CÁLCULO CON wxmaxima

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1 CÁLCULO CON wxmaxima AUTORÍA JUAN JOSÉ MUÑOZ LEÓN TEMÁTICA MATEMÁTICAS, NUEVAS TECNOLOGÍAS ETAPA ESO Resumen En este artículo, se proporciona una herramienta de trabajo para los alumnos del primer ciclo de la ESO que cursan la materia de Matemáticas. Haciendo uso de wxmaxima, un programa de cálculo simbólico, se les facilita una herramienta de cálculo para trabajar el bloque de Números. Palabras clave Matemáticas, números, cálculo, software libre, wxmaxima, ESO. 1. INTRODUCCIÓN wxmaxima es una potente herramienta de cálculo simbólico. Mediante el uso de las distintas funciones que nos proporciona el programa y otras que se definirán expresamente, se van a tratar los distintos contenidos que aparecen en el currículum de matemáticas, en el primer ciclo de la ESO relacionados con el bloque de Números. 2. WXMAXIMA Maxima es un programa de cálculo de código abierto, se distribuye bajo licencia GNU GPL. Es un lenguaje y un entorno de programación. wxmaxima en un entorno de trabajo sobre Maxima que presenta innumerables ventajas. Destacamos la interface de usuario que implementa su propio motor de visualización de matemáticas para los resultados de Maxima, y la mayoría de los comandos están disponibles a través de los menús. Este programa está instalado en los ordenadores de los centros TIC que usan Guadalinex. Las versiones para otros sistemas operativos se pueden descargar gratuitamente desde 3. OPERACIONES ELEMENTALES CON WXMAXIMA Para realizar las operaciones elementales tenemos que utilizar los siguientes operadores: Operación Operador Suma + Diferencia - Producto * C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 1

2 Cociente / Potencia 1 ^ Raíz cuadrada sqrt() wxmaxima utiliza la prioridad en las operaciones habitual. Si queremos realizar una suma o diferencia antes que un producto o un cociente utilizaremos paréntesis. La Ilustración 1 muestra una captura de pantalla a modo de ejemplo del uso de las operaciones elementales y de las operaciones combinadas con wxmaxima. Ilustración 1 1 Para hacer uso del acento circunflejo en wxmaxima con el sistema operativo Guadalinex, una vez tecleado pulsamos la tecla espacio. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 2

3 4. NÚMEROS NATURALES 4.1. Paridad A la hora de trabajar con números podemos determinar si estos son pares o impares mediante las funciones evenp() o oddp(). evenp(n) nos devolverá como mensaje de salida True o False dependiendo si el número n es par o no. La función oddp() evaluada en n, oddp(n), nos devolverá como mensaje de salida True o False dependiendo si el número n es impar o no Números primos Para determinar si un número es primo utilizaremos la función primep(), esta devolverá True o False dependiendo si el número n es primo o no Descomposición factorial Para realizar la descomposición factorial de un número utilizaremos la función factor(). La función evaluada en un número, factor (n), nos devuelve su descomposición en factores primos. La Ilustración 2 muestra como trabajar con números naturales en wxmaxima. Ilustración 2 C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 3

4 4.4. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo La función gcd() devuelve el máximo común divisor de dos números. Como argumento de la función, se introducen los dos números separados con una coma, gcd(n1,n2). Para el cálculo del mínimo común múltiplo utilizaremos la función lcm(). Antes de utilizar esta función por primera vez, tenemos que cargar el paquete de funciones, para ello teclearemos en la línea de comando load(functs). Para calcular el máximo común divisor de varios números vamos a definir la siguiente función: minimocomunmultiplo([x]):=(load(functs),l:x*makelist(1,k,1,length(x)),while length(l)>1 do (m:lcm(first(l),second(l)),l:rest(l),l:rest(l),l:cons(m,l)),first(l))$ La función maximocomundivisor() evaluada para varios números naturales, maximocomundivisor(n1,n2,n3, ), nos devuelve el máximo común divisor de todos ellos. De forma análoga para el cálculo del mínimo común múltiplo de varios números, vamos a definir la función: minimocomunmultiplo([x]):=(load(functs),l:x*makelist(1,k,1,length(x)),while length(l)>1 do (m:lcm(first(l),second(l)),l:rest(l),l:rest(l),l:cons(m,l)),first(l))$ La función minimocomunmultiplo(), funciona de igual forma que maximocomundivisor(). La forma más efectiva de trabajar con este tipo de funciones es una vez que se han tecleado en la línea de comandos dichas funciones, se guarda como Maxima batch file(*.mac) y las tendremos disponibles en próximas sesiones sin tener que volver a teclearlas, cargando el archivo como paquete (Ctrl + L) División wxmaxima nos ofrece una serie de funciones para trabajar con la división. Si queremos saber el cociente y el resto de una división utilizaremos en la función divide(). Como argumento introduciremos el dividendo y el divisor separados por una coma y en este mismo orden: divide(dividendo, divisor). La función nos devuelve una lista con dos números siendo el primero el cociente y el segundo el resto. Si sólo queremos conocer el cociente de una división utilizaremos la función quotient(). Como argumento introduciremos el dividendo y el divisor separados por una coma y en este mismo orden: quotient(dividendo, divisor). Esta función devuelve como resultado un único número, que es el cociente entero de la división. La función remainder() es parecida a la anterior y en lugar de devolver el cociente nos devuelve el resto de la división. Si queremos obtener una lista con todos los divisores de un número utilizaremos la función divisors(). Para determinar el número de divisores, vamos a definir una función. Si en la línea de comandos introducimos numero_divisores(x):=length(divisors(x)), hemos definido una función de nombre numero_divisores(). Cuando evaluemos esa función para un determinado número natural, nos devolverá el número de divisores que tiene dicho natural. La Ilustración 3 muestra como se define esta función y su utilización. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 4

5 Ilustración 3 5. NÚMEROS ENTEROS Para trabajar con números enteros disponemos, entre otras, de la función signum(), que nos devuelve - 1 o 1 según el entero sea negativo o positivo y de la función abs(), que nos devuelve el valor absoluto del entero. Ilustración 4 6. FRACCIONES 6.1. Fracciones equivalentes Para determinar si dos fracciones son equivalentes podemos hacer uso del comando is(). Si tecleamos en la línea de comando la función is(20/4=10/2) nos devolverá como salida True indicando que ambas fracciones son equivalentes. Igualmente podremos comprobar si la primera fracción es mayor o menor que la segunda utilizando > o < en vez del signo igual Fracciones irreducibles Para obtener fracción irreducible a una dada, basta con teclear en la línea de comando la fracción que queremos reducir y pulsar enter. El programa ofrece como salida la fracción simplificada Expresión decimal Para tener el valor numérico de una fracción vamos a definir una nueva función que nos devolverá la expresión decimal del número racional. La función llamada valornumérico() se define de la siguiente forma: valornumerico(x):=float(x)$. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 5

6 Ilustración 5 7. NÚMEROS DECIMALES Si queremos determinar la parte entera de un número decimal tenemos que utilizar la función entier(). Para que el programa reconozca un número decimal tenemos que utilizar como separador un punto entre la parte entera y la parte decimal. A continuación, vamos a pasar a definir una función que nos devuelva la fracción generatriz de un número decimal: fracciongeneratriz(x):=(ratprint:false,rat(x,ratepsilon:10^-50))$. En la Ilustración 6 aparecen ejemplos de cómo realizar operaciones elementales con números decimales, como definir la función fraccióngeneratriz() y como evaluarla con números decimales exactos, números decimales periódicos puros y números decimales periódicos mixtos. Para que no se produzcan errores en la salida de la función es aconsejable exagerar el grupo periódico. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 6

7 Ilustración 6 8. RAÍCES CUADRADAS En primer lugar, vamos a definir una función para que genere los n primeros cuadrados perfectos. La función la llamaremos cuadradosperfectos(). Su argumento será siempre un número natural que se corresponderá con el número de cuadrados perfectos que queremos obtener. cuadradosperfectos(x):=makelist(k^2,k,1,x) La función cuadradosperfectos(5) produce como salida una lista de cinco números que se corresponden con los cinco primeros cuadrados perfectos: [1,4,9,16,25]. Para calcular la raíz cuadrada de un número utilizamos la función sqrt(). Su argumento será siempre un número racional positivo. Para calcular la raíz entera de un número vamos a definir una función que llamaremos raizentera(). Esta nueva función nos devolverá una lista compuesta por dos números, el primero de ellos será la raíz entera y el segundo el resto. La función raizentera() la definiremos introduciendo en la línea de comando el siguiente código: raizentera(x):=(e:entier(sqrt(x)),r:x-e^2,[e,r])$ C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 7

8 En la Ilustración 7 podemos ver cómo hemos definido las anteriores funciones, como las evaluamos y cuáles son los resultados que obtenemos. Ilustración 7 9. METODOLOGÍA Para trabajar de forma eficaz con el programa wxmaxima con los alumnos del primer ciclo de la ESO podríamos preparar un cuadro en el cual se resumieran todas las funciones con las que se van a trabajar. Todas las nuevas funciones definidas por el usuario se pueden cargar en el programa, a través de un archivo de procesamiento por lotes que previamente se ha generado y se ha guardado. De esta forma el alumnado únicamente se tiene que preocupar de teclear en la línea de comando la función. wxmaxima se puede utilizar como herramienta de cálculo para obtener resultados de ejercicios o para resolver problemas contextualizados. En ningún caso se pretende que el alumno conozca todas las funciones y mucho menos que entiendan la programación. Utilizaremos el programa como una herramienta auxiliar en el proceso de aprendizaje. Sería interesante hacer hincapié en el hecho de que se está utilizando software libre y que a través de Internet se pueden descargar el programa de forma legal y sin coste alguno. 10. BIBLIOGRAFÍA Arsuaga Franco M y Ramos Palanco R. Introducción a Maxima. Tutorial. Extraído el 5 de marzo de 2010 desde Arántegui J. Introducción a Maxima. Videos. Extraído el 2 de marzo de 2010 desde Rodríguez Galván J.R. Maxima con wxmaxima: software libre en el aula de matemáticas. Tutorial. Extraído el 2 de marzo de 2010 desde y desde C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 8

9 Rodríguez Riotorto M. Primeros pasos en Maxima. Tutorial. Extraído el 2 de marzo de 2010 desde Autoría Nombre y Apellidos: Juan José Muñoz León Centro, localidad, provincia: I.E.S. Ingeniero Juan de la Cierva, Puente Genil, Córdoba juanjosematematicas@gmail.com C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 9