CLASE. ESTIMACIÓN PUNTUAL La fereca estadístca está cas sempre cocetrada e obteer algú tpo de coclusó acerca de uo o más parámetros (característcas poblacoales). Para hacerlo, se requere que u vestgador obtega datos muestrales de cada ua de las poblacoes e estudo. Etoces, las coclusoes puede estar basadas e los valores calculados de varas catdades muestrales. Por ejemplo, al represetar co µ (parámetro) el verdadero promedo o promedo poblacoal, de ressteca a la ruptura de coexoes de alambres utlzados para ur obleas de semcoductores. Podría tomarse ua muestra aleatora de coexoes para determar la ressteca a la ruptura de cada ua, y la meda muestral de la ressteca a la ruptura ( _ x ) se podría emplear para sacar ua coclusó acerca del valor de µ (meda poblacoal). De forma smlar, s σ es la varaza de la dstrbucó de ressteca a la ruptura, el valor de la varaza muestral s se podría utlzar para ferr algo acerca de σ. Ua estmacó putual del valor de u parámetro poblacoal descoocdo (como puede ser la meda (µ) o la desvacó estádar (σ)), es u úmero que se utlza para aproxmar el verdadero valor de dcho parámetro poblacoal. 4

69 Estmacó Putual: Ua estmacó putual de u parámetro cualquera θ es u úmero estadístco, que se puede cosderar como el valor más razoable de θ. La estmacó putual se obtee al seleccoar ua estadístcas apropada y calcular su valor a partr de datos de la muestra dada. La estadístca seleccoada se llama estmador putual de θ y se deota regularmete por. Ua estmacó putual es el valor de la estadístca de la muestra correspodete. Sea ua muestra aleatora smple, X, X,..., X de ua poblacó co dstrbucó N(µ, σ²). Estmador de la meda: La dstrbucó muestral de la meda es: x N(µ,σ/ ) S/ estma a la desvacó típca de la meda σ/ y se deoma error estádar de la meda muestral. Por esta razó se dce que el error estádar de la meda mde la varabldad de la meda e el muestreo Estmador de la varaza: 5

70 Ejemplo Nº Se ecesta estmar la ota meda de los alumos de la asgatura de matemátcas, e dode x es la varable que dca la ota obteda por cada estudate. Tomaremos ua muestra de tamaño y calculamos la ota meda de la muestra. 4, 5, 5,6 5,8 6, 5,9 6,5 6,5 6, 6,9 4,5 6, 4,8 5,6 6, 6, 6, 6,5 4,8 5,6 x x + x + x x 4,6 5,73 Se obtee ua meda muestral de 5,7; ota promedo de alumos de la asgatura de matemátcas, dode este úmero se toma como el estmatvo de estmacó putual para la meda poblacoal. Se cocluye que u Estmador Putual de u parámetro es cualquer estadístca que os permta, a partr de los datos muestrales, obteer valores aproxmados del parámetro.. Propedades de los Estmadores Putuales Al o teer segurdad que los estmadores tega el valor del parámetro, se debe cosderar sus propedades. Para poder utlzar la formacó que se obtega del estmador putual de θ, se ecesta detfcar que los estadístcos elegdos sea bueos estmadores del parámetro θ. Exste cuatro crteros que se suele aplcar para determar s ua estadístca es u bue estmador, estos so... Isesgameto Sea u estmador putual del parámetro θ. Etoces, es u estmador sesgado para estmar θ, s: 6

71 E otras palabras, u estmador sesgado es aquel para el cual la meda de la dstrbucó muestral es el parámetro estmado. S se usa la meda muestral x _ para estmar la meda poblacoal µ, se sabe que la µ µ, por lo tato, la meda es u estmador sesgado. Es decr: _ x E _ x µ La meda muestral ( _ x ) y la varaza (S ), so estmadores sesgados de µ y σ, ya que E ( x _ ) µ, E ( S ) σ. Los valores de x y S se deoma estmadores sesgados. S embargo, S es u estmador sesgado de σ, ya que, e geeral, E (S ) σ _ La careca de sesgo puede terpretarse de la sguete forma: Supógase que se tee u úmero defdo de muestras de ua poblacó, todas ellas del msmo tamaño. sobre cada muestra el estmador ofrece ua estmacó cocreta del parámetro que se busca. Ahora be, el estmador es sesgado, s sobre dcha catdad defda de estmacoes, el valor medo obtedo e las estmacoes es θ (el valor que se desea coocer). S el estmador o es sesgado, etoces la dfereca es coocda como sesgo del estmador β E θ θ Ejemplos de estmadores sesgados varaza Ejemplo Nº Meda Muestral Sea x, x,, x, ua muestra aleatora de ua poblacó ormal, co meda µ y σ (N( µ,σ )), etoces, podemos decr que x _ es u estmador sesgado de µ. 7

72 8 Se debe verfcar s se cumple que: µ _ x E Sabemos que: ( ) x x x x... _ Por lo tato, reemplazamos: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] x E x E x E x x x E Dado que la ( ) µ x E, podemos decr: ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] µ µ µ µ µ µ _ x E... x E x E x E x E x E Se cocluye que el estmador _ x es sesgado. Estmador sesgado Estmador sesgado

73 Ejemplo Nº 3 Cuasvaraza Muestral La cuasvaraza muestral es u estmador sesgado de la varaza poblacoal por lo tato: Lo cual queda demostrado de la sguete forma: Ejemplo Nº 4 Varaza Muestral Varaza Muestral: es u estmador sesgado de la varaza poblacoal 9

74 CLASE 3.. Efceca Ua meor varaza garatza que e el muestreo repettvo, ua mayor fraccó de valores quedará más cerca del parámetro θ. Por lo tato, al exstr dos estmadores sesgados, se debe elegr el de meor varaza. Estmador sesgado de míma varaza: Sea dos estmadores sesgados de θ. Se dce que θ es mas efcete que θ s se cumple la sguete regla:

75 La búsqueda del Estmador Isesgado de Míma Varaza (EIMV), se faclta co la ayuda de u resultado coocdo co el ombre de cota feror de Cramer Rao. Teorema de Cota Iferor de Cramer Rao (CCR) Sea x, x,, x, ua muestra aleatora de tamaño de ua dstrbucó co fucó de probabldad gual a f(x, θ ). S θ es u estmador sesgado de θ, etoces la varaza de θ debe satsfacer el teorema de cota feror de Cramer Rao (CCR). Para demostrar que es u estmador sesgado de míma varaza, la codcó que debe satsfacer es:. Var ( θ ). d e f ( x, θ ) E dθ Lo mportate del teorema es que la desgualdad de Cramer Rao establece ua cota feror para la varaza de cualquer estmador sesgado, por lo que, podemos detfcar su varaza míma. Dado u estmador sesgado θ de θ, la razó de su CCR a su varaza se llama Efceca de θ. CCR VAR ( θ ) ó CCR VAR θ Dode: CCR: La Cota Iferor de Cramer Rao Var( θ ): La varaza del estmador putual de θ.

76 U estmador sesgado co efceca gual a se dce efcete. E otras palabras, la efceca se refere al tamaño del error estádar (o desvacó estádar de la dstrbucó de muestreo) de la estadístca. Ejemplo Nº 5 Sea x, x,, x de ua dstrbucó Posso ( λ ). Obteer el estmador efcete para λ, el cual deotaremos como λ La varable x se dstrbuye Posso, por lo que se tee que su esperaza de x es gual a λ, La varaza de x es també, gual a λ, y preseta ua fucó de desdad gual a: ( ) ( ) ( ) x x e x f x var x E ;!, λ λ λ λ A esta fucó de desdad de Posso aplcamos logartmo atural, obteemos: ( )! l l l! l, l x e x e x f x x + λ λ λ λ λ x! x e l - l l λ λ + 3 [ ] ), ( l + λ λ λ x d x f ( ), l λ λ λ λ λ λ + + x x d x f d ( ] ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ + x x x x ( ) ( ), l λ λ λ x e x f E Etoces ( ) λ λ x E

77 Dode E ( x λ) a la varaza de la fucó de probabldad de Posso por, que es la catdad total de varables observadas. Sabemos que la varaza de Posso es λ Reemplazado, os queda: E l f λ ( x, λ) E( x λ) λ 443 λ λ λ Lo que os lleva a coclur que la cota feror de Cramer Rao es gual a: CCR Var CCR λ λ Por lo tato, podemos decr que λ es u estmador efcete de λ Ejemplo Nº 6 Estmadores efcetes Para facltar este aálss, alguos autores dca que e lugar de usar sesgo y varaza separadamete para evaluar u estmulador, es preferble usar el cuadrado medo del error (CME). El Cuadrado Medo del error (CME) es u estmador putual θ, que se defe por: CME E θ θ 3